ในทางคณิตศาสตร์เมื่อองค์ประกอบของเซตใดเซต หนึ่ง มีความเท่าเทียมกัน (ซึ่งแสดงออกมาในรูปของความสัมพันธ์สมมูล ) เราสามารถแบ่งเซตนั้นออกเป็นกลุ่มสมมูลได้โดยธรรมชาติ กลุ่มสมมูลเหล่านี้ถูกสร้างขึ้นเพื่อให้องค์ประกอบและ อยู่ใน กลุ่มสมมูลเดียวกันก็ต่อเมื่อ องค์ประกอบทั้งสองนั้นสมมูลกัน ${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$

ในทางทฤษฎีแล้ว เมื่อกำหนดเซตและความสัมพันธ์สมมูลบนชั้นสมมูลของสมาชิกในเซต จะใช้สัญลักษณ์หรือเพื่อเน้นความสัมพันธ์สมมูลของมัน จะใช้สัญลักษณ์ และ จะถูกนิยามว่าเป็นเซตของสมาชิกทั้งหมดในเซตที่มีความสัมพันธ์แบบ กับ นิยามของความสัมพันธ์สมมูลหมายความว่าชั้นสมมูลก่อให้เกิดการแบ่งความ หมาย กล่าวคือ สมาชิกทุกตัวในเซต เป็นสมาชิกของชั้นสมมูลเพียงชั้นเดียวเท่านั้น เซตของชั้นสมมูลบางครั้งเรียกว่าเซตผลหารหรือปริภูมิผลหารของเซต โดยใช้ สัญลักษณ์ และใช้สัญลักษณ์${\displaystyle S}$${\displaystyle \sim }$${\displaystyle S,}$${\displaystyle a}$${\displaystyle S}$${\displaystyle [a]}$${\displaystyle [a]_{\sim }}$${\displaystyle \sim }$${\displaystyle S}$${\displaystyle a}$${\displaystyle \sim }$${\displaystyle S,}$${\displaystyle S}$${\displaystyle \sim ,}$${\displaystyle S/{\sim }.}$

เมื่อเซตมีโครงสร้างบางอย่าง (เช่นการดำเนินการของกลุ่มหรือโทโพโลยี ) และความสัมพันธ์สมมูลเข้ากันได้กับโครงสร้างนี้ เซตผลหารมักจะสืบทอดโครงสร้างที่คล้ายคลึงกันจากเซตแม่ ตัวอย่างเช่นปริภูมิผลหารในพีชคณิตเชิงเส้น ปริภูมิผลหารในโทโพโลยีกลุ่มผลหารปริภูมิเอกพันธุ์วงแหวนผลหาร โมโนอิดผลหารและหมวดหมู่ผลหาร ${\displaystyle S}$${\displaystyle \sim }$

ความสัมพันธ์สมมูลบนเซตคือความสัมพันธ์ทวิภาคบนซึ่งมีคุณสมบัติสามประการดังนี้: ^{[ 1 ]}${\displaystyle X}$${\displaystyle \sim }$${\displaystyle X}$

• ${\displaystyle a\sim a}$สำหรับทุกคน( การสะท้อนกลับ )${\displaystyle a\in X}$
• ${\displaystyle a\sim b}$หมายความว่าสำหรับทุก( สมมาตร )${\displaystyle b\sim a}$${\displaystyle a,b\in X}$
• ถ้าเช่นนั้นสำหรับทุก ๆ( สมบัติการถ่ายทอด )${\displaystyle a\sim b}$${\displaystyle b\sim c}$${\displaystyle a\sim c}$${\displaystyle a,b,c\in X}$

ชั้นสมมูลขององค์ประกอบถูกกำหนดเป็น^{[ 2 ]}${\displaystyle a}$

${\displaystyle [a]=\{x\in X:a\sim x\}.}$

โดยทั่วไป คำว่า "คลาส" ในคำว่า "คลาสสมมูล" อาจถือได้ว่าเป็นคำพ้องความหมายของ " เซต " แม้ว่าคลาสสมมูลบางคลาสจะไม่ใช่เซตแต่เป็นคลาสที่แท้จริงก็ตาม ตัวอย่างเช่น "การเป็นไอโซมอร์ฟิก " เป็นความสัมพันธ์สมมูลบนกลุ่มและคลาสสมมูลที่เรียกว่าคลาสไอโซมอร์ฟิซึมนั้นไม่ใช่เซต

