ในคณิตศาสตร์โดยเฉพาะทฤษฎีหมวดหมู่การเชื่อมโยง (adjunction)เป็นความสัมพันธ์ที่ฟังก์ชัน สองตัว อาจแสดงออกมา ซึ่งสอดคล้องกับรูปแบบสมมูลแบบอ่อนระหว่างหมวดหมู่ ที่เกี่ยวข้องสอง หมวดหมู่ ฟังก์ชันสองตัวที่อยู่ในความสัมพันธ์นี้เรียกว่าฟังก์ชันผกผัน (adjoint functors)โดยตัวหนึ่งเป็นฟังก์ชันผกผันซ้ายและอีกตัวหนึ่งเป็นฟังก์ชันผกผันขวา^{[ 1 ]}คู่ของฟังก์ชันผกผันพบได้ทั่วไปในคณิตศาสตร์ และมักเกิดขึ้นจากการสร้าง "คำตอบที่เหมาะสมที่สุด" สำหรับปัญหาบางอย่าง (เช่น การสร้างวัตถุที่มีคุณสมบัติสากล บางอย่าง ) เช่น การสร้างกลุ่มอิสระบนเซตในพีชคณิตหรือการสร้างการทำให้กระชับ แบบสโตน-เช็ก ( Stone–Čech compactification)ของปริภูมิเชิงทอพอ โลยี ในทอพอโลยี

ตามนิยามแล้ว การเชื่อมโยงระหว่างหมวดหมู่และคือคู่ของฟังก์ชัน (ซึ่งถือว่ามีความแปรผันร่วมกัน ) ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\displaystyle {\mathcal {D}}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}F&:{\mathcal {D}}\rightarrow {\mathcal {C}}\\G&:{\mathcal {C}}\rightarrow {\mathcal {D}}\end{aligned}}}$$

และสำหรับวัตถุทั้งหมดในและในการจับคู่แบบหนึ่งต่อหนึ่งระหว่างเซตมอร์ฟิซึมที่เกี่ยวข้อง ${\displaystyle c}$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\displaystyle d}$${\displaystyle {\mathcal {D}}}$

$${\displaystyle \mathrm {hom} _{\mathcal {C}}(Fd,c)\cong \mathrm {hom} _{\mathcal {D}}(d,Gc)}$$

โดยที่ตระกูลของการจับคู่แบบหนึ่งต่อหนึ่งนี้เป็นธรรมชาติในและ[ ^{1 ] สำหรับ}หมวดหมู่ขนาดเล็กในท้องถิ่นความเป็นธรรมชาติในที่นี้หมายความว่ามีไอโซมอร์ฟิซึมตามธรรมชาติระหว่างคู่ของฟังก์ชันและสำหรับค่าคงที่ในและคู่ของฟังก์ชันและสำหรับค่าคงที่ในสำหรับหมวดหมู่อื่นๆ ความเป็นธรรมชาติถูกกำหนดให้เป็นการวางนัยทั่วไปของสิ่งนี้^{[ 1 ]}${\displaystyle c}$${\displaystyle d}$${\displaystyle {\mathcal {C}}(F-,c):{\mathcal {D}}\to \mathrm {Set^{\text{op}}} }$${\displaystyle {\mathcal {D}}(-,Gc):{\mathcal {D}}\to \mathrm {Set^{\text{op}}} }$${\displaystyle c}$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\displaystyle {\mathcal {C}}(Fd,-):{\mathcal {C}}\to \mathrm {Set} }$${\displaystyle {\mathcal {D}}(d,G-):{\mathcal {C}}\to \mathrm {Set} }$${\displaystyle d}$${\displaystyle {\mathcal {D}}}$

ฟังก์ชันนี้เรียกว่าฟังก์ชันผกผันซ้ายหรือผกผันซ้ายของ ในขณะที่เรียกว่าฟังก์ชันผกผันขวาหรือผกผันขวาของเราเขียนว่า^{[ 1 ]}${\displaystyle F}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$${\displaystyle F}$${\displaystyle F\dashv G}$

การเชื่อมโยงระหว่างหมวดหมู่และค่อนข้างคล้ายกับ "รูปแบบอ่อน" ของความเท่าเทียมกันระหว่างและและแท้จริงแล้วความเท่าเทียมกันทุกประการจะให้การเชื่อมโยง แม้ว่าความเท่าเทียมกันนั้นเองจะไม่จำเป็นต้องเป็นการเชื่อมโยงก็ตาม^{[ 2 ]}ในหลายสถานการณ์ การเชื่อมโยงสามารถ "ยกระดับ" เป็นความเท่าเทียมกันได้ โดยการดัดแปลงตามธรรมชาติที่เหมาะสมของหมวดหมู่และฟังก์ชันที่เกี่ยวข้อง ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\displaystyle {\mathcal {D}}}$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\displaystyle {\mathcal {D}}}$

คำว่าadjointและadjunctต่างก็ถูกใช้ และเป็นคำที่มีรากศัพท์เดียวกันโดยคำหนึ่งมาจากภาษาละตินโดยตรง ส่วนอีกคำหนึ่งมาจากภาษาละตินผ่านทางภาษาฝรั่งเศส ในตำราคลาสสิกCategories for the Working Mathematicianแมค เลนได้แยกความแตกต่างระหว่างทั้งสองคำนี้^{[ 3 ]}กำหนดให้ตระกูลหนึ่ง

$${\displaystyle \varphi _{cd}:\mathrm {hom} _{\mathcal {C}}(Fd,c)\cong \mathrm {hom} _{\mathcal {D}}(d,Gc)}$$

ของการจับคู่แบบหนึ่งต่อหนึ่ง กับเซตโฮม เราเรียกว่า^{การเชื่อมโยงหรือการเชื่อมโยงระหว่างและ [ 1 ] [ 3 ] ถ้าเป็นลูกศรใน Mac Lane เรียกว่าการเชื่อมโยงด้านขวาของ [} 3 ]ฟังก์ชันเป็นตัว^{ผกผันด้านซ้ายของและเป็น}ตัวผกผันด้านขวาของ[ 1 ] [ ^{3 ]} ( โปรดทราบว่าอาจมีตัวผกผันด้าน^{ขวาที่แตกต่างจากอย่าง}มากดูตัวอย่างด้านล่าง ) ${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle F}$${\displaystyle G}$${\displaystyle f}$${\displaystyle \mathrm {hom} _{\mathcal {C}}(Fd,c)}$${\displaystyle \varphi f}$${\displaystyle f}$${\displaystyle F}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$${\displaystyle F}$${\displaystyle G}$${\displaystyle F}$

โดยทั่วไปแล้ว วลี " เป็นตัวผกผันซ้าย" และ " มีตัวผกผันขวา" มีความหมายเหมือนกัน เราเรียกว่าตัวผกผันซ้ายเพราะมันถูกนำไปใช้กับตัวแปรด้านซ้ายของและ เรียก ว่าตัวผกผันขวาเพราะมันถูกนำไปใช้กับตัวแปรด้านขวาของ ${\displaystyle F}$${\displaystyle F}$${\displaystyle F}$${\displaystyle \mathrm {hom} _{\mathcal {C}}}$${\displaystyle G}$${\displaystyle \mathrm {hom} _{\mathcal {D}}}$

