ในทางคณิตศาสตร์ n - sphereหรือhypersphereคือ การขยาย ทั่วไปของวงกลม n มิติและทรง${\displaystyle n}$กลมn มิติไปยังจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบใดๆ ในมิติn${\displaystyle 1}$${\displaystyle 2}$${\displaystyle n}$

วงกลมถือเป็นรูปทรง 1 มิติและทรงกลมเป็นรูปทรง 2 มิติเนื่องจากจุดภายในวงกลมและทรงกลมมีองศาอิสระ 1 และ 2 ตามลำดับ อย่างไรก็ตามการฝัง ตัว ของวงกลม 1 มิติโดยทั่วไปจะอยู่ในพื้นที่ 2 มิติ ทรงกลม 2 มิติโดยทั่วไปจะแสดงภาพฝังตัวอยู่ในพื้นที่ 3 มิติและ ทรงกลม n มิติโดยทั่วไป จะฝังตัวอยู่ใน พื้นที่ n มิติคำว่าไฮ${\displaystyle n}$เปอร์สเฟียร์ มักใช้เพื่อแยกแยะทรงกลมมิติnซึ่งฝังตัวอยู่ในพื้นที่มิติn ซึ่ง หมายความว่าไม่สามารถมองเห็นได้ง่ายทรงกลม n มิติเป็นการตั้งค่าสำหรับเรขาคณิตทรงกลมn มิติ${\displaystyle n+1}$${\displaystyle n\geq 3}$${\displaystyle n+1\geq 4}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$

เมื่อพิจารณาจากภายนอก ใน ฐานะ พื้นผิวที่ฝังอยู่ในปริภูมิ${\displaystyle (n+1)}$ยูคลิดมิติnทรงกลม n คือ${\displaystyle n}$ตำแหน่งของจุดที่อยู่ ห่างจาก จุดศูนย์กลาง ที่กำหนดเป็น ระยะทางเท่ากัน( รัศมี n ) ส่วนภายในของทรงกลม n ซึ่งประกอบด้วยจุดทั้งหมดที่อยู่ใกล้จุดศูนย์กลางมากกว่ารัศมี n คือทรงกลมมิติ n โดยเฉพาะอย่างยิ่ง: ${\displaystyle (n+1)}$

• ทรง กลม ⁠ ⁠${\displaystyle 0}$คือคู่ของจุดที่ปลายส่วนของเส้นตรง ( ⁠ ⁠${\displaystyle 1}$ทรงกลม )
• ทรง กลม ⁠ ⁠${\displaystyle 1}$คือวงกลมซึ่งเป็นเส้นรอบวงของแผ่นดิสก์ ( ทรงกลม ⁠ ⁠${\displaystyle 2}$ ) ในระนาบสองมิติ
• ทรง กลม ⁠ ⁠${\displaystyle 2}$ซึ่งมักเรียกง่ายๆ ว่าทรงกลม คือขอบเขตของ ทรงกลม ⁠ ⁠${\displaystyle 3}$ในพื้นที่สามมิติ
• ทรง กลม 3มิติเป็นขอบเขตของ ทรงกลม ⁠ ⁠ มิติ${\displaystyle 4}$ในปริภูมิสี่มิติ
• ทรง กลม ⁠ ⁠${\displaystyle (n-1)}$คือขอบเขตของทรงกลม⁠ ⁠${\displaystyle n}$

เมื่อกำหนดระบบพิกัดคาร์ทีเซียนแล้วทรงกลมหน่วย${\displaystyle n}$รัศมี⁠ ⁠${\displaystyle 1}$สามารถนิยามได้ดังนี้ :

${\displaystyle S^{n}=\left\{x\in \mathbb {R} ^{n+1}:\left\|x\right\|=1\right\}.}$

เมื่อพิจารณาจากแก่นแท้แล้วทรงกลม${\displaystyle n\geq 1}$ -sphere จะเป็น${\displaystyle n}$แมนิโฟลด์แบบรีมันน์ ที่ มีความโค้งคงที่เป็นบวกและสามารถกำหนดทิศทางได้เส้นทางจีโอเดสิกของทรงกลม-sphere${\displaystyle n}$เรียกว่าวงกลมใหญ่

การ ฉาย ภาพสเตอริโอกราฟิกจะแมปทรง กลม ⁠ ⁠${\displaystyle n}$ไปยัง ปริภูมิ ⁠ ⁠ โดยมี ${\displaystyle n}$จุดเชื่อมต่อเพียงจุดเดียว ที่อนันต์ ภาย ใต้เมตริกที่กำหนดไว้ดังกล่าวจะเป็นแบบจำลองสำหรับทรงกลม ⁠ ⁠${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\cup \{\infty \}}$${\displaystyle n}$

ในบริบททั่วไปของโทโพโลยีพื้นที่โทโพโลยีใดๆที่มีลักษณะสมมาตรกับทรงกลมหน่วย⁠ ⁠${\displaystyle n}$เรียกว่าทรงกลม ⁠ ⁠ ภายใต้${\displaystyle n}$การฉายภาพสเตอริโอกราฟิกแบบผกผัน ทรงกลม ⁠ ⁠คือการกระชับแบบจุดเดียวของพื้นที่⁠ ⁠ ทรงกลม ⁠ ⁠ยอมรับคำอธิบายทางโทโพโลยีอื่นๆ อีกหลายอย่าง เช่น สามารถสร้างได้โดยการเชื่อมต่อ พื้นที่ ⁠ ⁠มิติสองพื้นที่เข้าด้วยกัน โดยการระบุขอบเขตของลูกบาศก์⁠ ⁠กับจุด หรือ (โดยการอุปนัย) โดยการสร้างการแขวนลอยของ ทรง กลม⁠ ⁠ เมื่อ⁠ ⁠มันคือพื้นที่เชื่อมต่อแบบง่าย ทรง กลม⁠ ⁠ (วงกลม) ไม่ใช่พื้นที่เชื่อมต่อแบบง่าย ทรงกลม ⁠ ⁠ไม่ใช่พื้นที่เชื่อมต่อแบบคู่ ประกอบด้วยจุดสองจุดที่แยกจากกัน ${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle (n-1)}$${\displaystyle n\geq 2}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle 0}$

สำหรับจำนวนธรรมชาติ ใดๆ ⁠ ⁠${\displaystyle n}$ทรงกลม⁠${\displaystyle n}$ ⁠ ที่มีรัศมี⁠ ⁠${\displaystyle r}$ถูกกำหนดให้เป็นเซตของจุดในปริภูมิยูคลิด ⁠ ⁠ มิติที่${\displaystyle (n+1)}$อยู่ห่างจากจุดคงที่⁠ ⁠ บางจุด เป็นระยะทาง ⁠ ⁠โดยที่⁠ ⁠อาจเป็นจำนวนจริงบวก ใดๆ และ⁠ ⁠อาจเป็นจุดใดๆ ใน ปริภูมิ ⁠ ⁠มิติ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง: ${\displaystyle r}$${\displaystyle \mathbf {c} }$${\displaystyle r}$${\displaystyle \mathbf {c} }$${\displaystyle (n+1)}$

