ในสาขาคณิตศาสตร์โทโพโลยี การขยายแบบอเล็กซานดรอฟ ( Alexandroff extension)เป็นวิธีการขยายปริภูมิโทโพโลยีที่ไม่กระชับ (noncompact topological space)โดยการเพิ่มจุดเดียวเข้าไปในลักษณะที่ทำให้ปริภูมิที่ได้นั้นกระชับ (compact space ) ชื่อนี้ตั้งตามชื่อของนักคณิตศาสตร์ชาวรัสเซียพาเวล อเล็กซานดรอฟ (Pavel Alexandroff ) กล่าวโดยละเอียด ให้Xเป็นปริภูมิโทโพโลยี การขยายแบบอเล็กซานดรอฟของXคือปริภูมิกระชับX * พร้อมกับการฝังแบบเปิดc  :  X  →  X * โดยที่ส่วนเติมเต็มของXในX * ประกอบด้วยจุดเดียว ซึ่งโดยทั่วไปจะใช้สัญลักษณ์ ∞ แผนที่cเป็นการทำให้กระชับแบบเฮาส์ดอร์ฟ (Hausdorff compactification)ก็ต่อเมื่อXเป็น ปริภูมิเฮาส์ดอร์ฟที่ไม่กระชับแต่กระชับเฉพาะ ที่ (locally compact , noncompact Hausdorff space ) สำหรับปริภูมิเช่นนี้ การขยายแบบอเล็กซานดรอฟเรียกว่าการทำให้กระชับแบบจุดเดียวหรือการทำให้กระชับแบบอเล็กซานดรอฟข้อดีของการทำให้กระชับแบบอเล็กซานดรอฟอยู่ที่โครงสร้างที่เรียบง่าย มักมีความหมายทางเรขาคณิต และความจริงที่ว่ามันเป็นการทำให้กระชับแบบน้อยที่สุดในความหมายที่แม่นยำเมื่อเทียบกับการทำให้กระชับแบบอื่นๆ ทั้งหมด ข้อเสียเปรียบอยู่ที่ว่ามันให้การบีอัดแบบเฮาส์ดอร์ฟเฉพาะในกลุ่มของปริภูมิเฮาส์ดอร์ฟที่บีอัดเฉพาะที่และไม่บีอัดเท่านั้น ซึ่งแตกต่างจากการบีอัดแบบสโตน-เช็กที่มีอยู่สำหรับปริภูมิเชิงทอพอโลยี ใดๆ (แต่ให้การฝังตัวที่แน่นอนสำหรับปริภูมิไทโคนอฟ )

ตัวอย่างที่น่าสนใจทางเรขาคณิตของการทำให้เป็นคอมแพ็กต์แบบจุดเดียวคือการฉายภาพสเตอริโอกราฟิก ผกผัน โปรดจำไว้ว่าการฉายภาพสเตอริโอกราฟิกSให้โฮมีโอเมอร์ฟิซึมที่ชัดเจนจากทรงกลมหน่วยลบขั้วเหนือ (0,0,1) ไปยังระนาบยุคลิด การฉายภาพสเตอริโอกราฟิกผกผันเป็นการฝังแบบเปิดและหนาแน่นลงในปริภูมิเฮาส์ดอร์ฟคอมแพ็กต์ที่ได้จากการเพิ่มจุดเพิ่มเติมภายใต้การฉายภาพสเตอริโอกราฟิก วงกลมละติจูดจะถูกแมปไปยังวงกลมระนาบดังนั้นฐานบริเวณใกล้เคียงที่ถูกลบของที่กำหนดโดยส่วนยอดทรงกลมที่ถูกเจาะจึงสอดคล้องกับส่วนเติมเต็มของวงกลมระนาบปิดในเชิงคุณภาพมากขึ้น ฐานบริเวณใกล้เคียงที่ได้มาจากเซตเมื่อKเคลื่อนที่ผ่านเซตย่อยคอมแพ็กต์ของตัวอย่างนี้มีแนวคิดหลักของกรณีทั่วไปอยู่แล้ว ${\displaystyle S^{-1}:\mathbb {R} ^{2}\hookrightarrow S^{2}}$${\displaystyle \infty =(0,0,1)}$${\displaystyle z=c}$${\textstyle r={\sqrt {(1+c)/(1-c)}}}$${\displaystyle (0,0,1)}$${\displaystyle c\leq z<1}$${\textstyle r\geq {\sqrt {(1+c)/(1-c)}}}$${\displaystyle \infty }$${\displaystyle S^{-1}(\mathbb {R} ^{2}\setminus K)\cup \{\infty \}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$