เซตของชั้นสมมูลทั้งหมดในโดยสัมพันธ์กับความสัมพันธ์สมมูลจะถูกแทนด้วยและเรียกว่ามอดูโล (หรือ${\displaystyle X}$${\displaystyle R}$${\displaystyle X/R,}$${\displaystyle X}$${\displaystyle R}$เซตผลหารของโดย) ^{[ 3 ]}แผนที่ทั่วถึงจากไปยังซึ่งแมปแต่ละองค์ประกอบไปยังชั้นสมมูลของมัน เรียกว่า${\displaystyle X}$${\displaystyle R}$${\displaystyle x\mapsto [x]}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X/R,}$การฉายภาพแบบแคนอนิกหรือการฉายภาพแบบแคนอนิก

องค์ประกอบทุกตัวในชั้นสมมูลจะบ่งบอกลักษณะของชั้นนั้น และสามารถใช้แทนชั้นนั้นได้ เมื่อเลือกองค์ประกอบดังกล่าวแล้ว จะเรียกว่าตัวแทนของชั้นนั้น การเลือกตัวแทนในแต่ละชั้นจะกำหนดฟังก์ชัน หนึ่งต่อหนึ่ง จากไปยังXเนื่องจากผลรวมของฟังก์ชันนี้กับฟังก์ชันทั่วถึงแบบแคนอนิกคือเอกลักษณ์ ดังนั้นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งดังกล่าวจึงเรียกว่าส่วนตัดเมื่อใช้ศัพท์เฉพาะของทฤษฎีหมวดหมู่ ${\displaystyle X/R}$${\displaystyle X/R,}$

บางครั้งจะมีส่วนหนึ่งที่ "เป็นธรรมชาติ" มากกว่าส่วนอื่นๆ ในกรณีนี้ ตัวแทนเหล่านั้นเรียกว่าตัวแทนเชิงมาตรฐาน (canonical representatives ) ตัวอย่างเช่น ในเลขคณิตมอดูลาร์สำหรับจำนวนเต็มm ทุกตัว ที่มากกว่า1ความสอดคล้องมอดูลmคือความสัมพันธ์สมมูลบนจำนวนเต็ม ซึ่งจำนวนเต็มaและb สองจำนวน นั้นสมมูลกัน—ในกรณีนี้ เรากล่าวว่าสอดคล้องกัน —ถ้าmหารลงตัวเราจะใช้สัญลักษณ์แต่ละชั้นจะมีจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบที่ไม่ซ้ำกันเพียงตัวเดียวที่เล็กกว่าและจำนวนเต็มเหล่านี้คือตัวแทนเชิงมาตรฐาน ${\displaystyle ab;}$${\textstyle a\equiv b{\pmod {m}}.}$${\displaystyle m,}$

การใช้ตัวแทนในการแทนคลาสช่วยให้ไม่ต้องพิจารณาคลาสเป็นเซตโดยตรง ในกรณีนี้ ฟังก์ชันส่งผ่านแบบแคนอนิกที่แมปองค์ประกอบไปยังคลาสของมันจะถูกแทนที่ด้วยฟังก์ชันที่แมปองค์ประกอบไปยังตัวแทนของคลาส ในตัวอย่างก่อนหน้านี้ ฟังก์ชันนี้ถูกแทนด้วย และให้ ผลลัพธ์ เป็นเศษเหลือของการหารแบบยุคลิดของaด้วยm${\displaystyle a{\bmod {m}},}$

สำหรับเซตที่มีความสัมพันธ์สมมูลทุกองค์ประกอบของเป็นสมาชิกของชั้นสมมูลโดยการสะท้อนกลับ ( สำหรับทุก) ทุกสองชั้นสมมูลและจะเท่ากันก็ต่อเมื่อหรือไม่ก็แยกจากกัน ดังนั้น เซตของชั้นสมมูลทั้งหมดของก่อให้เกิดการแบ่งส่วนของ: ทุกองค์ประกอบของเป็นสมาชิกของชั้นสมมูลเพียงชั้นเดียวเท่านั้น^{[ 4 ]}${\displaystyle X}$${\displaystyle \sim }$${\displaystyle x}$${\displaystyle X}$${\displaystyle [x]}$${\displaystyle a\sim a}$${\displaystyle a\in X}$${\displaystyle [x]}$${\displaystyle [y]}$${\displaystyle x\sim y}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle x}$${\displaystyle X}$

