ในทางคณิตศาสตร์มิติการครอบคลุมของเลเบสหรือมิติเชิงโทโพโลยีของปริภูมิเชิงโทโพโลยีเป็นหนึ่งในหลายวิธีที่แตกต่างกันในการกำหนดมิติของปริภูมิใน ลักษณะที่ไม่เปลี่ยนแปลงเชิงโทโพโลยี^{[ 1 ] [ 2 ]}

สำหรับปริภูมิยูคลิด ทั่วไป มิติการครอบคลุมของเลเบสก็คือมิติยูคลิดทั่วไปนั่นเอง กล่าวคือ ศูนย์สำหรับจุด หนึ่งสำหรับเส้นตรง สองสำหรับระนาบ และอื่นๆ อย่างไรก็ตาม ปริภูมิเชิงทอพอโลยีบางปริภูมิไม่ได้มีมิติที่ "ชัดเจน" แบบนี้ ดังนั้นจึงจำเป็นต้องมีคำจำกัดความที่แม่นยำในกรณีดังกล่าว คำจำกัดความนี้เริ่มต้นด้วยการตรวจสอบสิ่งที่เกิดขึ้นเมื่อปริภูมิถูกครอบคลุมด้วยเซตเปิด

โดยทั่วไปแล้ว ปริภูมิเชิงทอพอโลยีXสามารถถูกคลุมด้วยเซตเปิดได้กล่าวคือ เราสามารถหาชุดของเซตเปิดที่ทำให้Xอยู่ภายในผลรวมของเซต เหล่านั้น ได้ มิติการคลุมคือจำนวนที่เล็กที่สุดnที่ทำให้สำหรับการคลุมทุกแบบ มีการปรับปรุงเพิ่มเติมที่ทำให้ทุกจุดในXอยู่ในจุดตัดของเซตคลุมไม่เกินn + 1 เซต นี่คือสาระสำคัญของนิยามอย่างเป็นทางการด้านล่าง เป้าหมายของนิยามนี้คือการให้จำนวน ( จำนวนเต็ม ) ที่อธิบายปริภูมิ และไม่เปลี่ยนแปลงเมื่อปริภูมิถูกบิดเบี้ยวอย่างต่อเนื่อง กล่าวคือ เป็นจำนวนที่ไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้การแปลงโฮมีโอเมอร์ฟิซึม

แนวคิดหลักแสดงให้เห็นได้จากแผนภาพด้านล่าง ซึ่งแสดงการหุ้มและการปรับแต่งรูปทรงวงกลมและสี่เหลี่ยม

ภาพแรกแสดงการปรับแต่ง (ด้านล่าง) ของวงกลมสีดำที่มีสี (ด้านบน) โปรดสังเกตว่าในการปรับแต่งนั้น ไม่มีจุดใดบนวงกลมที่อยู่ในเซตมากกว่าสองเซต และเซตต่างๆ เชื่อมต่อกันเพื่อสร้างเป็น "ห่วงโซ่"

ภาพที่สองส่วนบนแสดงให้เห็นถึงหน้าตัด (สี) ของรูปทรงระนาบ (สีเข้ม) โดยที่จุดทั้งหมดของรูปทรงนั้นอยู่ในเซตตั้งแต่หนึ่งถึงสี่เซตของหน้าตัดนั้น ส่วนล่างแสดงให้เห็นว่าความพยายามใดๆ ในการปรับแต่งหน้าตัดดังกล่าวเพื่อให้ไม่มีจุดใดอยู่ในเซตมากกว่าสองเซตนั้น ในที่สุดก็จะล้มเหลวที่จุดตัดของขอบเขตเซต ดังนั้น รูปทรงระนาบจึงไม่ใช่ "ใยแมงมุม" กล่าวคือ มันไม่สามารถถูกปกคลุมด้วย "โซ่" ได้โดยตรง แต่กลับมีความหนาในบางแง่ กล่าวอย่างเคร่งครัดกว่านั้น มิติทางโทโพโลยีของมันต้องมากกว่า 1

นิยามอย่างเป็นทางการแรกของมิติการครอบคลุมนั้นกำหนดโดยEduard Čechโดยอิงจากผลลัพธ์ก่อนหน้านี้ของHenri Lebesgue ^{[ 4 ]}

