ในทางคณิตศาสตร์ปริภูมิย่อยไม่เปลี่ยนแปลงของการแมปเชิงเส้นT  : V → Vกล่าวคือ จากปริภูมิเวกเตอร์V ใดๆ ไปยังตัวมันเอง คือปริภูมิย่อยWของVที่ถูกรักษาไว้โดยTโดยทั่วไปแล้ว ปริภูมิย่อยไม่เปลี่ยนแปลงสำหรับชุดของการแมปเชิงเส้น คือปริภูมิย่อยที่ถูกรักษาไว้โดยการแมปแต่ละครั้งแยกกัน

พิจารณาปริภูมิเวกเตอร์และแผนที่เชิงเส้น ปริภูมิย่อยเรียกว่าปริภูมิย่อยไม่แปรเปลี่ยนสำหรับหรือเทียบเท่ากับ ปริภูมิย่อยไม่แปรเปลี่ยน Tถ้าTแปลงเวกเตอร์ใดๆกลับไปเป็นWในสูตร สามารถเขียนได้เป็นหรือ^{[ 1 ]}${\displaystyle V}$${\displaystyle T:V\to V.}$${\displaystyle W\subseteq V}$${\displaystyle T}$${\displaystyle \mathbf {v} \in W}$$${\displaystyle \mathbf {v} \in W\implies T(\mathbf {v} )\in W}$$$${\displaystyle TW\subseteq W{\text{.}}}$$

ในกรณีนี้T จำกัดอยู่ที่เอนโดมอร์ฟิซึมของW : ^{[ 2 ]}$${\displaystyle T|_{W}:W\to W{\text{;}}\quad T|_{W}(\mathbf {w} )=T(\mathbf {w} ){\text{.}}}$$

การมีอยู่ของปริภูมิย่อยที่ไม่เปลี่ยนแปลงยังมีรูปแบบเมทริกซ์ด้วย เลือกฐานCสำหรับWและเติมเต็มให้เป็นฐานBของVเมื่อเทียบกับBตัวดำเนินการTมีรูปแบบสำหรับT ₁₂และT ₂₂ บางตัว โดยที่ในที่นี้หมายถึงเมทริกซ์ของเมื่อ เทียบกับฐานC$${\displaystyle T={\begin{bmatrix}T|_{W}&T_{12}\\0&T_{22}\end{bmatrix}}}$$${\displaystyle T|_{W}}$${\displaystyle T|_{W}}$

แผนที่เชิงเส้นใดๆยอมรับปริภูมิย่อยไม่เปลี่ยนแปลงต่อไปนี้: ${\displaystyle T:V\to V}$

• ปริภูมิเวกเตอร์เนื่องจากแมปเวกเตอร์ทุกตัวในไปยัง${\displaystyle V}$${\displaystyle T}$${\displaystyle V}$${\displaystyle V.}$
• ชุดนั้นเพราะว่า...${\displaystyle \{0\}}$${\displaystyle T(0)=0}$

นี่คือปริภูมิย่อยไม่แปรเปลี่ยนที่ไม่เหมาะสมและปริภูมิย่อยไม่แปรเปลี่ยนที่ไม่สำคัญ ตามลำดับ ตัวดำเนินการเชิงเส้นบางตัวไม่มีปริภูมิย่อยไม่แปรเปลี่ยนที่ไม่เหมาะสมที่ไม่ใช่ไม่สำคัญ เช่นการหมุน ของปริภูมิเวกเตอร์ จริงสองมิติอย่างไรก็ตามแกนของการหมุนในสามมิติจะเป็นปริภูมิย่อยไม่แปรเปลี่ยนเสมอ

ถ้าUเป็นปริภูมิย่อยไม่แปรเปลี่ยน 1 มิติสำหรับตัวดำเนินการT ที่มีเวกเตอร์v ∈ Uแล้ว เวกเตอร์vและT vจะต้องเป็นอิสระเชิงเส้นดังนั้นในความเป็นจริง สเกลาร์αไม่ขึ้นอยู่กับv$${\displaystyle \forall \mathbf {v} \in U\;\exists \alpha \in \mathbb {R} :T\mathbf {v} =\alpha \mathbf {v} {\text{.}}}$$

