ในทางคณิตศาสตร์การแทนแบบเอกภาพของกลุ่มGคือการแทนเชิงเส้น π ของGบนปริภูมิฮิลเบิร์ตเชิงซ้อนVโดยที่ π( g ) เป็นตัวดำเนินการเอกภาพสำหรับทุกg ∈ Gทฤษฎีทั่วไปได้รับการพัฒนาอย่างดีในกรณีที่Gเป็นกลุ่มทางทอพอโลยีแบบกะทัดรัดเฉพาะที่ ( Hausdorff ) และการแทนนั้น มี ความ ต่อเนื่องอย่างเข้มแข็ง

ทฤษฎีนี้ถูกนำไปประยุกต์ใช้ในกลศาสตร์ควอนตัม อย่างกว้างขวาง ตั้งแต่ทศวรรษ 1920 โดยเฉพาะอย่างยิ่งได้รับอิทธิพลจาก หนังสือ Gruppentheorie und QuantenmechanikของHermann Weyl ในปี 1928 หนึ่งในผู้บุกเบิกในการสร้างทฤษฎีทั่วไปของการแสดงแทนแบบเอกภาพ สำหรับกลุ่มG ใดๆ แทนที่จะเป็นเพียงกลุ่มเฉพาะที่ใช้ประโยชน์ได้จริง คือGeorge Mackey

ทฤษฎีการแทนแบบเอกภาพของกลุ่มทางทอพอโลยีมีความเชื่อมโยงอย่างใกล้ชิดกับการวิเคราะห์ฮาร์มอนิกในกรณีของกลุ่มอาเบเลียนGภาพที่ค่อนข้างสมบูรณ์ของทฤษฎีการแทนของGนั้นได้มาจากทฤษฎีคู่ของปอนทรียาจินโดยทั่วไป ชั้นสมมูลเอกภาพ (ดูด้านล่าง ) ของการแทนแบบเอกภาพที่ลดทอนไม่ได้ ของ G จะประกอบกันเป็น คู่เอกภาพของมันเซตนี้สามารถระบุได้ว่าเป็นสเปกตรัมของพีชคณิต C*ที่เกี่ยวข้องกับGโดย การสร้าง พีชคณิต C* ของกลุ่มนี่คือปริภูมิทางทอพอโลยี

รูปแบบทั่วไปของทฤษฎีบทแพลนเชอเรลพยายามอธิบายการแสดงแทนแบบปกติของGบนL ² ( G ) โดยใช้การวัดบนคู่เอกภาพ สำหรับGที่เป็นอาเบเลียน สิ่งนี้กำหนดโดยทฤษฎีทวิภาวะของปอนทรียาจิน สำหรับG ที่เป็นคอมแพ็กต์สิ่งนี้ทำได้โดยทฤษฎีบทปีเตอร์-ไวล์ในกรณีนั้น คู่เอกภาพเป็นปริภูมิแบบไม่ต่อเนื่องและการวัดจะแนบอะตอมเข้ากับแต่ละจุดที่มีมวลเท่ากับดีกรีของมัน

ให้Gเป็นกลุ่มเชิงทอพอโลยี การแทนแบบเอกภาพต่อเนื่องอย่างเข้มแข็งของGบนปริภูมิฮิลเบิร์ตHคือ โฮโมมอ ร์ ฟิซึมของ กลุ่มจากGไปยังกลุ่มเอกภาพของH

${\displaystyle \pi :G\rightarrow \operatorname {U} (H)}$

โดยที่g → π( g ) ξ เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องเชิงบรรทัดฐานสำหรับทุก ξ ∈ H

โปรดทราบว่าหาก G เป็นกลุ่ม Lieพื้นที่ Hilbert ยังยอมรับโครงสร้างเรียบและเชิงวิเคราะห์พื้นฐาน เวกเตอร์ ξ ในHกล่าวได้ว่าเป็น เวกเตอร์ เรียบหรือเชิงวิเคราะห์หากแผนที่g → π( g ) ξ เป็นเวกเตอร์เรียบหรือเชิงวิเคราะห์ (ในบรรทัดฐานหรือโทโพโลยีแบบอ่อนบนH ) ^{[ 1 ]}เวกเตอร์เรียบมีความหนาแน่นในHตามข้อโต้แย้งแบบคลาสสิกของLars Gårdingเนื่องจากคอนโวลูชันโดยฟังก์ชันเรียบที่มีส่วนรองรับแบบกระชับจะให้เวกเตอร์เรียบ เวกเตอร์เชิงวิเคราะห์มีความหนาแน่นตามข้อโต้แย้งแบบคลาสสิกของEdward Nelsonซึ่งขยายความโดย Roe Goodman เนื่องจากเวกเตอร์ในภาพของตัวดำเนินการความร้อนe ^–tDซึ่งสอดคล้องกับตัวดำเนินการเชิงอนุพันธ์วงรีDในพีชคณิตห่อหุ้มสากลของG เป็นเวกเตอร์เชิงวิเคราะห์ เวกเตอร์เรียบหรือเชิงวิเคราะห์ไม่เพียงแต่สร้างพื้นที่ย่อยที่มีความหนาแน่นเท่านั้น แต่ยัง สร้างแกนร่วมสำหรับตัวดำเนินการผกผันแบบเฉียงที่ไม่จำกัดขอบเขตซึ่งสอดคล้องกับองค์ประกอบของพีชคณิต Lieในความหมายของทฤษฎีสเปกตรัม^{[ 2 ]}