นิยามสมัยใหม่มีดังนี้ การคลุมแบบเปิดของปริภูมิเชิงทอพอโลยีXคือตระกูลของเซตเปิด ที่ไม่ว่าง U _αซึ่งไม่มีเซตเปิดสองเซตใดที่เท่ากัน และผลรวมของเซตเปิดเหล่านั้นคือปริภูมิทั้งหมดU α = X ลำดับหรือ_ชั้นของการคลุมแบบเปิด = { U _α } คือจำนวนน้อยที่สุดm (ถ้ามี) ซึ่งแต่ละจุดในปริภูมิเป็นสมาชิกของเซตเปิดที่แตกต่างกันไม่เกินmเซตในการคลุม กล่าวอีกนัยหนึ่งคือU _{α 1} ∩ ⋅⋅⋅ ∩ U _{α m +1} = สำหรับทุกๆ m+1 สมาชิกเปิดที่แตกต่างกันU _{α I}ของการคลุมXการปรับปรุงการคลุมแบบเปิด= { U _α } คือการคลุมแบบเปิดอีกแบบหนึ่ง= { V _β } ซึ่งแต่ละV _βบรรจุอยู่ในU _α บาง เซต มิติการครอบคลุมของปริภูมิเชิงทอพอโลยีXถูกกำหนดให้เป็นค่าต่ำสุดของnโดยที่การครอบคลุมแบบเปิดจำกัด (?) ของX ทุกอัน จะมีการปรับปรุงแบบเปิดที่มีลำดับn + 1 การปรับปรุงสามารถเลือกให้เป็นแบบจำกัดได้เสมอ^{[ 5 ]}ดังนั้น ถ้าnเป็นแบบจำกัดV _{β 1} ∩ ⋅⋅⋅ ∩ V _{β n +2} = สำหรับβ ₁ , ..., β _{n +2 ที่แตกต่างกัน หากไม่มีค่า} nต่ำสุดดังกล่าว ปริภูมิจะเรียกว่ามีมิติการครอบคลุมอนันต์ ${\displaystyle {\mathfrak {A}}}$${\displaystyle \cup _{\alpha }}$${\displaystyle {\mathfrak {A}}}$${\displaystyle \emptyset }$${\displaystyle {\mathfrak {A}}}$${\displaystyle {\mathfrak {B}}}$${\displaystyle {\mathfrak {A}}}$${\displaystyle {\mathfrak {B}}}$${\displaystyle {\mathfrak {B}}}$${\displaystyle \emptyset }$

ในกรณีพิเศษ ปริภูมิเชิงทอพอโลยีที่ไม่ว่างเปล่าจะมีมิติเป็นศูนย์เมื่อเทียบกับมิติการปกคลุม หากการปกคลุมแบบเปิดทุกชุดของปริภูมินั้นมีการปรับละเอียดที่ประกอบด้วย เซตเปิด ที่ไม่ซ้ำกันซึ่งหมายความว่าจุดใดๆ ในปริภูมินั้นจะอยู่ในเซตเปิดเพียงเซตเดียวของการปรับละเอียดนี้

เซตว่างมีมิติการครอบคลุมเท่ากับ −1: สำหรับการครอบคลุมแบบเปิดใดๆ ของเซตว่าง จุดแต่ละจุดของเซตว่างจะไม่ถูกบรรจุอยู่ในสมาชิกใดๆ ของการครอบคลุมนั้น ดังนั้นอันดับของการครอบคลุมแบบเปิดใดๆ จึงเป็น 0

ส่วนคลุมแบบเปิดใดๆ ของวงกลมหน่วยจะมีการปรับปรุงให้ละเอียดขึ้นโดยประกอบด้วยชุดของส่วน โค้ง แบบเปิดวงกลมมีมิติหนึ่งตามนิยามนี้ เพราะส่วนคลุมดังกล่าวสามารถปรับปรุงให้ละเอียดขึ้นได้อีกจนถึงขั้นที่จุดx ใดๆ บนวงกลมถูกบรรจุอยู่ใน ส่วนโค้งแบบเปิด อย่างมากที่สุดสองส่วน นั่นคือ ไม่ว่าเราจะเริ่มต้นด้วยชุดของส่วนโค้งแบบใด บางส่วนสามารถถูกตัดทิ้งหรือย่อขนาดลงได้ เพื่อให้ส่วนที่เหลือยังคงครอบคลุมวงกลม แต่เป็นการทับซ้อนกันแบบง่ายๆ

ในทำนองเดียวกัน การครอบคลุมแบบเปิดใดๆ ของวงกลมหน่วย ใน ระนาบสองมิติสามารถปรับให้ละเอียดขึ้นได้ โดยที่จุดใดๆ บนวงกลมจะอยู่ในเซตเปิดไม่เกินสามเซต ในขณะที่สองเซตโดยทั่วไปไม่เพียงพอ ดังนั้น มิติการครอบคลุมของวงกลมจึงเท่ากับสอง

โดยทั่วไปแล้วปริภูมิยูคลิดnมิติจะมีมิติการครอบคลุมเท่ากับ n${\displaystyle \mathbb {E} ^{n}}$

