ในทางคณิตศาสตร์และโดยเฉพาะอย่างยิ่งในทฤษฎีเซตคัฟเวอร์ (หรือคัฟเวอร์ ) ^{[ 1 ]}ของเซต คือตระกูลของเซตย่อยของ ซึ่งผลรวมของ เซตย่อยเหล่านั้นคือเซตย่อยทั้งหมดของกล่าวอย่างเป็นทางการมากขึ้น ถ้าเป็นตระกูลของเซตย่อย ที่มีดัชนี (ดัชนีโดยเซต) แล้วจะเป็นคัฟเวอร์ของถ้า ดังนั้น คอลเลกชันจะเป็นคัฟเวอร์ของถ้าสมาชิกแต่ละตัวของ เป็นสมาชิกของเซต ย่อย อย่างน้อยหนึ่งเซต${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle C=\lbrace U_{\alpha }:\alpha \in A\rbrace }$${\displaystyle U_{\alpha }\subset X}$${\displaystyle A}$${\displaystyle C}$${\displaystyle X}$$${\displaystyle \bigcup _{\alpha \in A}U_{\alpha }=X.}$$${\displaystyle \lbrace U_{\alpha }:\alpha \in A\rbrace }$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle U_{\alpha }}$

โดยทั่วไปแล้ว คัฟเวอร์จะใช้ในบริบทของโทโพโลยีหากเซตเป็นปริภูมิโทโพโลยีคัฟเวอร์ของคือชุดของเซตย่อยของ ซึ่งผลรวมของ เซตย่อยเหล่านั้นคือปริภูมิทั้งหมดในกรณีนี้คัฟเวอร์เซตหรือเซตคัฟเวอร์เซต^{[ 1 ]}${\displaystyle X}$${\displaystyle C}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \{U_{\alpha }\}_{\alpha \in A}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X=\bigcup _{\alpha \in A}U_{\alpha }}$${\displaystyle C}$${\displaystyle X}$${\displaystyle U_{\alpha }}$${\displaystyle X}$

ถ้าเป็นปริภูมิย่อย (เชิงทอพอโลยี) ของแล้ว การคลุมของคือกลุ่มของเซตย่อยของ ซึ่งผลรวมของ เซตย่อยเหล่านั้นประกอบด้วยนั่นคือเป็นการคลุมของถ้า ในที่นี้อาจถูกคลุมด้วยเซต ในตัวมันเอง หรือเซต ในปริภูมิแม่ก็ได้ ${\displaystyle Y}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle C=\{U_{\alpha }\}_{\alpha \in A}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle C}$${\displaystyle Y}$$${\displaystyle Y\subseteq \bigcup _{\alpha \in A}U_{\alpha }.}$$${\displaystyle Y}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle X}$

กล่าวได้ว่าการปกคลุมของ เป็น แบบจำกัดเฉพาะที่ถ้าทุกจุดของมีบริเวณใกล้เคียงที่ตัดกับเซตในปกคลุม เพียง จำนวนจำกัดเท่านั้น กล่าว คือ เป็นแบบจำกัดเฉพาะที่ ถ้าสำหรับ ใดๆ จะมีบริเวณใกล้เคียงของ อยู่บางบริเวณ ที่ทำให้เซต เป็นแบบจำกัด การปกคลุมของกล่าวได้ว่าเป็นแบบจำกัดจุดถ้าทุกจุดของบรรจุอยู่ในเซตในปกคลุมเพียงจำนวนจำกัดเท่านั้น^{[ 1 ]}การปกคลุมเป็นแบบจำกัดจุด ถ้าเป็นแบบจำกัดเฉพาะที่ แม้ว่าในทางกลับกันจะไม่จำเป็นต้องเป็นจริงเสมอไป ${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle C=\{U_{\alpha }\}}$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle N(x)}$${\displaystyle x}$$${\displaystyle \left\{\alpha \in A:U_{\alpha }\cap N(x)\neq \varnothing \right\}}$$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$

ให้เป็นการปกคลุมของปริภูมิเชิงทอพอโลยีการปกคลุมย่อยของคือเซตย่อยของที่ยังคงปกคลุมการปกคลุมนี้เรียกว่า เป็นการปกคลุมย่อย${\displaystyle C}$${\displaystyle X}$${\displaystyle C}$${\displaystyle C}$${\displaystyle X}$${\displaystyle C}$ครอบคลุมแบบเปิดหากสมาชิกแต่ละตัวเป็นเซตเปิดนั่นคือ แต่ละตัวบรรจุอยู่ในโดยที่คือโทโพโลยีบน ^{[ 1 ]}${\displaystyle U_{\alpha }}$${\displaystyle T}$${\displaystyle T}$${\displaystyle X}$