การแสดงแทนแบบเอกภาพสองแบบ π ₁ : G → U( H ₁ ), π ₂ : G → U( H ₂ ) กล่าวได้ว่าเทียบเท่ากันแบบเอกภาพหากมีการแปลงแบบเอกภาพA : H ₁ → H ₂ที่ทำให้ π ₁ ( g ) = A ^* ∘ π ₂ ( g ) ∘ AสำหรับทุกgในGเมื่อเงื่อนไขนี้เป็นจริงAจะถูกเรียกว่าเป็นตัวดำเนินการเชื่อมโยงสำหรับการแสดงแทน^{[ 3 ]}${\displaystyle (\pi _{1},H_{1}),(\pi _{2},H_{2})}$

ถ้าเป็นการแทนกลุ่ม Lie ที่เชื่อมต่อกันบนปริภูมิฮิลเบิร์ตมิติจำกัดแล้วจะเป็นเอกภาพก็ต่อเมื่อการแทนพีชคณิต Lie ที่เกี่ยวข้องแมปไปยังปริภูมิของตัวดำเนินการสมมาตรแบบเฉียงบน^{[ 4 ]}${\displaystyle \pi }$${\displaystyle G}$${\displaystyle H}$${\displaystyle \pi }$${\displaystyle d\pi :{\mathfrak {g}}\rightarrow \mathrm {สิ้นสุด} (H)}$${\displaystyle H}$

การแทนแบบเอกภาพสามารถลดทอนได้อย่างสมบูรณ์ในแง่ที่ว่าสำหรับปริภูมิย่อยคงที่ แบบปิดใดๆ ส่วนเติมเต็มเชิงตั้งฉากก็จะเป็นปริภูมิย่อยคงที่แบบปิดเช่นกัน นี่เป็นเพียงการสังเกต แต่เป็นคุณสมบัติพื้นฐาน ตัวอย่างเช่น มันบ่งชี้ว่าการแทนแบบเอกภาพที่มีมิติจำกัดนั้นเป็นผลรวมโดยตรงของการแทนแบบลดทอนไม่ได้เสมอ ในความหมายทางพีชคณิต

เนื่องจากการแสดงแทนแบบเอกภาพนั้นจัดการได้ง่ายกว่ากรณีทั่วไปมาก จึงเป็นเรื่องปกติที่จะพิจารณาการแสดงแทนที่สามารถทำให้เป็นเอกภาพได้ซึ่งก็คือการแสดงแทนที่กลายเป็นเอกภาพเมื่อมีการนำโครงสร้างปริภูมิฮิลเบิร์ตเชิงซ้อนที่เหมาะสมมาใช้ วิธีนี้ใช้ได้ผลดีมากสำหรับกลุ่มจำกัดและโดยทั่วไปสำหรับกลุ่มกระชับโดยใช้การอ้างเหตุผลแบบเฉลี่ยกับโครงสร้างเฮอร์มิเชียนใดๆ (โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ผลคูณภายในใหม่ที่กำหนดโดยการอ้างเหตุผลแบบเฉลี่ยเหนือผลคูณภายในเดิม ซึ่งการแสดงแทนนั้นเป็นเอกภาพ) ^{[ 5 ]}ตัวอย่างเช่น การพิสูจน์ทฤษฎีบทของ Maschke ตามธรรมชาติ ก็ใช้เส้นทางนี้

โดยทั่วไป สำหรับกลุ่มที่ไม่กระชับ คำถามที่สำคัญกว่าคือ ตัวแทนใดบ้างที่สามารถทำให้เป็นเอกภาพได้ หนึ่งในปัญหาสำคัญที่ยังแก้ไม่ตกในคณิตศาสตร์คือ การอธิบายคู่เอกภาพซึ่งเป็นการจำแนกประเภทที่มีประสิทธิภาพของตัวแทนเอกภาพที่ไม่สามารถลดทอนได้ของกลุ่ม Lie แบบลดรูป จริงทั้งหมด ตัวแทนเอกภาพที่ไม่สามารถลดทอนได้ทั้งหมดนั้นยอมรับได้ (หรือโมดูล Harish-Chandra ของพวกมันต่างหาก ที่ยอมรับได้) และตัวแทนที่ยอมรับได้นั้นกำหนดโดยการจำแนกประเภทของ Langlandsและง่ายที่จะบอกว่าตัวแทนใดบ้างที่มีรูปแบบเซสควิลิเนียร์ ไม่แปรเปลี่ยนที่ไม่ใช่แบบธรรมดา ปัญหาคือโดยทั่วไปแล้วยากที่จะบอกได้ว่าเมื่อใดที่รูปแบบกำลังสองเป็นบวกแน่นอนสำหรับกลุ่ม Lie แบบลดรูปหลายกลุ่ม ปัญหานี้ได้รับการแก้ไขแล้ว ดูทฤษฎีตัวแทนของ SL2(R)และทฤษฎีตัวแทนของกลุ่ม Lorentzเป็นตัวอย่าง

• การแสดงผลแบบเหนี่ยวนำ
• การแสดงผลแบบไอโซไทป์
• ทฤษฎีการแทนของ SL2(R)
• ภาพวาดของกลุ่มลอเรนซ์
• ทฤษฎีบทสโตน-ฟอน นอยมันน์
• การแทนแบบเอกภาพของซูเปอร์แอลเจบราลีรูปดาว
• ฟังก์ชันทรงกลมโซนัล