• ทรง กลม 0 คือคู่ของจุดและ${\displaystyle \{cr,c+r\}}$เป็นขอบเขตของส่วนของเส้นตรง ( ทรง กลม0${\displaystyle 1}$ )
• ทรงกลม1 มิติ คือวงกลมที่มีรัศมี⁠ ⁠${\displaystyle r}$โดยมีจุดศูนย์กลางอยู่ที่⁠ ⁠${\displaystyle \mathbf {c} }$และเป็นขอบเขตของดิสก์ ( ทรงกลม ⁠ ⁠${\displaystyle 2}$ )
• ทรงกลม2 มิติ คือ ทรงกลมธรรมดาn มิติ${\displaystyle 2}$ใน ปริภูมิยุคลิด n มิติและเป็นขอบเขตของลูกบอลธรรมดา ( ลูกบอล n มิติ )${\displaystyle 3}$${\displaystyle 3}$
• ทรงกลม3 มิติ คือ ทรงกลม n มิติ${\displaystyle 3}$ในปริภูมิยูคลิดn มิติ${\displaystyle 4}$

เซตของจุดในปริภูมิ⁠ ⁠ ${\displaystyle (n+1)}$,${\displaystyle (x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n+1})}$ที่กำหนดทรงกลม⁠ ${\displaystyle n}$⁠ ,${\displaystyle S^{n}(r)}$แสดงโดยสมการ:

${\displaystyle r^{2}=\sum _{i=1}^{n+1}(x_{i}-c_{i})^{2},}$

โดยที่⁠ ⁠${\displaystyle \mathbf {c} =(c_{1},c_{2},\ldots ,c_{n+1})}$เป็นจุดศูนย์กลาง และ⁠ ⁠${\displaystyle r}$คือรัศมี

ทรงกลมข้าง${\displaystyle n}$ต้นมีอยู่ใน ปริภูมิ ยุค ลิดมิติ${\displaystyle (n+1)}$และเป็นตัวอย่างของแมนิ${\displaystyle n}$โฟลด์รูปแบบปริมาตร${\displaystyle \omega }$ของทรงกลม${\displaystyle n}$รัศมีคือ${\displaystyle r}$

${\displaystyle \omega ={\frac {1}{r}}\sum _{j=1}^{n+1}(-1)^{j-1}x_{j}\,dx_{1}\wedge \cdots \wedge dx_{j-1}\wedge dx_{j+1}\wedge \cdots \wedge dx_{n+1}={\star }dr}$

ตัวดำเนินการดาว Hodgeอยู่ที่ไหนดูFlanders (1989 , §6.1) สำหรับการอภิปรายและการพิสูจน์สูตรนี้ในกรณี⁠ ⁠ . เป็นผลให้ ${\displaystyle {\star }}$${\displaystyle r=1}$

${\displaystyle dr\wedge \omega =dx_{1}\wedge \cdots \wedge dx_{n+1}.}$

พื้นที่ที่ล้อมรอบด้วย ทรงกลม ⁠ ⁠${\displaystyle n}$เรียกว่า⁠ ⁠${\displaystyle (n+1)}$ - ball ⁠ ⁠ -${\displaystyle (n+1)}$ ball จะปิดถ้ามันรวม ทรงกลม ⁠ ⁠${\displaystyle n}$ เข้าไปด้วย และจะเปิดถ้ามันไม่รวมทรงกลม ⁠ ⁠ เข้าไปด้วย${\displaystyle n}$

โดยเฉพาะอย่างยิ่ง:

• ⁠ ⁠ - ${\displaystyle 1}$ballซึ่งเป็นส่วนของเส้นตรงคือส่วนภายในของทรงกลม 0
• ทรงกลม- ${\displaystyle 2}$ทรงกลมคือส่วนภายในของวงกลม(ทรงกลม- ทรง กลม )${\displaystyle 1}$
• ลูกบอลทรงกลมธรรมดา${\displaystyle 3}$คือส่วนภายในของทรงกลม ( ทรงกลม${\displaystyle 2}$ )
• ⁠ ⁠ - ${\displaystyle 4}$ballคือส่วนภายในของทรงกลม3มิติเป็นต้น

ในทางโทโพโลยี ทรงกลม - สามารถ${\displaystyle n}$สร้างขึ้นได้จากการคอมแพ็กแบบจุดเดียวของปริภูมิยุคลิดมิติ - กล่าวโดยย่อ ทรงกลม- สามารถ${\displaystyle n}$อธิบายได้${\displaystyle n}$ว่าเป็น⁠ ⁠${\displaystyle S^{n}=\mathbb {R} ^{n}\cup \{\infty \}}$ซึ่งเป็น ปริภูมิยุค ลิดมิติ${\displaystyle n}$ - บวกกับจุดเดียวที่แสดงถึงอนันต์ในทุกทิศทาง โดยเฉพาะอย่างยิ่ง หากลบจุดเดียวออกจาก ทรง กลม-${\displaystyle n}$มันจะกลายเป็นโฮโมมอร์ฟิกกับซึ่งเป็นพื้นฐานสำหรับการฉายภาพสเตอริโอกราฟิก^{[ 1 ]}${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

ให้⁠ ⁠${\displaystyle S_{n-1}}$เป็นพื้นที่ผิวของทรงกลมหน่วย⁠ ⁠${\displaystyle (n-1)}$รัศมี⁠ ⁠${\displaystyle 1}$ที่ฝังอยู่ใน ปริภูมิยูคลิด มิติ ⁠ ⁠${\displaystyle n}$และให้⁠ ⁠${\displaystyle V_{n}}$เป็นปริมาตรภายในของทรงกลมหน่วย⁠ ⁠${\displaystyle n}$ทรงกลม พื้นที่ผิวของ ทรงกลม ⁠ ⁠${\displaystyle (n-1)}$ ทรงกลม ใดๆ จะเป็นสัดส่วนกับ กำลังที่ ⁠ ⁠${\displaystyle (n-1)}$ของรัศมี และปริมาตรของ ทรงกลม ⁠ ⁠${\displaystyle n}$ทรงกลม ใดๆ จะเป็นสัดส่วนกับ กำลังที่ ⁠ ⁠${\displaystyle n}$ของรัศมี

⁠ ⁠ -${\displaystyle 0}$ ball บางครั้งถูกนิยามว่าเป็นจุดเดียวการวัดเฮาส์ดอร์ฟ แบบ ⁠ ⁠${\displaystyle 0}$มิติคือจำนวนจุดในเซต ดังนั้น

${\displaystyle V_{0}=1.}$

ลูกบอลหน่วย-ball คือ${\displaystyle 1}$ส่วนของเส้นตรงที่มีจุดต่างๆ มีพิกัดเดียวในช่วงที่มีความยาว⁠ ⁠${\displaystyle [-1,1]}$และทรงกลม -sphere ประกอบด้วยจุดปลายทั้งสองของลูกบอลหน่วย-ball ${\displaystyle 2}$ซึ่งมี พิกัด ⁠ ⁠${\displaystyle 0}$${\displaystyle \{-1,1\}}$

${\displaystyle S_{0}=2,\quad V_{1}=2.}$

ทรงกลม${\displaystyle 1}$หน่วยคือวงกลมหน่วยในระนาบยุคลิด และส่วนภายในของทรงกลมหน่วยคือ ดิสก์หน่วย ( ทรง กลมหน่วย${\displaystyle 2}$ )

${\displaystyle S_{1}=2\pi ,\quad V_{2}=\pi .}$

ภายในทรงกลม 2 มิติในปริภูมิสามมิติ คือ ทรงกลม หน่วย⁠ ⁠${\displaystyle 3}$

${\displaystyle S_{2}=4\pi ,\quad V_{3}={\tfrac {4}{3}}\pi .}$

โดยทั่วไป⁠ ⁠${\displaystyle S_{n-1}}$และ⁠ ⁠${\displaystyle V_{n}}$จะแสดงในรูปแบบปิดด้วยนิพจน์ต่อไปนี้

