ในคณิตศาสตร์และทฤษฎีกลุ่มคำว่ากลุ่มการคูณหมายถึง แนวคิดใดแนวคิดหนึ่งต่อไปนี้:

• กลุ่มภายใต้การคูณของ องค์ประกอบที่ ผกผันได้ของฟิลด์ [ ^{1 ]}ริงหรือโครงสร้างอื่น ๆ ซึ่งการดำเนินการหนึ่งของมันเรียกว่าการคูณ ในกรณีของฟิลด์^Fกลุ่มคือ( F ∖ {0}, •)โดยที่ 0 หมายถึงองค์ประกอบศูนย์ของFและการดำเนินการทวิภาค • คือการคูณฟิลด์
• ทอรัสพีชคณิต GL(1)

• กลุ่มการคูณของจำนวนเต็มมอดูล nคือกลุ่มภายใต้การคูณของสมาชิกที่ผกผันได้ของเมื่อnไม่ใช่จำนวนเฉพาะ จะมีสมาชิกอื่นที่ไม่ใช่ศูนย์ที่ไม่สามารถผกผันได้${\displaystyle \mathbf {Z} /n\mathbf {Z} }$
• กลุ่มการคูณของจำนวนจริง บวก เป็นกลุ่มอาเบเลียนที่มี 1 เป็นสมาชิกเอกลักษณ์ลอการิทึมเป็นกลุ่มไอโซมอร์ฟิซึมของกลุ่มนี้กับกลุ่มการบวกของจำนวนจริง${\displaystyle \mathbf {R} ^{+}}$${\displaystyle \mathbf {R} }$
• กลุ่มการคูณของฟิลด์คือเซตของสมาชิกที่ไม่เป็นศูนย์ทั้งหมด: ภายใต้การดำเนินการคูณ ถ้าเป็นเซตจำกัดที่มีอันดับq (ตัวอย่างเช่นq = pซึ่งเป็นจำนวนเฉพาะ และ) แล้วกลุ่มการคูณจะเป็นกลุ่มวัฏจักร:${\displaystyle F}$${\displaystyle F^{\times }=F\smallsetminus \{0\}}$${\displaystyle F}$${\displaystyle F=\mathbb {F} _{p}=\mathbf {Z} /p\mathbf {Z} }$${\displaystyle F^{\times }\cong \mathrm {C} _{q-1}}$

ตามนิยามแล้ว โครงร่างกลุ่มของ ราก ที่n ของเอกภาพคือเคอร์เนลของ แผนที่กำลัง nบนกลุ่มการคูณ GL(1) ซึ่งถือว่าเป็นโครงร่างกลุ่มนั่นคือ สำหรับจำนวนเต็มn > 1 ใดๆ เราสามารถพิจารณามอร์ฟิซึมบนกลุ่มการคูณที่รับ กำลังที่ nและรับผลคูณไฟเบอร์ที่เหมาะสมของโครงร่างด้วยมอร์ฟิซึมeที่ทำหน้าที่เป็นเอกลักษณ์

แผนผังกลุ่มที่ได้จะเขียนว่าμ _n (หรือ^{[ 2 ]} ) ทำให้เกิดแผนผังที่ลดรูปได้เมื่อเราพิจารณามันเหนือฟิลด์Kก็ต่อเมื่อลักษณะเฉพาะของKไม่หารn ลงตัว ซึ่งทำให้มันเป็นแหล่งที่มาของตัวอย่างสำคัญบางส่วนของแผนผังที่ไม่ลดรูป (แผนผังที่มีองค์ประกอบนิลโพ เทนต์ ในชีฟโครงสร้าง ) ตัวอย่างเช่นμ _pเหนือฟิลด์จำกัดที่มีpองค์ประกอบสำหรับจำนวนเฉพาะp ใด ๆ ${\displaystyle \mu \!\!\mu _{n}}$

ปรากฏการณ์นี้ไม่สามารถอธิบายได้ง่ายๆ ด้วยภาษาคลาสสิกของเรขาคณิตเชิงพีชคณิต ตัวอย่างเช่น ปรากฏว่ามันมีความสำคัญอย่างยิ่งในการแสดงทฤษฎีทวิภาวะของวาไรตี้อาเบเลียนในลักษณะเฉพาะp (ทฤษฎีของปิแอร์ การ์ติเยร์ ) โคฮอโมโลยีของกาลัวส์ของโครงร่างกลุ่มนี้เป็นวิธีการหนึ่งในการแสดงทฤษฎีของคุมเมอร์

• กลุ่มการคูณของจำนวนเต็มมอดูล n
• กลุ่มสารเติมแต่ง