ให้ c ( X) เป็นการฝังตัวจากปริภูมิเชิงทอพอโลยีXไปยังปริภูมิเชิงทอพอโลยีแบบ Hausdorff ที่กระชับYโดยมีภาพหนาแน่นและเศษเหลือหนึ่งจุดแล้วc ( X ) เป็นเซตเปิดในปริภูมิแบบ Hausdorff ที่กระชับ ดังนั้นc ( X ) จึงเป็นปริภูมิแบบ Hausdorff ที่กระชับเฉพาะที่ ดังนั้นภาพผกผันแบบโฮมีโอเมอร์ฟิก X ของ c ( X) จึงเป็นปริภูมิแบบ Hausdorff ที่กระชับเฉพาะที่ด้วย ยิ่งไปกว่านั้น ถ้าXเป็นปริภูมิที่กระชับแล้ว c(X ) จะเป็นเซตปิดในYและดังนั้นจึงไม่หนาแน่น ดังนั้นปริภูมิจะยอมรับการทำให้เป็นปริภูมิแบบ Hausdorff หนึ่งจุดได้ก็ต่อเมื่อเป็นปริภูมิแบบ Hausdorff ที่กระชับเฉพาะที่ ไม่กระชับ และเป็นปริภูมิแบบ Hausdorff เท่านั้น ยิ่งไปกว่านั้น ในการทำให้เป็นปริภูมิแบบ Hausdorff หนึ่งจุดดังกล่าว ภาพของฐานย่านใกล้เคียงสำหรับxในXจะให้ฐานย่านใกล้เคียงสำหรับc ( x ) ในc ( X ) และเนื่องจากเซตย่อยของปริภูมิแบบ Hausdorff ที่กระชับจะเป็นปริภูมิที่กระชับก็ต่อเมื่อเป็นเซตปิด ดังนั้นย่านใกล้เคียงแบบเปิดของ c(X) จะต้องเป็นเซตทั้งหมดที่ได้มาจากการต่อกับภาพภายใต้cของเซตย่อยของXที่มีส่วนเติมเต็มที่กระชับ ${\displaystyle c:X\hookrightarrow Y}$${\displaystyle \{\infty \}=Y\setminus c(X)}$${\displaystyle \infty }$${\displaystyle \infty }$

ให้X เป็นปริภูมิเชิงทอพอโลยี กำหนดให้ X เป็นปริภูมิเชิงทอพอโลยีโดยเลือกเซตเปิดทั้งหมดในXพร้อมกับเซตทั้งหมดที่มีรูปแบบC เป็นเซตปิดและกระชับในXในที่นี้หมายถึงส่วนเติมเต็มของใน สังเกตว่าเป็นย่านเปิดของและดังนั้นการคลุมแบบเปิดใดๆ ของ จะประกอบด้วยเซตทั้งหมด ยกเว้นเซตย่อยกระชับของซึ่งหมายความว่าเป็นเซตกระชับ ( Kelley 1975 , หน้า 150) ${\displaystyle X}$${\displaystyle X^{*}=X\cup \{\infty \},}$${\displaystyle X^{*}}$${\displaystyle V=(X\setminus C)\cup \{\infty \}}$${\displaystyle X\setminus C}$${\displaystyle C}$${\displaystyle X.}$${\displaystyle V}$${\displaystyle \infty ,}$${\displaystyle \{\infty \}}$${\displaystyle C}$${\displaystyle X^{*},}$${\displaystyle X^{*}}$

พื้นที่ดังกล่าวเรียกว่าส่วนขยาย AlexandroffของX (Willard, 19A) บางครั้งก็ใช้ชื่อเดียวกันนี้สำหรับแผนที่การรวม${\displaystyle X^{*}}$${\displaystyle c:X\to X^{*}.}$

คุณสมบัติต่างๆ ด้านล่างนี้เป็นผลมาจากการอภิปรายข้างต้น:

• แผนที่cเป็นแผนที่ต่อเนื่องและเปิด: มันฝังXเป็นเซตย่อยเปิดของ${\displaystyle X^{*}}$
• พื้นที่ค่อนข้างจำกัด${\displaystyle X^{*}}$
• ภาพc ( X ) มีความหนาแน่นในถ้าXไม่ใช่เซตกระชับ (noncompact)${\displaystyle X^{*}}$
• ปริภูมิจะเป็นแบบเฮาส์ดอร์ฟก็ต่อเมื่อXเป็นปริภูมิแบบเฮาส์ดอร์ฟและ มีความกะทัดรัด เฉพาะที่${\displaystyle X^{*}}$
• พื้นที่นั้นเป็นT ₁ก็ต่อเมื่อXเป็น T ₁เท่านั้น${\displaystyle X^{*}}$