ถ้าFเป็นตัวผกผันซ้ายของGเราจะเขียน^{[ 1 ]}$${\displaystyle F\dashv G.}$$

คำศัพท์นี้มาจากแนวคิดของตัวดำเนินการผกผันในปริภูมิฮิลเบิร์ตโดยที่ซึ่งมีความคล้ายคลึงกันอย่างเป็นทางการกับความสัมพันธ์ข้างต้นระหว่างเซตโฮม การเปรียบเทียบกับแผนที่ผกผันของปริภูมิฮิลเบิร์ตสามารถทำให้แม่นยำยิ่งขึ้นได้ในบางบริบท^{[ 4 ]}${\displaystyle T}$${\displaystyle U}$${\displaystyle \langle Ty,x\rangle =\langle y,Ux\rangle }$

สโลแกนคือ "ฟังก์ชันผกผันเกิดขึ้นได้ทุกที่"

โครงสร้างทางคณิตศาสตร์ทั่วไปมักเป็นฟังก์ชันผกผัน (adjoint functor) ดังนั้น ทฤษฎีบททั่วไปเกี่ยวกับฟังก์ชันผกผันซ้าย/ขวา จึงเข้ารหัสรายละเอียดของผลลัพธ์ที่มีประโยชน์และไม่ธรรมดามากมาย ทฤษฎีบททั่วไปดังกล่าวรวมถึง ความเท่าเทียมกันของนิยามต่างๆ ของฟังก์ชันผกผัน เอกลักษณ์ของฟังก์ชันผกผันขวาสำหรับฟังก์ชันผกผันซ้ายที่กำหนดให้ ข้อเท็จจริงที่ว่าฟังก์ชันผกผันซ้าย/ขวา รักษาโคลิมิต/ลิมิต (ซึ่งพบได้ในทุกสาขาของคณิตศาสตร์) และทฤษฎีบทฟังก์ชันผกผันทั่วไปที่ให้เงื่อนไขที่ฟังก์ชันที่กำหนดให้นั้นเป็นฟังก์ชันผกผันซ้าย/ขวา

ในแง่หนึ่ง ฟังก์ชันผกผัน (adjoint functor) คือวิธีการให้ คำตอบ ที่มีประสิทธิภาพที่สุดสำหรับปัญหาบางอย่างโดยใช้วิธีการที่เป็นสูตรสำเร็จตัวอย่างเช่น ปัญหาพื้นฐานในทฤษฎีริงคือวิธีการเปลี่ยนrng (ซึ่งคล้ายกับริงที่อาจไม่มีเอกลักษณ์การคูณ) ให้เป็นริงวิธีที่มีประสิทธิภาพที่สุดคือการเพิ่มสมาชิก '1' เข้าไปใน rng เพิ่มสมาชิกทั้งหมด (และเฉพาะ) ที่จำเป็นสำหรับการปฏิบัติตามสัจพจน์ของริง (เช่นr +1 สำหรับแต่ละrในริง) และไม่กำหนดความสัมพันธ์ใดๆ ในริงที่สร้างขึ้นใหม่ซึ่งไม่ได้ถูกบังคับโดยสัจพจน์ ยิ่งไปกว่านั้น การสร้างนี้เป็นสูตรสำเร็จในแง่ที่ว่ามันทำงานในลักษณะเดียวกันสำหรับ rng ใดๆ

คำอธิบายนี้ค่อนข้างคลุมเครือ แต่ก็ชวนให้คิด และสามารถทำให้ชัดเจนขึ้นได้ในภาษาของทฤษฎีหมวดหมู่: โครงสร้างจะมีประสิทธิภาพมากที่สุดหากเป็นไปตามคุณสมบัติสากลและจะเป็นสูตรสำเร็จหากกำหนดฟังก์ชันคุณสมบัติสากลมีสองประเภท: คุณสมบัติเริ่มต้นและคุณสมบัติสุดท้าย เนื่องจากสิ่งเหล่านี้เป็น แนวคิด คู่กันจึงจำเป็นต้องกล่าวถึงเพียงประเภทใดประเภทหนึ่งเท่านั้น

แนวคิดของการใช้คุณสมบัติเริ่มต้นคือการตั้งปัญหาในแง่ของหมวดหมู่เสริมE บางอย่าง เพื่อให้ปัญหาที่กำลังพิจารณาสอดคล้องกับการค้นหาวัตถุเริ่มต้นของEข้อดีของวิธีนี้คือ การหา ค่าที่เหมาะสมที่สุด —ในแง่ที่ว่ากระบวนการนี้ค้นหา วิธี แก้ ปัญหา ที่มีประสิทธิภาพที่สุด —มีความหมายที่เข้มงวดและเป็นที่รู้จักได้ คล้ายกับการบรรลุค่าสูงสุดหมวดหมู่Eยังเป็นสูตรสำเร็จในการสร้างนี้ด้วย เนื่องจากเป็นหมวดหมู่ขององค์ประกอบของฟังก์ชันที่เรากำลังสร้างตัวผกผันอยู่เสมอ

กลับมาที่ตัวอย่างของเรา: พิจารณาริงR ที่กำหนด และสร้างหมวดหมู่Eที่ มี วัตถุเป็นโฮโมมอร์ฟิซึมR → S ของริง R โดยที่S เป็น ริงที่มีเอกลักษณ์การคูณมอร์ฟิซึมในEระหว่างR → S ₁และR → S ₂คือสามเหลี่ยมสลับที่ได้ในรูปแบบ ( R → S ₁ , R → S ₂ , S ₁ → S ₂ ) โดยที่S ₁ → S ₂เป็นแผนที่ริง (ซึ่งรักษาเอกลักษณ์) (โปรดทราบว่านี่คือคำจำกัดความของหมวดหมู่คอมมาของRเหนือการรวมริงเอกภาพเข้ากับริง rng อย่างแม่นยำ) การมีอยู่ของมอร์ฟิซึมระหว่างR → S ₁และR → S ₂หมายความว่าS ₁เป็นวิธีแก้ปัญหาที่มีประสิทธิภาพอย่างน้อยเท่ากับS ₂สำหรับปัญหาของเรา: S ₂สามารถมีองค์ประกอบที่เชื่อมต่อกันและ/หรือความสัมพันธ์ที่ไม่ได้กำหนดโดยสัจพจน์ได้มากกว่าS ₁ดังนั้น การยืนยันว่าวัตถุR → R ^∗เป็นวัตถุเริ่มต้นในEกล่าวคือ มีมอร์ฟิซึมจากวัตถุนั้นไปยังสมาชิกอื่นใดในEหมายความว่าริงR * เป็น วิธีแก้ปัญหา ที่มีประสิทธิภาพที่สุดสำหรับปัญหาของเรา

ข้อเท็จจริงสองประการที่ว่าวิธีการแปลง rng ให้เป็นริงนี้มีประสิทธิภาพและเป็นไปตามสูตร มากที่สุด สามารถแสดงออกมาพร้อมกันได้โดยการกล่าวว่ามันกำหนดฟังก์ชันผกผัน (adjoint functor ) กล่าวให้ชัดเจนยิ่งขึ้น: ให้Fแทนกระบวนการข้างต้นของการเพิ่มเอกลักษณ์ให้กับ rng ดังนั้นF ( R ) = R ^*ให้Gแทนกระบวนการของการ "ลืม" ว่าริงS มีเอกลักษณ์หรือ ไม่ และพิจารณามันเป็นเพียง rng ดังนั้นโดยพื้นฐานแล้วG ( S ) = Sแล้วFคือฟังก์ชันผกผันซ้ายของG

อย่างไรก็ตาม โปรดทราบว่าเรายังไม่ได้สร้างR ^∗ ขึ้นมาจริง ๆ ซึ่งเป็นข้อเท็จจริงทางพีชคณิตที่สำคัญและไม่ใช่เรื่องง่ายเลยที่ฟังก์ชันผกผันซ้ายR → R ^∗ นั้น มีอยู่จริง

นอกจากนี้ยังสามารถเริ่มต้นด้วยฟังก์ชันFและตั้งคำถาม (ที่ไม่ชัดเจน) ต่อไปนี้ได้: มีปัญหาใดบ้างที่Fเป็นวิธีแก้ปัญหาที่มีประสิทธิภาพที่สุด?

