ในทางคณิตศาสตร์ภาพของฟังก์ชันคือเซตของสมาชิก ทั้งหมด ที่ทำให้เป็นสมาชิกในโดเมน ของฟังก์ชันนั้น ภาพของฟังก์ชันโดยสมาชิกของ ในโดเมนของฟังก์ชันคือผลลัพธ์ที่สอดคล้องกับอินพุตภาพของฟังก์ชันโดยเซตย่อยของโดเมนของฟังก์ชันคือเซตของสมาชิกทั้งหมดที่ทำให้อยู่ในในเซตย่อยนั้นนั่นคือเซตของภาพของสมาชิกของหรือกล่าวอีกนัยหนึ่งคือภาพของการ จำกัดฟังก์ชันบนเซตย่อยนั้น${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f}$${\displaystyle x}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle f}$${\displaystyle S}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$${\displaystyle f}$${\displaystyle S}$

ภาพต้นแบบหรือภาพผกผันนั้นถูกนิยามในลักษณะเดียวกัน โดยการสลับบทบาทของโดเมนและโคโดเมน :

ภาพผกผันของสมาชิกใน${\displaystyle y}$โคโดเมนของคือ${\displaystyle f}$เซตของสมาชิกทั้งหมดในโดเมนของซึ่งสอดคล้องกับเงื่อนไขโดยจะเป็นเซตว่างหากสมาชิกนั้นไม่ได้อยู่ในภาพของ ภาพผกผันของเซตย่อยในโคโดเมนของคือเซตของสมาชิกทั้งหมดใน${\displaystyle x}$โดเมนของ${\displaystyle f}$ซึ่งสอดคล้องกับเงื่อนไขภาพ ผกผัน ของโคโดเมนของคือตามนิยามของฟังก์ชัน ก็คือโดเมนของ${\displaystyle f(x)=y}$${\displaystyle y}$${\displaystyle f}$${\displaystyle T}$${\displaystyle f}$${\displaystyle x}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f(x)\in T}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f}$

ภาพและภาพผกผันอาจนิยามได้ในทำนองเดียวกันสำหรับความสัมพันธ์ทวิภาค ทั่วไป ในการสรุปทั่วไปนี้ ภาพและภาพต้นแบบมีบทบาทสมมาตร กล่าวคือ ภาพและภาพต้นแบบของความสัมพันธ์หนึ่งจะเป็นภาพต้นแบบและภาพของความสัมพันธ์ตรงข้าม ตามลำดับ

คำว่า "ภาพ" ถูกใช้ในสามลักษณะที่เกี่ยวข้องกัน ในคำจำกัดความเหล่านี้หมายถึงฟังก์ชันจากเซตหนึ่งไปยังอีกเซตหนึ่ง ${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$

ถ้าเป็นสมาชิกของแล้วภาพของภายใต้ซึ่งแสดงด้วยคือค่าของเมื่อนำไปใช้กับหรือเรียกอีกอย่างว่าผลลัพธ์ของสำหรับอาร์กิวเมนต์ ${\displaystyle x}$${\displaystyle X}$${\displaystyle x}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle f}$${\displaystyle x}$${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle f}$${\displaystyle x}$

กำหนดให้ฟังก์ชันจะรับค่าหรือรับค่าเป็นค่าถ้ามีค่าบางค่าในโดเมนของฟังก์ชันที่ทำให้ ในทำนองเดียวกัน กำหนดให้เซตจะรับค่า ในถ้ามีค่าบางค่าในโดเมนของฟังก์ชันที่ทำให้อย่างไรก็ตามฟังก์ชันรับค่า [ทั้งหมด] ในและมีค่า ในหมายความว่าสำหรับทุกจุดในโดเมนของ ${\displaystyle y}$${\displaystyle f}$${\displaystyle y}$${\displaystyle y}$${\displaystyle x}$${\displaystyle f(x)=y}$${\displaystyle S,}$${\displaystyle f}$${\displaystyle S}$${\displaystyle x}$${\displaystyle f(x)\in S}$${\displaystyle f}$${\displaystyle S}$${\displaystyle f}$${\displaystyle S}$${\displaystyle f(x)\in S}$${\displaystyle x}$${\displaystyle f}$

