ในทางคณิตศาสตร์กลุ่มอิสระ บนเซตที่กำหนดประกอบด้วยคำ ทั้งหมด ที่สามารถสร้างขึ้นจากสมาชิกของโดยถือว่าคำสองคำแตกต่างกัน เว้นแต่ว่าความเท่าเทียมกันของคำทั้งสองจะมาจากสัจพจน์ของกลุ่ม (เช่นแต่สำหรับ) สมาชิกของเรียกว่าตัวสร้างของและจำนวนตัวสร้างคืออันดับของกลุ่มอิสระ กลุ่มใดๆเรียกว่ากลุ่มอิสระถ้ามันสม isomorphicกับสำหรับเซตย่อยบางเซตของนั่นคือ ถ้ามีเซตย่อยของที่ทุกองค์ประกอบของสามารถเขียนได้เพียงวิธีเดียวเท่านั้น ในรูปผลคูณขององค์ประกอบจำนวนจำกัดของและตัวผกผันขององค์ประกอบเหล่านั้น (โดยไม่คำนึงถึงความแปรผันเล็กน้อย เช่น) ${\displaystyle F_{S}}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$${\displaystyle st=suu^{-1}t}$${\displaystyle s\neq t^{-1}}$${\displaystyle s,t,u\in S}$${\displaystyle S}$${\displaystyle F_{S}}$${\displaystyle G}$${\displaystyle F_{S}}$${\displaystyle S}$${\displaystyle G}$${\displaystyle S}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$${\displaystyle S}$${\displaystyle st=suu^{-1}t}$

แนวคิดที่เกี่ยวข้องแต่แตกต่างกันคือกลุ่มอาเบเลียนอิสระทั้งสองแนวคิดเป็นตัวอย่างเฉพาะของวัตถุอิสระจากพีชคณิตสากลดังนั้น กลุ่มอิสระจึงถูกนิยามโดยคุณสมบัติสากล ของ มัน

กลุ่มอิสระปรากฏขึ้นครั้งแรกในการศึกษาเรขาคณิตไฮเปอร์โบลิกโดยเป็นตัวอย่างของกลุ่มฟุคเซียน (กลุ่มแบบไม่ต่อเนื่องที่กระทำโดยไอโซเมตรีบนระนาบไฮเปอร์โบลิก ) ในบทความปี 1882 วอลเทอร์ ฟอน ไดค์ชี้ให้เห็นว่ากลุ่มเหล่านี้มีการนำเสนอ ที่ง่ายที่สุดเท่าที่จะเป็นไป ได้^{[ 1 ]}การศึกษาเชิงพีชคณิตของกลุ่มอิสระเริ่มต้นโดยยาคอบ นีลเซนในปี 1924 ซึ่งเป็นผู้ตั้งชื่อกลุ่มเหล่านี้และกำหนดคุณสมบัติพื้นฐานหลายประการ^{[ 2 ] [ 3 ] [ 4 ]}แม็กซ์ เดห์นตระหนักถึงความเชื่อมโยงกับโทโพโลยี และได้รับการพิสูจน์ครั้งแรกของทฤษฎีบทนีลเซน-ชไรเออร์ฉบับสมบูรณ์^{[ 5 ]}ออตโต ชไรเออร์ได้ตีพิมพ์การพิสูจน์เชิงพีชคณิตของผลลัพธ์นี้ในปี 1927 ^{[ 6 ]}และเคิร์ต ไรเดไมสเตอร์ได้รวมการอธิบายกลุ่มอิสระอย่างครอบคลุมไว้ในหนังสือโทโพโลยีเชิงคอมบินาทอ ริกของเขาในปี 1932 ^{[ 7 ]}ต่อมาในช่วงทศวรรษ 1930 วิลเฮล์ม แม็กนัสค้นพบความเชื่อมโยงระหว่างอนุกรมกลางล่างของกลุ่มอิสระและ พีชคณิต ลี อิสระ