สมการข้างต้นกำหนด ปัญหา ค่าลักษณะเฉพาะเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะใดๆสำหรับTจะครอบคลุมปริภูมิย่อยไม่แปรเปลี่ยนมิติเดียว และในทางกลับกัน โดยเฉพาะอย่างยิ่งเวกเตอร์ไม่แปรเปลี่ยน ที่ไม่เป็นศูนย์ (เช่นจุดตรึงของT ) จะครอบคลุมปริภูมิย่อยไม่แปรเปลี่ยนมิติเดียว

จากทฤษฎีบทพื้นฐานของพีชคณิตตัวดำเนินการเชิงเส้นทุกตัวบน ปริภูมิเวกเตอร์ เชิงซ้อน ที่มี มิติจำกัด และไม่เป็น ศูนย์จะมีเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะ ดังนั้น ตัวดำเนินการเชิงเส้นดังกล่าวทุกตัวในอย่างน้อยสองมิติจะมีปริภูมิย่อยไม่แปรเปลี่ยนที่เหมาะสมและไม่เป็นศูนย์

การพิจารณาว่าปริภูมิย่อยW ที่กำหนดนั้น ไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้Tหรือไม่นั้น ดูเหมือนจะเป็นปัญหาทางเรขาคณิต การแสดงผลในรูปแบบเมทริกซ์ช่วยให้สามารถกำหนดปัญหานี้ในรูปแบบพีชคณิตได้

เขียนVในรูปผลรวมโดยตรงW  ⊕  W ′ โดย สามารถเลือกW ′ที่เหมาะสม ได้เสมอโดยการขยายฐานของ W ตัวดำเนินการฉายภาพPที่เกี่ยวข้องไปยังWมีการแสดงในรูปแบบเมทริกซ์

${\displaystyle P={\begin{bmatrix}1&0\\0&0\end{bmatrix}}:{\begin{matrix}W\\\oplus \\W'\end{matrix}}\rightarrow {\begin{matrix}W\\\oplus \\W'\end{matrix}}.}$

จากการคำนวณอย่างตรงไปตรงมาพบว่าWเป็นT -invariant ก็ต่อเมื่อPTP = TPเท่านั้น

ถ้า 1 คือตัวดำเนินการเอกลักษณ์แล้ว1- PคือการฉายภาพลงบนW ′สมการTP = PTเป็นจริงก็ต่อเมื่อ im( P ) และ im(1 −  P ) ไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้Tในกรณีนั้นTจะมีการแสดงในรูปเมทริกซ์$${\displaystyle T={\begin{bmatrix}T_{11}&0\\0&T_{22}\end{bmatrix}}:{\begin{matrix}\operatorname {im} (P)\\\oplus \\\operatorname {im} (1-P)\end{matrix}}\rightarrow {\begin{matrix}\operatorname {im} (P)\\\oplus \\\operatorname {im} (1-P)\end{matrix}}\;.}$$

ในภาษาพูดทั่วไป การฉายภาพที่สลับที่ได้กับTจะ "ทำให้T เป็นแนวทแยง"

ดังที่ตัวอย่างข้างต้นแสดงให้เห็น พื้นที่ย่อยไม่เปลี่ยนแปลงของการแปลงเชิงเส้นT ที่กำหนด ให้ ช่วยให้เข้าใจโครงสร้างของT ได้ดียิ่งขึ้น เมื่อVเป็นปริภูมิเวกเตอร์มิติจำกัดเหนือฟิลด์ปิดเชิงพีชคณิตการแปลงเชิงเส้นที่กระทำต่อVจะมีลักษณะเฉพาะ (จนถึงความคล้ายคลึงกัน) โดยรูปแบบมาตรฐานจอร์แดนซึ่งแยกVออกเป็นพื้นที่ย่อยไม่เปลี่ยนแปลงของTคำถามพื้นฐานหลายข้อเกี่ยวกับTสามารถแปลงเป็นคำถามเกี่ยวกับพื้นที่ย่อยไม่เปลี่ยนแปลงของTได้