ตลอดทั้งบทความนี้ ให้ เป็นฟังก์ชัน${\displaystyle f:X\to Y}$ภาพภายใต้เซตย่อยของคือเซตของทั้งหมดสำหรับโดยใช้สัญลักษณ์หรือเมื่อไม่มีความเสี่ยงที่จะเกิดความสับสน โดยใช้สัญลักษณ์การสร้างเซตคำจำกัดความนี้สามารถเขียนได้ดังนี้^{[ 1 ] [ 2 ]}${\displaystyle f}$${\displaystyle A}$${\displaystyle X}$${\displaystyle f(a)}$${\displaystyle a\in A}$${\displaystyle f[A]}$${\displaystyle f(A)}$$${\displaystyle f[A]=\{f(a):a\in A\}}$$

สิ่งนี้ทำให้เกิดฟังก์ชันโดยที่หมายถึงเซตกำลังของเซตนั่นคือเซตของเซตย่อย ทั้งหมด ของดู รายละเอียด เพิ่มเติมได้ ในหัวข้อ § สัญลักษณ์ ด้านล่าง${\displaystyle f[\,\cdot \,]:{\mathcal {P}}(X)\to {\mathcal {P}}(Y)}$${\displaystyle {\mathcal {P}}(S)}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$

ภาพของฟังก์ชันคือภาพของโดเมน ทั้งหมดของ ฟังก์ชันหรือเรียกอีกอย่างว่าเรนจ์ของฟังก์ชัน^{[ 3 ]}ควรหลีกเลี่ยงการใช้คำนี้เพราะคำว่า "เรนจ์" มักใช้ในความหมายเดียวกับโคโดเมนของฟังก์ชัน ด้วย${\displaystyle f}$

ถ้าเป็นความสัมพันธ์ทวิภาค ใดๆ บนแล้วเซตเรียกว่า ภาพ หรือ เรนจ์ ของและในทางกลับกัน เซตเรียกว่า โดเมนของ ${\displaystyle R}$${\displaystyle X\times Y}$${\displaystyle \{y\in Y:xRy{\text{ สำหรับบาง }}x\in X\}}$${\displaystyle R}$${\displaystyle \{x\in X:xRy{\text{ สำหรับบาง }}y\in Y\}}$${\displaystyle R}$

ให้เป็นฟังก์ชันจากไปภาพผกผันหรือภาพต้นฉบับของเซตภายใต้ซึ่งแทนด้วยคือเซตย่อยของที่กำหนดโดย ${\displaystyle f}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y.}$${\displaystyle B\subseteq Y}$${\displaystyle f,}$${\displaystyle f^{-1}[B],}$${\displaystyle X}$$${\displaystyle f^{-1}[B]=\{x\in X\,:\,f(x)\in B\}.}$$

สัญลักษณ์อื่นๆ ได้แก่และ^{[ 4 ]} ภาพผกผันของเซตเดี่ยวซึ่งแสดงด้วยหรือ ด้วยเรียกว่าไฟเบอร์ (หรือไฟเบอร์) เหนือหรือเซตระดับของเซตของไฟเบอร์ทั้งหมดเหนือองค์ประกอบของคือตระกูลของเซตที่มีดัชนีโดย${\displaystyle f^{-1}(B)}$${\displaystyle f^{-}(B).}$${\displaystyle f^{-1}[\{y\}]}$${\displaystyle f^{-1}(y),}$${\displaystyle y}$${\displaystyle y.}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle Y.}$

ตัวอย่างเช่น สำหรับฟังก์ชันภาพผกผันของจะเป็นอีกครั้ง หากไม่มีความเสี่ยงต่อความสับสนสามารถเขียนแทนด้วยและยังสามารถคิดได้ว่าเป็นฟังก์ชันจากเซตกำลังของไปยังเซตกำลังของสัญลักษณ์นี้ไม่ควรสับสนกับสัญลักษณ์สำหรับฟังก์ชันผกผันแม้ว่ามันจะตรงกับสัญลักษณ์ปกติสำหรับฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึง (bijection) ในแง่ที่ว่าภาพผกผันของภายใต้คือภาพของภายใต้${\displaystyle f(x)=x^{2},}$${\displaystyle \{4\}}$${\displaystyle \{-2,2\}.}$${\displaystyle f^{-1}[B]}$${\displaystyle f^{-1}(B),}$${\displaystyle f^{-1}}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle X.}$${\displaystyle f^{-1}}$${\displaystyle B}$${\displaystyle f}$${\displaystyle B}$${\displaystyle f^{-1}.}$