กลุ่มจำนวนเต็ม เป็น กลุ่มอิสระที่มีอันดับ 1; เซตก่อกำเนิดคือจำนวนเต็มยังเป็นกลุ่มอาเบเลียนอิสระ ด้วย แม้ว่ากลุ่มอิสระที่มีอันดับ 1 ทั้งหมดจะไม่เป็นกลุ่มอาเบเลียนก็ตาม กลุ่มอิสระบนเซตที่มีสองสมาชิกปรากฏในบทพิสูจน์ของความขัดแย้งของบานาค-ทาร์สกีและมีการอธิบายไว้ในนั้น ${\displaystyle (\mathbb {Z} ,+)}$${\displaystyle S=\{1\}}$${\displaystyle \geq 2}$${\displaystyle S}$

ในทางกลับกัน กลุ่มจำกัดที่ไม่ใช่กลุ่มว่างใดๆ ก็ไม่สามารถเป็นกลุ่มอิสระได้ เนื่องจากสมาชิกของเซตก่อกำเนิดอิสระของกลุ่มอิสระมีอันดับอนันต์

ในโทโพโลยีเชิงพีชคณิตกลุ่มพื้นฐานของช่อดอกไม้แห่งวงกลมk วง (เซตของ วงวน kวงที่มีจุดร่วมกันเพียงจุดเดียว) คือกลุ่มอิสระบนเซตของสมาชิก k ตัว

กลุ่มอิสระ ที่มีเซตตัวสร้างอิสระสามารถสร้างได้ดังนี้ เป็นเซตของสัญลักษณ์ และเราสมมติว่าสำหรับทุก ๆในจะมีสัญลักษณ์ "ผกผัน" ที่สอดคล้องกันในเซตให้และกำหนดคำในเป็นผลคูณที่เขียนขึ้นของสมาชิกในนั่นคือ คำในเป็นสมาชิกของโมโนอิดที่สร้างโดยคำว่างคือคำที่ไม่มีสัญลักษณ์เลย ตัวอย่างเช่น ถ้าแล้วและ เป็นคำใน ${\displaystyle F_{S}}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$${\displaystyle s}$${\displaystyle S}$${\displaystyle s^{-1}}$${\displaystyle S^{-1}}$${\displaystyle T=S\cup S^{-1}}$${\displaystyle S}$${\displaystyle T}$${\displaystyle S}$${\displaystyle T}$${\displaystyle S=\{a,b,c\}}$${\displaystyle T=\{a,a^{-1},b,b^{-1},c,c^{-1}\}}$$${\displaystyle ab^{3}c^{-1}ca^{-1}c\,}$$${\displaystyle F_{S}}$

ถ้าองค์ประกอบของคำอยู่ติดกับองค์ประกอบผกผันของมันทันที คำนั้นอาจลดรูปได้โดยการตัดคู่ ขององค์ประกอบนั้นออกไป คำที่ไม่สามารถลดรูปได้อีกต่อไปเรียกว่าคำที่ลดรูปแล้ว ${\displaystyle S}$${\displaystyle c,c^{-1}}$$${\displaystyle ab^{3}c^{-1}ca^{-1}c\;\;\longrightarrow \;\;ab^{3}\,a^{-1}c.}$$

กลุ่มอิสระถูกกำหนดให้เป็นกลุ่มของคำที่ลดรูปแล้วทั้งหมดในโดยใช้การต่อคำ (ตามด้วยการลดรูปหากจำเป็น) เป็นการดำเนินการของกลุ่ม เอกลักษณ์คือคำว่างเปล่า ${\displaystyle F_{S}}$${\displaystyle S}$

คำที่ลดรูปแล้วจะเรียกว่าคำที่ลดรูปเป็นวัฏจักรได้ก็ต่อเมื่ออักษรตัวแรกและตัวสุดท้ายของคำนั้นไม่ใช่อักษรกลับด้านกัน ทุกคำสามารถผัน เป็นคำคู่ ควบกับคำที่ลดรูปเป็นวัฏจักรได้ และคำคู่ควบที่ลดรูปเป็นวัฏจักรของคำที่ลดรูปเป็นวัฏจักรได้ก็คือการเรียงสับเปลี่ยนแบบวัฏจักรของอักษรในคำนั้น ตัวอย่างเช่นไม่ใช่คำที่ลดรูปเป็นวัฏจักร แต่เป็นคำคู่ควบกับซึ่งเป็นคำที่ลดรูปเป็นวัฏจักรได้ คำคู่ควบที่ลดรูปเป็นวัฏจักรของมี เพียง , และเท่านั้น ${\displaystyle b^{-1}abcb}$${\displaystyle abc}$${\displaystyle abc}$${\displaystyle abc}$${\displaystyle bca}$${\displaystyle cab}$

