ในทางคณิตศาสตร์โดยเฉพาะอย่างยิ่งในการศึกษาโทโพโลยีและการปกคลุมแบบเปิดของปริภูมิโทโพโลยีXการปรับปรุงแบบดาว (star refinement)เป็นการปรับปรุงชนิดหนึ่งของการปกคลุมแบบเปิดของXคำนี้มีความหมายคล้ายกันแต่แตกต่างกันสองแบบ คำที่เกี่ยวข้องซึ่งบางครั้งใช้เพื่อแยกแยะคุณสมบัติที่อ่อนกว่าของสองคุณสมบัตินี้คือแนวคิดของการปรับปรุงแบบแบรีเซนทริก (barycentric refinement )

การปรับปรุงแบบดาว (Star refinements) ถูกนำมาใช้ในการกำหนดนิยามของปริภูมิปกติโดยสมบูรณ์ (fully normal space)ในการกำหนดนิยามของปริภูมิพาราคอมแพ็กต์อย่างเข้มแข็ง (strongly paracompact space ) และในสูตรเทียบเท่าหลายสูตรของปริภูมิเอกรูป (uniform space )

นิยามทั่วไปนี้ใช้ได้กับการคลุมแบบใดก็ได้ และไม่จำเป็นต้องใช้โทโพโลยี ให้เป็นเซต และให้เป็นการคลุมของเซตนั้น กล่าวคือกำหนดให้เซตย่อยของเซตดาวของ เซตนั้น สัมพันธ์กับ เซตนั้น คือการรวมกันของเซตทั้งหมดที่ตัดกันกล่าวคือ ${\displaystyle X}$${\displaystyle {\คณิตศาสตร์ {U}}}$${\displaystyle X,}$${\textstyle X=\bigcup {\คณิตศาสตร์ {U}}.}$${\displaystyle S}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle S}$${\displaystyle {\คณิตศาสตร์ {U}}}$${\displaystyle U\in {\mathcal {U}}}$${\displaystyle S,}$$${\displaystyle \operatorname {st} (S,{\mathcal {U}})=\bigcup {\big \{}U\in {\mathcal {U}}:S\cap U\neq \varnothing {\big \}}.}$$

เมื่อกำหนดจุดแล้วเราจะเขียนแทนที่จะเขียนว่า${\displaystyle x\in X,}$${\displaystyle \operatorname {st} (x,{\mathcal {U}})}$${\displaystyle \operatorname {st} (\{x\},{\mathcal {U}}).}$

การครอบคลุมของเป็นการปรับปรุงการครอบคลุมของถ้าทุกๆอยู่ใน บางอย่าง ต่อไปนี้เป็นการปรับปรุงพิเศษสองประเภท การครอบคลุมเรียกว่าการปรับปรุงแบบแบรีเซนทริกของ ถ้าสำหรับทุกๆ ดาว อยู่ใน บางอย่าง [ 1 ] [ 2 ] การครอบคลุมเรียกว่าการปรับปรุงแบบดาวของ^{ถ้าสำหรับทุกๆดาวอยู่ใน} บางอย่าง[ 3 ] [ 2 ^{]พื้นที่เรียกว่าปกติอย่าง} สมบูรณ์ถ้าการครอบคลุมแบบเปิดทุกแบบของมีการปรับปรุงแบบเปิดแบบแบรีเซนทริก ${\displaystyle {\คณิตศาสตร์ {U}}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\คณิตศาสตร์ {V}}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle U\in {\mathcal {U}}}$${\displaystyle V\in {\คณิตศาสตร์ {V}}.}$${\displaystyle {\คณิตศาสตร์ {U}}}$${\displaystyle {\คณิตศาสตร์ {V}}}$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle \operatorname {st} (x,{\mathcal {U}})}$${\displaystyle V\in {\คณิตศาสตร์ {V}}.}$${\displaystyle {\คณิตศาสตร์ {U}}}$${\displaystyle {\คณิตศาสตร์ {V}}}$${\displaystyle U\in {\mathcal {U}}}$${\displaystyle \operatorname {st} (U,{\mathcal {U}})}$${\displaystyle V\in {\คณิตศาสตร์ {V}}.}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$