สัญกรณ์แบบดั้งเดิมที่ใช้ในส่วนก่อนหน้านี้ไม่ได้แยกความแตกต่างระหว่างฟังก์ชันดั้งเดิมกับฟังก์ชันภาพของเซตในทำนองเดียวกันก็ไม่ได้แยกความแตกต่างระหว่างฟังก์ชันผกผัน (สมมติว่ามีอยู่) กับฟังก์ชันภาพผกผัน (ซึ่งเชื่อมโยงเซตกำลังอีกครั้ง) เมื่อพิจารณาบริบทที่เหมาะสม สัญกรณ์นี้จะเบาและโดยปกติจะไม่ทำให้เกิดความสับสน แต่ถ้าจำเป็น ทางเลือกอื่น^{[ 5 ]}คือการกำหนดชื่อที่ชัดเจนสำหรับภาพและภาพก่อนหน้าเป็นฟังก์ชันระหว่างเซตกำลัง: ${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle f:{\mathcal {P}}(X)\to {\mathcal {P}}(Y)}$

• ${\displaystyle f^{\rightarrow }:{\mathcal {P}}(X)\to {\mathcal {P}}(Y)}$กับ${\displaystyle f^{\rightarrow }(A)=\{f(a)\;|\;a\in A\}}$
• ${\displaystyle f^{\leftarrow }:{\mathcal {P}}(Y)\to {\mathcal {P}}(X)}$กับ${\displaystyle f^{\leftarrow }(B)=\{a\in X\;|\;f(a)\in B\}}$

• ${\displaystyle f_{\star }:{\mathcal {P}}(X)\to {\mathcal {P}}(Y)}$แทนที่จะ${\displaystyle f^{\rightarrow }}$
• ${\displaystyle f^{\star }:{\mathcal {P}}(Y)\to {\mathcal {P}}(X)}$แทนที่จะ${\displaystyle f^{\leftarrow }}$

• สัญกรณ์ทางเลือกที่ใช้ในตรรกศาสตร์คณิตศาสตร์และทฤษฎีเซตคือ^{[ 6 ] [ 7 ]}${\displaystyle f[A]}$${\displaystyle f\,''A.}$
• ข้อความบางส่วนอ้างถึงภาพของช่วงของ^{[ 8 ]}แต่ควรหลีกเลี่ยงการใช้คำนี้เพราะคำว่า "ช่วง" มักใช้เพื่อหมายถึงโคโดเมนของ${\displaystyle f}$${\displaystyle f,}$${\displaystyle f.}$

1. ${\displaystyle f:\{1,2,3\}\to \{a,b,c,d\}}$กำหนดโดย${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}1\mapsto a,\\2\mapsto a,\\3\mapsto c.\end{matrix}}\right.}$
   ภาพของเซตภายใต้คือภาพของฟังก์ชันคือภาพผกผันของคือภาพผกผันของก็คือภาพผกผันของภายใต้คือเซตว่าง${\displaystyle \{2,3\}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f(\{2,3\})=\{a,c\}.}$${\displaystyle f}$${\displaystyle \{a,c\}.}$${\displaystyle a}$${\displaystyle f^{-1}(\{a\})=\{1,2\}.}$${\displaystyle \{a,b\}}$${\displaystyle f^{-1}(\{a,b\})=\{1,2\}.}$${\displaystyle \{b,d\}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle \{\ \}=\emptyset .}$
2. ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$กำหนดโดย${\displaystyle f(x)=x^{2}.}$
   ภาพของเซตภายใต้คือและภาพของ เซตภายใต้ คือ(เซตของจำนวนจริงบวก ทั้งหมด และศูนย์) ภาพผกผันของเซตภายใต้คือภาพผกผัน ของเซต ภายใต้คือเซตว่าง เพราะจำนวนลบไม่มีรากที่สองในเซตของจำนวนจริง${\displaystyle \{-2,3\}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f(\{-2,3\})=\{4,9\},}$${\displaystyle f}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{+}}$${\displaystyle \{4,9\}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f^{-1}(\{4,9\})=\{-3,-2,2,3\}.}$${\displaystyle N=\{n\in \mathbb {R} :n<0\}}$${\displaystyle f}$
3. ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} }$กำหนดโดย${\displaystyle f(x,y)=x^{2}+y^{2}.}$
   เส้นใยคือวงกลมศูนย์กลางร่วมกันรอบจุดกำเนิดจุดกำเนิดเอง และเซตว่าง (ตามลำดับ) ขึ้นอยู่กับว่า(ตามลำดับ) หรือไม่ (ถ้าเป็นเช่นนั้นเส้นใยคือเซตของทั้งหมดที่สอดคล้องกับสมการนั่นคือ วงกลมที่มีจุดกำเนิดเป็นศูนย์กลางและรัศมี)${\displaystyle f^{-1}(\{a\})}$${\displaystyle a>0,\ a=0,{\text{ or }}\ a<0}$${\displaystyle a\geq 0,}$${\displaystyle f^{-1}(\{a\})}$${\displaystyle (x,y)\in \mathbb {R} ^{2}}$${\displaystyle x^{2}+y^{2}=a,}$${\displaystyle {\sqrt {a}}.}$
4. ถ้าเป็นแมนิโฟลด์และคือการฉายภาพ เชิงแคนอนิก จากบันเดิลสัมผัสไปยังแล้วไฟเบอร์ของ ก็คือปริภูมิสัมผัสนี่ก็เป็นตัวอย่างของบันเดิลไฟเบอร์เช่น กัน${\displaystyle M}$${\displaystyle \pi :TM\to M}$${\displaystyle TM}$${\displaystyle M,}$${\displaystyle \pi }$${\displaystyle T_{x}(M){\text{ for }}x\in M.}$
5. กลุ่มผลหารคือภาพ โฮโมมอร์ ฟิก