${\displaystyle S_{n-1}={\frac {2\pi ^{n/2}}{\Gamma {\bigl (}{\frac {n}{2}}{\bigr )}}},\quad V_{n}={\frac {\pi ^{n/2}}{\Gamma {\bigl (}{\frac {n}{2}}+1{\bigr )}}}}$

โดยที่⁠ ⁠${\displaystyle \Gamma }$คือฟังก์ชันแกมมาโปรดสังเกตว่า ค่าของ ⁠ ⁠${\displaystyle \Gamma }$ที่จำนวนครึ่งจำนวนเต็มจะมีตัวประกอบ⁠ ⁠${\displaystyle {\sqrt {\pi }}}$ที่หักล้างกับตัวประกอบในตัวเศษ

เมื่อ⁠ ⁠${\displaystyle n}$เข้าใกล้อนันต์ ปริมาตรของลูกบอลหน่วย⁠ ⁠${\displaystyle n}$ (อัตราส่วนระหว่างปริมาตรของ ลูกบอล ⁠ ⁠${\displaystyle n}$ที่มีรัศมี⁠ ⁠${\displaystyle 1}$และลูกบาศก์⁠ ⁠ที่มีด้านยาว⁠ ⁠ ) เข้าใกล้ศูนย์^{[ 2 ]}${\displaystyle n}$${\displaystyle 1}$

พื้นที่ผิวหรือปริมาตรในมิติ⁠ ⁠ ของทรง ${\displaystyle n}$กลม⁠${\displaystyle n}$ ⁠ ที่ขอบของ ทรงกลม ⁠ ${\displaystyle (n+1)}$⁠${\displaystyle R}$ที่มีรัศมี⁠ ⁠นั้นสัมพันธ์กับปริมาตรของทรงกลมโดยสมการเชิงอนุพันธ์

${\displaystyle S_{n}R^{n}={\frac {dV_{n+1}R^{n+1}}{dR}}={(n+1)V_{n+1}R^{n}}.}$

ในทำนองเดียวกัน การแสดง ทรงกลม${\displaystyle n}$หน่วยเป็นผลรวมของเปลือกทรงกลมศูนย์กลาง${\displaystyle (n-1)}$ร่วม

${\displaystyle V_{n+1}=\int _{0}^{1}S_{n}r^{n}\,dr={\frac {1}{n+1}}S_{n}.}$

เราสามารถแทน ทรงกลม${\displaystyle (n+2)}$หน่วยได้ ด้วยผลรวมของผล คูณของวงกลม ( ทรง กลมหน่วย${\displaystyle 1}$ ) กับ ทรง กลมหน่วย${\displaystyle n}$ดังนั้นเนื่องจากสมการ${\displaystyle S_{n+2}=2\pi V_{n+1}}$${\displaystyle S_{1}=2\pi V_{0}}$

${\displaystyle S_{n+1}=2\pi V_{n}}$

ใช้ได้กับทุกกรณีพร้อม${\displaystyle n}$กับกรณีพื้นฐานที่กล่าว มาข้าง ${\displaystyle S_{0}=2}$ต้น ความสัมพันธ์เวียน เกิด${\displaystyle V_{1}=2}$เหล่านี้สามารถใช้คำนวณพื้นที่ผิวของทรงกลมใดๆ หรือปริมาตรของลูกบอลใดๆ ได้

เราอาจกำหนดระบบพิกัดใน ปริภูมิยูคลิดมิติ ⁠ ⁠ ซึ่ง${\displaystyle n}$คล้ายคลึงกับระบบพิกัดทรงกลมที่กำหนดไว้สำหรับ ปริภูมิยูคลิด มิติ⁠${\displaystyle 3}$ ⁠ ซึ่งพิกัดประกอบด้วยพิกัดรัศมี⁠ ⁠${\displaystyle r}$และพิกัดเชิงมุม⁠ ⁠ ${\displaystyle n-1}$โดยที่มุม ⁠ ⁠ มีค่าอยู่ใน${\displaystyle \varphi _{1},\varphi _{2},\ldots ,\varphi _{n-1}}$ช่วง⁠ ⁠ ${\displaystyle \varphi _{1},\varphi _{2},\ldots ,\varphi _{n-2}}$เรเดียน (หรือ⁠ ⁠องศา) และ⁠ ⁠มีค่าอยู่ในช่วง⁠ ⁠เรเดียน (หรือ⁠ ⁠องศา) ถ้า⁠ ⁠เป็นพิกัดคาร์ทีเซียน เราสามารถคำนวณ⁠ ⁠จาก⁠ ⁠ด้วย: ^{[ 3 ] [ a ]}${\displaystyle [0,\pi ]}$${\displaystyle [0,180]}$${\displaystyle \varphi _{n-1}}$${\displaystyle [0,2\pi )}$${\displaystyle [0,360)}$${\displaystyle x_{i}}$${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}$${\displaystyle r,\varphi _{1},\ldots ,\varphi _{n-1}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}x_{1}&=r\cos(\varphi _{1}),\\[5mu]x_{2}&=r\sin(\varphi _{1})\cos(\varphi _{2}),\\[5mu]x_{3}&=r\sin(\varphi _{1})\sin(\varphi _{2})\cos(\varphi _{3}),\\&\qquad \vdots \\x_{n-1}&=r\sin(\varphi _{1})\cdots \sin(\varphi _{n-2})\cos(\varphi _{n-1}),\\[5mu]x_{n}&=r\sin(\varphi _{1})\cdots \sin(\varphi _{n-2})\sin(\varphi _{n-1}).\end{aligned}}}$

นอกเหนือจากกรณีพิเศษที่อธิบายไว้ด้านล่าง การแปลงผกผันจะมีเพียงหนึ่งเดียว:

${\displaystyle {\begin{aligned}r&={\textstyle {\sqrt {{x_{n}}^{2}+{x_{n-1}}^{2}+\cdots +{x_{2}}^{2}+{x_{1}}^{2}}}},\\[5mu]\varphi _{1}&=\operatorname {atan2} \left({\textstyle {\sqrt {{x_{n}}^{2}+{x_{n-1}}^{2}+\cdots +{x_{2}}^{2}}}},x_{1}\right),\\[5mu]\varphi _{2}&=\operatorname {atan2} \left({\textstyle {\sqrt {{x_{n}}^{2}+{x_{n-1}}^{2}+\cdots +{x_{3}}^{2}}}},x_{2}\right),\\&\qquad \vdots \\\varphi _{n-2}&=\operatorname {atan2} \left({\textstyle {\sqrt {{x_{n}}^{2}+{x_{n-1}}^{2}}}},x_{n-2}\right),\\[5mu]\varphi _{n-1}&=\operatorname {atan2} \left(x_{n},x_{n-1}\right).\end{aligned}}}$