โดยเฉพาะอย่างยิ่ง การขยายแบบอเล็กซานดรอฟ (Alexandroff extension) เป็นการทำให้เป็นคอมแพ็กต์แบบเฮาส์ดอร์ฟ (Hausdorff compactification) ของX ก็ต่อเมื่อXเป็นเฮาส์ดอร์ฟ ไม่คอมแพ็กต์ และคอมแพ็กต์เฉพาะที่ (locally compact) ในกรณีนี้เรียกว่าการทำให้เป็นคอมแพ็กต์แบบจุดเดียวหรือการทำให้เป็นคอมแพ็กต์แบบอเล็กซานดรอฟของX${\displaystyle c:X\rightarrow X^{*}}$

จากที่กล่าวมาข้างต้น เราทราบว่าการทำให้เป็นปริภูมิกระชับแบบเฮาส์ดอร์ฟที่มีจุดเหลือเพียงจุดเดียว จะต้องเป็นปริภูมิกระชับแบบอเล็กซานดรอฟ (สมมาตรกับ) เสมอ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ถ้าเป็นปริภูมิกระชับแบบเฮาส์ดอร์ฟ และเป็นจุดลิมิตของ(กล่าวคือไม่ใช่จุดโดดเดี่ยวของ) จะทำให้เป็นปริภูมิกระชับแบบอเล็กซานดรอฟของ ${\displaystyle X}$${\displaystyle p}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X\setminus \{p\}}$

ให้Xเป็นปริภูมิไทโคนอฟ ที่ไม่กระชับใดๆ ภายใต้การเรียงลำดับบางส่วนตามธรรมชาติบนเซตของชั้นสมมูลของการทำให้กระชับ องค์ประกอบขั้นต่ำใดๆ จะเทียบเท่ากับส่วนขยายอเล็กซานดรอฟ (เอนเกลคิง ทฤษฎีบท 3.5.12) ดังนั้น ปริภูมิไทโคนอฟที่ไม่กระชับจึงยอมรับการทำให้กระชับขั้นต่ำได้ก็ต่อเมื่อมันเป็นปริภูมิกระชับเฉพาะที่ ${\displaystyle {\mathcal {C}}(X)}$

ให้เป็นปริภูมิเชิงทอพอโลยีที่ไม่กระชับใดๆ เราอาจต้องการกำหนดความกระชับทั้งหมด (ไม่จำเป็นต้องเป็น Hausdorff) ของที่ได้จากการเพิ่มจุดเดียว ซึ่งอาจเรียกว่าความกระชับแบบจุดเดียวในบริบทนี้ ดังนั้น เราต้องการกำหนดวิธีที่เป็นไปได้ทั้งหมดในการสร้างทอพอโลยีที่กระชับ โดยที่มีความหนาแน่นในนั้น และทอพอโลยีของปริภูมิย่อย บน ที่ได้มาจาก นั้นเหมือนกับทอพอโลยีเดิม เงื่อนไขความเข้ากันได้สุดท้ายเกี่ยวกับทอพอโลยีโดยอัตโนมัติบ่งชี้ว่ามีความหนาแน่นในเนื่องจากไม่กระชับ ดังนั้นจึงไม่สามารถปิดในปริภูมิที่กระชับได้ นอกจากนี้ ความจริงก็คือ แผนที่การรวมจำเป็นต้องเป็นการ ฝังแบบ เปิดนั่นคือต้องเป็นแบบเปิดในและทอพอโลยีบนต้องมีสมาชิกทุกตัวของ[ ^{1 ] ดังนั้น} ทอพอโลยีบนจึงถูกกำหนดโดยย่านใกล้เคียงของ ย่านใกล้เคียงใดๆ ของจำเป็นต้องเป็นส่วนเติมเต็มในของเซตย่อยที่กระชับและปิดของดังที่ได้กล่าวไว้ก่อนหน้านี้ ${\displaystyle (X,\tau )}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X^{*}=X\cup \{\infty \}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X^{*}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X^{*}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle c:X\to X^{*}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X^{*}}$${\displaystyle X^{*}}$${\displaystyle \tau }$${\displaystyle X^{*}}$${\displaystyle \infty }$${\displaystyle \infty }$${\displaystyle X^{*}}$${\displaystyle X}$