วิธีง่ายๆ ในการหาซับคัฟเวอร์คือการละเว้นเซตที่อยู่ในเซตอื่นในคัฟเวอร์ พิจารณาคัฟเวอร์แบบเปิดโดยเฉพาะ ให้เป็นฐานทางทอพอโลยีของและเป็นคัฟเวอร์แบบเปิดของ ก่อนอื่น ให้เลือกจากนั้นเป็นการปรับปรุงของต่อไป สำหรับแต่ละสามารถเลือกที่มี(ซึ่งต้องใช้สัจพจน์ของการเลือก) จากนั้นเป็นซับคัฟเวอร์ของดังนั้น จำนวนสมาชิกของซับคัฟเวอร์ของคัฟเวอร์แบบเปิดจึงสามารถน้อยเท่ากับจำนวนสมาชิกของฐานทางทอพอโลยีใดๆ ดังนั้น ความสามารถในการนับครั้งที่สองจึงหมายความว่าปริภูมิเป็นปริภูมิ Lindelöf${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\คณิตศาสตร์ {O}}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {A}}=\{A\in {\mathcal {B}}:{\text{ มี }}U\in {\mathcal {O}}{\text{ ที่ทำให้ }}A\subseteq U\}}$${\displaystyle {\mathcal {A}}}$${\displaystyle {\คณิตศาสตร์ {O}}}$${\displaystyle A\in {\mathcal {A}},}$${\displaystyle U_{A}\in {\mathcal {O}}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle {\mathcal {C}}=\{U_{A}\in {\mathcal {O}}:A\in {\mathcal {A}}\}}$${\displaystyle {\mathcal {O}}.}$

การปรับปรุงการปกคลุมของปริภูมิเชิงทอพอโลยีคือการปกคลุมแบบใหม่ของ ปริภูมิเชิง ทอพอโลยี โดยที่ทุกเซตในปริภูมิเชิงทอพอโลยีจะบรรจุอยู่ในบางเซตในปริภูมิเชิงทอพอโลยี ในทางรูปธรรม ${\displaystyle C}$${\displaystyle X}$${\displaystyle D}$${\displaystyle X}$${\displaystyle D}$${\displaystyle C}$

${\displaystyle D=\{V_{\beta }\}_{\beta \in B}}$เป็นการปรับปรุงเพิ่มเติมของเงื่อนไขที่ว่า สำหรับทุก ๆ สิ่งนั้นมีอยู่จริงโดยที่${\displaystyle C=\{U_{\alpha }\}_{\alpha \in A}}$${\displaystyle \beta \in B}$${\displaystyle \alpha \in A}$${\displaystyle V_{\beta }\subseteq U_{\alpha }.}$

^{กล่าวอีกนัยหนึ่ง คือ}มีแผนที่การปรับปรุง ที่สอดคล้องกับทุกๆแผนที่นี้ถูกใช้ ตัวอย่างเช่น ใน โคฮอโมโลยี Čechของ[ ^{2 ]}${\displaystyle \phi :B\to A}$${\displaystyle V_{\beta }\subseteq U_{\phi (\beta )}}$${\displaystyle \beta \in B.}$${\displaystyle X}$

ทุกชุดย่อยล้วนเป็นการปรับปรุงให้ดียิ่งขึ้น แต่ในทางกลับกันนั้นไม่เสมอไป ชุดย่อยสร้างขึ้นจากชุดที่อยู่ในชุดหลัก แต่ละเว้นบางส่วน ในขณะที่การปรับปรุงให้ดียิ่งขึ้นสร้างขึ้นจากชุดใดๆ ก็ตามที่เป็นส่วนย่อยของชุดที่อยู่ในชุดหลัก

ความสัมพันธ์ของการปรับแต่งบนเซตของตัวปกคลุมของเป็น แบบถ่ายทอดและสะท้อนกลับ กล่าวคือ เป็นพรีออร์เดอร์มันจะไม่สมมาตรสำหรับ${\displaystyle X}$${\displaystyle X\neq \emptyset }$