ในทางกลับกัน สำหรับเซตทุกการแบ่งส่วนมาจากความสัมพันธ์สมมูลในลักษณะนี้ และความสัมพันธ์ที่แตกต่างกันจะให้การแบ่งส่วนที่แตกต่างกัน ดังนั้นก็ต่อเมื่อและอยู่ในเซตเดียวกันของการแบ่งส่วน^{[ 5 ]}${\displaystyle X}$${\displaystyle x\sim y}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$

จากคุณสมบัติในหัวข้อก่อนหน้านี้ สรุปได้ว่า ถ้าเป็นความสัมพันธ์สมมูลบนเซตและและเป็นสององค์ประกอบของข้อความต่อไปนี้จะสมมูลกัน: ${\displaystyle \,\sim \,}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle X,}$

• ${\displaystyle x\sim y}$,
• ${\displaystyle [x]=[y]}$, และ
• ${\displaystyle [x]\cap [y]\neq \emptyset .}$

• ให้เป็นเซตของสี่เหลี่ยมผืนผ้าทั้งหมดในระนาบ และความสัมพันธ์สมมูล "มีพื้นที่เท่ากับ" ดังนั้นสำหรับจำนวนจริงบวกแต่ละจำนวนจะมีชั้นสมมูลของสี่เหลี่ยมผืนผ้าทั้งหมดที่มีพื้นที่เท่ากับ^{[ 6 ]}${\displaystyle X}$${\displaystyle \,\sim \,}$${\displaystyle A,}$${\displaystyle A.}$
  • ตัวอย่างเช่น สี่เหลี่ยมผืนผ้าที่มีด้านยาว 2 คูณ 4 และ 1 คูณ 8 ต่างก็มีพื้นที่ 8 เท่ากัน แม้ว่าจะมีรูปร่างแตกต่างกัน แต่ก็ถือว่าเทียบเท่ากันภายใต้ความสัมพันธ์ "มีพื้นที่เท่ากัน" ดังนั้นจึงอยู่ในชั้นความเท่าเทียมกันเดียวกัน
• พิจารณา ความสัมพันธ์สมมูล โมดูลัส 2 บนเซตของจำนวนเต็มโดยที่ ก็ต่อเมื่อผลต่างของจำนวนเต็ม ทั้งสอง เป็นจำนวนคู่ความสัมพันธ์นี้ก่อให้เกิดชั้นสมมูลสองชั้นพอดี ชั้นหนึ่งประกอบด้วยจำนวนคู่ทั้งหมด และอีกชั้นหนึ่งประกอบด้วยจำนวนคี่ทั้งหมด การใช้วงเล็บเหลี่ยมล้อมรอบสมาชิกหนึ่งตัวของชั้นเพื่อแสดงถึงชั้นสมมูลภายใต้ความสัมพันธ์นี้และทั้งหมดแทนองค์ประกอบเดียวกันของ^{[ 2 ]}${\displaystyle \mathbb {Z} ,}$${\displaystyle x\sim y}$${\displaystyle xy}$${\displaystyle [7],[9],}$${\displaystyle [1]}$${\displaystyle \mathbb {Z} /{\sim }.}$
  • สามารถตรวจสอบความสอดคล้อง มอดูล 3 บนเซตของจำนวนเต็มเพื่อแสดงให้เห็นสิ่งนี้ได้ ภายใต้ความสัมพันธ์สมมูลนี้

[0] = {..., -9, -6, -3, 0, 3, 6, 9,...}

[1] = {..., -8, -5, -2, 1, 4, 7, 10,...}

[2] = {..., -7, -4, -1, 2, 5, 8, 11,...}

แต่ละค่าในนั้นเป็นของคลาสใดคลาสหนึ่งเท่านั้น โดยที่องค์ประกอบ 0, 1 และ 2 เป็น ตัวแทน มาตรฐานของคลาสเหล่านั้น ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