มีอีกแนวคิดหนึ่งที่เกี่ยวข้องแต่แตกต่างกันออกไป การคลุมแบบเปิดเรียกว่าเป็นแบบดาวจำกัด ( star-finite) ถ้าสมาชิกแต่ละตัวของ การคลุมแบบเปิดนั้น พบกับสมาชิกของการคลุมแบบเปิดเพียงจำนวนจำกัดเท่านั้นส่วนปริภูมิหนึ่งเรียกว่าเป็น แบบพาราคอมแพ็กต์ อย่างเข้มแข็ง (strongly paracompact)ถ้าการคลุมแบบเปิดทุกตัวของการคลุมแบบเปิดนั้นมีการปรับปรุงแบบเปิดที่เป็นแบบดาวจำกัด (star-finite open refinement) ${\displaystyle U\in {\mathcal {U}}}$${\displaystyle {\คณิตศาสตร์ {U}}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$

การปรับแต่งดาวทุกครั้งของปกเป็นการปรับแต่งแบบแบรีเซนทริกของปกนั้น ในทางกลับกันนั้นไม่เป็นความจริง แต่การปรับแต่งแบบแบรีเซนทริกของการปรับแต่งแบบแบรีเซนทริกเป็นการปรับแต่งดาว^{[ 4 ] [ 5 ] [ 6 ] [ 7 ]}

กำหนดให้ปริภูมิเมตริก เป็นเซตของลูกบอลเปิดทั้งหมดที่มีรัศมีคงที่ เซตนี้เป็นการปรับแต่งแบบแบรีเซนทริกของและเซตนี้เป็นการปรับแต่งแบบสตาร์ของ${\displaystyle X,}$${\displaystyle {\mathcal {V}}=\{B_{\epsilon }(x):x\in X\}}$${\displaystyle B_{\epsilon }(x)}$${\displaystyle \epsilon >0.}$${\displaystyle {\mathcal {U}}=\{B_{\epsilon /2}(x):x\in X\}}$${\displaystyle {\คณิตศาสตร์ {V}},}$${\displaystyle {\mathcal {W}}=\{B_{\epsilon /3}(x):x\in X\}}$${\displaystyle {\คณิตศาสตร์ {V}}.}$

ตามทฤษฎีบทของ AH Stone สำหรับปริภูมิT ₁การเป็นปริภูมิปกติสมบูรณ์และการเป็นปริภูมิพาราคอมแพ็กต์นั้นเทียบเท่ากัน นี่เป็นทฤษฎีบทสำคัญและเป็นบทพิสูจน์แรกที่แสดงว่าปริภูมิเมตริกเป็นปริภูมิพาราคอมแพ็กต์ การพิสูจน์นั้นยาก แต่ต่อมาได้มีการพิสูจน์ที่ง่ายกว่าเกี่ยวกับการเป็นปริภูมิพาราคอมแพ็กต์ของปริภูมิเมตริก

มีปริภูมิพาราคอมแพ็กต์ที่ไม่เป็นพาราคอมแพ็กต์อย่างเข้มแข็ง^{[ 8 ]} ปริภูมิเมตริกที่แยกได้ในระดับท้องถิ่นทุกปริภูมิเป็นพาราคอมแพ็กต์อย่างเข้มแข็ง ในทางกลับกัน ปริภูมิเมตริกที่เชื่อมต่อกันและเป็นพาราคอมแพ็กต์อย่างเข้มแข็งทุกปริภูมิสามารถแยกได้ ดังนั้นปริภูมิบานาค ที่ไม่สามารถแยกได้จึง เป็นตัวอย่างทั่วไปของปริภูมิเมตริกที่ไม่เป็นพาราคอมแพ็กต์อย่างเข้มแข็ง ${\displaystyle T_{1}}$

• กลุ่มของเซต  – การรวบรวมเซตหรือเซตย่อยของเซตใดๆ