ในคณิตศาสตร์โดยเฉพาะในพีชคณิตนามธรรมกลุ่มย่อยคอมมิวเทเตอร์หรือกลุ่มย่อยอนุพันธ์ของกลุ่มคือกลุ่มย่อยที่สร้างขึ้น โดย คอมมิวเทเตอร์ทั้งหมดของกลุ่ม^{[ 1 ] [ 2 ]}

กลุ่มย่อยคอมมิวเทเตอร์มีความสำคัญเพราะเป็นกลุ่มย่อยปกติที่เล็กที่สุด ที่ทำให้กลุ่มผลหารของกลุ่มดั้งเดิมโดยกลุ่มย่อยนี้เป็นกลุ่มอาเบเลียนกล่าวอีกนัยหนึ่งคือ เป็นกลุ่มอาเบเลียนก็ต่อเมื่อประกอบด้วยกลุ่มย่อยคอมมิวเทเตอร์ของดังนั้นในแง่หนึ่ง มันจึงเป็นตัววัดว่ากลุ่มนั้นห่างไกลจากการเป็นกลุ่มอาเบเลียนมากน้อยเพียงใด ยิ่งกลุ่มย่อยคอมมิวเทเตอร์มีขนาดใหญ่เท่าใด กลุ่มนั้นก็ยิ่ง "เป็นกลุ่มอาเบเลียนน้อยลง" เท่านั้น ${\displaystyle G/N}$${\displaystyle N}$${\displaystyle G}$

สำหรับสมาชิกและของกลุ่มGตัวสลับตำแหน่งของและคือตัวสลับตำแหน่งจะเท่ากับสมาชิกเอกลักษณ์eก็ต่อเมื่อนั่นคือ ก็ต่อเมื่อและสลับตำแหน่งกันได้ โดยทั่วไป. ${\displaystyle g}$${\displaystyle h}$${\displaystyle g}$${\displaystyle h}$${\displaystyle [g,h]=g^{-1}h^{-1}gh}$${\displaystyle [g,h]}$${\displaystyle gh=hg}$${\displaystyle g}$${\displaystyle h}$${\displaystyle gh=hg[g,h]}$

อย่างไรก็ตาม สัญลักษณ์ดังกล่าวค่อนข้างเป็นไปตามอำเภอใจ และมีนิยามรูปแบบที่ไม่เทียบเท่ากันสำหรับตัวสลับที่มีตัวผกผันอยู่ทางด้านขวามือของสมการในกรณีนั้น แต่แทนที่จะเป็น ${\displaystyle [g,h]=ghg^{-1}h^{-1}}$${\displaystyle gh\neq hg[g,h]}$${\displaystyle gh=[g,h]hg}$

สมาชิกของGที่มีรูปแบบสำหรับบางgและhเรียกว่า คอมมิวเทเตอร์ สมาชิกเอกลักษณ์e = [ e , e ] เป็นคอมมิวเทเตอร์เสมอ และเป็นคอมมิวเทเตอร์เพียงตัวเดียวก็ต่อเมื่อGเป็นกลุ่มอาเบเลียน ${\displaystyle [g,h]}$

ต่อไปนี้เป็นเอกลักษณ์การสลับตำแหน่งที่เรียบง่ายแต่มีประโยชน์ ซึ่งใช้ได้กับสมาชิกs , g , h ใดๆ ของกลุ่มG :

• ${\displaystyle [g,h]^{-1}=[h,g],}$
• ${\displaystyle [g,h]^{s}=[g^{s},h^{s}],}$โดยที่(หรือ ตามลำดับ) คือคอนจูเกตของโดย${\displaystyle g^{s}=s^{-1}gs}$${\displaystyle g^{s}=sgs^{-1}}$${\displaystyle g}$${\displaystyle s,}$
• สำหรับโฮโมมอร์ฟิซึม ใด ๆ${\displaystyle f:G\to H}$${\displaystyle f([g,h])=[f(g),f(h)].}$

เอกลักษณ์ข้อแรกและข้อที่สองบ่งชี้ว่าเซตของตัวสลับตำแหน่งในGนั้นปิดภายใต้การผกผันและการผันแปร ถ้าในเอกลักษณ์ข้อที่สามเรากำหนดให้H = Gเราจะได้ว่าเซตของตัวสลับตำแหน่งนั้นเสถียรภายใต้เอนโดมอร์ฟิซึม ใดๆ ของGอันที่จริงแล้วนี่คือการสรุปทั่วไปของเอกลักษณ์ข้อที่สอง เนื่องจากเราสามารถใช้fเป็นออโตมอร์ฟิซึม การผันแปร บนGเพื่อให้ได้เอกลักษณ์ข้อที่สอง ${\displaystyle x\mapsto x^{s}}$