โครงสร้างเชิงโทโพโลยีที่ทำให้มันเป็นคอมแพ็กติฟิเคชันของมีดังต่อไปนี้: ${\displaystyle X^{*}}$${\displaystyle X}$

• ส่วนขยาย Alexandroff ของที่ได้นิยามไว้ข้างต้น ในที่นี้เราใช้ส่วนเติมเต็มของเซตย่อยปิดกระชับทั้งหมดของเป็นย่านใกล้เคียงของ นี่คือโทโพโลยีที่ใหญ่ที่สุดที่ทำให้ เป็นเซตกระชับแบบจุดเดียวของ${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \infty }$${\displaystyle X^{*}}$${\displaystyle X}$
• โทโพโลยีส่วนขยายแบบเปิดที่นี่เราเพิ่มย่านใกล้เคียงเพียงย่านเดียวของนั่นคือปริภูมิทั้งหมดนี่คือโทโพโลยีที่เล็กที่สุดที่ทำให้เกิดการกระชับแบบจุดเดียวของ${\displaystyle \infty }$${\displaystyle X^{*}}$${\displaystyle X^{*}}$${\displaystyle X}$
• โทโพโลยีใดๆ ที่อยู่ระหว่างโทโพโลยีสองแบบข้างต้น สำหรับย่านใกล้เคียงของจะต้องเลือกกลุ่มย่อยที่เหมาะสมของส่วนเติมเต็มของเซตย่อยปิดกระชับทั้งหมดของ; ตัวอย่างเช่น ส่วนเติมเต็มของเซตย่อยปิดกระชับจำกัดทั้งหมด หรือส่วนเติมเต็มของเซตย่อยปิดกระชับที่นับได้ทั้งหมด${\displaystyle \infty }$${\displaystyle X}$

• การทำให้เซตของจำนวนเต็มบวกเป็นคอมแพ็กต์แบบจุดเดียวมีลักษณะโฮโมมอร์ฟิกกับปริภูมิที่ประกอบด้วยK = {0} U {1/ n | nเป็นจำนวนเต็มบวก} ที่มีโทโพโลยีลำดับ
• ลำดับในปริภูมิเชิงทอพอโลยีลู่เข้าสู่จุดในก็ต่อเมื่อแผนที่ที่กำหนดโดยสำหรับในและเป็นฟังก์ชันต่อเนื่อง ในที่นี้มี ทอพอโล ยีแบบไม่ต่อเนื่อง${\displaystyle \{a_{n}\}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle a}$${\displaystyle X}$${\displaystyle f\colon \mathbb {N} ^{*}\to X}$${\displaystyle f(n)=a_{n}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \mathbb {N} }$${\displaystyle f(\infty )=a}$${\displaystyle \mathbb {N} }$
• ปริภูมิพหุแอดิกถูกนิยามว่าเป็นปริภูมิเชิงทอพอโลยีที่เป็นภาพต่อเนื่องของกำลังของการทำให้เป็นปริภูมิกระชับจุดเดียวของปริภูมิเฮาส์ดอร์ฟแบบไม่ต่อเนื่องและกระชับเฉพาะที่

• การทำให้เป็นปริภูมิกระชับแบบจุดเดียวของปริภูมิยุคลิดn มิติ R ^{n นั้น}มีลักษณะสมมาตรกับทรงกลมn มิติ S ⁿดังที่กล่าวมาข้างต้น แผนที่นี้สามารถแสดงได้อย่างชัดเจนในรูป ของการฉายภาพสเตอริโอกราฟิกผกผัน nมิติ
• การทำให้เป็นคอมแพ็กต์จุดเดียวของผลคูณของสำเนาของช่วงครึ่งปิด [0,1) นั่นคือของ เป็น(โฮโมมอร์ฟิกกับ)${\displaystyle \kappa }$${\displaystyle [0,1)^{\คัปปา }}$${\displaystyle [0,1]^{\คัปปา }}$
• เนื่องจากการปิดของเซตย่อยที่เชื่อมต่อกันนั้นเชื่อมต่อกัน ดังนั้นส่วนขยาย Alexandroff ของปริภูมิที่เชื่อมต่อกันแต่ไม่กระชับจึงเชื่อมต่อกัน อย่างไรก็ตาม การทำให้กระชับด้วยจุดเดียวอาจ "เชื่อมต่อ" ปริภูมิที่ไม่เชื่อมต่อกันได้ ตัวอย่างเช่น การทำให้กระชับด้วยจุดเดียวของการรวมกันที่ไม่ทับซ้อนกันของสำเนาจำนวนจำกัดของช่วง (0,1) คือลิ่มของวงกลม${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$
• การทำให้เป็นคอมแพ็กต์แบบจุดเดียวของการรวมกันแบบไม่ทับซ้อนกันของสำเนาจำนวนนับได้ของช่วง (0,1) คือต่างหูฮาวายซึ่งแตกต่างจากลิ่มของวงกลมจำนวนนับได้ ซึ่งไม่เป็นคอมแพ็กต์
• เมื่อกำหนดHausdorff ขนาดกะทัดรัดและเซตย่อยปิดใด ๆ ของ การทำให้เป็นขนาดกะทัดรัดจุดเดียวของคือโดยที่เครื่องหมายทับหมายถึงปริภูมิผลหาร^{[ 2 ]}${\displaystyle X}$${\displaystyle C}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X\setminus C}$${\displaystyle X/C}$
• ถ้าและเป็น Hausdorff ที่มีขนาดกะทัดรัดเฉพาะที่ แล้ว โดยที่คือผลคูณแบบ smashจำได้ว่านิยามของผลคูณแบบ smash คือ โดยที่คือผลรวมแบบ wedgeและอีกครั้ง / หมายถึงปริภูมิผลหาร^{[ 2 ]}${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle (X\times Y)^{*}=X^{*}\wedge Y^{*}}$${\displaystyle \wedge }$${\displaystyle A\wedge B=(A\times B)/(A\vee B)}$${\displaystyle A\vee B}$