ในแง่ที่เข้มงวดแนวคิดที่ว่าFเป็นวิธีแก้ปัญหาที่มีประสิทธิภาพที่สุดสำหรับปัญหาที่G ตั้งขึ้นนั้น เทียบเท่ากับแนวคิดที่ว่า Gตั้งปัญหาที่ยากที่สุดที่Fสามารถแก้ไข ได้

นี่คือเหตุผลที่ทำให้ฟังก์ชันผกผันมักเกิดขึ้นเป็นคู่: ถ้าFเป็นฟังก์ชันผกผันซ้ายของGแล้วG จะ เป็น ฟังก์ชันผกผันขวาของF

มีนิยามที่เทียบเท่ากันหลายแบบสำหรับฟังก์ชันผกผัน:

• นิยามต่างๆ ผ่านมอร์ฟิซึมสากลนั้นง่ายต่อการกล่าวถึง และต้องการการตรวจสอบน้อยที่สุดเมื่อสร้างฟังก์ชันผกผันหรือพิสูจน์ว่าฟังก์ชันสองตัวเป็นฟังก์ชันผกผันกัน นอกจากนี้ยังมีความคล้ายคลึงกับสัญชาตญาณของเราเกี่ยวกับการหาค่าที่เหมาะสมที่สุดมากที่สุดด้วย
• นิยามผ่านเซตโฮโมทำให้สมมาตรปรากฏชัดเจนที่สุด และเป็นเหตุผลที่ใช้คำว่า " แอดจอยต์ "
• นิยามผ่านการเชื่อมโยงระหว่างหน่วยย่อยนั้นสะดวกสำหรับการพิสูจน์เกี่ยวกับฟังก์ชันที่ทราบว่าเป็นฟังก์ชันผกผัน เนื่องจากให้สูตรที่สามารถจัดการได้โดยตรง

ความเท่าเทียมกันของคำจำกัดความเหล่านี้มีประโยชน์มาก ฟังก์ชันผกผันเกิดขึ้นได้ทุกที่ในทุกสาขาของคณิตศาสตร์ เนื่องจากโครงสร้างในคำจำกัดความใดๆ ก็ตามก่อให้เกิดโครงสร้างในคำจำกัดความอื่นๆ การสลับไปมาระหว่างคำจำกัดความเหล่านี้จึงเป็นการใช้รายละเอียดมากมายโดยปริยาย ซึ่งหากไม่เช่นนั้นจะต้องกล่าวซ้ำแยกต่างหากในแต่ละสาขาวิชา

ทฤษฎีตัวผกผันมีพื้นฐานมาจากคำว่าซ้ายและขวาและมีส่วนประกอบหลายอย่างที่อยู่ในสองหมวดหมู่CและDที่กำลังพิจารณาอยู่ ดังนั้น การเลือกตัวอักษรตามลำดับตัวอักษรว่าอยู่ในหมวดหมู่ "ซ้ายมือ" Cหรือหมวดหมู่ "ขวามือ" Dและเขียนตามลำดับนี้ทุกครั้งที่เป็นไปได้ จึงอาจเป็นประโยชน์

ในบทความนี้ ตัวอย่างเช่น ตัวอักษรX , F , f , ε จะใช้แทนสิ่งต่างๆ ที่อยู่ในหมวดหมู่C อย่างสม่ำเสมอ ตัวอักษรY , G , g , η จะใช้แทนสิ่งต่างๆ ที่อยู่ในหมวดหมู่Dอย่างสม่ำเสมอ และเมื่อใดก็ตามที่เป็นไปได้ สิ่งต่างๆ เหล่านั้นจะถูกอ้างถึงตามลำดับจากซ้ายไปขวา (ฟังก์ชันF  : D → Cสามารถคิดได้ว่า "มีชีวิต" อยู่ที่ผลลัพธ์ของมันในC ) หากวาดลูกศรสำหรับฟังก์ชันผกผันซ้าย F ลูกศรจะชี้ไปทางซ้าย หากวาดลูกศรสำหรับฟังก์ชันผกผันขวา G ลูกศรจะชี้ไปทางขวา

ตามนิยามแล้ว ฟังก์ชัน จะเป็นฟังก์ชันผกผันซ้ายก็ต่อเมื่อสำหรับแต่ละออบเจกต์ในจะมีมอร์ฟิซึมสากล จากไป ยัง อยู่ กล่าวโดยละเอียดก็คือ สำหรับแต่ละออบเจกต์ในจะมีออบเจกต์ ในและมอร์ฟิ ซึม อยู่ ซึ่งสำหรับทุกออบเจกต์ ในและทุกมอร์ฟิ ซึม จะ มี มอร์ฟิซึมที่ไม่ซ้ำกันเพียงตัวเดียว ที่ มี${\displaystyle F:{\mathcal {D}}\to {\mathcal {C}}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\displaystyle F}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\displaystyle G(X)}$${\displaystyle {\mathcal {D}}}$${\displaystyle \varepsilon _{X}:F(G(X))\to X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle {\mathcal {D}}}$${\displaystyle f:F(Y)\to X}$${\displaystyle g:Y\to G(X)}$${\displaystyle \varepsilon _{X}\circ F(g)=f}$

สมการหลังนี้แสดงได้ด้วยแผนภาพการสลับตำแหน่ง ดังต่อไปนี้ :

ในสถานการณ์นี้ เราสามารถแสดงให้เห็นว่าสามารถเปลี่ยนเป็นฟังก์ชันได้ใน ลักษณะเฉพาะ โดยที่ สำหรับมอร์ฟิซึมทั้งหมดใน; จะเรียกว่าแอดจอยต์ซ้ายของ${\displaystyle G}$${\displaystyle G:{\mathcal {C}}\to {\mathcal {D}}}$${\displaystyle \varepsilon _{X}\circ F(G(f))=f\circ \varepsilon _{X'}}$${\displaystyle f:X'\to X}$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\displaystyle F}$${\displaystyle G}$

ในทำนองเดียวกัน เราอาจนิยามฟังก์ชันผกผันขวาได้ ฟังก์ชันผกผัน ขวา คือฟังก์ชันผกผันขวาถ้าสำหรับแต่ละวัตถุในจะมีมอร์ฟิซึมสากลจากไปยัง กล่าวโดยละเอียดคือ สำหรับแต่ละวัตถุในจะมีวัตถุในและมอร์ฟิซึมเช่นนั้น สำหรับทุกวัตถุใน และทุกมอร์ฟิซึมจะมีมอร์ฟิซึมที่ไม่ซ้ำกันเพียงตัวเดียวที่มี ${\displaystyle G:{\mathcal {C}}\to {\mathcal {D}}}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle {\mathcal {D}}}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle G}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle {\mathcal {D}}}$${\displaystyle F(Y)}$${\displaystyle C}$${\displaystyle \eta _{Y}:Y\ถึง G(F(Y))}$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\displaystyle g:Y\to G(X)}$${\displaystyle f:F(Y)\to X}$${\displaystyle G(f)\circ \eta _{Y}=g}$