อย่างไรก็ตาม ผลคูณของคอมมิวเทเตอร์สองตัวขึ้นไปไม่จำเป็นต้องเป็นคอมมิวเทเตอร์ ตัวอย่างทั่วไปคือ [ a , b ][ c , d ] ในกลุ่มอิสระบนa , b , c , dเป็นที่ทราบกันว่าลำดับต่ำสุดของกลุ่มจำกัดที่มีคอมมิวเทเตอร์สองตัวซึ่งผลคูณไม่ใช่คอมมิวเทเตอร์คือ 96 ในความเป็นจริงมีกลุ่มที่ไม่สมมาตรสองกลุ่มที่มีลำดับ 96 ที่มีคุณสมบัตินี้^{[ 3 ]}

สิ่งนี้เป็นแรงบันดาลใจให้เกิดนิยามของกลุ่มย่อยคอมมิวเทเตอร์ (เรียกอีกอย่างว่ากลุ่มย่อยอนุพันธ์และใช้สัญลักษณ์หรือ) ของG : คือกลุ่มย่อยที่สร้างขึ้นโดยคอมมิวเทเตอร์ทั้งหมด ${\displaystyle [G,G]}$${\displaystyle G'}$${\displaystyle G^{(1)}}$

จากนิยามนี้ จึงสรุปได้ว่าองค์ประกอบใดๆ ของ นั้นมีรูปแบบดังนี้ ${\displaystyle [G,G]}$

${\displaystyle [g_{1},h_{1}]\cdots [g_{n},h_{n}]}$

สำหรับจำนวนธรรมชาติ บางจำนวน โดยที่g _iและh _iเป็นสมาชิกของGยิ่งไปกว่านั้น เนื่องจากกลุ่มย่อยคอมมิวเทเตอร์เป็นกลุ่มปกติในGสำหรับโฮโมมอร์ฟิซึมf : G → H ใด ๆ${\displaystyle n}$${\displaystyle ([g_{1},h_{1}]\cdots [g_{n},h_{n}])^{s}=[g_{1}^{s},h_{1}^{s}]\cdots [g_{n}^{s},h_{n}^{s}]}$

${\displaystyle f([g_{1},h_{1}]\cdots [g_{n},h_{n}])=[f(g_{1}),f(h_{1})]\cdots [f(g_{n}),f(h_{n})]}$,

ดังนั้น. ${\displaystyle f([G,G])\subseteq [H,H]}$

สิ่งนี้แสดงให้เห็นว่ากลุ่มย่อยคอมมิวเทเตอร์สามารถมองได้ว่าเป็นฟังก์ชันบนหมวดหมู่ของกลุ่มซึ่งผลลัพธ์บางประการจะได้รับการสำรวจต่อไป นอกจากนี้ การกำหนดG = Hแสดงให้เห็นว่ากลุ่มย่อยคอมมิวเทเตอร์มีเสถียรภาพภายใต้เอนโดมอร์ฟิซึมทุกตัวของGกล่าวคือ [ G , G ] เป็นกลุ่มย่อยที่มีลักษณะเฉพาะอย่างสมบูรณ์ของGซึ่งเป็นคุณสมบัติที่แข็งแกร่งกว่าความเป็นปกติอย่างมาก

กลุ่มย่อยคอมมิวเทเตอร์ยังสามารถนิยามได้ว่าเป็นเซตของสมาชิกgของกลุ่มที่มีนิพจน์เป็นผลคูณg = g ₁ g ₂ ... g _kซึ่งสามารถจัดเรียงใหม่เพื่อให้ได้เอกลักษณ์

โครงสร้างนี้สามารถทำซ้ำได้:

${\displaystyle G^{(0)}:=G}$

${\displaystyle G^{(n)}:=[G^{(n-1)},G^{(n-1)}]\quad n\in \mathbf {N} }$

กลุ่มเหล่านี้เรียกว่ากลุ่มย่อยที่ได้มาลำดับที่สองกลุ่มย่อยที่ได้มาลำดับที่สามและอื่นๆ ตามลำดับ และอนุกรมปกติ ที่ลดลง${\displaystyle G^{(2)},G^{(3)},\ldots }$

${\displaystyle \cdots \triangleleft G^{(2)}\triangleleft G^{(1)}\triangleleft G^{(0)}=G}$