กลุ่มอิสระคือ กลุ่ม สากลที่สร้างขึ้นโดยเซตซึ่งสามารถกำหนดเป็นทางการได้ด้วยคุณสมบัติสากล ต่อไปนี้ : เมื่อกำหนดฟังก์ชันใดๆจากไปยังกลุ่มจะมีโฮโมมอร์ฟิซึม ที่ไม่ซ้ำกันเพียงหนึ่งเดียวที่ทำให้ แผนภาพต่อไปนี้สลับที่ได้ (โดยที่การแมปที่ไม่มีชื่อหมายถึงการรวมจากไปยัง): ${\displaystyle F_{S}}$${\displaystyle S}$${\displaystyle f}$${\displaystyle S}$${\displaystyle G}$${\displaystyle \varphi :F_{S}\to G}$${\displaystyle S}$${\displaystyle F_{S}}$

กล่าวคือ โฮโมมอร์ฟิซึมมีความสัมพันธ์แบบหนึ่งต่อหนึ่งกับฟังก์ชันสำหรับกลุ่มที่ไม่เป็นอิสระ การมีอยู่ของความสัมพันธ์จะจำกัดภาพที่เป็นไปได้ของตัวสร้างภายใต้โฮโมมอร์ฟิซึม ${\displaystyle F_{S}\to G}$${\displaystyle S\to G}$

เพื่อให้เห็นว่าสิ่งนี้เกี่ยวข้องกับนิยามเชิงสร้างสรรค์อย่างไร ลองนึกถึงการแมปจาก ไปยังว่าเป็นการส่งสัญลักษณ์แต่ละตัวไปยังคำที่ประกอบด้วยสัญลักษณ์นั้น ในการสร้างสำหรับ ที่กำหนดให้ก่อนอื่นให้สังเกตว่าส่งคำว่างไปยังเอกลักษณ์ของและต้องสอดคล้องกับในองค์ประกอบของสำหรับคำที่เหลือ (ซึ่งประกอบด้วยสัญลักษณ์มากกว่าหนึ่งตัว) สามารถขยายได้อย่างไม่ซ้ำกัน เนื่องจากเป็นโฮโมมอร์ฟิซึม กล่าวคือ ${\displaystyle S}$${\displaystyle F_{S}}$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle f}$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle G}$${\displaystyle f}$${\displaystyle S}$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle \varphi (ab)=\varphi (a)\varphi (b)}$

คุณสมบัติข้างต้นเป็นลักษณะเฉพาะของกลุ่มอิสระจนถึงไอโซมอร์ฟิซึมและบางครั้งก็ใช้เป็นคำจำกัดความทางเลือก คุณสมบัตินี้เรียกว่าคุณสมบัติสากลของกลุ่มอิสระ และเซตตัวสร้างเรียกว่าฐานสำหรับกลุ่มอิสระ ฐานสำหรับกลุ่มอิสระไม่ได้ถูกกำหนดอย่างไม่ซ้ำกัน ${\displaystyle S}$${\displaystyle F_{S}}$

การมีคุณสมบัติสากลเป็นคุณลักษณะมาตรฐานของวัตถุอิสระในพีชคณิตสากลในภาษาของทฤษฎีหมวดหมู่การสร้างกลุ่มอิสระ (คล้ายกับการสร้างวัตถุอิสระส่วนใหญ่) คือฟังก์ชันจากหมวดหมู่ของเซตไปยังหมวดหมู่ของกลุ่มฟังก์ชันนี้เป็นฟังก์ชันผกผันทางซ้ายของฟังก์ชันลืมจากกลุ่มไปยังเซต

คุณสมบัติบางประการของกลุ่มอิสระสามารถอนุมานได้โดยตรงจากนิยาม:

1. กลุ่มใดๆ ก็ตามเป็นภาพโฮโมมอร์ฟิกของกลุ่มอิสระบางกลุ่มให้เป็นเซตของตัวสร้างของแผนที่ธรรมชาติ: เป็นเอพิโมร์ฟิซึมซึ่งพิสูจน์ข้อกล่าวอ้าง หรือกล่าวอีกนัยหนึ่งคือ เป็นไอโซมอร์ฟิกกับกลุ่มผลหารของกลุ่มอิสระบางกลุ่มถ้าสามารถเลือก ให้เป็นเซตจำกัดได้ แล้วเรียกว่าสร้างขึ้นโดยจำนวนจำกัดเคอร์เนลคือเซตของความสัมพันธ์ ทั้งหมด ในการนำเสนอของถ้าสร้างขึ้นโดยคอนจูเกตของสมาชิกจำนวนจำกัดของแล้วนำเสนอโดยจำนวนจำกัด${\displaystyle G}$${\displaystyle F_{S}}$${\displaystyle S}$${\displaystyle G}$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle F_{S}\to G}$${\displaystyle G}$${\displaystyle F_{S}}$${\displaystyle S}$${\displaystyle G}$${\displaystyle \ker \varphi }$${\displaystyle G}$${\displaystyle \ker \varphi }$${\displaystyle F}$${\displaystyle G}$
2. ถ้ามีสมาชิกมากกว่าหนึ่งตัว แสดงว่าไม่ใช่กลุ่มสลับที่และที่จริงศูนย์กลางของกลุ่มเป็นกลุ่มที่ไม่มีสมาชิกอื่น (กล่าวคือ ประกอบด้วยสมาชิกเอกลักษณ์เพียงตัวเดียว)${\displaystyle S}$${\displaystyle F_{S}}$${\displaystyle F_{S}}$
3. กลุ่มอิสระสองกลุ่มและจะเป็นไอโซมอร์ฟิกกันก็ต่อเมื่อและมีจำนวนสมาชิก เท่ากัน จำนวนสมาชิกนี้เรียกว่าอันดับของกลุ่มอิสระดังนั้นสำหรับจำนวนสมาชิกk ทุกจำนวน จะมีกลุ่มอิสระที่มีอันดับk เพียงกลุ่มเดียวเท่านั้น (โดยไม่ รวม ไอโซมอร์ฟิก )${\displaystyle F_{S}}$${\displaystyle F_{T}}$${\displaystyle S}$${\displaystyle T}$${\displaystyle F}$
4. กลุ่มอิสระที่มีอันดับจำกัดn > 1 มีอัตราการเติบโตแบบเลขชี้กำลัง อันดับ 2 n − 1

ผลลัพธ์อื่นๆ ที่เกี่ยวข้องมีดังนี้:

1. ทฤษฎีบท นีลเซ่น-ชไรเออร์ : ทุกกลุ่มย่อยของกลุ่มอิสระเป็นกลุ่มอิสระ ยิ่งไปกว่านั้น ถ้ากลุ่มอิสระมีอันดับnและกลุ่มย่อยมีดัชนีeใน แล้ว กลุ่มย่อย นั้นจะเป็นกลุ่มอิสระที่มีอันดับ 1 + e ( n– 1)${\displaystyle F}$${\displaystyle H}$${\displaystyle F}$${\displaystyle H}$
2. กลุ่มอิสระที่มีอันดับkย่อมมีกลุ่มย่อยที่มีอันดับน้อยกว่าk ทุกกลุ่มอย่างชัดเจน ส่วนกลุ่มอิสระ ( ที่ไม่เป็นอะเบเลียน! ) ที่มีอันดับอย่างน้อย 2 นั้น ย่อมมีกลุ่มย่อยที่ มี อันดับนับได้ ทั้งหมด ซึ่งอาจไม่ชัดเจนนัก
3. กลุ่มย่อยคอมมิวเทเตอร์ของกลุ่มอิสระที่มีอันดับk > 1 มีอันดับอนันต์ ตัวอย่างเช่น สำหรับ k > 1 กลุ่มย่อยคอมมิวเทเตอร์จะถูกสร้างขึ้นอย่างอิสระโดย คอมมิวเทเตอร์สำหรับ mและnที่ไม่ใช่ศูนย์${\displaystyle F(a,b)}$${\displaystyle [a^{m},b^{n}]}$
4. กลุ่มอิสระที่มีสมาชิกสองตัวคือกลุ่มสากล SQ ; ข้อความข้างต้นเป็นผลสืบเนื่องมาจากกลุ่มสากล SQ ใดๆ ก็ตามจะมีกลุ่มย่อยที่มีลำดับชั้นที่นับได้ทุกระดับ
5. กลุ่มใดก็ตามที่กระทำการใด ๆ บนต้นไม้โดยอิสระและรักษาทิศทางไว้จะเรียกว่ากลุ่มอิสระที่มีอันดับนับได้ (กำหนดโดย 1 บวกกับลักษณะเฉพาะของออยเลอร์ของกราฟผลหาร )
6. กราฟเคย์ลีย์ของกลุ่มอิสระที่มีอันดับจำกัด โดยสัมพันธ์กับเซตตัวสร้างอิสระ คือต้นไม้ที่กลุ่มกระทำการอย่างอิสระโดยรักษาทิศทางไว้ ในฐานะปริภูมิเชิงทอพอโลยี ( คอมเพล็กซ์เชิง ซิมพลิเชียล หนึ่งมิติ ) กราฟเคย์ลีย์นี้สามารถหดตัวได้สำหรับกลุ่มที่นำเสนออย่างจำกัดโฮโมมอร์ฟิซึมธรรมชาติที่กำหนดไว้ข้างต้นกำหนดแผนที่ครอบคลุมของกราฟเคย์ลีย์ซึ่งแท้จริงแล้วคือการครอบคลุมสากล ดังนั้นกลุ่มพื้นฐานของกราฟเคย์ลีย์จึงสม isomorphic กับเคอร์เนลของ ซึ่งเป็นกลุ่มย่อยปกติของความสัมพันธ์ระหว่างตัวสร้างของกรณีสุดขั้วคือเมื่อ ซึ่งเป็นกลุ่มที่ไม่สำคัญ พิจารณาโดยมีตัวสร้างจำนวนเท่ากับ ซึ่งทั้งหมดไม่สำคัญ กราฟเคย์ลีย์เป็นช่อดอกไม้ของวงกลม และกลุ่มพื้นฐานของมันคือตัวมันเอง${\displaystyle \Gamma (F)}$${\displaystyle G}$${\displaystyle \varphi :F\ถึง G}$${\displaystyle \varphi ^{*}:\Gamma (F)\to \Gamma (G)}$${\displaystyle \Gamma (G)}$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle G}$${\displaystyle G=\{e\}}$${\displaystyle F}$${\displaystyle \Gamma (G)}$${\displaystyle F}$
7. กลุ่มย่อยใดๆ ของกลุ่มอิสระจะสอดคล้องกับปริภูมิปกคลุมของช่อดอกไม้แห่งวงกลม กล่าวคือกราฟโคเซตชไรเออร์ของซึ่งสามารถนำมาใช้เพื่อพิสูจน์ทฤษฎีบทนีลเซ่น-ชไรเออร์ข้างต้นในเชิงโทโพโลยีได้${\displaystyle H\subset F}$${\displaystyle F/H}$
8. แนวทาง การใช้ กรุปอยด์เพื่ออธิบายผลลัพธ์เหล่านี้ ซึ่งนำเสนอในงานของ PJ Higgins ด้านล่างนั้น เกี่ยวข้องกับการใช้ปริภูมิปกคลุมที่กล่าวถึงข้างต้น แนวทางนี้ช่วยให้ได้ผลลัพธ์ที่มีประสิทธิภาพมากขึ้น ตัวอย่างเช่น เกี่ยวกับทฤษฎีบทของ Grushkoและรูปแบบปกติสำหรับกรุปอยด์พื้นฐานของกราฟกลุ่ม ในแนวทางนี้มีการใช้กรุปอยด์อิสระบนกราฟทิศทางอย่างมาก
9. ทฤษฎีบทของ Grushkoมีผลสืบเนื่องว่า ถ้าเซตย่อยของกลุ่มอิสระที่มี สมาชิก nตัว สามารถสร้างเซตอื่นได้และมี สมาชิก nตัวเช่นกัน เซตย่อยนั้นก็จะสามารถสร้างเซตอื่นได้อย่างอิสระเช่นกัน${\displaystyle B}$${\displaystyle F}$${\displaystyle F}$${\displaystyle B}$${\displaystyle F}$