โดยที่atan2คือฟังก์ชัน arctangent ที่มีอาร์กิวเมนต์สองตัว

มีบางกรณีพิเศษที่การแปลงผกผันไม่เป็นเอกลักษณ์สำหรับค่า ใด ๆค่า${\displaystyle \varphi _{k}}$จะกำกวมเมื่อค่า ทั้งหมด ของเป็นศูนย์ ในกรณีนี้อาจเลือก ให้เป็นศูนย์ได้ (ตัวอย่างเช่น สำหรับทรงกลม n เมื่อมุมเชิงขั้วเป็นหรือจุดนั้นจะ เป็นหนึ่งในขั้ว คือจุดสูงสุด หรือ จุดต่ำ สุด และการเลือกมุมอะซิมุท นั้นเป็นไปโดยพลการ) ${\displaystyle k}$${\displaystyle x_{k},x_{k+1},\ldots x_{n}}$${\displaystyle \varphi _{k}}$${\displaystyle 2}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle \pi }$

องค์ประกอบความยาวส่วนโค้งคือเพื่อแสดงองค์ประกอบปริมาตรของ ปริภูมิยุค ลิด มิติ ⁠ ⁠ ในรูปพิกัดทรงกลม ให้⁠ ⁠และ⁠ ⁠เพื่อความกระชับ จากนั้นสังเกตว่าเมทริกซ์จาโคเบียนของการแปลงคือ: $${\displaystyle ds^{2}=dr^{2}+\sum _{k=1}^{n-1}r^{2}\left(\prod _{m=1}^{k-1}\sin ^{2}\left(\varphi _{m}\right)\right)d\varphi _{k}^{2}}$$${\displaystyle n}$${\displaystyle s_{k}=\sin \varphi _{k}}$${\displaystyle c_{k}=\cos \varphi _{k}}$

${\displaystyle J_{n}={\begin{pmatrix}c_{1}&-rs_{1}&0&0&\cdots &0\\s_{1}c_{2}&rc_{1}c_{2}&-rs_{1}s_{2}&0&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &&\ddots &\vdots \\&&&&&0\\s_{1}\cdots s_{n-2}c_{n-1}&\cdots &\cdots &&&-rs_{1}\cdots s_{n-2}s_{n-1}\\s_{1}\cdots s_{n-2}s_{n-1}&rc_{1}\cdots s_{n-1}&\cdots &&&{\phantom {-}}rs_{1}\cdots s_{n-2}c_{n-1}\end{pmatrix}}.}$

สามารถคำนวณดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์นี้ได้โดยใช้การอุปมาน เมื่อ⁠ ⁠ การคำนวณ${\displaystyle n=2}$โดยตรงแสดงให้เห็นว่าดีเทอร์มิแนนต์คือ⁠ ⁠${\displaystyle r}$สำหรับ ค่า ⁠ ⁠${\displaystyle n}$ ที่มากขึ้น สังเกตว่า⁠ ⁠${\displaystyle J_{n}}$สามารถสร้างได้จาก⁠ ⁠${\displaystyle J_{n-1}}$ดังต่อไปนี้ ยกเว้นในคอลัมน์⁠ ⁠${\displaystyle n}$แถว⁠ ⁠${\displaystyle n-1}$และ⁠ ⁠${\displaystyle n}$ของ⁠ ⁠${\displaystyle J_{n}}$จะเหมือนกับแถว⁠ ⁠${\displaystyle n-1}$ของ⁠ ⁠${\displaystyle J_{n-1}}$ แต่คูณ ด้วยตัวประกอบพิเศษ⁠ ⁠${\displaystyle \cos \varphi _{n-1}}$ในแถว⁠ ⁠${\displaystyle n-1}$และตัวประกอบพิเศษ⁠ ⁠${\displaystyle \sin \varphi _{n-1}}$ในแถว⁠ ⁠${\displaystyle n}$ในคอลัมน์⁠ ⁠${\displaystyle n}$แถว⁠ ⁠${\displaystyle n-1}$และ⁠ ⁠${\displaystyle n}$ของ⁠ ⁠${\displaystyle J_{n}}$จะเหมือนกับคอลัมน์⁠ ⁠${\displaystyle n-1}$ของแถว⁠ ⁠ ของ${\displaystyle n-1}$ ⁠ ⁠ แต่${\displaystyle J_{n-1}}$คูณด้วยตัวประกอบเพิ่มเติมของ⁠ ⁠${\displaystyle \sin \varphi _{n-1}}$ในแถว⁠ ⁠${\displaystyle n-1}$และ⁠ ⁠${\displaystyle \cos \varphi _{n-1}}$ในแถว⁠ ⁠${\displaystyle n}$ตามลำดับ ดีเทอร์มิแนนต์ของ⁠ ⁠${\displaystyle J_{n}}$สามารถคำนวณได้โดยใช้การกระจายลาปลาสในคอลัมน์สุดท้าย จากคำอธิบายแบบเวียนเกิดของ⁠ ⁠${\displaystyle J_{n}}$เมทริกซ์ย่อยที่เกิดจากการลบรายการที่⁠ ⁠${\displaystyle (n-1,n)}$และแถวและคอลัมน์ของมันเกือบเท่ากับ⁠ ⁠${\displaystyle J_{n-1}}$ยกเว้นว่าแถวสุดท้ายจะถูกคูณด้วย⁠ ⁠${\displaystyle \sin \varphi _{n-1}}$ในทำนองเดียวกัน เมทริกซ์ย่อยที่เกิดจากการลบรายการที่⁠ ⁠${\displaystyle (n,n)}$และแถวและคอลัมน์ของมันเกือบเท่ากับ⁠ ⁠${\displaystyle J_{n-1}}$ยกเว้นว่าแถวสุดท้ายถูกคูณด้วย⁠ ⁠${\displaystyle \cos \varphi _{n-1}}$ดังนั้นดีเทอร์มิแนนต์ของ⁠ ⁠${\displaystyle J_{n}}$คือ

${\displaystyle {\begin{aligned}|J_{n}|&=(-1)^{(n-1)+n}(-rs_{1}\dotsm s_{n-2}s_{n-1})(s_{n-1}|J_{n-1}|)\\&\qquad {}+(-1)^{n+n}(rs_{1}\dotsm s_{n-2}c_{n-1})(c_{n-1}|J_{n-1}|)\\&=(rs_{1}\dotsm s_{n-2}|J_{n-1}|(s_{n-1}^{2}+c_{n-1}^{2})\\&=(rs_{1}\dotsm s_{n-2})|J_{n-1}|.\end{aligned}}}$

จากนั้น การอุปมานจะให้สูตรสำเร็จรูปสำหรับปริมาตรองค์ประกอบในพิกัดทรงกลม

${\displaystyle {\begin{aligned}d^{n}V&=\left|\det {\frac {\partial (x_{i})}{\partial \left(r,\varphi _{j}\right)}}\right|dr\,d\varphi _{1}\,d\varphi _{2}\cdots d\varphi _{n-1}\\&=r^{n-1}\sin ^{n-2}(\varphi _{1})\sin ^{n-3}(\varphi _{2})\cdots \sin(\varphi _{n-2})\,dr\,d\varphi _{1}\,d\varphi _{2}\cdots d\varphi _{n-1}.\end{aligned}}}$

สูตรสำหรับปริมาตรของทรง กลม ⁠ ⁠${\displaystyle n}$สามารถหาได้จากสิ่งนี้โดยการอินทิเกรต

ในทำนองเดียวกัน องค์ประกอบพื้นที่ผิวของ ทรงกลม ⁠ ⁠${\displaystyle (n-1)}$ที่มีรัศมี⁠ ⁠${\displaystyle R}$ซึ่งเป็นการขยายความขององค์ประกอบพื้นที่ของ ทรง กลม⁠${\displaystyle 2}$ ⁠ จะกำหนดโดย