เช่นเดียวกัน สิ่งนี้สามารถแปลงเป็นฟังก์ชันได้อย่างเฉพาะเจาะจงโดยที่สำหรับมอร์ฟิซึมใน; จะเรียกว่า แอดจ อย ต์ขวาของ${\displaystyle F}$${\displaystyle F:{\mathcal {D}}\to {\mathcal {C}}}$${\displaystyle G(F(g))\circ \eta _{Y}=\eta _{Y'}\circ g}$${\displaystyle g:Y\to Y'}$${\displaystyle {\mathcal {D}}}$${\displaystyle G}$${\displaystyle F}$

เป็นความจริงตามที่ศัพท์เฉพาะบ่งบอก ว่าเป็นตัวผกผันซ้ายของ ก็ต่อเมื่อเป็นตัวผกผันขวาของ ${\displaystyle F}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$${\displaystyle F}$

คำจำกัดความเหล่านี้ผ่านทางมอร์ฟิซึมสากลนั้นมักมีประโยชน์สำหรับการพิสูจน์ว่าฟังก์ชันที่กำหนดให้เป็นฟังก์ชันผกผันซ้ายหรือขวา เนื่องจากมีข้อกำหนดที่น้อยที่สุด นอกจากนี้ยังมีความหมายที่เข้าใจได้ง่าย เนื่องจาก1การค้นหามอร์ฟิซึมสากลนั้นคล้ายกับการแก้ปัญหาการหาค่าที่เหมาะสมที่สุด

โดยใช้เซต homการเชื่อมโยงระหว่างสองหมวดหมู่และสามารถกำหนดได้ว่าประกอบด้วยฟังก์ชัน สองตัว และและไอโซมอร์ฟิซึมตามธรรมชาติ ซึ่งระบุตระกูลของการจับคู่แบบหนึ่งต่อหนึ่ง สำหรับวัตถุทั้งหมดและ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\displaystyle {\mathcal {D}}}$${\displaystyle F:{\mathcal {D}}\to {\mathcal {C}}}$${\displaystyle G:{\mathcal {C}}\to {\mathcal {D}}}$$${\displaystyle \Phi :\mathrm {Hom} _{\mathcal {C}}(F-,-)\to \mathrm {Hom} _{\mathcal {D}}(-,G-).}$$$${\displaystyle \Phi _{Y,X}:\mathrm {Hom} _{\mathcal {C}}(FY,X)\to \mathrm {Hom} _{\mathcal {D}}(Y,GX)}$$${\displaystyle X\in {\mathcal {C}}}$${\displaystyle Y\in {\mathcal {D}}.}$

ในสถานการณ์นี้เป็นตัวผกผันซ้ายของและเป็นตัวผกผันขวาของ ${\displaystyle F}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$${\displaystyle F}$

นิยามนี้เป็นการประนีประนอมเชิงตรรกะ เนื่องจากยากกว่าที่จะพิสูจน์ว่าตรงตามเงื่อนไขมากกว่านิยามของมอร์ฟิซึมสากล และมีนัยสำคัญโดยตรงน้อยกว่านิยามของโคยูนิต-ยูนิต อย่างไรก็ตาม นิยามนี้มีประโยชน์เพราะมีความสมมาตรที่ชัดเจน และเป็นก้าวสำคัญระหว่างนิยามอื่นๆ

เพื่อให้ตีความว่าเป็นไอโซมอร์ฟิซึมตามธรรมชาติเราต้องตระหนักว่าและเป็นฟังก์ชัน ในความเป็นจริง ทั้งคู่เป็นไบฟังก์ชันจากไปยัง( หมวดหมู่ของเซต ) สำหรับรายละเอียด โปรดดูบทความเกี่ยวกับhom-functorsกล่าวโดยสรุป ความเป็นธรรมชาติของหมายความว่าสำหรับมอร์ฟิซึม ทั้งหมด ในและมอร์ฟิซึมทั้งหมดในแผนภาพต่อไปนี้จะสลับกันได้ : ${\displaystyle \Phi }$${\displaystyle {\text{Hom}}_{\mathcal {C}}(F-,-)}$${\displaystyle {\text{Hom}}_{\mathcal {D}}(-,G-)}$${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\text{op}}\times {\mathcal {C}}}$${\displaystyle \mathbf {Set} }$${\displaystyle \Phi }$${\displaystyle f:X\to X'}$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\displaystyle g:Y'\to Y}$${\displaystyle {\mathcal {D}}}$

ลูกศรแนวตั้งในแผนภาพนี้ ( และ) คือลูกศรที่เกิดจากการประกอบกัน ในทางทฤษฎีแล้วจะกำหนดโดยสำหรับแต่ละค่าจะคล้ายกัน ${\displaystyle {\text{Hom}}(g,Gf)}$${\displaystyle {\text{Hom}}(Fg,f)}$${\displaystyle {\text{Hom}}(Fg,f):{\text{Hom}}_{\mathcal {C}}(FY,X)\to {\text{Hom}}_{\mathcal {C}}(FY',X')}$${\displaystyle h\mapsto f\circ h\circ Fg}$${\displaystyle h\in {\text{Hom}}_{\mathcal {C}}(FY,X).}$${\displaystyle {\text{Hom}}(g,Gf)}$

วิธีที่สามในการกำหนดการเชื่อมโยงระหว่างสองหมวดหมู่ประกอบด้วยฟังก์ชันสองตัวและและการแปลงธรรมชาติสอง แบบ เรียกว่าโคยูนิตและยูนิตของการเชื่อมโยง (ศัพท์เฉพาะจากพีชคณิตสากล ) โดยที่การประกอบกัน เป็นมอร์ฟิซึมเอกลักษณ์และบนFและGตามลำดับ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\displaystyle {\mathcal {D}}}$${\displaystyle F:{\mathcal {D}}\to {\mathcal {C}}}$${\displaystyle G:{\mathcal {C}}\to {\mathcal {D}}}$$${\displaystyle {\begin{aligned}\varepsilon &:FG\to 1_{\mathcal {C}}\\\eta &:1_{\mathcal {D}}\to GF\end{aligned}}}$$$${\displaystyle F\xrightarrow {\overset {}{\;F\eta \;}} FGF\xrightarrow {\overset {}{\;\varepsilon F\,}} F}$$$${\displaystyle G\xrightarrow {\overset {}{\;\eta G\;}} GFG\xrightarrow {\overset {}{\;G\varepsilon \,}} G}$$${\displaystyle 1_{F}}$${\displaystyle 1_{G}}$

ในสถานการณ์นี้ เรากล่าวว่าF เป็นตัวผกผันซ้ายของGและG เป็นตัวผกผันขวาของFและเราอาจแสดงความสัมพันธ์นี้โดยการเขียน หรือเพียง แค่ ${\displaystyle (\varepsilon ,\eta ):F\dashv G}$${\displaystyle F\dashv G}$

