ในวิชาโทโพโลยีและสาขาคณิตศาสตร์ ที่เกี่ยวข้อง ปริภูมิปกติ (normal space ) คือปริภูมิโทโพโลยีที่เซตปิดสองเซตใดๆ ที่ไม่ทับซ้อนกันจะมีบริเวณใกล้เคียงแบบเปิดที่ ไม่ทับซ้อนกัน ปริภูมิเหล่านี้ ไม่จำเป็นต้องเป็น ปริภูมิ เฮาส์ดอร์ฟ ( Hausdorff space ) โดยทั่วไป ปริภูมิเฮาส์ดอร์ _ฟปกติเรียกว่า ปริภูมิ T₄รายละเอียดเพิ่มเติมเกี่ยวกับแนวคิดเหล่านี้จะกล่าวถึงในบทความด้านล่าง ซึ่งรวมถึงปริภูมิปกติสมบูรณ์ (completely normal spaces)และปริภูมิปกติสมบูรณ์แบบ (perfectly normal spaces) _และปริภูมิเฮาส์ดอร์ฟแบบต่างๆ ได้แก่ปริภูมิT₅และปริภูมิT₆เงื่อนไขทั้งหมดเหล่านี้เป็นตัวอย่างของ สัจพจน์การแยก ₍ separation axioms )

ปริภูมิเชิงทอพอโลยีXเป็นปริภูมิปกติถ้ากำหนดให้เซตปิดEและF ใดๆ ที่ไม่มีส่วนร่วมกัน จะมีย่านใกล้เคียงUของEและVของFที่ไม่มีส่วนร่วมกันเช่นกัน กล่าวโดยง่ายกว่านั้น เงื่อนไขนี้บอกว่าEและFสามารถแยกออกจากกันได้ด้วยย่านใกล้เคียง

ปริภูมิT4คือปริภูมิT1 X ที่เป็น ปริภูมิปกติ ซึ่งเทียบเท่ากับการที่_Xเป็น_{ปริภูมิ}ปกติและปริภูมิเฮาส์ดอร์ฟ

พื้นที่ปกติโดยสมบูรณ์หรือhereditarily normal space, is a topological space X such that every subspace of X is a normal space. It turns out that X is completely normal if and only if every two separated sets can be separated by neighbourhoods. Also, X is completely normal if and only if every open subset of X is normal with the subspace topology.

A T₅ space, or completely T₄ space, is a completely normal T₁ space X, which implies that X is Hausdorff; equivalently, every subspace of X must be a T₄ space.

A perfectly normal space is a topological space ${\displaystyle X}$ in which every two disjoint closed sets ${\displaystyle E}$ and ${\displaystyle F}$ can be precisely separated by a function, in the sense that there is a continuous function ${\displaystyle f}$ from ${\displaystyle X}$ to the interval ${\displaystyle [0,1]}$ such that ${\displaystyle f^{-1}(\{0\})=E}$ and ${\displaystyle f^{-1}(\{1\})=F}$.^[1] This is a stronger separation property than normality, as by Urysohn's lemma disjoint closed sets in a normal space can be separated by a function, in the sense of ${\displaystyle E\subseteq f^{-1}(\{0\})}$ and ${\displaystyle F\subseteq f^{-1}(\{1\})}$, but not precisely separated in general. It turns out that X is perfectly normal if and only if X is normal and every closed set is a G_δ set. Equivalently, X is perfectly normal if and only if every closed set is the zero set of a continuous function. The equivalence between these three characterizations is called Vedenissoff's theorem.^[2][3] Every perfectly normal space is completely normal, because perfect normality is a hereditary property.^[4][5]

A T₆ space, or perfectly T₄ space, is a perfectly normal Hausdorff space.

