ในทางคณิตศาสตร์ การทำให้ กลุ่มโทโพโลยีGเป็น กลุ่ม กระชับแบบบอร์ (Bohr compactification)คือ กลุ่มโทโพ โลยีแบบเฮาส์ดอร์ ฟ (Hausdorff topological group ) Hที่สามารถเชื่อมโยงกับG ได้อย่างเป็นไปตามกฎเกณฑ์ความสำคัญของมันอยู่ที่การลดทอนทฤษฎีของฟังก์ชันเกือบเป็นคาบสม่ำเสมอ (uniformly almost periodic functions) บนGไปสู่ทฤษฎีของฟังก์ชันต่อเนื่องบนHแนวคิดนี้ตั้งชื่อตามฮาราลด์ บอร์ผู้บุกเบิกการศึกษาฟังก์ชันเกือบเป็นคาบบนเส้นจำนวนจริง

เมื่อกำหนดกลุ่มโทโพโลยีGแล้วการทำให้กระชับของ BohrของG คือ กลุ่มโทโพโลยีHausdorff กระชับBohr ( G ) และโฮโมมอร์ฟิซึมต่อเนื่อง^{[ 1 ]}

b : G → โบร์ ( G )

ซึ่งเป็นสากลในแง่ของโฮโมมอร์ฟิซึมไปยังกลุ่มเฮาส์ดอร์ฟแบบกระชับ นั่นหมายความว่า ถ้าKเป็นกลุ่มทอพอโลยีเฮาส์ดอร์ฟแบบกระชับอีกกลุ่มหนึ่ง และ

f : G → K

ถ้าเป็นโฮโมมอร์ฟิซึมต่อเนื่อง ก็จะมีโฮโมมอร์ฟิซึมต่อเนื่องที่ไม่ซ้ำกันเพียงหนึ่งเดียว

โบร์ ( f ): โบร์ ( G ) → K

โดยที่f = Bohr ( f ) b . ${\displaystyle \circ }$

ทฤษฎีบทการทำให้กระชับของบอร์มีอยู่^{[ 2 ] [ 3 ]}และเป็นเอกลักษณ์จนถึงไอโซมอร์ฟิซึม

เราจะใช้สัญลักษณ์Bohr ( G ) แทน การทำให้กระชับแบบ Bohr ของ Gและใช้สัญลักษณ์ แทนแผนที่แบบแคนอนิก

${\displaystyle \mathbf {b} :G\rightarrow \mathbf {Bohr} (G).}$

การจับคู่G ↦ Bohr ( G ) กำหนดฟังก์ชันโคแวเรียนต์บนหมวดหมู่ของกลุ่มโทโพโลยีและโฮโมมอร์ฟิซึมต่อเนื่อง

การทำให้กระชับแบบบอร์มีความเชื่อมโยงอย่างใกล้ชิดกับทฤษฎี การแทนแบบเอกภาพมิติจำกัดของกลุ่มทางทอพอโลยี เคอร์เนลของbประกอบด้วยองค์ประกอบเหล่านั้นของGที่ไม่สามารถแยกออกจากเอกลักษณ์ของG ได้โดย การแทน แบบ เอกภาพมิติจำกัด

การทำให้เป็นกลุ่มกระชับของบอร์ยังช่วยลดปัญหาหลายอย่างในทฤษฎีของฟังก์ชันเกือบเป็นคาบบนกลุ่มทางทอพอโลยีให้เหลือเพียงปัญหาของฟังก์ชันบนกลุ่มกระชับอีกด้วย

ฟังก์ชันค่าเชิงซ้อนต่อเนื่องที่มีขอบเขตfบนกลุ่มโทโพโลยีGจะเป็นเกือบคาบสม่ำเสมอ ก็ต่อเมื่อเซตของการเลื่อนขวา_g fโดยที่

${\displaystyle [{}_{g}f](x)=f(g^{-1}\cdot x)}$

มีความกะทัดรัดค่อนข้างมากในโทโพโลยีแบบเอกรูปเมื่อg เปลี่ยนแปลงไปตามG

ทฤษฎีบทฟังก์ชันค่าเชิงซ้อนต่อเนื่องที่มีขอบเขตfบนGจะเป็นฟังก์ชันเกือบคาบสม่ำเสมอ ก็ต่อเมื่อมีฟังก์ชันต่อเนื่องf ₁บนBohr ( G ) (ซึ่งถูกกำหนดอย่างไม่ซ้ำกัน) เช่นนั้น

${\displaystyle f=f_{1}\circ \mathbf {b} .}$^{[ 4 ]}

กลุ่มโทโพโลยีที่การแมปการทำให้กระชับของบอร์เป็นการฉีดเรียกว่า กลุ่ม เกือบเป็นคาบสูงสุด (หรือกลุ่ม MAP) ตัวอย่างเช่น กลุ่มอาเบเลียนทั้งหมด กลุ่มกระชับทั้งหมด และกลุ่มอิสระทั้งหมดเป็น MAP ^{[ 5 ]}ในกรณีที่Gเป็นกลุ่มเชื่อมต่อกระชับเฉพาะที่ กลุ่ม MAP มีลักษณะเฉพาะอย่างสมบูรณ์: พวกมันเป็นผลคูณของกลุ่มกระชับกับกลุ่มเวกเตอร์ที่มีมิติจำกัดอย่างแม่นยำ

• พื้นที่ขนาดกะทัดรัด  – ประเภทของพื้นที่ทางคณิตศาสตร์
• การทำให้เป็นปริภูมิกระชับ (คณิตศาสตร์)  – การฝังปริภูมิเชิงทอพอโลยีลงในปริภูมิกระชับในรูปของเซตย่อยหนาแน่น
• เซตแบบมีจุด  – แนวคิดพื้นฐานในทฤษฎีเซต
• การทำให้กระชับแบบสโตน-เช็ก  – แนวคิดในทางโทโพโลยี
• การทำให้กระชับแบบวอลล์แมน – การทำให้กระชับของ ปริภูมิเชิงทอพอโลยี T ₁

• "Bohr compactification" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press , 2001 [1994]