ในรูปแบบสมการ เงื่อนไขข้างต้นเกี่ยวกับ คือสมการโคยูนิต-ยูนิต ซึ่งหมายความว่าสำหรับแต่ละและแต่ละ${\displaystyle (\varepsilon ,\eta )}$$${\displaystyle {\begin{aligned}1_{F}&=\varepsilon F\circ F\eta \\1_{G}&=G\varepsilon \circ \eta G\end{aligned}}}$$${\displaystyle X\in {\mathcal {C}}}$${\displaystyle Y\in {\mathcal {D}},}$$${\displaystyle {\begin{aligned}1_{FY}&=\varepsilon _{FY}\circ F(\eta _{Y})\\1_{GX}&=G(\varepsilon _{X})\circ \eta _{GX}.\end{aligned}}}$$

โปรดทราบว่าหมายถึงฟังก์ชันเอกลักษณ์บนหมวดหมู่หมาย ถึงการ แปลง ธรรมชาติเอกลักษณ์จากฟังก์ชันFไปยังตัวมันเอง และหมายถึงมอร์ฟิซึมเอกลักษณ์ของวัตถุ${\displaystyle 1_{\mathcal {C}}}$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\displaystyle 1_{F}}$${\displaystyle 1_{FY}}$${\displaystyle FY}$

สมการเหล่านี้มีประโยชน์ในการลดทอนการพิสูจน์เกี่ยวกับฟังก์ชันผกผันให้เหลือเพียงการจัดการทางพีชคณิต บางครั้งเรียกว่าเอกลักษณ์สามเหลี่ยมหรือบางครั้ง เรียก ว่าสมการซิกแซกเนื่องจากลักษณะของแผนภาพสตริง ที่สอดคล้องกัน วิธีจำง่ายๆ คือ เขียนสมการที่ไม่สมเหตุสมผลลงไปก่อนแล้วจึงเติมFหรือGในหนึ่งในสองวิธีง่ายๆ ที่ทำให้การประกอบฟังก์ชันนั้นมีความหมาย ${\displaystyle 1=\varepsilon \circ \eta }$

หมายเหตุ: การใช้คำนำหน้า "co" ใน counit ที่นี่ไม่สอดคล้องกับศัพท์เฉพาะของ limit และ colimit เพราะ colimit มี คุณสมบัติ เริ่มต้นในขณะที่ counit morphism มี คุณสมบัติ สุดท้ายและในทางกลับกันสำหรับ limit กับ unit คำว่าunit ในที่ นี้ ยืมมาจากทฤษฎีของmonadsซึ่งมีลักษณะเป็นการแทรกเอกลักษณ์1เข้าไปในmonoid

แนวคิดเรื่องฟังก์ชันผกผันได้รับการนำเสนอโดยDaniel Kanในปี พ.ศ. 2491 ^{[ 5 ]}เช่นเดียวกับแนวคิดหลายอย่างในทฤษฎีหมวดหมู่ แนวคิดนี้ได้รับการเสนอแนะโดยความต้องการของพีชคณิตเชิงโฮโมโลยีซึ่งในขณะนั้นมุ่งเน้นไปที่การคำนวณ ผู้ที่ต้องเผชิญกับการนำเสนอหัวข้ออย่างเป็นระเบียบและเป็นระบบคงจะสังเกตเห็นความสัมพันธ์ต่างๆ เช่น

$${\displaystyle {\text{Hom}}(FX,Y)={\text{Hom}}(X,GY)}$$

ในหมวดหมู่ของกลุ่มอาเบเลียนโดยที่Fคือฟังก์ชัน(กล่าวคือ นำผลคูณเทนเซอร์กับA ) และGคือฟังก์ชันHom( A ,–) (ซึ่งปัจจุบันรู้จักกันในชื่อการเชื่อมโยงเทนเซอร์-hom ) การใช้เครื่องหมายเท่ากับเป็นการใช้สัญลักษณ์ที่ไม่ถูกต้องกลุ่มทั้งสองนี้ไม่เหมือนกันอย่างแท้จริง แต่มีวิธีระบุตัวตนที่เป็นธรรมชาติจะเห็นได้ว่าเป็นธรรมชาติจากประการแรกคือ นี่คือคำอธิบายทางเลือกสองแบบของการแมปเชิงเส้นคู่จากX × AไปยังYอย่างไรก็ตาม นั่นเป็นสิ่งที่เฉพาะเจาะจงในกรณีของผลคูณเทนเซอร์ ในทฤษฎีหมวดหมู่ 'ความเป็นธรรมชาติ' ของการจับคู่แบบหนึ่งต่อหนึ่งนั้นรวมอยู่ในแนวคิดของไอ โซมอร์ฟิ ซึม ตามธรรมชาติ${\displaystyle -\otimes A}$

การสร้างกลุ่มอิสระเป็นตัวอย่างที่พบได้ทั่วไปและให้ความกระจ่างอย่างชัดเจน

ให้F  : Set → Grpเป็นฟังก์ชันที่กำหนดกลุ่มอิสระที่สร้างขึ้นจากสมาชิกของ Y ให้กับแต่ละเซตY และให้G : Grp →  Set เป็นฟังก์ชันลืมที่กำหนดเซตพื้นฐานของ กลุ่ม X ให้กับแต่ละกลุ่ม จากนั้น Fเป็นตัวผกผันซ้ายของG :

มอร์ฟิซึมเริ่มต้น

สำหรับแต่ละเซตYเซตGFYก็คือเซตพื้นฐานของกลุ่มอิสระFYที่สร้างขึ้นโดยYให้เป็นแผนที่เซตที่กำหนดโดย "การรวมตัวสร้าง" นี่คือมอร์ฟิซึมเริ่มต้นจากYไปยังGเพราะแผนที่เซตใดๆ จากYไปยังเซตพื้นฐานGWของกลุ่มW บางกลุ่ม จะสามารถแยกตัวประกอบผ่านโฮโมมอร์ฟิซึมกลุ่มที่ไม่ซ้ำกันจากFYไปยังWได้ นี่คือคุณสมบัติสากลของกลุ่มอิสระบน Y อย่าง แม่นยำ${\displaystyle \eta _{Y}:Y\to GFY}$${\displaystyle \eta _{Y}:Y\to GFY}$

มอร์ฟิซึมปลายทาง

สำหรับแต่ละกลุ่มXกลุ่มFGXคือกลุ่มอิสระที่สร้างขึ้นอย่างอิสระโดยGXซึ่งเป็นสมาชิกของXให้เป็นฟังก์ชันโฮโมมอร์ฟิซึมของกลุ่มที่ส่งตัวสร้างของFGXไปยังสมาชิกของXที่สอดคล้องกัน ซึ่งมีอยู่โดยคุณสมบัติสากลของกลุ่มอิสระ ดังนั้น แต่ละเป็นฟังก์ชันมอร์ฟิซึมปลายทางจากFไปยังXเพราะฟังก์ชันโฮโมมอร์ฟิซึมของกลุ่มใดๆ จากกลุ่มอิสระFZไปยังXจะแยกตัวประกอบผ่านแผนที่เซตที่ไม่ซ้ำกันจากZไปยังGXซึ่งหมายความว่า( F , G )เป็นคู่แอดจอยต์${\displaystyle \varepsilon _{X}:FGX\to X}$${\displaystyle (GX,\varepsilon _{X})}$${\displaystyle \varepsilon _{X}:FGX\to X}$