${\displaystyle d_{S^{n-1}}V=R^{n-1}\sin ^{n-2}(\varphi _{1})\sin ^{n-3}(\varphi _{2})\cdots \sin(\varphi _{n-2})\,d\varphi _{1}\,d\varphi _{2}\cdots d\varphi _{n-1}.}$

การเลือกฐานเชิงตั้งฉาก ตามธรรมชาติ เหนือพิกัดเชิงมุมนั้นเป็นผลมาจากพหุนามอัลตราสเฟริคัล

${\displaystyle {\begin{aligned}&{}\quad \int _{0}^{\pi }\sin ^{n-j-1}\left(\varphi _{j}\right)C_{s}^{\left({\frac {n-j-1}{2}}\right)}\cos \left(\varphi _{j}\right)C_{s'}^{\left({\frac {n-j-1}{2}}\right)}\cos \left(\varphi _{j}\right)\,d\varphi _{j}\\[6pt]&={\frac {2^{3-n+j}\pi \Gamma (s+n-j-1)}{s!(2s+n-j-1)\Gamma ^{2}\left({\frac {n-j-1}{2}}\right)}}\delta _{s,s'}\end{aligned}}}$

สำหรับ⁠ ⁠${\displaystyle j=1,2,\ldots ,n-2}$และ⁠ ⁠${\displaystyle e^{is\varphi _{j}}}$สำหรับมุม⁠ ⁠${\displaystyle j=n-1}$ที่สอดคล้องกับ ฮาร์มอนิ ก ทรงกลม

ระบบพิกัดทรงกลมมาตรฐานเกิดจากการเขียน⁠ ⁠${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$เป็นผลคูณ⁠ ⁠${\displaystyle \mathbb {R} \times \mathbb {R} ^{n-1}}$ปัจจัยทั้งสองนี้สามารถเชื่อมโยงกันได้โดยใช้พิกัดเชิงขั้ว สำหรับแต่ละจุด⁠ ⁠${\displaystyle \mathbf {x} }$ของพิกัดคาร์ทีเซียนมาตรฐาน ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

${\displaystyle \mathbf {x} =(x_{1},\dots ,x_{n})=(y_{1},z_{1},\dots ,z_{n-1})=(y_{1},\mathbf {z} )}$

สามารถแปลงเป็นระบบพิกัดแบบผสมระหว่างพิกัดเชิงขั้วและพิกัดคาร์ทีเซียนได้:

${\displaystyle \mathbf {x} =(r\sin \theta ,(r\cos \theta ){\hat {\mathbf {z} }}).}$

หลักการนี้กล่าวว่า จุดต่างๆ ใน ระบบพิกัด ทรงกลม${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$สามารถแสดงได้โดยการลากเส้นตรงจากจุดกำเนิด ผ่านจุด หมุนเส้นตรงนั้นเข้าหาจุด โดยทำมุมและเดินทางไปตามเส้นตรงนั้นเป็นระยะทาง การแยกส่วนเช่นนี้ซ้ำๆ จะนำไปสู่ระบบพิกัดทรงกลมมาตรฐานในที่สุด ${\displaystyle {\hat {\mathbf {z} }}=\mathbf {z} /\lVert \mathbf {z} \rVert \in S^{n-2}}$${\displaystyle (1,0,\dots ,0)}$${\displaystyle \theta =\arcsin y_{1}/r}$${\displaystyle r=\lVert \mathbf {x} \rVert }$

ระบบพิกัดทรงกลมหลายเหลี่ยมเกิดขึ้นจากการวางนัยทั่วไปของการสร้างนี้^{[ 4 ]}พื้นที่⁠ ⁠${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ถูกแบ่งออกเป็นผลคูณของพื้นที่ยุคลิดสองพื้นที่ที่มีมิติเล็กกว่า แต่พื้นที่ทั้งสองไม่จำเป็นต้องเป็นเส้นตรง โดยเฉพาะอย่างยิ่ง สมมติว่า⁠ ⁠${\displaystyle p}$และ⁠ ⁠${\displaystyle q}$เป็นจำนวนเต็มบวกที่⁠ ⁠${\displaystyle n=p+q}$ดังนั้น⁠ ⁠${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}=\mathbb {R} ^{p}\times \mathbb {R} ^{q}}$เมื่อใช้การแยกส่วนนี้ จุด⁠ ⁠${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}$อาจเขียนได้เป็น

${\displaystyle \mathbf {x} =(x_{1},\dots ,x_{n})=(y_{1},\dots ,y_{p},z_{1},\dots ,z_{q})=(\mathbf {y} ,\mathbf {z} ).}$

สามารถแปลงระบบพิกัดนี้เป็นระบบพิกัดผสมระหว่างพิกัดเชิงขั้วและพิกัดคาร์ทีเซียนได้โดยการเขียนดังนี้:

${\displaystyle \mathbf {x} =((r\sin \theta ){\hat {\mathbf {y} }},(r\cos \theta ){\hat {\mathbf {z} }}).}$

ในที่นี้และคือเวกเตอร์หน่วยที่เกี่ยวข้องกับ⁠ ⁠และ⁠ ⁠ซึ่งแสดง⁠ ⁠ในรูปของ⁠ ⁠ , ⁠ ⁠ , ⁠ ⁠และมุม⁠ ⁠สามารถแสดงได้ว่าโดเมนของ⁠ ⁠คือ⁠ ⁠ถ้า⁠ ⁠ , ⁠ ⁠ถ้ามีเพียงหนึ่งใน⁠ ⁠และ⁠ ⁠ เท่านั้น ที่เป็น⁠ ⁠และ⁠ ⁠ถ้าทั้ง⁠ ⁠และ⁠ ⁠ไม่ใช่⁠ ⁠การแปลงผกผันคือ ${\displaystyle {\hat {\mathbf {y} }}}$${\displaystyle {\hat {\mathbf {z} }}}$${\displaystyle \mathbf {y} }$${\displaystyle \mathbf {z} }$${\displaystyle \mathbf {x} }$${\displaystyle {\hat {\mathbf {y} }}\in S^{p-1}}$${\displaystyle {\hat {\mathbf {z} }}\in S^{q-1}}$${\displaystyle r\geq 0}$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle [0,2\pi )}$${\displaystyle p=q=1}$${\displaystyle [0,\pi ]}$${\displaystyle p}$${\displaystyle q}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle [0,\pi /2]}$${\displaystyle p}$${\displaystyle q}$${\displaystyle 1}$

${\displaystyle {\begin{aligned}r&=\lVert \mathbf {x} \rVert ,\\\theta &=\arcsin {\frac {\lVert \mathbf {y} \rVert }{\lVert \mathbf {x} \rVert }}=\arccos {\frac {\lVert \mathbf {z} \rVert }{\lVert \mathbf {x} \rVert }}=\arctan {\frac {\lVert \mathbf {y} \rVert }{\lVert \mathbf {z} \rVert }}.\end{aligned}}}$