เรียกว่าอนุกรมอนุพันธ์ไม่ควรสับสนกับอนุกรมกลางล่างซึ่งมีพจน์เป็น ${\displaystyle G_{n}:=[G_{n-1},G]}$

สำหรับกลุ่มจำกัด อนุกรมอนุพันธ์จะสิ้นสุดที่กลุ่มสมบูรณ์ซึ่งอาจจะเป็นกลุ่มไร้สมาชิกหรือไม่ก็ได้ สำหรับกลุ่มอนันต์ อนุกรมอนุพันธ์ไม่จำเป็นต้องสิ้นสุดที่ขั้นจำกัด และสามารถต่อขยายไปยังจำนวนเชิงอันดับ อนันต์ได้ โดยใช้การเรียกซ้ำแบบทรานส์ ไฟไนต์ ทำให้ได้อนุกรมอนุพันธ์แบบทรานส์ไฟไนต์ซึ่งในที่สุดจะสิ้นสุดที่แกนกลางสมบูรณ์ของกลุ่ม

เมื่อกำหนดกลุ่มหนึ่งกลุ่มผลหารจะเป็นกลุ่มสลับที่ก็ต่อเมื่อ ${\displaystyle G}$${\displaystyle G/N}$${\displaystyle [G,G]\subseteq N}$

ผลหารคือกลุ่มอาเบเลียนที่เรียกว่าการทำให้เป็นอาเบเลียนหรือทำให้เป็นอาเบเลียน [ ^{4 ] โดย}ปกติจะใช้สัญลักษณ์ หรือ${\displaystyle G/[G,G]}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G^{\operatorname {ab} }}$${\displaystyle G_{\operatorname {ab} }}$

มีการตีความเชิงหมวดหมู่ที่มีประโยชน์สำหรับแผนที่ ดังกล่าว กล่าวคือ เป็นสากลสำหรับโฮโมมอร์ฟิซึมจากไปยังกลุ่มอาเบเลียน: สำหรับกลุ่มอาเบเลียนและโฮโมมอร์ฟิซึมของกลุ่ม ใดๆ จะมีโฮโมมอร์ฟิซึมที่ไม่ซ้ำกันเพียงหนึ่งเดียวเท่านั้นที่ทำให้ เช่นเดียวกับวัตถุที่กำหนดโดยคุณสมบัติการแมปแบบสากล การตีความนี้แสดงให้เห็นถึงความไม่ซ้ำกันของการทำให้เป็นอาเบเลียนจนถึงไอโซมอร์ฟิซึมแบบแคนอนิก ในขณะที่การสร้างแบบชัดแจ้งแสดงให้เห็นถึงการมีอยู่ ${\displaystyle \varphi :G\rightarrow G^{\operatorname {ab} }}$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle G}$${\displaystyle H}$${\displaystyle H}$${\displaystyle f:G\to H}$${\displaystyle F:G^{\operatorname {ab} }\to H}$${\displaystyle f=F\circ \varphi }$${\displaystyle G^{\operatorname {ab} }}$${\displaystyle G\to G/[G,G]}$

ฟังก์ชันการทำให้เป็นกลุ่มอาเบ ล (abelianization functor) คือตัวผกผันซ้าย (left adjoint)ของฟังก์ชันการรวม (inclusion functor) จากหมวดหมู่ของกลุ่มอาเบลไปยังหมวดหมู่ของกลุ่ม การมีอยู่ของฟังก์ชันการทำให้เป็นกลุ่มอาเบลGrp → Abทำให้หมวดหมู่Abเป็นหมวดหมู่ย่อยแบบสะท้อน (reflective subcategory)ของหมวดหมู่ของกลุ่ม ซึ่งนิยามว่าเป็นหมวดหมู่ย่อยแบบสมบูรณ์ (full subcategory) ที่ฟังก์ชันการรวมมีตัวผกผันซ้าย

การตีความที่สำคัญอีกประการหนึ่งของคือ เป็นโฮโมโลจีกลุ่มแรกของที่มีสัมประสิทธิ์จำนวนเต็ม ${\displaystyle G^{\operatorname {ab} }}$${\displaystyle H_{1}(G,\mathbb {Z} )}$${\displaystyle G}$

กลุ่มจะเป็นกลุ่มอาเบเลียนก็ต่อเมื่อกลุ่มอนุพันธ์เป็นกลุ่มทริเวียล: [ G , G ] = { e } หรือเทียบเท่าก็ต่อเมื่อกลุ่มนั้นเท่ากับกลุ่มอาเบเลียนของมัน ดูคำจำกัดความของกลุ่มอาเบเลียนได้ด้านบน ${\displaystyle G}$