กลุ่มอาเบเลียนอิสระบนเซตถูกนิยามผ่านคุณสมบัติสากลในลักษณะที่คล้ายคลึงกัน โดยมีการปรับเปลี่ยนที่ชัดเจน: พิจารณาคู่โดยที่เป็นกลุ่มอาเบเลียน และเป็นฟังก์ชันกล่าวได้ว่า เป็นกลุ่มอาเบเลียนอิสระบนเมื่อเทียบกับถ้าสำหรับกลุ่มอาเบเลียนใดๆและฟังก์ชันใดๆจะมีโฮโมมอร์ฟิซึมที่ไม่ซ้ำกันเพียงหนึ่งเดียวเช่นนั้น ${\displaystyle S}$${\displaystyle (F,\varphi )}$${\displaystyle F}$${\displaystyle \varphi :S\ถึง F}$${\displaystyle F}$${\displaystyle S}$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle G}$${\displaystyle \psi :S\to G}$${\displaystyle f:F\to G}$$${\displaystyle f(\varphi (s))=\psi (s),\ \forall s\in S.}$$

กลุ่มอาเบเลียนอิสระบนสามารถระบุได้อย่างชัดเจนว่าเป็นกลุ่มอิสระโมดูลัสกลุ่มย่อยที่สร้างขึ้นโดยตัวสลับของมัน นั่นคือการ ทำให้เป็นกลุ่มอาเบเลียน ในอีกนัยหนึ่ง กลุ่มอาเบเลียนอิสระบนคือเซตของคำที่แตกต่างกันได้เฉพาะลำดับของตัวอักษรเท่านั้น ดังนั้น อันดับของกลุ่มอิสระจึงสามารถกำหนดได้ว่าเป็นอันดับของการทำให้เป็นกลุ่มอาเบเลียนในฐานะกลุ่มอาเบเลียนอิสระ ${\displaystyle S}$${\displaystyle F(S)}$${\displaystyle [F(S),F(S)]}$${\displaystyle S}$

ประมาณปี 1945 อัลเฟรด ทาร์สกีตั้งคำถามว่ากลุ่มอิสระที่มีตัวสร้างสองตัวขึ้นไปมีทฤษฎีอันดับแรก เหมือนกัน หรือไม่ และทฤษฎีนี้สามารถตัดสินได้ หรือ ไม่เซลา (2006)ตอบคำถามแรกโดยแสดงให้เห็นว่ากลุ่มอิสระที่ไม่เป็นอะเบเลียนสองกลุ่มใดๆ มีทฤษฎีอันดับแรกเหมือนกัน และคาร์ลัมโปวิชและเมียสนิคอฟ (2006)ตอบทั้งสองคำถามโดยแสดงให้เห็นว่าทฤษฎีนี้สามารถตัดสินได้

คำถามที่ยังหาคำตอบไม่ได้ใน ทฤษฎีความน่าจะเป็นอิสระ (ณ ปี 2011) ที่คล้ายกันนี้ถามว่าพีชคณิตกลุ่มฟอน นอยมันน์ของกลุ่มอิสระที่ไม่สลับที่ซึ่งสร้างขึ้นอย่างจำกัดสองกลุ่มใดๆ นั้นเป็นไอโซมอร์ฟิกกัน หรือไม่

• ชุดกำเนิดของกลุ่ม
• การนำเสนอของกลุ่ม
• การแปลงนีลเซน (Nielsen transformation ) คือการแยกตัวประกอบของกลุ่มออโตมอร์ฟิซึมของกลุ่มอิสระ
• รูปแบบปกติสำหรับกลุ่มอิสระและผลคูณอิสระของกลุ่ม
• สินค้าฟรี