เซตของ ปริภูมิย่อยที่ไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้ TของVบางครั้งเรียกว่าแลตทิซปริภูมิย่อยที่ไม่เปลี่ยนแปลงของTและเขียนแทนด้วยLat( T )ตามชื่อที่บ่งบอก มันคือแลตทิซ ( แบบโมดูลาร์ ) โดยที่จุดตัดและจุดเชื่อมต่อกำหนดโดย (ตามลำดับ) การตัดกันของเซตและช่วงเชิงเส้นองค์ประกอบที่เล็กที่สุดในLat( T )เรียกว่าปริภูมิ ย่อยที่ไม่เปลี่ยนแปลงที่เล็กที่สุด

ในการศึกษาตัวดำเนินการมิติอนันต์ บางครั้ง Lat( T )จะถูกจำกัดไว้เฉพาะในปริภูมิย่อยคงที่ แบบปิด เท่านั้น

เมื่อกำหนดกลุ่ม ตัวดำเนินการ Tแล้ว สับสเปซจะเรียกว่าT -invariant ถ้ามันไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้T ∈ T แต่ละ ตัว

เช่นเดียวกับกรณีตัวดำเนินการเดี่ยว แลตทิซของปริภูมิย่อยไม่แปรเปลี่ยนของTซึ่งเขียนว่าLat( T )คือเซตของ ปริภูมิย่อยไม่แปรเปลี่ยน T ทั้งหมด และมีการดำเนินการแบบ meet และ join เหมือนกัน ในทางทฤษฎีเซต มันคือจุดตัด$${\displaystyle \mathrm {Lat} ({\mathcal {T}})=\bigcap _{T\in {\mathcal {T}}}{\mathrm {Lat} (T)}{\text{.}}}$$

ให้End( V )เป็นเซตของตัวดำเนินการเชิงเส้นทั้งหมดบนV แล้ว Lat (End( V ))={0, V }

เมื่อกำหนดตัวแทนของกลุ่มGบนปริภูมิเวกเตอร์Vแล้ว เราจะมีการแปลงเชิงเส้นT ( g ) : V → Vสำหรับทุกองค์ประกอบgของGถ้าปริภูมิย่อยWของVไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้การแปลงเหล่านี้ทั้งหมด ปริภูมิย่อยนั้นจะเป็นตัวแทนย่อยและกลุ่มGจะกระทำต่อWในลักษณะที่เป็นธรรมชาติ วิธีการสร้างแบบเดียวกันนี้สามารถนำไปใช้กับตัวแทนของพีชคณิต ได้ เช่น กัน

อีกตัวอย่างหนึ่ง ให้T ∈ End( V )และΣเป็นพีชคณิตที่สร้างขึ้นโดย {1, T } โดยที่ 1 คือตัวดำเนินการเอกลักษณ์ แล้ว Lat( T ) = Lat(Σ)

เช่นเดียวกับทฤษฎีบทพื้นฐานของพีชคณิตที่รับรองว่าการแปลงเชิงเส้นทุกรูปแบบที่กระทำต่อปริภูมิเวกเตอร์เชิงซ้อนที่มีมิติจำกัดจะมีปริภูมิย่อยไม่แปรเปลี่ยนที่ ไม่ใช่ปริภูมิ ว่าง ทฤษฎีบทพื้นฐานของพีชคณิตไม่สลับที่ก็ยืนยันว่า Lat(Σ) ประกอบด้วยองค์ประกอบที่ไม่ใช่ปริภูมิว่างสำหรับ Σ บางตัว

ผลที่ตามมาประการหนึ่งคือ ตระกูลการสลับเปลี่ยนทุกตระกูลในL ( V ) สามารถทำให้เป็น เมทริก ซ์สามเหลี่ยมบนได้ พร้อมกัน เพื่อให้เห็นเช่นนี้ โปรดสังเกตว่าการแสดงเมทริกซ์สามเหลี่ยมบนสอดคล้องกับแฟล็กของปริภูมิย่อยที่ไม่เปลี่ยนแปลง ตระกูลการสลับเปลี่ยนสร้างพีชคณิตการสลับเปลี่ยน และEnd( V )ไม่เป็นไปตามกฎการสลับเปลี่ยนเมื่อdim( V ) ≥ 2

