ในทฤษฎีเซตเคอร์เนลของฟังก์ชัน( หรือเคอร์เนลสมมูล^{[ 1 ]} ) อาจถือได้ว่าเป็นอย่างใดอย่างหนึ่ง ${\displaystyle f}$

• ความสัมพันธ์สมมูล บน โดเมนของฟังก์ชันที่แสดงแนวคิดคร่าวๆ ของ "สมมูลเท่าที่ฟังก์ชันสามารถบอกได้" ^{[ 2 ]}หรือ${\displaystyle f}$
• การแบ่งส่วนที่สอดคล้องกันของโดเมน

แนวคิดที่ไม่เกี่ยวข้องกันคือแนวคิดของแกนกลาง ของ กลุ่มเซต ที่ไม่ว่างเปล่าซึ่งตามนิยามแล้วคือจุดตัดของสมาชิกทั้งหมดในกลุ่มนั้น นิยามนี้ใช้ในทฤษฎีของตัวกรองเพื่อจำแนกตัวกรองว่าเป็นตัวกรองอิสระหรือ ตัว กรอง หลัก${\displaystyle {\mathcal {B}},}$$${\displaystyle \ker {\mathcal {B}}~=~\bigcap _{B\in {\mathcal {B}}}\,B.}$$

เคอร์เนลของฟังก์ชัน

สำหรับคำจำกัดความอย่างเป็นทางการ ให้เป็นฟังก์ชันระหว่างเซต สองเซต สมาชิกจะเทียบเท่ากันก็ต่อเมื่อและเท่ากันนั่นคือ เป็นสมาชิกเดียวกันของ เคอร์เนลของคือความสัมพันธ์สมมูลที่กำหนดไว้ดังนี้^{[ 2 ]}${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle x_{1},x_{2}\in X}$${\displaystyle f\left(x_{1}\right)}$${\displaystyle f\left(x_{2}\right)}$${\displaystyle Y.}$${\displaystyle f}$

แกนหลักของตระกูลเซต

เดอะเคอร์เนลของกลุ่มเซต${\displaystyle {\mathcal {B}}\neq \varnothing }$คือ ^{[ 3 ]} เคอร์เนลของบางครั้งก็แสดงด้วยเคอร์เนลของเซตว่างมักจะไม่ได้กำหนดไว้ กลุ่มเซตเรียกว่า$${\displaystyle \ker {\mathcal {B}}~:=~\bigcap _{B\in {\mathcal {B}}}B.}$$${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle \cap {\mathcal {B}}.}$${\displaystyle \ker \varnothing ,}$แก้ไขแล้วและกล่าวกันว่ามีการตัดกันที่ไม่ว่างเปล่าหากเคอร์เนลไม่ว่างเปล่า ^{[ 3 ]} กล่าวกันว่าตระกูลคือเป็นอิสระหากไม่คงที่ กล่าวคือหากแกนกลางเป็นเซตว่าง ^{[ 3 ]}

เช่นเดียวกับความสัมพันธ์สมมูลใดๆ แกนหลักสามารถแยกออกเพื่อสร้างเซตผลหารได้และเซตผลหารนั้นก็คือการแบ่งส่วน: $${\displaystyle \left\{\,\{w\in X:f(x)=f(w)\}~:~x\in X\,\right\}~=~\left\{f^{-1}(y)~:~y\in f(X)\right\}.}$$

เซตผลหารนี้เรียกว่าภาพร่วมของฟังก์ชันและใช้สัญลักษณ์(หรือรูปแบบอื่น) ภาพร่วมนี้เป็นไอโซมอร์ฟิกตามธรรมชาติ (ในความหมายเชิงเซตของการจับคู่แบบหนึ่งต่อหนึ่ง ) กับภาพโดยเฉพาะอย่างยิ่งชั้นสมมูลของใน(ซึ่งเป็นสมาชิกของ) สอดคล้องกับใน(ซึ่งเป็นสมาชิกของ) ${\displaystyle X/=_{f}}$${\displaystyle f,}$${\displaystyle \operatorname {coim} f}$${\displaystyle \ชื่อผู้ดำเนินการ {im} f;}$${\displaystyle x}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \operatorname {coim} f}$${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle \ชื่อผู้ดำเนินการ {im} f}$