การเชื่อมต่อแบบโฮมเซต

โฮโมมอร์ฟิซึมของกลุ่มจากกลุ่มอิสระFYไปยังกลุ่มXสอดคล้องอย่างแม่นยำกับแผนที่จากเซตYไปยังเซตGX : โฮโมมอร์ฟิซึมแต่ละตัวจากFYไปยังX ถูกกำหนดอย่างสมบูรณ์โดยการกระทำต่อตัวสร้าง ซึ่งเป็นการกล่าวซ้ำอีกครั้งถึงคุณสมบัติสากลของกลุ่มอิสระ เราสามารถตรวจสอบได้โดยตรงว่าความสอดคล้องนี้เป็นการแปลงตามธรรมชาติ ซึ่งหมายความว่าเป็นการเชื่อมโยงโฮโมมอร์ฟิซึม กับเซตสำหรับคู่( F , G )

การเชื่อมต่อระหว่างหน่วยย่อย

เราสามารถตรวจสอบได้โดยตรงว่าεและηเป็นธรรมชาติ จากนั้น การตรวจสอบโดยตรงว่าพวกมันก่อให้เกิดการเชื่อมโยงระหว่างหน่วยย่อยกับหน่วยย่อยมีดังนี้: ${\displaystyle (\varepsilon ,\eta ):F\dashv G}$

สมการโคยูนิต-ยูนิตแรก

${\displaystyle 1_{F}=\varepsilon F\circ F\eta }$กล่าวว่าสำหรับแต่ละเซตYการประกอบ ควรจะเป็นเอกลักษณ์ กลุ่มตัวกลางFGFYเป็นกลุ่มอิสระที่สร้างขึ้นอย่างอิสระโดยคำต่างๆ ของกลุ่มอิสระFY (คิดว่าคำเหล่านี้อยู่ในวงเล็บเพื่อระบุว่าเป็นตัวสร้างอิสระ) ลูกศรคือโฮโมมอร์ฟิซึมของกลุ่มจากFYไปยังFGFY โดยส่งตัวสร้าง yแต่ละตัวของFYไปยังคำที่มีความยาวหนึ่งที่สอดคล้องกัน ( y ) เป็นตัวสร้างของFGFYลูกศรคือโฮโมมอร์ฟิซึมของกลุ่มจากFGFYไปยังFYโดยส่งตัวสร้างแต่ละตัวไปยังคำของFYที่สอดคล้องกัน (ดังนั้นแผนที่นี้จึง "ตัดวงเล็บออก") การประกอบของแผนที่เหล่านี้คือเอกลักษณ์บนFY อย่าง แท้จริง$${\displaystyle FY\xrightarrow {\overset {}{\;F(\eta _{Y})\;}} FGFY\xrightarrow {\;\varepsilon _{FY}\,} FY}$$${\displaystyle F(\eta _{Y})}$${\displaystyle \varepsilon _{FY}}$

สมการโคยูนิต-ยูนิตที่สอง

${\displaystyle 1_{G}=G\varepsilon \circ \eta G}$กล่าวว่าสำหรับแต่ละกลุ่มXองค์ประกอบ ควรจะเป็นเอกลักษณ์ เซตตัวกลางGFGXก็คือเซตพื้นฐานของFGXลูกศรคือแผนที่เซต "การรวมตัวสร้าง" จากเซตGXไปยังเซตGFGXลูกศร คือ แผนที่เซตจากGFGXไปยังGXซึ่งเป็นพื้นฐานของโฮโมมอร์ฟิซึมกลุ่มที่ส่งตัวสร้างแต่ละตัวของFGXไปยังองค์ประกอบของX ที่สอดคล้องกัน ("ละวงเล็บ") องค์ประกอบของการแม ปเหล่านี้คือเอกลักษณ์บนGX อย่างแท้จริง$${\displaystyle GX\xrightarrow {\;\eta _{GX}\;} GFGX\xrightarrow {\overset {}{\;G(\varepsilon _{X})\,}} GX}$$${\displaystyle \eta _{GX}}$${\displaystyle G(\varepsilon _{X})}$

วัตถุอิสระทั้งหมดเป็นตัวอย่างของตัวผกผันซ้ายของฟังก์ชันลืมซึ่งกำหนดเซตพื้นฐานให้กับวัตถุพีชคณิตฟังก์ชันอิสระ เชิงพีชคณิตเหล่านี้ โดยทั่วไปมีคำอธิบายเช่นเดียวกับคำอธิบายโดยละเอียดของสถานการณ์กลุ่มอิสระข้างต้น

ผลิตภัณฑ์ , พูลแบ็ก , อีควอไลเซอร์และเคอร์เนล ล้วนเป็นตัวอย่างของแนวคิดเชิงหมวดหมู่ของลิมิตฟังก์ชันลิมิตใดๆ ก็ตามจะเป็นแอดจอยต์ทางขวาของฟังก์ชันแนวทแยงที่สอดคล้องกัน (โดยที่หมวดหมู่มีประเภทของลิมิตที่กล่าวถึง) และโคยูนิตของแอดจอยต์จะให้แผนที่กำหนดจากออบเจ็กต์ลิมิต (เช่น จากฟังก์ชันแนวทแยงบนลิมิต ในหมวดหมู่ฟังก์ชัน) ด้านล่างนี้เป็นตัวอย่างเฉพาะบางส่วน

โคโปรดักต์พุชเอาต์โค อี ควอไลเซอร์และโคเคอร์เนล ล้วนเป็นตัวอย่างของแนวคิดเชิงหมวดหมู่ของโคลิมิตฟังก์ชันโคลิมิตใดๆ จะเป็นแอดจอยต์ซ้ายของฟังก์ชันแนวทแยงที่สอดคล้องกัน (โดยที่หมวดหมู่มีประเภทของโคลิมิตที่กล่าวถึง) และหน่วยของแอดจอยต์จะให้แผนที่กำหนดไปยังวัตถุโคลิมิต ด้านล่างนี้เป็นตัวอย่างเฉพาะบางส่วน

• ผลคูณร่วม (Coproducts ) ถ้าF  : Ab ² → Ab กำหนดค่า ผลรวมโดยตรงให้กับทุกคู่( X ₁ , X ₂ )ของกลุ่มอาเบเลียนและถ้าG  : Ab → Ab ²เป็นฟังก์ชันที่กำหนดค่าคู่( Y , Y ) ให้กับทุกกลุ่มอาเบเลียน Yแล้วFจะเป็นตัวผกผันซ้ายของGซึ่งเป็นผลมาจากคุณสมบัติสากลของผลรวมโดยตรง หน่วยของคู่ผกผันนี้คือคู่แผนที่การรวมจากX ₁และX ₂ไปยังผลรวมโดยตรง และหน่วยร่วม (counit) คือแผนที่การบวกจากผลรวมโดยตรงของ( X , X )กลับไปยังX (โดยส่งองค์ประกอบ( a , b )ของผลรวมโดยตรงไปยังองค์ประกอบa + bของX )
  ตัวอย่างที่คล้ายคลึงกัน ได้แก่ผลรวมโดยตรงของปริภูมิเวกเตอร์และโมดูลผลคูณอิสระของกลุ่ม และการรวมกันแบบไม่ทับซ้อนกันของเซต