ถ้าAเป็นพีชคณิตเราสามารถกำหนดการแสดงแทนแบบปกติซ้าย Φ บนAได้ โดยที่ Φ( a ) b = abเป็นโฮโมมอร์ฟิซึมจากAไปยังL ( A ) ซึ่งเป็นพีชคณิตของการแปลงเชิงเส้นบนA

ปริภูมิย่อยไม่เปลี่ยนแปลงของ Φ คือไอเดียลซ้ายของA อย่างแม่นยำ ไอเดียลซ้ายM ของ A ให้การแทนย่อยของAบนM

ถ้าM เป็น ไอเดียลซ้ายของAแล้ว การแทนแบบปกติซ้าย Φ บนMจะลดลงเหลือการแทน Φ' บนปริภูมิเวกเตอร์ผลหารA / Mถ้า [ b ] แทนชั้นสมมูลในA / Mแล้ว Φ'( a )[ b ] = [ ab ] เคอร์เนลของการแทน Φ' คือเซต { a ∈ A | ab ∈ Mสำหรับทุกb }

การแสดงผล Φ' นั้นไม่สามารถลดทอนได้ก็ต่อเมื่อMเป็น ไอเดียลซ้าย สูงสุดเนื่องจากปริภูมิย่อยV ⊂ A / Mเป็นสิ่งคงที่ภายใต้ {Φ'( a ) | a ∈ A } ก็ต่อเมื่อภาพผกผัน ของมัน ภายใต้แผนที่ผลหารV + Mเป็นไอเดียลซ้ายใน A

ปัญหาปริภูมิย่อยไม่เปลี่ยนแปลงเกี่ยวข้องกับกรณีที่Vเป็นปริภูมิฮิลเบิร์ต ที่แยกได้ เหนือจำนวนเชิงซ้อนซึ่งมีมิติ > 1 และTเป็นตัวดำเนินการที่มีขอบเขตปัญหาคือการตัดสินใจว่าT ทุกตัวดังกล่าว มีปริภูมิย่อยไม่เปลี่ยนแปลงแบบปิดที่ไม่ใช่ปริภูมิย่อยศูนย์หรือไม่ ปัญหานี้ยังไม่มีคำตอบ

ในกรณีทั่วไปที่ ถือว่า Vเป็นปริภูมิบานาคPer Enflo (1976) พบตัวอย่างของตัวดำเนินการที่ไม่มีปริภูมิย่อยไม่เปลี่ยนแปลง ตัวอย่างที่เป็นรูปธรรมของตัวดำเนินการที่ไม่มีปริภูมิย่อยไม่เปลี่ยนแปลงนั้นถูกสร้างขึ้นในปี 1985 โดยCharles Read

ปริภูมิย่อยที่ไม่เปลี่ยนแปลงนั้นเกี่ยวข้องกับปริภูมิย่อยที่เรียกว่าเกือบไม่เปลี่ยนแปลง ( AIHS ) ปริภูมิย่อยปิดของปริภูมิบานาคจะเรียกว่าเกือบไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้ตัวดำเนินการถ้าสำหรับปริภูมิย่อยมิติจำกัดบางตัว; หรือเทียบเท่ากันเกือบไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้ถ้ามีตัวดำเนินการอันดับจำกัดที่ทำให้ นั่นคือ ถ้าไม่เปลี่ยนแปลง (ในความหมายปกติ) ภายใต้ในกรณีนี้ มิติต่ำสุดที่เป็นไปได้ของ(หรืออันดับของ) เรียกว่าข้อ บกพร่อง${\displaystyle Y}$${\displaystyle X}$${\displaystyle T\in {\mathcal {B}}(X)}$${\displaystyle TY\subseteq Y+E}$${\displaystyle E}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle T}$${\displaystyle F\in {\mathcal {B}}(X)}$${\displaystyle (T+F)Y\subseteq Y}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle T+F}$${\displaystyle E}$${\displaystyle F}$