การแบ่งแยกเหล่านี้สามารถทำซ้ำได้ตราบใดที่ปัจจัยใดปัจจัยหนึ่งมีมิติสองหรือมากกว่าระบบพิกัดทรงกลมหลายมิติเป็นผลมาจากการทำซ้ำการแบ่งแยกเหล่านี้จนกว่าจะไม่มีพิกัดคาร์ทีเซียนเหลืออยู่ การแบ่งแยกหลังจากครั้งแรกไม่จำเป็นต้องใช้พิกัดรัศมีเนื่องจากโดเมนของและเป็นทรงกลม ดังนั้นพิกัดของระบบพิกัดทรงกลมหลายมิติจึงเป็นรัศมีที่ไม่เป็นลบและมุมระบบพิกัดทรงกลมหลายมิติที่เป็นไปได้สอดคล้องกับต้นไม้ไบนารีที่มีใบแต่ละโหนดที่ไม่ใช่ใบในต้นไม้สอดคล้องกับการแบ่งแยกและกำหนดพิกัดเชิงมุม ตัวอย่างเช่น รากของต้นไม้แสดงถึงและลูกโดยตรงของมันแสดงถึงการแบ่งแยกครั้งแรกเป็นและโหนดใบสอดคล้องกับพิกัดคาร์ทีเซียนสำหรับสูตรสำหรับการแปลงจากพิกัดทรงกลมหลายเหลี่ยมไปเป็นพิกัดคาร์ทีเซียนสามารถกำหนดได้โดยการหาเส้นทางจากโหนดรากไปยังโหนดใบ สูตรเหล่านี้เป็นผลคูณที่มีตัวประกอบหนึ่งตัวสำหรับแต่ละกิ่งที่เส้นทางนั้นเลือก สำหรับโหนดที่มีพิกัดเชิงมุมที่สอดคล้องกันคือ⁠ ⁠การเลือกกิ่งซ้ายจะทำให้เกิดตัวประกอบ⁠ ⁠และการเลือกกิ่งขวาจะทำให้เกิดตัวประกอบ⁠ ⁠การแปลงผกผันจากพิกัดทรงกลมหลายเหลี่ยมไปเป็นพิกัดคาร์ทีเซียนนั้นกำหนดโดยการจัดกลุ่มโหนด โหนดทุกคู่ที่มีโหนดแม่ร่วมกันสามารถแปลงจากระบบพิกัดเชิงขั้วผสมคาร์ทีเซียนไปเป็นระบบพิกัดคาร์ทีเซียนได้โดยใช้สูตรข้างต้นสำหรับการแบ่งแยก ${\displaystyle {\hat {\mathbf {y} }}}$${\displaystyle {\hat {\mathbf {z} }}}$${\displaystyle n-1}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{p}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{q}}$${\displaystyle S^{n-1}}$${\displaystyle \theta _{i}}$${\displaystyle \sin \theta _{i}}$${\displaystyle \cos \theta _{i}}$

พิกัดทรงกลมหลายเหลี่ยมยังมีการตีความในแง่ของกลุ่มออร์โธโกนอลพิเศษ อีก ด้วย การแยกส่วนจะกำหนด${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}=\mathbb {R} ^{p}\times \mathbb {R} ^{q}}$กลุ่มย่อย

${\displaystyle \operatorname {SO} _{p}(\mathbb {R} )\times \operatorname {SO} _{q}(\mathbb {R} )\subseteq \operatorname {SO} _{n}(\mathbb {R} ).}$

นี่คือกลุ่มย่อยที่คงค่าตัวประกอบทั้งสองไว้การเลือกชุด ตัวแทน โคเซตสำหรับผลหารนั้นเหมือนกับการเลือกมุมตัวแทนสำหรับขั้นตอนการแยกส่วนพิกัดทรงกลมหลายเหลี่ยมนี้ ${\displaystyle S^{p-1}\times S^{q-1}\subseteq S^{n-1}}$

ในระบบพิกัดทรงกลมหลายเหลี่ยม ปริมาตรบน⁠ ⁠${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$และพื้นที่บน⁠ ⁠${\displaystyle S^{n-1}}$เป็นผลคูณกัน โดยแต่ละมุมจะมีตัวประกอบหนึ่งตัว และปริมาตรบน⁠ ⁠${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ยังมีตัวประกอบสำหรับพิกัดรัศมีด้วย ส่วนพื้นที่จะมีรูปแบบดังนี้:

${\displaystyle dA_{n-1}=\prod _{i=1}^{n-1}F_{i}(\theta _{i})\,d\theta _{i},}$

โดยที่ปัจจัยต่างๆ${\displaystyle F_{i}}$ถูกกำหนดโดยต้นไม้ ในทำนองเดียวกัน การวัดปริมาตรก็ คือ

${\displaystyle dV_{n}=r^{n-1}\,dr\,\prod _{i=1}^{n-1}F_{i}(\theta _{i})\,d\theta _{i}.}$

สมมติว่าเรามีโหนดของต้นไม้ที่สอดคล้องกับการแยกส่วน⁠ ⁠${\displaystyle \mathbb {R} ^{n_{1}+n_{2}}=\mathbb {R} ^{n_{1}}\times \mathbb {R} ^{n_{2}}}$และมีพิกัดเชิงมุม⁠ ⁠${\displaystyle \theta }$ตัวประกอบที่สอดคล้องกัน⁠ ⁠${\displaystyle F}$ขึ้นอยู่กับค่าของ⁠ ⁠${\displaystyle n_{1}}$และ⁠ ⁠${\displaystyle n_{2}}$เมื่อการวัดพื้นที่ถูกทำให้เป็นมาตรฐานเพื่อให้พื้นที่ของทรงกลมเป็น⁠ ⁠${\displaystyle 1}$ตัวประกอบเหล่านี้จะเป็นดังนี้ ถ้า⁠ ⁠${\displaystyle n_{1}=n_{2}=1}$แล้ว

${\displaystyle F(\theta )={\frac {d\theta }{2\pi }}.}$

ถ้า⁠ ⁠${\displaystyle n_{1}>1}$และ⁠ ⁠${\displaystyle n_{2}=1}$และถ้า⁠ ⁠${\displaystyle \mathrm {B} }$แทนฟังก์ชันเบตาแล้ว

${\displaystyle F(\theta )={\frac {\sin ^{n_{1}-1}\theta }{\mathrm {B} ({\frac {n_{1}}{2}},{\frac {1}{2}})}}\,d\theta .}$

ถ้าและแล้ว​${\displaystyle n_{1}=1}$​​​ ${\displaystyle n_{2}>1}$

${\displaystyle F(\theta )={\frac {\cos ^{n_{2}-1}\theta }{\mathrm {B} ({\frac {1}{2}},{\frac {n_{2}}{2}})}}\,d\theta .}$

สุดท้ายนี้ ถ้าทั้ง⁠ ⁠${\displaystyle n_{1}}$และ⁠ ⁠${\displaystyle n_{2}}$มีค่ามากกว่าหนึ่งแล้ว

${\displaystyle F(\theta )={\frac {(\sin ^{n_{1}-1}\theta )(\cos ^{n_{2}-1}\theta )}{{\frac {1}{2}}\mathrm {B} ({\frac {n_{1}}{2}},{\frac {n_{2}}{2}})}}\,d\theta .}$

เช่นเดียวกับทรงกลมสองมิติที่ฝังอยู่ในสามมิติสามารถถูกแมปไปยังระนาบสองมิติได้ด้วยการฉายภาพสเตอริโอกราฟิกทรงกลม n${\displaystyle n}$มิติก็สามารถถูกแมปไปยังระนาบไฮ เปอร์ n มิติได้ด้วย การฉายภาพสเตอริโอกราฟิก แบบn ${\displaystyle n}$มิติตัวอย่างเช่น จุดnบนทรงกลมสองมิติที่มีรัศมีn จะถูกแมปไปยังจุดnบน ระนาบ n มิติกล่าวอีกนัยหนึ่ง คือ${\displaystyle n}$${\displaystyle [x,y,z]}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle {\bigl [}{\tfrac {x}{1-z}},{\tfrac {y}{1-z}}{\bigr ]}}$${\displaystyle xy}$