• การเพิ่มเอกลักษณ์ให้กับrngตัวอย่างนี้ได้กล่าวถึงในส่วนแรงจูงใจข้างต้นแล้ว เมื่อกำหนด rng R แล้ว เราสามารถเพิ่มองค์ประกอบเอกลักษณ์การคูณได้โดยการนำR x Zและกำหนด ผลคูณเชิงเส้นคู่ ของ Zด้วย(r,0)(0,1) = (0,1)(r,0) = (r,0), (r,0)(s,0) = (rs,0), ​​(0,1)(0,1) = (0,1)ซึ่งจะสร้างตัวผกผันซ้ายให้กับฟังก์ชันที่นำวงแหวนไปยัง rng พื้นฐาน
• การเพิ่มเอกลักษณ์ให้กับเซมิกรุปในทำนองเดียวกัน เมื่อกำหนดเซมิกรุปSเราสามารถเพิ่มสมาชิกเอกลักษณ์และได้โมโนอิดโดยการรวมแบบไม่ทับซ้อนกัน และกำหนดการดำเนินการทวิภาคบนโมโนอิดนั้น โดยที่การดำเนินการนั้นขยายการดำเนินการบนSและ1เป็นสมาชิกเอกลักษณ์ การสร้างนี้ให้ฟังก์ชันที่เป็นตัวผกผันซ้ายของฟังก์ชันที่แปลงโมโนอิดเป็นเซมิกรุปพื้นฐาน${\displaystyle S\sqcup \{1\}}$
• ส่วนขยายของริงสมมติว่าRและSเป็นริง และρ : R → Sเป็นโฮโมมอร์ฟิซึมของริงจากนั้นSสามารถมองได้ว่าเป็น โมดูล R (ซ้าย) และผลคูณเทนเซอร์กับSจะให้ฟังก์ชันF  : R - Mod → S - Modจากนั้นFเป็นตัวผกผันซ้ายของฟังก์ชันลืมG  : S - Mod → R - Mod
• ผลคูณเทนเซอร์ถ้า Rเป็นริงและ Mเป็นโมดูลขวาของ Rแล้ว ผลคูณเทนเซอร์กับ Mจะให้ฟังก์ชัน F  : R - Mod → Abฟังก์ชัน G  : Ab → R - Modซึ่งกำหนดโดย G ( A ) = hom _Z ( M , A )สำหรับทุกกลุ่มอาเบเลียน Aเป็นตัวผกผันขวาของ F
• จากโมโนอิดและกลุ่มไปสู่ริงการ สร้าง ริงโมโนอิดแบบอินทิก รัล ให้ฟังก์ชันจากโมโนอิดไปสู่ริง ฟังก์ชันนี้เป็นฟังก์ชันผกผันทางซ้ายของฟังก์ชันที่เชื่อมโยงโมโนอิดการคูณพื้นฐานกับริงที่กำหนด ในทำนองเดียวกัน การสร้าง ริงกลุ่มแบบอินทิก รัล ให้ฟังก์ชันจากกลุ่มไปสู่ริง ซึ่งเป็นฟังก์ชันผกผันทางซ้ายของฟังก์ชันที่กำหนดกลุ่มหน่วย ให้กับริงที่กำหนด นอกจากนี้ยังสามารถเริ่มต้นด้วยฟิลด์Kและพิจารณาหมวดหมู่ของK-พีชคณิตแทนหมวดหมู่ของริง เพื่อให้ได้ริงโมโนอิดและริงกลุ่มเหนือK
• ฟิลด์ของเศษส่วนพิจารณาหมวดหมู่Dom _mของโดเมนจำนวนเต็มที่มีมอร์ฟิซึมแบบฉีด ฟังก์ชันลืมField → Dom _mจากฟิลด์มีแอดจอยต์ซ้าย—ซึ่งกำหนดฟิลด์ของเศษส่วน ให้กับทุก โดเมน จำนวนเต็ม
• วงแหวนพหุนามให้Ring _*เป็นหมวดหมู่ของวงแหวนสลับที่แบบมีจุดและเอกลักษณ์ (คู่(A,a)โดยที่Aเป็นวงแหวน, a ∈ Aและมอร์ฟิซึมรักษาองค์ประกอบที่โดดเด่น) ฟังก์ชันลืมG : Ring _* → Ringมีตัวผกผันซ้าย – มันกำหนดคู่(R[x],x) ให้กับทุกวงแหวน Rโดยที่R[x]เป็นวงแหวนพหุนามที่มีสัมประสิทธิ์จากR
• การทำให้เป็น กลุ่มอาเบเลียนพิจารณาฟังก์ชันการรวมG  : Ab → Grpจากหมวดหมู่ของกลุ่มอาเบเลียนไปยังหมวดหมู่ของกลุ่ม ฟังก์ชันนี้มีตัวผกผันซ้ายที่เรียกว่าการทำให้เป็น กลุ่มอาเบเลียน ซึ่งกำหนด กลุ่มผลหารG ^ab = G /[ G , G ]ให้กับทุกกลุ่มG
• กลุ่ม Grothendieckในทฤษฎี Kจุดเริ่มต้นคือการสังเกตว่าหมวดหมู่ของเวกเตอร์บัน เดิ ลบนปริภูมิเชิงทอพอโลยีมีโครงสร้างโมโนอิดแบบสลับที่ได้ภายใต้ผลรวมโดยตรงเราสามารถสร้างกลุ่มอาเบเลียนจากโมโนอิดนี้ ซึ่งก็ คือ กลุ่ม Grothendieckโดยการเพิ่มตัวผกผันการบวกอย่างเป็นทางการสำหรับแต่ละบันเดิล (หรือชั้นสมมูล) หรืออีกทางหนึ่ง เราสามารถสังเกตได้ว่าฟังก์ชันที่สำหรับแต่ละกลุ่มใช้โมโนอิดพื้นฐาน (โดยไม่สนใจตัวผกผัน) มีตัวผกผันซ้าย นี่เป็นการสร้างแบบครั้งเดียวจบ สอดคล้องกับการอภิปรายในส่วนที่สามข้างต้น กล่าวคือ เราสามารถเลียนแบบการสร้างจำนวนลบได้ แต่ยังมีอีกทางเลือกหนึ่งคือทฤษฎีบทการมีอยู่สำหรับกรณีของโครงสร้างพีชคณิตแบบจำกัด การมีอยู่เพียงอย่างเดียวสามารถอ้างอิงถึงพีชคณิตสากลหรือทฤษฎีแบบจำลองได้ แน่นอนว่ายังมีบทพิสูจน์ที่ปรับให้เข้ากับทฤษฎีหมวดหมู่ด้วยเช่นกัน
• หลักการ แลกเปลี่ยนแบบฟรอเบนิอุสในทฤษฎีการแทนกลุ่ม : ดูการแทนแบบเหนี่ยวนำตัวอย่างนี้เป็นลางบอกเหตุของทฤษฎีทั่วไปเมื่อประมาณครึ่งศตวรรษก่อน