ตัวอย่างค้านที่อิงตามจำนวนจริง ที่กำหนดโดยแสดงให้เห็นว่าความเท่าเทียมกันโดยทั่วไปไม่จำเป็นต้องเป็นจริงสำหรับกฎบางข้อ: ${\displaystyle \mathbb {R} ,}$${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$${\displaystyle x\mapsto x^{2},}$

สำหรับทุกฟังก์ชันและเซตย่อยทั้งหมดคุณสมบัติต่อไปนี้เป็นจริง: ${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle A\subseteq X}$${\displaystyle B\subseteq Y,}$

ภาพ	ภาพก่อนหน้า
${\displaystyle f(X)\subseteq Y}$	${\displaystyle f^{-1}(Y)=X}$
${\displaystyle f\left(f^{-1}(Y)\right)=f(X)}$	${\displaystyle f^{-1}(f(X))=X}$
${\displaystyle f\left(f^{-1}(B)\right)\subseteq B}$(เท่ากันหาก เป็นฟังก์ชัน ทั่วถึง เช่น) [ 9 ] [ 10 ]${\displaystyle B\subseteq f(X);}$${\displaystyle f}$	${\displaystyle f^{-1}(f(A))\supseteq A}$(เท่ากันถ้าเป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง) [ 9 ] [ 10 ]${\displaystyle f}$
${\displaystyle f(f^{-1}(B))=B\cap f(X)}$	${\displaystyle \left(f\vert _{A}\right)^{-1}(B)=A\cap f^{-1}(B)}$
${\displaystyle f\left(f^{-1}(f(A))\right)=f(A)}$	${\displaystyle f^{-1}\left(f\left(f^{-1}(B)\right)\right)=f^{-1}(B)}$
${\displaystyle f(A)=\varnothing \,{\text{ if and only if }}\,A=\varnothing }$	${\displaystyle f^{-1}(B)=\varnothing \,{\text{ if and only if }}\,B\subseteq Y\setminus f(X)}$
${\displaystyle f(A)\supseteq B\,{\text{ if and only if }}{\text{ there exists }}C\subseteq A{\text{ such that }}f(C)=B}$	${\displaystyle f^{-1}(B)\supseteq A\,{\text{ if and only if }}\,f(A)\subseteq B}$
${\displaystyle f(A)\supseteq f(X\setminus A)\,{\text{ if and only if }}\,f(A)=f(X)}$	${\displaystyle f^{-1}(B)\supseteq f^{-1}(Y\setminus B)\,{\text{ if and only if }}\,f^{-1}(B)=X}$
${\displaystyle f(X\setminus A)\supseteq f(X)\setminus f(A)}$	${\displaystyle f^{-1}(Y\setminus B)=X\setminus f^{-1}(B)}$[ 9 ]
${\displaystyle f\left(A\cup f^{-1}(B)\right)\subseteq f(A)\cup B}$[ 11 ]	${\displaystyle f^{-1}(f(A)\cup B)\supseteq A\cup f^{-1}(B)}$[ 11 ]
${\displaystyle f\left(A\cap f^{-1}(B)\right)=f(A)\cap B}$[ 11 ]	${\displaystyle f^{-1}(f(A)\cap B)\supseteq A\cap f^{-1}(B)}$[ 11 ]

อีกด้วย:

• ${\displaystyle f(A)\cap B=\varnothing \,{\text{ if and only if }}\,A\cap f^{-1}(B)=\varnothing }$

สำหรับฟังก์ชันและเซตย่อยจะมีคุณสมบัติดังต่อไปนี้: ${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle g:Y\to Z}$${\displaystyle A\subseteq X}$${\displaystyle C\subseteq Z,}$