• ปริภูมิ โฮมีโอเมอร์ฟิกมีมิติการปกคลุมเท่ากัน กล่าวคือ มิติการปกคลุมเป็นค่าคงที่ทางโทโพโลยี
• มิติการครอบคลุมของปริภูมิปกติXจะเป็นก็ต่อเมื่อสำหรับเซตย่อยปิดA ใดๆ ของXถ้าเป็นฟังก์ชันต่อเนื่อง แล้ว จะมีการขยาย จากไปยังโดยที่คือทรงกลมnมิติ${\displaystyle \leq n}$${\displaystyle f:A\rightarrow S^{n}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle g:X\rightarrow S^{n}}$${\displaystyle S^{n}}$
• ทฤษฎีบทของ Ostrand เกี่ยวกับมิติการครอบคลุม ถ้าXเป็นปริภูมิโทโพโลยีปกติและ= { U _α } เป็นการครอบคลุมX ที่มีขอบเขตจำกัดเฉพาะที่ ซึ่งมีอันดับ ≤ n + 1 แล้ว สำหรับแต่ละ 1 ≤ i ≤ n + 1 จะมีตระกูลของเซตเปิดที่ไม่ทับซ้อนกันเป็นคู่ๆ_i = { V _{i , α} } ที่หด ตัว กล่าว คือV _{i , α} ⊆ U _αและครอบคลุมX ร่วม กัน ^{[ 6 ]}${\displaystyle {\mathfrak {A}}}$${\displaystyle {\mathfrak {B}}}$${\displaystyle {\mathfrak {A}}}$

• สำหรับปริภูมิพาราคอมแพ็กต์Xมิติการครอบคลุมสามารถกำหนดได้อย่างเทียบเท่ากับค่าต่ำสุดของnโดยที่การครอบคลุมแบบเปิดทุกแบบของX (ไม่ว่าจะมีขนาดเท่าใด) จะมีการปรับปรุงแบบเปิดที่มีลำดับn + 1 ^{[ 7 ]}โดยเฉพาะอย่างยิ่ง สิ่งนี้ใช้ได้กับปริภูมิเมตริกทั้งหมด${\displaystyle {\mathfrak {A}}}$${\displaystyle {\mathfrak {B}}}$
• ทฤษฎีบทการปกคลุมของเลเบส:มิติการปกคลุมของเลเบสตรงกับมิติเชิงเส้นของคอมเพล็กซ์เชิงซิมพลิ เชีย ล จำกัด
• มิติการครอบคลุมของพื้นที่ปกติจะมีค่าน้อยกว่าหรือเท่ากับมิติการเหนี่ยวนำขนาด ใหญ่
• มิติการครอบคลุมของปริภูมิHausdorff พาราคอมแพ็ก ต์มีค่ามากกว่าหรือเท่ากับมิติโคฮอโมโลจิคัล (ในความหมายของชีฟ ) ^{[ 8 ]}กล่าวคือสำหรับทุกชีฟของกลุ่มอาเบลบนและทุกค่าที่มากกว่ามิติการครอบคลุมของ${\displaystyle X}$${\displaystyle H^{i}(X,A)=0}$${\displaystyle A}$${\displaystyle X}$${\displaystyle i}$${\displaystyle X}$
• ในปริภูมิเมตริกเราสามารถเสริมแนวคิดเรื่องความหลากหลายของการปกคลุมได้ กล่าวคือ การปกคลุมจะมีr -multiplicity เท่ากับ n + 1ถ้า ทรงกลม r ทุก ลูกตัดกับเซตในปกคลุมอย่างมากที่สุดn + 1เซต แนวคิดนี้นำไปสู่คำจำกัดความของมิติเชิงอะซิมโทติกและมิติของอัสซูอัด-นากาตะของปริภูมิ กล่าวคือ ปริภูมิที่มีมิติเชิงอะซิมโทติกเท่ากับnคือ ปริภูมิ nมิติ "ในระดับใหญ่" และปริภูมิที่มีมิติของอัสซูอัด-นากาตะเท่ากับnคือ ปริภูมิ nมิติ "ในทุกระดับ"

• ทฤษฎีบทส่วนขยายของคาราเธโอโดรี
• ปัญหาการครอบคลุมเซตเรขาคณิต
• พื้นที่เมตาคอมแพ็กต์
• คอลเลกชันจุดจำกัด

• คาร์ล เมนเกอร์ , พื้นที่ทั่วไปและพื้นที่คาร์ทีเซียน (1926) การสื่อสารไปยังสถาบันวิทยาศาสตร์แห่งอัมสเตอร์ดัม ฉบับแปลภาษาอังกฤษพิมพ์ซ้ำในClassics on Fractals , บรรณาธิการโดย เจอรัลด์ เอ. เอ็ดการ์, สำนักพิมพ์แอดดิสัน-เวสลีย์ (1993) ISBN 0-201-58701-7
• Karl Menger , Dimensionstheorie , (1928) สำนักพิมพ์ BG Teubner, ไลพ์ซิก

• Pears, Alan R. (1975). ทฤษฎีมิติของปริภูมิทั่วไป . สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยเคมบริดจ์ . ISBN 0-521-20515-8MR 0394604​ ​
• VV Fedorchuk, The Fundamentals of Dimension Theory , ปรากฏในEncyclopaedia of Mathematical Sciences, Volume 17, General Topology I , (1993) AV Arkhangel'skii and LS Pontryagin (Eds.), Springer-Verlag, Berlin ISBN 3-540-18178-4.

• "มิติของเลเบส" , สารานุกรมคณิตศาสตร์ , EMS Press , 2001 [1994]