ส่วนขยาย Alexandroff สามารถมองได้ว่าเป็นฟังก์ชันจากหมวดหมู่ของปริภูมิเชิงทอพอ โลยี ที่มีแผนที่ต่อเนื่องที่เหมาะสมเป็นมอร์ฟิซึมไปยังหมวดหมู่ที่มีวัตถุเป็นแผนที่ต่อเนื่องและสำหรับหมวดหมู่นั้น มอร์ฟิซึมจากไปยัง เป็นคู่ของแผนที่ต่อเนื่องโดยที่โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ปริภูมิโฮมีโอเมอร์ฟิกจะมีส่วนขยาย Alexandroff ที่สมมูลกัน ส่วนขยาย Alexandroff นี้คือหมวดหมู่ลูกศรของปริภูมิเชิงทอพอโลยี ซึ่งมักสร้างขึ้นเป็นหมวดหมู่ของฟังก์ชันจากหมวดหมู่ช่วงโดยที่หมวดหมู่ช่วงคือหมวดหมู่ที่มีวัตถุ 2 อย่างที่เชื่อมต่อกันด้วยลูกศรเดียว ${\displaystyle c\colon X\rightarrow Y}$${\displaystyle c_{1}\colon X_{1}\rightarrow Y_{1}}$${\displaystyle c_{2}\colon X_{2}\rightarrow Y_{2}}$${\displaystyle f_{X}\colon X_{1}\rightarrow X_{2},\ f_{Y}\colon Y_{1}\rightarrow Y_{2}}$${\displaystyle f_{Y}\circ c_{1}=c_{2}\circ f_{X}}$${\textstyle \operatorname {Arr} (\mathrm {Top} )=\operatorname {Func} (\mathrm {I} ,\mathrm {Top} )}$

• การอัดตัวของโบร์
• พื้นที่ขนาดกะทัดรัด  – ประเภทของพื้นที่ทางคณิตศาสตร์
• การทำให้เป็นปริภูมิกระชับ (คณิตศาสตร์)  – การฝังปริภูมิเชิงทอพอโลยีลงในปริภูมิกระชับในรูปของเซตย่อยหนาแน่น
• สิ้นสุด (โทโพโลยี)
• เส้นจำนวนจริงแบบขยาย  – จำนวนจริงที่เพิ่มค่าอนันต์ + และ - เข้าไป
• พื้นที่ปกติ  – ประเภทของพื้นที่เชิงทอพอโลยี
• เซตแบบมีจุด  – แนวคิดพื้นฐานในทฤษฎีเซต
• ทรงกลมรีมันน์  – แบบจำลองของระนาบเชิงซ้อนที่ขยายออกไป บวกกับจุดที่อนันต์
• การฉายภาพแบบสเตอริโอกราฟิก  – เทคนิคการสร้างแผนที่เฉพาะที่ฉายภาพทรงกลมลงบนระนาบ
• การทำให้กระชับแบบสโตน-เช็ก  – แนวคิดในทางโทโพโลยี
• การทำให้กระชับแบบวอลล์แมน – การทำให้กระชับของ ปริภูมิเชิงทอพอโลยี T ₁