• ${\displaystyle (g\circ f)(A)=g(f(A))}$
• ${\displaystyle (g\circ f)^{-1}(C)=f^{-1}(g^{-1}(C))}$

สำหรับฟังก์ชันและเซตย่อยคุณสมบัติต่อไปนี้เป็นจริง :${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle A,B\subseteq X}$${\displaystyle S,T\subseteq Y,}$

ภาพ	ภาพก่อนหน้า
${\displaystyle A\subseteq B\,{\text{ implies }}\,f(A)\subseteq f(B)}$	${\displaystyle S\subseteq T\,{\text{ implies }}\,f^{-1}(S)\subseteq f^{-1}(T)}$
${\displaystyle f(A\cup B)=f(A)\cup f(B)}$[ 11 ] [ 12 ]	${\displaystyle f^{-1}(S\cup T)=f^{-1}(S)\cup f^{-1}(T)}$
${\displaystyle f(A\cap B)\subseteq f(A)\cap f(B)}$[ 11 ] [ 12 ] (เท่ากันถ้าเป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง [ 13 ] ) ${\displaystyle f}$	${\displaystyle f^{-1}(S\cap T)=f^{-1}(S)\cap f^{-1}(T)}$
${\displaystyle f(A\setminus B)\supseteq f(A)\setminus f(B)}$[ 11 ] (เท่ากันถ้าเป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง [ 13 ] ) ${\displaystyle f}$	${\displaystyle f^{-1}(S\setminus T)=f^{-1}(S)\setminus f^{-1}(T)}$[ 11 ]
${\displaystyle f\left(A\triangle B\right)\supseteq f(A)\triangle f(B)}$(เท่ากันถ้าเป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง) ${\displaystyle f}$	${\displaystyle f^{-1}\left(S\triangle T\right)=f^{-1}(S)\triangle f^{-1}(T)}$

ผลลัพธ์ที่เชื่อมโยงภาพและภาพต้นแบบกับพีชคณิต ( บูลีน ) ของการตัดกันและการรวมกันนั้นใช้ได้กับกลุ่มของเซตย่อยใดๆ ก็ได้ ไม่ใช่แค่คู่ของเซตย่อยเท่านั้น:

• ${\displaystyle f\left(\bigcup _{s\in S}A_{s}\right)=\bigcup _{s\in S}f\left(A_{s}\right)}$
• ${\displaystyle f\left(\bigcap _{s\in S}A_{s}\right)\subseteq \bigcap _{s\in S}f\left(A_{s}\right)}$
• ${\displaystyle f^{-1}\left(\bigcup _{s\in S}B_{s}\right)=\bigcup _{s\in S}f^{-1}\left(B_{s}\right)}$
• ${\displaystyle f^{-1}\left(\bigcap _{s\in S}B_{s}\right)=\bigcap _{s\in S}f^{-1}\left(B_{s}\right)}$

(ในที่นี้อาจเป็นอนันต์ หรือแม้กระทั่งอนันต์นับไม่ถ้วน ก็ได้ ) ${\displaystyle S}$

เมื่อพิจารณาถึงพีชคณิตของเซตย่อยที่อธิบายไว้ข้างต้น ฟังก์ชันภาพผกผันเป็นโฮโมมอร์ฟิซึมของแลตทิซในขณะที่ฟังก์ชันภาพเป็นเพียง โฮโมมอร์ฟิซึม ของเซมิแลตทิซ (กล่าวคือ ไม่รักษาจุดตัดเสมอไป)

• การจับคู่แบบหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึง (Bijection), การจับคู่แบบหนึ่งต่อหนึ่ง (Injection) และการจับคู่แบบทั่วถึง (Surjection)  – คุณสมบัติของฟังก์ชันทางคณิตศาสตร์
• ไฟเบอร์ (คณิตศาสตร์)  – เซตของจุดทั้งหมดในโดเมนของฟังก์ชันที่แมปไปยังจุดเดียวที่กำหนดให้
• ภาพ (ทฤษฎีหมวดหมู่)
• เคอร์เนลของฟังก์ชัน  – ความสัมพันธ์สมมูลที่แสดงว่าองค์ประกอบสองตัวมีภาพเดียวกันภายใต้ฟังก์ชันPages displaying short descriptions of redirect targets
• การผกผันเซต  – ปัญหาทางคณิตศาสตร์เกี่ยวกับการหาเซตที่ถูกแมปโดยฟังก์ชันที่กำหนดไปยังช่วงที่กำหนด