เช่นเดียวกับความสัมพันธ์แบบไบนารี ใดๆ เคอร์เนลของฟังก์ชันอาจถูกมองว่าเป็นเซตย่อยของผลคูณคาร์ทีเซียน ในรูปแบบนี้ เคอร์เนลอาจถูกแสดงด้วย(หรือรูปแบบอื่น) และอาจถูกกำหนดในเชิงสัญลักษณ์เป็น^{[ 2 ]}${\displaystyle X\times X.}$${\displaystyle \ker f}$$${\displaystyle \ker f:=\{(x,x'):f(x)=f(x')\}.}$$

การศึกษาคุณสมบัติของเซตย่อยนี้สามารถช่วยให้เข้าใจได้ดียิ่งขึ้น${\displaystyle f.}$

ถ้าและเป็นโครงสร้างพีชคณิตประเภทคงที่บางประเภท (เช่นกลุ่มวงแหวนหรือปริภูมิเวกเตอร์ ) และถ้าฟังก์ชันเป็นโฮโมมอร์ฟิซึมแล้วจะเป็นความสัมพันธ์สมมูล (นั่นคือความสัมพันธ์สมมูลที่เข้ากันได้กับโครงสร้างพีชคณิต) และโคอิมเมจของเป็นผลหารของ^{[ 2 ]} การจับคู่แบบหนึ่งต่อหนึ่งระหว่างโคอิมเมจและภาพของเป็นไอโซมอร์ฟิซึมในความหมายทางพีชคณิต นี่คือรูปแบบทั่วไปที่สุดของ ทฤษฎีบทไอโซมอร์ฟิ ซึม ข้อแรก${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle \ker f}$${\displaystyle f}$${\displaystyle X.}$${\displaystyle f}$

ถ้าเป็นฟังก์ชันต่อเนื่องระหว่างปริภูมิเชิงทอพอโลยี สอง ปริภูมิ คุณสมบัติเชิงทอพอโลยีของสามารถให้ความกระจ่างเกี่ยวกับปริภูมิและ ได้ ตัวอย่างเช่น ถ้าเป็นปริภูมิเฮาส์ดอร์ฟแล้วจะต้องเป็นเซตปิดในทางกลับกัน ถ้าเป็นปริภูมิเฮาส์ดอร์ฟ และเป็นเซตปิด ภาพร่วมของถ้ากำหนด ทอพอโลยี ของปริภูมิผลหารจะต้องเป็นปริภูมิเฮาส์ดอร์ฟด้วย ${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle \ker f}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y.}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle \ker f}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \ker f}$${\displaystyle f,}$

พื้นที่จะกระชับก็ต่อเมื่อเคอร์เนลของตระกูลเซตปิด ทุกตระกูล ที่มีคุณสมบัติการตัดกันแบบจำกัด (FIP) ไม่ว่างเปล่า^{[ 4 ] [ 5 ]}กล่าวอีกนัยหนึ่ง พื้นที่จะกระชับก็ต่อเมื่อตระกูลเซตปิดทุกตระกูลที่มี FIP ถูกกำหนด ไว้

• กรองตามเซต  – กลุ่มของเซตย่อยที่แสดงถึงเซตขนาดใหญ่

• Awodey, Steve (2010) [2006]. ทฤษฎีหมวดหมู่ . คู่มือตรรกศาสตร์ออกซ์ฟอร์ด เล่มที่ 49 (ฉบับที่ 2). สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยออกซ์ฟอร์ด. ISBN 978-0-19-923718-0.
• Dolecki, Szymon ; Mynard, Frédéric (2016). รากฐานการบรรจบกันของโทโพโลยี . นิวเจอร์ซีย์: World Scientific Publishing Company. ISBN 978-981-4571-52-4. OCLC  945169917 .