${\displaystyle [x,y,z]\mapsto \left[{\frac {x}{1-z}},{\frac {y}{1-z}}\right].}$

ในทำนองเดียวกัน การฉายภาพสเตอริโอกราฟิกของทรงกลม⁠ ⁠ ${\displaystyle n}$⁠ ${\displaystyle S^{n}}$ที่มีรัศมี⁠ ${\displaystyle 1}$⁠จะถูกแมปไปยัง ระนาบ ไฮเปอร์⁠ ⁠${\displaystyle (n-1)}$มิติที่ตั้งฉากกับ แกน ⁠ ⁠ดังนี้ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n-1}}$${\displaystyle x_{n}}$

${\displaystyle [x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}]\mapsto \left[{\frac {x_{1}}{1-x_{n}}},{\frac {x_{2}}{1-x_{n}}},\ldots ,{\frac {x_{n-1}}{1-x_{n}}}\right].}$

ดูเพิ่มเติม: การแจกแจงแบบ Von Mises–Fisher § การแจกแจงไฮเปอร์สเฟียร์แบบเอกรูป

เพื่อสร้างจุดสุ่มที่กระจายอย่างสม่ำเสมอบน ทรงกลม${\displaystyle (n-1)}$หน่วย(นั่นคือ พื้นผิวของลูกบอลหน่วย) Marsaglia${\displaystyle n}$ ( 1972)ได้เสนออัลกอริทึมดังต่อไปนี้

สร้าง เวกเตอร์มิติ ⁠ ⁠${\displaystyle n}$ของค่าเบี่ยงเบนปกติ (ใช้⁠ ⁠${\displaystyle N(0,1)}$ ก็เพียงพอแล้ว แม้ว่าในความเป็นจริงการเลือกค่าความแปรปรวนจะเป็นไปโดยพลการก็ตาม) ⁠ ⁠${\displaystyle \mathbf {x} =(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})}$จากนั้นคำนวณ "รัศมี" ของจุดนี้:

${\displaystyle r={\sqrt {x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}}}.}$

เวกเตอร์⁠ ⁠${\displaystyle {\tfrac {1}{r}}\mathbf {x} }$กระจายอย่างสม่ำเสมอทั่วพื้นผิวของทรงกลม หน่วย ⁠ ⁠${\displaystyle n}$

อีกทางเลือกหนึ่งที่ Marsaglia เสนอคือ การสุ่มเลือก จุด${\displaystyle \mathbf {x} =(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})}$อย่างสม่ำเสมอในลูกบาศก์nมิติหน่วยโดยสุ่มแต่ละจุด${\displaystyle x_{i}}$อย่างอิสระจากการกระจายแบบสม่ำเสมอเหนือ${\displaystyle (-1,1)}$คำนวณตามที่${\displaystyle r}$กล่าวมาข้างต้น และปฏิเสธจุดนั้นแล้วสุ่มใหม่หาก( เช่น หาก จุด${\displaystyle r\geq 1}$นั้นไม่อยู่ในทรงกลม)${\displaystyle n}$และเมื่อได้จุดที่อยู่ในทรงกลมแล้ว ให้ปรับขนาดจุดนั้นขึ้นเป็นพื้นผิวทรงกลมด้วยตัวประกอบ จากนั้นจะถูกกระจายอย่างสม่ำเสมอทั่วพื้นผิวของทรงกลมn มิติ${\displaystyle {\tfrac {1}{r}}}$หน่วยวิธีนี้จะไม่มีประสิทธิภาพมากนักสำหรับมิติที่สูงขึ้น เนื่องจากเศษส่วนเล็กน้อยของลูกบาศก์หน่วยที่อยู่ในทรงกลมนั้นน้อยมาก ในสิบมิติ น้อยกว่า 2% ของลูกบาศก์ถูกเติมเต็มด้วยทรงกลม ดังนั้นโดยทั่วไปแล้วจะต้องลองมากกว่า 50 ครั้ง ในมิติทั้งเจ็ดสิบ มีพื้นที่เพียงไม่ถึงหนึ่งในสามของลูกบาศก์ที่ถูกเติมเต็ม ซึ่งหมายความว่าโดยทั่วไปแล้วจะต้องทำการทดลองถึงหนึ่งล้านล้านล้านล้านครั้ง ซึ่งมากกว่าที่คอมพิวเตอร์จะสามารถดำเนินการได้มากนัก ${\displaystyle {\tfrac {1}{r}}\mathbf {x} }$${\displaystyle n}$${\displaystyle 10^{-24}}$

เมื่อเลือกจุดแบบสุ่มอย่างสม่ำเสมอจากพื้นผิวของทรงกลมหน่วย( เช่น${\displaystyle (n-1)}$โดยใช้อัลกอริทึมของ Marsaglia) เราต้องการเพียงรัศมีเพื่อเลือกจุดแบบสุ่มอย่างสม่ำเสมอจากภายในทรงกลมหน่วยถ้า${\displaystyle n}$ ⁠ ⁠ เป็น ตัวเลข ${\displaystyle u}$ที่สร้างขึ้นแบบสุ่มอย่างสม่ำเสมอจากช่วง⁠ ⁠${\displaystyle [0,1]}$และ⁠ ⁠${\displaystyle \mathbf {x} }$เป็นจุดที่เลือกแบบสุ่มอย่างสม่ำเสมอจากทรงกลมหน่วยแล้ว⁠${\displaystyle (n-1)}$ ⁠ จะกระจาย${\displaystyle u^{1/n}\mathbf {x} }$อย่างสม่ำเสมอภายในทรง กลมหน่วย${\displaystyle n}$

อีกทางเลือกหนึ่ง จุดต่างๆ อาจถูกสุ่มตัวอย่างอย่างสม่ำเสมอจากภายใน ทรงกลม${\displaystyle n}$หน่วยโดยการลดขนาดจากทรงกลมหน่วยโดยเฉพาะ${\displaystyle (n+1)}$อย่าง${\displaystyle (x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n+2})}$ยิ่ง หาก เป็น จุด ที่เลือกอย่างสม่ำเสมอจาก ทรงกลม${\displaystyle (n+1)}$หน่วยแล้วจะ ถูกกระจายอย่างสม่ำเสมอภายใน ${\displaystyle (x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})}$ทรงกลม${\displaystyle n}$หน่วย(กล่าวคือ โดยการทิ้งพิกัดสองพิกัด) ^{[ 5 ]}

ถ้า⁠ ⁠${\displaystyle n}$มีขนาดใหญ่เพียงพอ ปริมาตรส่วนใหญ่ของ⁠ ⁠${\displaystyle n}$ -ball จะอยู่ในบริเวณใกล้กับพื้นผิวมาก ดังนั้นจุดที่เลือกจากปริมาตรนั้นก็มีแนวโน้มที่จะอยู่ใกล้กับพื้นผิวเช่นกัน นี่เป็นหนึ่งในปรากฏการณ์ที่นำไปสู่สิ่งที่เรียกว่า " คำสาปแห่งมิติ"ซึ่งเกิดขึ้นในแอปพลิเคชันเชิงตัวเลขและแอปพลิเคชันอื่นๆ บางอย่าง