• ให้เป็นเซตของคู่ลำดับของจำนวนเต็มที่มีค่าไม่เป็นศูนย์และกำหนดความสัมพันธ์สมมูลบนโดยที่ถ้าและเฉพาะเมื่อ แล้วชั้นสมมูลของคู่สามารถระบุได้กับจำนวนตรรกยะและความสัมพันธ์สมมูลนี้และชั้นสมมูลของมันสามารถใช้เพื่อให้คำจำกัดความอย่างเป็นทางการของเซตของจำนวนตรรกยะได้^{[ 7 ]}การสร้างแบบเดียวกันนี้สามารถขยายไปสู่ฟิลด์เศษส่วนของโดเมนจำนวนเต็ม ใดๆ ได้ ${\displaystyle X}$${\displaystyle (a,b)}$${\displaystyle b,}$${\displaystyle \,\sim \,}$${\displaystyle X}$${\displaystyle (a,b)\sim (c,d)}$${\displaystyle ad=bc,}$${\displaystyle (a,b)}$${\displaystyle a/b,}$
  • คู่ลำดับและเป็นตัวอย่างหนึ่งของเรื่องนี้ คู่ลำดับเหล่านี้อยู่ในชั้นสมมูลเดียวกัน เนื่องจากแต่ละ คู่ แทนจำนวนตรรกยะ${\displaystyle (1,2),(2,4)}$${\displaystyle (3,6)}$${\displaystyle (a,b)}$1/2⁠ .
• ถ้าประกอบด้วยเส้นตรงทั้งหมดในระนาบยุคลิดและหมายความว่าและเป็นเส้นตรงขนานกันแล้ว เซตของเส้นตรงที่ขนานกันจะก่อให้เกิดชั้นสมมูล ตราบใดที่เส้นตรงนั้นถือว่าขนานกับตัวมันเองในสถานการณ์นี้ แต่ละชั้นสมมูลจะกำหนดจุดอนันต์จุดหนึ่ง ${\displaystyle X}$${\displaystyle L\sim M}$${\displaystyle L}$${\displaystyle M}$
  • ในระนาบพิกัดคาร์ทีเซียนเส้นตรงและมีความชันเท่ากัน และขนานกัน ดังนั้นจึงอยู่ในชั้นสมมูลเดียวกัน${\displaystyle y=2x-3}$${\displaystyle y=2x+1}$
• สำหรับเซตใดๆความสัมพันธ์นี้เป็นความสัมพันธ์สมมูล ซึ่งชั้นสมมูลทุกชั้นเป็นเซตที่ประกอบด้วยสมาชิกเพียงตัวเดียว ${\displaystyle X}$${\displaystyle x\sim y\iff x=y}$
  • ถ้า= แล้วชั้นสมมูลคือและเนื่องจากไม่มีองค์ประกอบที่แตกต่างกันสองตัวใดที่ถือว่าสมมูลกันภายใต้ความสัมพันธ์ความเท่าเทียมกัน${\displaystyle X}$${\displaystyle \{1,2,3\}}$${\displaystyle [1],[2],}$${\displaystyle [3]}$

กราฟที่ไม่มีทิศทางอาจเชื่อมโยงกับความสัมพันธ์สมมาตร ใดๆ บนเซตที่จุดยอดเป็นองค์ประกอบของและจุดยอดสองจุดและจะเชื่อมต่อกันก็ต่อเมื่อในบรรดากราฟเหล่านี้มีกราฟของความสัมพันธ์สมมูล กราฟเหล่านี้เรียกว่ากราฟคลัสเตอร์ ซึ่งมี ^{ลักษณะ}เป็นกราฟที่ส่วนประกอบที่เชื่อมต่อกันเป็นคลิก [ ^{2 ]}${\displaystyle X,}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle s}$${\displaystyle t}$${\displaystyle s\sim t.}$

ถ้าเป็นความสัมพันธ์สมมูลบนและเป็นคุณสมบัติของสมาชิกของโดยที่เมื่อใดก็ตามที่เป็นจริง ถ้าเป็นจริง แล้วคุณสมบัตินั้นกล่าวได้ว่าเป็นค่าคงที่ของหรือนิยามได้ดีภายใต้ความสัมพันธ์${\displaystyle \,\sim \,}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle P(x)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle x\sim y,}$${\displaystyle P(x)}$${\displaystyle P(y)}$${\displaystyle P}$${\displaystyle \,\sim \,,}$${\displaystyle \,\sim .}$