กลุ่มจะเป็นกลุ่มสมบูรณ์ก็ต่อเมื่อกลุ่มอนุพันธ์เท่ากับกลุ่มนั้นเอง: [ G , G ] = Gหรือเทียบเท่าก็ต่อเมื่อการทำให้เป็นกลุ่มอาเบเลียนของกลุ่มนั้นเป็นแบบไม่สำคัญ ซึ่งในแง่หนึ่งแล้วเป็นสิ่งที่ตรงกันข้ามกับการเป็นกลุ่มอาเบเลียน ${\displaystyle G}$

กลุ่มที่มีnบางค่าในNเรียกว่ากลุ่มที่แก้ได้ (solvable group ) ซึ่งอ่อนกว่ากลุ่มอาเบเลียน (abelian group) ซึ่งเป็นกรณีที่n = 1 ${\displaystyle G^{(n)}=\{e\}}$

กลุ่มที่มีค่าสำหรับทุกnในNเรียกว่ากลุ่ม ที่ไม่สามารถหาคำตอบได้${\displaystyle G^{(n)}\neq \{e\}}$

กลุ่มที่มี ค่า α เป็นจำนวนเชิงอันดับจำกัด ซึ่งอาจเป็นจำนวนอนันต์ เรียกว่ากลุ่มไฮโปอาเบเลียนซึ่งอ่อนกว่ากลุ่มที่แก้ได้ ซึ่งเป็นกรณีที่αเป็นจำนวนจำกัด (จำนวนธรรมชาติ) ${\displaystyle G^{(\alpha )}=\{e\}}$

เมื่อใดก็ตามที่กลุ่มมีกลุ่มย่อยที่ได้มาจากตัวมันเองเท่ากับตัวมันเอง กลุ่ม นั้นจะเรียกว่ากลุ่มสมบูรณ์ ซึ่งรวมถึง กลุ่มง่ายที่ไม่สลับที่และกลุ่มเชิงเส้นพิเศษสำหรับฟิลด์ที่กำหนดไว้ ${\displaystyle G}$${\displaystyle G^{(1)}=G}$${\displaystyle \operatorname {SL} _{n}(k)}$${\displaystyle k}$

• กลุ่มย่อยคอมมิวเทเตอร์ของกลุ่มอาเบเลียน ใดๆ ก็ตาม เป็น กลุ่มย่อยที่ไม่มีสมาชิก อื่นแทรกอยู่
• กลุ่มย่อยคอมมิวเทเตอร์ของกลุ่มเชิงเส้นทั่วไป เหนือฟิลด์หรือวงแหวนหารkเท่ากับกลุ่มเชิงเส้นพิเศษก็ต่อเมื่อk ไม่ใช่ฟิลด์ที่มีสมาชิกสองตัว^{[ 5 ]}${\displaystyle \operatorname {GL} _{n}(k)}$${\displaystyle \operatorname {SL} _{n}(k)}$${\displaystyle n\neq 2}$
• กลุ่มย่อยคอมมิวเทเตอร์ของกลุ่มสลับA ₄คือ กลุ่มไคล น์สี่
• _{กลุ่มย่อยคอม มิว}เทเตอร์ของกลุ่มสมมาตรSnคือกลุ่มสลับAn
• กลุ่มย่อยคอมมิวเทเตอร์ของกลุ่มควอเทอร์เนียนQ = {1, −1, i , − i , j , − j , k , − k } คือ [ Q , Q ] = {1, −1}

เนื่องจากกลุ่มย่อยที่ได้มามีลักษณะเฉพาะดังนั้นออโตมอร์ฟิซึมใดๆ ของGจะเหนี่ยวนำให้เกิดออโตมอร์ฟิซึมของการทำให้เป็นอาเบล เนื่องจากการทำให้เป็นอาเบลเป็นอาเบลออโตมอร์ฟิซึมภายในจึงกระทำอย่างไม่สำคัญ ดังนั้นจึงได้แผนที่

${\displaystyle \operatorname {Out} (G)\to \operatorname {Aut} (G^{\mbox{ab}})}$

• กลุ่มที่แก้ไขได้
• กลุ่มนิลโพเทนต์
• การทำให้เป็นกลุ่มอาเบเลียนH / H ' ของกลุ่มย่อยH  <  G ที่มี ดัชนีจำกัด( G : H ) เป็นเป้าหมายของการถ่ายโอน Artin  T ( G , H )

• "กลุ่มย่อยคอมมิวเทเตอร์" , สารานุกรมคณิตศาสตร์ , EMS Press , 2001 [1994]