ให้⁠ ⁠${\displaystyle y=x_{1}^{2}}$เป็นกำลังสองของพิกัดแรกของจุดที่สุ่มเลือกอย่างสม่ำเสมอจาก ทรง กลม ⁠ ⁠ แล้ว${\displaystyle (n-1)}$ฟังก์ชันความหนาแน่นความน่าจะเป็นของ จุดนั้น สำหรับคือ ${\displaystyle y\in [0,1]}$

$${\displaystyle \rho (y)={\frac {\Gamma {\bigl (}{\frac {n}{2}}{\bigr )}}{{\sqrt {\pi }}\;\Gamma {\bigl (}{\frac {n-1}{2}}{\bigr )}}}(1-y)^{(n-3)/2}y^{-1/2}.}$$

ให้เป็นเวอร์ชันที่ปรับขนาดอย่างเหมาะสม จากนั้นที่ขีดจำกัด ฟังก์ชันความหนาแน่นความน่าจะเป็นของจะลู่เข้าสู่บางครั้งเรียกว่าการแจกแจง Porter–Thomas ^{[ 6 ]}${\displaystyle z=y/N}$${\displaystyle N\to \infty }$${\displaystyle z}$${\displaystyle (2\pi ze^{z})^{-1/2}}$

0 -ทรงกลม

จุดสองจุดที่มีโทโพโลยีแบบไม่ต่อเนื่องสำหรับบางค่าทรงกลมเพียงทรงกลมเดียวที่ไม่ เชื่อมต่อ กันด้วยเส้นทาง สามารถ ทำให้ขนานกันได้${\displaystyle \{\pm R\}}$${\displaystyle R>0}$

1 -ทรงกลม

โดยทั่วไปเรียกว่าวงกลมมีกลุ่มพื้นฐาน ที่ไม่เป็นศูนย์ โครงสร้างกลุ่มลีอาเบเลียนU(1)กลุ่มวงกลมโฮมีโอเมอร์ฟิกกับเส้น ตรงเชิงโปรเจกที ฟจริงสามารถทำให้ขนานกันได้

2 -ทรงกลม

โดยทั่วไปเรียกง่ายๆ ว่าทรงกลมสำหรับโครงสร้างที่ซับซ้อน โปรดดูทรงกลมรีมันน์มีโครงสร้างสมมาตรกับเส้นตรงเชิงโปรเจกทีฟเชิงซ้อน

3ทรงกลม

บันเดิลหลัก${\displaystyle \operatorname {U} (1)}$ ที่ขนานได้เหนือทรงกลม-sphere${\displaystyle 2}$โครงสร้างกลุ่มLie Sp(1) = SU(2 )

4ทรงกลม

โฮโมมอร์ฟิกกับ เส้นโปรเจคทีฟควอเท อร์เนียน⁠ ⁠${\displaystyle \mathbf {HP} ^{1}}$ . ⁠${\displaystyle \operatorname {SO} (5)/\operatorname {SO} (4)}$ ⁠ .

5ทรงกลม

บันเดิ ลหลัก${\displaystyle \operatorname {U} (1)}$เหนือปริภูมิเชิงโปรเจกทีฟเชิงซ้อน⁠ ⁠${\displaystyle \mathbf {CP} ^{2}}$ . ⁠ ⁠${\displaystyle \operatorname {SO} (6)/\operatorname {SO} (5)=\operatorname {SU} (3)/\operatorname {SU} (2)}$ไม่สามารถตัดสินได้ ว่าแมนิโฟลด์มิติ ⁠ ⁠${\displaystyle n}$ที่กำหนดนั้นเป็นโฮมีโอเมอร์ฟิกกับ⁠ ⁠${\displaystyle S^{n}}$สำหรับ⁠ ⁠${\displaystyle n\geq 5}$หรือ ไม่ ^{[ 7 ]}

6ทรงกลม

มีโครงสร้างที่ซับซ้อนเกือบจะมาจากเซตของอ็อกโทเนียนหน่วยบริสุทธิ์⁠ ⁠ คำถามที่ว่า${\displaystyle \operatorname {SO} (7)/\operatorname {SO} (6)=G_{2}/\operatorname {SU} (3)}$มีโครงสร้างที่ซับซ้อน หรือ ไม่เรียกว่าปัญหาฮอปฟ์ตามชื่อของไฮนซ์ ฮอปฟ์^{[ 8 ]}

7 -ทรงกลม

โครงสร้าง ควาซิกรุปเชิงทอพอโลยี ใน ฐานะเซตของอ็อกโทเนียนหน่วยบันเดิลหลัก${\displaystyle \operatorname {SU} (2)}$เหนือ⁠ ⁠ ${\displaystyle S^{4}}$สามารถทำให้ขนานได้ ⁠ ⁠ ทรงกลม ⁠ ⁠ มีความน่าสนใจเป็นพิเศษ เนื่องจากเป็นมิตินี้ ${\displaystyle \operatorname {SO} (8)/\operatorname {SO} (7)=\operatorname {SU} (4)/\operatorname {SU} (3)=\operatorname {Sp} (2)/\operatorname {Sp} (1)=\operatorname {Spin} (7)/G_{2}=\operatorname {Spin} (6)/\operatorname {SU} (3)}$เอง ที่ ทรงกลมแปลกใหม่ลูกแรกถูกค้นพบ${\displaystyle 7}$

8ทรงกลม

มีโครงสร้างแบบโฮโมมอร์ฟิกกับเส้นโปรเจคทีฟอ็อกโทเนียน⁠ ⁠${\displaystyle \mathbf {OP} ^{1}}$ .

23 -ทรงกลม

การจัดเรียงทรงกลมที่มีความหนาแน่นสูงนั้นเป็นไปได้ใน พื้นที่ มิติ⁠ ⁠${\displaystyle 24}$ซึ่งเกี่ยวข้องกับคุณสมบัติเฉพาะของโครงตาข่ายลีช (Leech lattice )

ทรงกลมแปดเหลี่ยมถูก${\displaystyle n}$กำหนดในลักษณะเดียวกับทรงกลมแต่${\displaystyle n}$ใช้ค่านอร์ม1

${\displaystyle S^{n}=\left\{x\in \mathbb {R} ^{n+1}:\left\|x\right\|_{1}=1\right\}}$

โดยทั่วไปแล้วจะมีรูปร่างคล้ายรูปหลายเหลี่ยมกากบาท

ทรง กลมแปดเหลี่ยมเป็น${\displaystyle 1}$รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส (โดยไม่รวมส่วนภายใน) ทรงกลมแปดเหลี่ยมเป็นทรง${\displaystyle 2}$แปดเหลี่ยมปกติดังนั้นจึงได้ชื่อนี้ ทรงกลมแปดเหลี่ยมคือการ${\displaystyle n}$เชื่อมต่อเชิงโทโพโลยีของจุดแยกคู่หนึ่ง[ 9 ${\displaystyle n+1}$^{]ตามสัญชาตญาณ}การเชื่อมต่อเชิงโทโพโลยีของสองคู่เกิดขึ้นจากการลากเส้นเชื่อมระหว่างแต่ละจุดในคู่หนึ่งกับแต่ละจุดในอีกคู่หนึ่ง ซึ่งจะได้รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส ในการเชื่อมต่อกับคู่ที่สาม ให้ลากเส้นเชื่อมระหว่างแต่ละจุดบนรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสกับแต่ละจุดในคู่ที่สาม ซึ่งจะได้ทรงแปดเหลี่ยม