กรณีเฉพาะที่เกิดขึ้นบ่อยครั้งคือ เมื่อเป็นฟังก์ชันจากเซตหนึ่งไปยังอีกเซตหนึ่งถ้า เมื่อใดก็ตามที่กล่าวได้ว่า เป็นฟังก์ชันคงที่ภายใต้หรือเรียกง่ายๆ ว่า คงที่ภายใต้สิ่งนี้เกิดขึ้น เช่น ในทฤษฎีลักษณะเฉพาะของกลุ่มจำกัด ผู้เขียนบางคนใช้คำว่า "เข้ากันได้กับ" หรือ "เคารพ" แทนคำว่า "คงที่ภายใต้" ${\displaystyle f}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle f\left(x_{1}\right)=f\left(x_{2}\right)}$${\displaystyle x_{1}\sim x_{2},}$${\displaystyle f}$${\displaystyle \,\sim \,,}$${\displaystyle \,\sim .}$${\displaystyle \,\sim \,}$${\displaystyle \,\sim \,}$${\displaystyle \,\sim \,}$

ฟังก์ชัน ใดๆจะเป็นฟังก์ชันไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้คลาสซึ่งก็คือถ้าและเฉพาะเมื่อคลาสสมมูลของคือเซตของสมาชิกทั้งหมดในที่ ถูกแมปไปยังนั่นคือ คลาสเป็นภาพผกผันของความสัมพันธ์สมมูลนี้เรียกว่าเคอร์เนลของ${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle \,\sim \,,}$${\displaystyle x_{1}\sim x_{2}}$${\displaystyle f\left(x_{1}\right)=f\left(x_{2}\right).}$${\displaystyle x}$${\displaystyle X}$${\displaystyle f(x),}$${\displaystyle [x]}$${\displaystyle f(x).}$${\displaystyle f.}$

โดยทั่วไปแล้ว ฟังก์ชันอาจแปลงอาร์กิวเมนต์ที่เทียบเท่ากัน (ภายใต้ความสัมพันธ์สมมูลบน) ไปเป็นค่าที่เทียบเท่ากัน (ภายใต้ความสัมพันธ์สมมูลบน) ฟังก์ชันดังกล่าวเป็นมอร์ฟิซึมของเซตที่มาพร้อมกับความสัมพันธ์สมมูล ${\displaystyle \sim _{X}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \sim _{Y}}$${\displaystyle Y}$

ในทางโทโพโลยี ปริภูมิผลหารคือปริภูมิโทโพโลยีที่สร้างขึ้นบนเซตของชั้นสมมูลของความสัมพันธ์สมมูลบนปริภูมิโทโพโลยี โดยใช้โทโพโลยีของปริภูมิเดิมในการสร้างโทโพโลยีบนเซตของชั้นสมมูล

ในพีชคณิตนามธรรมความสัมพันธ์สมมูลบนเซตพื้นฐานของพีชคณิตทำให้พีชคณิตนั้นสามารถสร้างพีชคณิตบนชั้นสมมูลของความสัมพันธ์ได้ ซึ่งเรียกว่าพีชคณิตผลหารในพีชคณิตเชิงเส้นปริภูมิผลหารคือปริภูมิเวกเตอร์ที่เกิดจากการเลือกกลุ่มผลหารโดยที่โฮโมมอร์ฟิซึมผลหารเป็นแผนที่เชิงเส้นโดยการขยายความ ในพีชคณิตนามธรรม คำว่าปริภูมิผลหารอาจใช้กับโมดูลผลหารวงแหวนผลหารกลุ่มผลหารหรือพีชคณิตผลหารใดๆ ก็ได้ อย่างไรก็ตาม การใช้คำนี้ในกรณีทั่วไปมักทำได้โดยการเปรียบเทียบกับวงโคจรของการกระทำของกลุ่ม

วงโคจรของการกระทำของกลุ่มบนเซตหนึ่ง อาจเรียกว่าปริภูมิผลหารของการกระทำบนเซตนั้น โดยเฉพาะอย่างยิ่งเมื่อวงโคจรของการกระทำของกลุ่มนั้นเป็นโคเซต ขวา ของกลุ่มย่อยของกลุ่ม ซึ่งเกิดขึ้นจากการกระทำของกลุ่มย่อยบนกลุ่มโดยการเลื่อนไปทางซ้าย หรือเป็นโคเซตซ้ายในฐานะวงโคจรภายใต้การเลื่อนไปทางขวา