โดยทั่วไปแล้ว การปรับปรุงโครงสร้างที่กำหนดไว้ คือการปรับปรุงโครงสร้างอื่นที่ในบางแง่มีโครงสร้างนั้นอยู่ด้วย ตัวอย่างเช่น การแบ่งช่วง (การปรับปรุงอย่างหนึ่งของช่วง) การพิจารณาโทโพโลยี ( โทโพโลยีมาตรฐานในปริภูมิยุคลิดเป็นการปรับปรุงโทโพโลยีแบบธรรมดา ) เมื่อแบ่งย่อยคอมเพล็กซ์เชิง ซิมพลิเชียล ( การแบ่งย่อยแบบแบรีเซนทริกครั้งแรกของคอมเพล็กซ์เชิงซิมพลิเชียลเป็นการปรับปรุง) สถานการณ์จะแตกต่างออกไปเล็กน้อย: ซิมเพล็กซ์ ทุกตัว ในคอมเพล็กซ์ที่ละเอียดกว่าเป็นหน้าของซิมเพล็กซ์บางตัวในคอมเพล็กซ์ที่หยาบกว่า และทั้งสองมีรูปทรงหลายเหลี่ยมพื้นฐานที่เท่ากัน ${\displaystyle a_{0}<a_{1}<\cdots <a_{n}}$${\displaystyle a_{0}<b_{0}<a_{1}<a_{2}<\cdots <a_{n-1}<b_{1}<a_{n}}$

แนวคิดอีกประการหนึ่งของการปรับปรุงให้ดียิ่งขึ้นคือการปรับปรุงให้ดียิ่งขึ้นในระดับดาวเด่น

ภาษาของการปกคลุมมักถูกนำมาใช้เพื่อกำหนดคุณสมบัติทางโทโพโลยีหลายประการที่เกี่ยวข้องกับความกะทัดรัด ปริภูมิทางโทโพโลยีกล่าวได้ว่าคือ: ${\displaystyle X}$

• กระชับหากทุกการปกคลุมแบบเปิดมีการปกคลุมย่อยแบบจำกัด (หรือเทียบเท่ากับว่าทุกการปกคลุมแบบเปิดมีการปรับละเอียดแบบจำกัด)
• Lindelöfถ้าทุกปกเปิดมี ปกย่อย ที่นับได้ (หรือเทียบเท่ากับว่าทุกปกเปิดมีการปรับแต่งที่นับได้)
• เมตาคอมแพ็กต์ : ถ้าการคลุมแบบเปิดทุกแบบมีการปรับปรุงแบบเปิดที่มีจุดจำกัด
• พาราคอมแพ็กต์ : ถ้าการคลุมแบบเปิดทุกรูปแบบยอมรับการปรับปรุงแบบเปิดที่มีขอบเขตจำกัดในระดับท้องถิ่น และ
• ออร์โธคอมแพคต์ : หากฝาครอบแบบเปิดทุกชิ้นมีการปรับแต่งแบบเปิดที่ช่วยรักษาโครงสร้างภายในไว้

สำหรับรูปแบบอื่นๆ เพิ่มเติม โปรดดูบทความด้านบน

กล่าวได้ว่าปริภูมิเชิงทอพอโลยี มี มิติการครอบคลุมหากการครอบคลุมแบบเปิดทุกแบบของมีการปรับปรุงแบบเปิดที่มีจุดจำกัด โดยที่ไม่มีจุดใดของรวมอยู่ในเซตมากกว่าในการปรับปรุง และหากเป็นค่าต่ำสุดที่ทำให้สิ่งนี้เป็นจริง^{[ 3 ]}หากไม่มีค่าต่ำสุดดังกล่าว ปริภูมิจะเรียกว่ามีมิติการครอบคลุมอนันต์ ${\displaystyle X}$${\displaystyle n}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle n+1}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$

• แผนที่แอตลาส (โทโพโลยี)  – ชุดแผนภูมิที่อธิบายแมนิโฟลด์
• บอร์โนโลยี  – การสรุปเชิงคณิตศาสตร์ของความมีขอบเขต
• พื้นที่ครอบคลุม  – แผนที่ต่อเนื่องประเภทหนึ่งในโทโพโลยี
• โทโพโลยีของ Grothendieck  – โครงสร้างทางคณิตศาสตร์
• การแบ่งเซต  – วิธีทางคณิตศาสตร์ในการจัดกลุ่มสมาชิกของเซต
• ปัญหาเซตคลุม  – ปัญหาคลาสสิกในคณิตศาสตร์เชิงการจัดเรียง
• การขัดเกลาดาว
• การปูรองพื้น  – วัตถุทางเรขาคณิต

• "การครอบคลุม (ของเซต)" , สารานุกรมคณิตศาสตร์ , EMS Press , 2001 [1994]