โปรดทราบว่าคำว่า "พื้นที่ปกติ" และ "T ₄ " รวมถึงแนวคิดที่เกี่ยวข้อง อาจมีความหมายแตกต่างกันในบางครั้ง (อย่างไรก็ตาม "T ₅ " จะมีความหมายเหมือนกับ "T ₄ อย่างสมบูรณ์ " เสมอ ไม่ว่าความหมายของ T ₄จะเป็นอย่างไรก็ตาม) คำจำกัดความที่ให้ไว้ในที่นี้เป็นคำจำกัดความที่ใช้กันโดยทั่วไปในปัจจุบัน สำหรับข้อมูลเพิ่มเติมเกี่ยวกับประเด็นนี้ โปรดดูที่ ประวัติของสัจพจน์การแยก

คำศัพท์อย่าง " พื้นที่ปกติ ทั่วไป " และ "พื้นที่เฮาส์ดอร์ฟปกติ" ก็ปรากฏอยู่ในเอกสารเช่นกัน ซึ่งหมายความว่าพื้นที่นั้นเป็นพื้นที่ปกติและตรงตามเงื่อนไขอีกข้อที่กล่าวถึง โดยเฉพาะอย่างยิ่ง พื้นที่เฮาส์ดอร์ฟปกติก็คือพื้นที่ T4 นั่นเอง_{เนื่องจาก}ความสับสนในความหมายของคำศัพท์ในอดีต คำอธิบายด้วยวาจาจึงเป็นประโยชน์ เช่น ใช้คำว่า "เฮาส์ดอร์ฟปกติ" แทน "T4 _"หรือ "เฮาส์ดอร์ฟปกติสมบูรณ์" แทน " _T5 "

พื้นที่ปกติโดยสมบูรณ์และพื้นที่_T4โดยสมบูรณ์นั้นได้กล่าวถึงไว้ในที่อื่นแล้ว ซึ่งเกี่ยวข้องกับพาราคอมแพ็กต์เนส

ปริภูมิปกติเฉพาะที่ (locally normal space)คือปริภูมิเชิงทอพอโลยีที่ทุกจุดมีบริเวณใกล้เคียงแบบเปิดที่เป็นปกติ ปริภูมิปกติทุกปริภูมิเป็นปริภูมิปกติเฉพาะที่ แต่ในทางกลับกันนั้นไม่เป็นจริง ตัวอย่างคลาสสิกของปริภูมิปกติเฉพาะที่ที่สมบูรณ์แบบแต่ไม่ใช่ปริภูมิปกติ คือระนาบเนมิตสกี (Nemytskii plane )

พื้นที่ส่วนใหญ่ที่พบในคณิตศาสตร์วิเคราะห์เป็นพื้นที่เฮาส์ดอร์ฟปกติ หรืออย่างน้อยก็เป็นพื้นที่ปกติทั่วไป:

• ปริภูมิเมตริกทั้งหมด(และด้วยเหตุนี้ปริภูมิที่สามารถกำหนดเมตริกได้ ทั้งหมด ) เป็นปริภูมิเฮาส์ดอร์ฟปกติสมบูรณ์แบบ
• ปริภูมิซูโดเมตริกทั้งหมด(และด้วยเหตุนี้ปริภูมิซูโดเมตริก ทั้งหมด ) ล้วนเป็นปริภูมิปกติสมบูรณ์แบบ แม้ว่าจะไม่ใช่ปริภูมิเฮาส์ดอร์ฟทั่วไปก็ตาม
• พื้นที่ Hausdorff ขนาดกะทัดรัดทั้งหมดเป็นแบบปกติ
• โดยเฉพาะอย่างยิ่งการทำให้กระชับแบบสโตน-เช็กของปริภูมิไทโคนอฟฟ์เป็นแบบเฮาส์ดอร์ฟปกติ
• โดยสรุปจากตัวอย่างข้างต้น ปริภูมิ เฮาส์ดอร์ฟ แบบพาราคอม แพ็กต์ทั้งหมด เป็นปริภูมิปกติ และปริภูมิปกติแบบพาราคอมแพ็กต์ทั้งหมดเป็นปริภูมิปกติ
• แมนิโฟลด์เชิงทอพอโลยีแบบพาราคอมแพ็กต์ทั้งหมดเป็นแมนิโฟลด์เฮาส์ดอร์ฟปกติสมบูรณ์แบบ อย่างไรก็ตาม มีแมนิโฟลด์ที่ไม่ใช่พาราคอมแพ็กต์ซึ่งไม่ใช่แมนิโฟลด์ปกติด้วยซ้ำ
• โทโพโลยีลำดับทั้งหมดบนเซตที่มีลำดับสมบูรณ์นั้นเป็นแบบปกติโดยกำเนิดและแบบเฮาส์ดอร์ฟ
• ช่องว่างที่นับวินาทีได้ตามปกติทุก ช่อง นั้นปกติสมบูรณ์ และช่องว่าง Lindelöf ปกติทุกช่อง ก็ปกติเช่นกัน