กลุ่มย่อยปกติของกลุ่มทางทอพอโลยี ซึ่งกระทำต่อกลุ่มโดยการกระทำแบบการเลื่อน เป็นปริภูมิผลหารในความหมายของทอพอโลยี พีชคณิตนามธรรม และการกระทำของกลุ่มไปพร้อมๆ กัน

แม้ว่าคำนี้จะสามารถใช้กับเซตของชั้นสมมูลของความสัมพันธ์สมมูลใดๆ ก็ได้ ซึ่งอาจมีโครงสร้างเพิ่มเติม แต่โดยทั่วไปแล้วเจตนาของการใช้คำนี้คือการเปรียบเทียบความสัมพันธ์สมมูลประเภทนั้นบนเซตหนึ่งกับความสัมพันธ์สมมูลที่เหนี่ยวนำให้เกิดโครงสร้างบางอย่างบนเซตของชั้นสมมูลจากโครงสร้างประเภทเดียวกันหรือกับวงโคจรของการกระทำของกลุ่ม ทั้งความหมายของโครงสร้างที่รักษาไว้โดยความสัมพันธ์สมมูล และการศึกษาตัวแปรคงที่ภายใต้การกระทำของกลุ่ม นำไปสู่คำจำกัดความของตัวแปรคงที่ของความสัมพันธ์สมมูลที่กล่าวไว้ข้างต้น ${\displaystyle X,}$${\displaystyle X,}$

• การแบ่งส่วนความเท่าเทียมกัน (Equivalence partitioning ) เป็นวิธีการสร้างชุดทดสอบซอฟต์แวร์โดยพิจารณาจากความครอบคลุมของโปรแกรมต่ออินพุตที่เป็นไปได้
• ปริภูมิเอกพันธุ์ปริภูมิผลหารของกลุ่มลี
• ความสัมพันธ์สมมูลบางส่วน  – แนวคิดทางคณิตศาสตร์สำหรับการเปรียบเทียบวัตถุ
• ผลหารโดยความสัมพันธ์สมมูล  – การขยายแนวคิดชั้นสมมูลไปสู่ทฤษฎีโครงร่าง
• เซตอยด์  – โครงสร้างทางคณิตศาสตร์ของเซตที่มีความสัมพันธ์สมมูล
• เซต ตัดขวาง (คณิตศาสตร์เชิงการจัดเรียง)  – เซตที่ตัดกับทุกเซตในกลุ่มของเซต

• ซันด์สตรอม (2003), การให้เหตุผลทางคณิตศาสตร์: การเขียนและการพิสูจน์ , เพรนติส-ฮอลล์
• Smith; Eggen; St.Andre (2006), การเปลี่ยนผ่านสู่คณิตศาสตร์ขั้นสูง (ฉบับที่ 6), Thomson (Brooks/Cole)
• Schumacher, Carol (1996), บทที่ศูนย์: แนวคิดพื้นฐานของคณิตศาสตร์นามธรรม , Addison-Wesley, ISBN 0-201-82653-4
• โอเลียรี (2003), โครงสร้างของการพิสูจน์: ด้วยตรรกศาสตร์และทฤษฎีเซต , เพรนติส-ฮอลล์
• เลย์ (2001), การวิเคราะห์พร้อมบทนำสู่การพิสูจน์ , เพรนติส ฮอลล์
• Morash, Ronald P. (1987), สะพานสู่คณิตศาสตร์นามธรรม , Random House, ISBN 0-394-35429-X
• กิลเบิร์ต; แวนสโตน (2005), บทนำสู่การคิดเชิงคณิตศาสตร์ , เพียร์สัน เพรนติส-ฮอลล์
• เฟลตเชอร์; แพตตี้, พื้นฐานของคณิตศาสตร์ขั้นสูง , PWS-Kent
• Iglewicz; Stoyle, บทนำสู่การให้เหตุผลทางคณิตศาสตร์ , MacMillan
• D'Angelo; West (2000), การคิดเชิงคณิตศาสตร์: การแก้ปัญหาและการพิสูจน์ , Prentice Hall
• คูปิลลารี , หลักการพื้นฐานของการพิสูจน์ , วาดส์เวิร์ธ
• บอนด์, บทนำสู่คณิตศาสตร์นามธรรม , บรูคส์/โคล
• Barnier; Feldman (2000), บทนำสู่คณิตศาสตร์ขั้นสูง , Prentice Hall
• แอช, บทนำสู่คณิตศาสตร์นามธรรม , MAA