เห็นได้ชัดว่าปริภูมิย่อยที่มีมิติจำกัดและมิติร่วมจำกัดทุกปริภูมิเกือบจะไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้ตัวดำเนินการทุกตัว ดังนั้น เพื่อให้เรื่องนี้ไม่ธรรมดา เราจึงกล่าวว่าเป็นครึ่งปริภูมิ เมื่อใดก็ตามที่เป็นปริภูมิย่อยปิดที่มีมิติอนันต์และมิติร่วมอนันต์ ${\displaystyle Y}$

ปัญหา AIHS ถามว่าตัวดำเนินการทุกตัวยอมรับ AIHS หรือไม่ ในบริบทเชิงซ้อน ปัญหานี้ได้รับการแก้ไขแล้ว กล่าวคือ ถ้าเป็นปริภูมิบานาคเชิงซ้อนมิติอนันต์ และแล้วจะยอมรับ AIHS ที่มีข้อบกพร่องไม่เกิน 1 ปัจจุบันยังไม่ทราบแน่ชัดว่าจะเป็นเช่นเดียวกันหรือไม่หากเป็นปริภูมิบานาคจริง อย่างไรก็ตาม ได้มีการสร้างผลลัพธ์บางส่วนขึ้นแล้ว เช่น ตัวดำเนินการสมมาตรในตัวเอง ใดๆ บนปริภูมิฮิลเบิร์ตจริงมิติอนันต์จะยอมรับ AIHS เช่นเดียวกับตัวดำเนินการเอกฐานอย่างเคร่งครัด (หรือกระชับ) ใดๆ ที่กระทำบนปริภูมิสะท้อนกลับจริงมิติอนันต์ ${\displaystyle X}$${\displaystyle T\in {\mathcal {B}}(X)}$${\displaystyle T}$${\displaystyle X}$

• แมนิโฟลด์ไม่แปรเปลี่ยน
• ทฤษฎีบทปริภูมิย่อยไม่แปรเปลี่ยนของโลโมโนซอฟ

• Abramovich, Yuri A.; Aliprantis, Charalambos D. (2002). An Invitation to Operator Theory . American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-2146-6.
• Beauzamy, Bernard (1988). บทนำสู่ทฤษฎีตัวดำเนินการและปริภูมิย่อยไม่เปลี่ยนแปลง . นอร์ทฮอลแลนด์.
• Enflo, Per ; Lomonosov, Victor (2001). " บางแง่มุมของปัญหาปริภูมิย่อยไม่แปรเปลี่ยน" คู่มือเรขาคณิตของปริภูมิบานาคเล่มที่ 1 อัมสเตอร์ดัม: นอร์ทฮอลแลนด์ หน้า  533–559
• Gohberg, Israel; Lancaster, Peter; Rodman, Leiba (2006). พื้นที่ย่อยไม่เปลี่ยนแปลงของเมทริกซ์พร้อมการประยุกต์ใช้ คลาสสิกในคณิตศาสตร์ประยุกต์ เล่มที่ 51 (พิมพ์ซ้ำ พร้อมรายการแก้ไขข้อผิดพลาดและคำนำใหม่ จากฉบับ Wiley ปี 1986) สมาคมคณิตศาสตร์อุตสาหกรรมและประยุกต์ (SIAM) หน้า xxii+692 ISBN 978-0-89871-608-5.
• Lyubich, Yurii I. (1988). บทนำสู่ทฤษฎีการแทนแบบบานาคของกลุ่ม (แปลจากฉบับภาษารัสเซียปี 1985). คาร์คอฟ, ยูเครน: Birkhäuser Verlag.
• Radjavi, Heydar; Rosenthal, Peter (2003). Invariant Subspaces (ฉบับปรับปรุงจากฉบับ Springer-Verlag ปี 1973). สำนักพิมพ์ Dover. ISBN 0-486-42822-2.
• โรมัน, สตีเฟน (2008). พีชคณิตเชิงเส้นขั้นสูง . ตำราเรียนคณิตศาสตร์ระดับบัณฑิตศึกษา (ฉบับที่สาม). สปริงเกอร์. ISBN 978-0-387-72828-5.