Also, all fully normal spaces are normal (even if not regular). Sierpiński space is an example of a normal space that is not regular.

An important example of a non-normal topology is given by the Zariski topology on an algebraic variety or on the spectrum of a ring, which is used in algebraic geometry.

A non-normal space of some relevance to analysis is the topological vector space of all functions from the real lineR to itself, with the topology of pointwise convergence. More generally, a theorem of Arthur Harold Stone states that the product of uncountably many non-compact metric spaces is never normal.

Every closed subset of a normal space is normal. The continuous and closed image of a normal space is normal.^[6]

The main significance of normal spaces lies in the fact that they admit "enough" continuousreal-valued functions, as expressed by the following theorems valid for any normal space X.

Urysohn's lemma: If A and B are two disjoint closed subsets of X, then there exists a continuous function f from X to the real line R such that f(x) = 0 for all x in A and f(x) = 1 for all x in B. In fact, we can take the values of f to be entirely within the unit interval [0,1]. In fancier terms, disjoint closed sets are not only separated by neighbourhoods, but also separated by a function.

More generally, the Tietze extension theorem: If A is a closed subset of X and f is a continuous function from A to R, then there exists a continuous function F: X → R that extends f in the sense that F(x) = f(x) for all x in A.

The map ${\displaystyle \emptyset \rightarrow X}$ has the lifting property with respect to a map from a certain finite topological space with five points (two open and three closed) to the space with one open and two closed points.^[7]

If U is a locally finite open cover of a normal space X, then there is a partition of unity precisely subordinate to U. This shows the relationship of normal spaces to paracompactness.

In fact, any space that satisfies any one of these three conditions must be normal.

A product of normal spaces is not necessarily normal. This fact was first proved by Robert Sorgenfrey. An example of this phenomenon is the Sorgenfrey plane. In fact, since there exist spaces which are Dowker, a product of a normal space and [0, 1] need not to be normal. Also, a subset of a normal space need not be normal (i.e. not every normal Hausdorff space is a completely normal Hausdorff space), since every Tychonoff space is a subset of its Stone–Čech compactification (which is normal Hausdorff). A more explicit example is the Tychonoff plank. The only large class of product spaces of normal spaces known to be normal are the products of compact Hausdorff spaces, since both compactness (Tychonoff's theorem) and the T₂ axiom are preserved under arbitrary products.^[8]

If a normal space is R₀, then it is in fact completely regular. Thus, anything from "normal R₀" to "normal completely regular" is the same as what we usually call normal regular. Taking Kolmogorov quotients, we see that all normal T₁ spaces are Tychonoff. These are what we usually call normal Hausdorff spaces.

A topological space is said to be pseudonormal if given two disjoint closed sets in it, one of which is countable, there are disjoint open sets containing them. Every normal space is pseudonormal, but not vice versa.

Counterexamples to some variations on these statements can be found in the lists above. Specifically, Sierpiński space is normal but not regular, while the space of functions from R to itself is Tychonoff but not normal.

• Collectionwise normal space – Property of topological spaces stronger than normality
• ปริภูมิปกติแบบโมโนโทนิก  – คุณสมบัติของปริภูมิเชิงทอพอโลยีที่แข็งแกร่งกว่าความเป็นปกติ