• ฟังก์ชันที่มีแอดจอยต์ซ้ายและขวาให้Gเป็นฟังก์ชันจากปริภูมิเชิงทอพอโลยีไปยังเซตซึ่งเชื่อมโยงเซตพื้นฐานของปริภูมิเชิงทอพอโลยีทุกปริภูมิ (โดยไม่คำนึงถึงทอพอโลยี) Gมีแอดจอยต์ซ้ายFซึ่งสร้างปริภูมิแบบไม่ต่อเนื่องบนเซตYและแอดจอยต์ขวาHซึ่งสร้างทอพอโลยีแบบไม่ซับซ้อนบนY
• การแขวนลอยและปริภูมิวงวนเมื่อกำหนดปริภูมิเชิงทอพอโลยีXและYแล้ว ปริภูมิ[ SX , Y ]ของชั้นโฮโมโทปีของแผนที่จากการแขวนลอยSXของXไปยังYนั้น สมมูลกันโดยธรรมชาติกับปริภูมิ[ X , Ω Y ]ของชั้นโฮโมโทปีของแผนที่จากXไปยังปริภูมิวงวนΩ YของYดังนั้น ฟังก์ชันการแขวนลอยจึงเป็นตัวผกผันทางซ้ายของฟังก์ชันปริภูมิวงวนในหมวดหมู่โฮโมโทปีซึ่งเป็นข้อเท็จจริงที่สำคัญในทฤษฎีโฮโมโทปี
• การทำให้เป็นกระชับแบบสโตน-เช็กให้KHausเป็นหมวดหมู่ของปริภูมิเฮาส์ดอร์ฟกระชับ และG  : KHaus → Topเป็นฟังก์ชันการรวมไปยังหมวดหมู่ของปริภูมิเชิงทอพอ โลยี แล้วGมีตัวผกผันซ้ายF  : Top → KHausซึ่งก็ คือ การทำให้เป็นกระชับแบบสโตน-เช็กหน่วยของคู่ตัวผกผันนี้ให้ แผนที่ ต่อเนื่องจากทุกปริภูมิเชิงทอพอโลยีXไปยังการทำให้เป็นกระชับแบบสโตน-เช็กของมัน
• ภาพตรงและภาพผกผันของชีฟ ฟังก์ชัน ต่อเนื่อง ทุกฟังก์ชันf  : X → Yระหว่างปริภูมิเชิงทอพอโลยีจะเหนี่ยวนำฟังก์ชันf _∗จากหมวดหมู่ของชีฟ (ของเซต หรือกลุ่มอาเบเลียน หรือวงแหวน ฯลฯ) บนXไปยังหมวดหมู่ของชีฟที่สอดคล้องกันบนYซึ่งก็คือฟังก์ชันภาพตรงนอกจากนี้ยังเหนี่ยวนำฟังก์ชันf ⁻¹จากหมวดหมู่ของชีฟของกลุ่มอาเบเลียนบนYไปยังหมวดหมู่ของชีฟของกลุ่มอาเบเลียนบนXซึ่งก็คือฟังก์ชันภาพผกผันf ⁻¹เป็นตัวผกผันซ้ายของf _∗ประเด็นที่ละเอียดอ่อนกว่านั้นคือ ตัวผกผันซ้ายสำหรับชีฟที่สอดคล้องกันจะแตกต่างจากตัวผกผันซ้ายสำหรับชีฟ (ของเซต)
• การทำให้เป็นสามัญ (Soberification ) บทความเกี่ยวกับ ทฤษฎีคู่ของ สโตน (Stone duality)อธิบายถึงการเชื่อมโยงระหว่างหมวดหมู่ของปริภูมิเชิงทอพอโลยี (topological spaces) และหมวดหมู่ของปริภูมิสามัญ (sober spaces)ซึ่งรู้จักกันในชื่อ การทำให้เป็นสามัญ (soberification) ที่น่าสนใจคือ บทความนี้ยังมีคำอธิบายโดยละเอียดเกี่ยวกับการเชื่อมโยงอีกแบบหนึ่งที่ปูทางไปสู่ทฤษฎีคู่ ที่มีชื่อเสียง ของปริภูมิสามัญและโลคัลเชิงพื้นที่ (spatial locales) ซึ่งถูกนำไปใช้ในทอพอโลยีไร้จุดหมาย (pointless topology )

เซตที่มีลำดับบางส่วนทุก เซต สามารถมองได้ว่าเป็นหมวดหมู่ (โดยที่องค์ประกอบของเซตที่มีลำดับบางส่วนกลายเป็นวัตถุของหมวดหมู่ และเรามีมอร์ฟิซึมเดียวจากxไปยังyก็ต่อเมื่อx ≤ y ) คู่ของฟังก์ชันผกผันระหว่างเซตที่มีลำดับบางส่วนสองเซตเรียกว่าการเชื่อมต่อกาโลอิส (หรือถ้าเป็นการเชื่อมต่อแบบผกผัน เรียกว่า การเชื่อมต่อกาโลอิส แบบแอนติโทน ) ดูบทความนั้นสำหรับตัวอย่างจำนวนมาก: กรณีของทฤษฎีกาโลอิสเป็นตัวอย่างสำคัญอย่างแน่นอน การเชื่อมต่อกาโลอิสใดๆ ก็ตามก่อให้เกิดตัวดำเนินการปิดและฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งแบบรักษาลำดับผกผันระหว่างองค์ประกอบปิดที่สอดคล้องกัน

เช่นเดียวกับกรณีของกลุ่มกาลัวส์ความสนใจที่แท้จริงมักอยู่ที่การปรับปรุงความสอดคล้องกับความเป็นคู่ (เช่น ไอโซมอร์ฟิซึมลำดับ แอนติโทน ) การศึกษาทฤษฎีกาลัวส์ในแนวทางนี้โดยคาปลันสกีมีอิทธิพลอย่างมากต่อการรับรู้โครงสร้างทั่วไปในที่นี้

กรณีลำดับบางส่วนทำให้คำจำกัดความของการเชื่อมโยงยุบตัวลงอย่างเห็นได้ชัด แต่ก็สามารถให้แนวคิดหลักได้หลายประการ:

• การเชื่อมโยงอาจไม่ใช่ความสัมพันธ์แบบคู่หรือความเหมือนกัน แต่เป็นตัวเลือกที่อาจได้รับการยกระดับไปสู่สถานะดังกล่าว
• ตัวดำเนินการปิดอาจบ่งชี้ถึงการมีอยู่ของการเชื่อมโยง เช่นโมนาด ที่สอดคล้องกัน (ดูสัจพจน์การปิดของ Kuratowski )
• ความคิดเห็นทั่วไปมากของWilliam Lawvere ^{[ 6 ]}คือไวยากรณ์และความหมายเป็นคู่กัน: ให้Cเป็นเซตของทฤษฎีตรรกะทั้งหมด (สัจพจน์) และDเป็นเซตกำลังของเซตของโครงสร้างทางคณิตศาสตร์ทั้งหมด สำหรับทฤษฎีTในCให้G ( T )เป็นเซตของโครงสร้างทั้งหมดที่สอดคล้องกับสัจพจน์Tสำหรับเซตของโครงสร้างทางคณิตศาสตร์Sให้F ( S )เป็นสัจพจน์ขั้นต่ำของSจากนั้นเราสามารถกล่าวได้ว่าSเป็นเซตย่อยของG ( T )ก็ต่อเมื่อF ( S )บ่งชี้T ในเชิงตรรกะ : "ฟังก์ชันความหมาย" G เป็นคู่กันทาง ขวาของ "ฟังก์ชันไวยากรณ์" F
• การหาร (โดยทั่วไป) คือความพยายามที่จะผกผันการคูณ แต่ในสถานการณ์ที่ไม่สามารถทำได้ เรามักจะพยายามสร้างตัวผกผันแทน เช่นผลหารในอุดมคติเป็นตัวผกผันของการคูณด้วยอุดมคติของวงแหวนและการบ่งชี้ในตรรกศาสตร์เชิง ประพจน์ เป็นตัวผกผันของการเชื่อมโยงเชิงตรรกะ

ความเท่าเทียมกัน

ถ้าF  : D → Cเป็นความสมมูลของหมวดหมู่แล้ว เราจะมีความสมมูลผกผันG  : C → Dและฟังก์ชันFและG ทั้งสอง จะประกอบกันเป็นคู่ผกผันร่วม (adjoint pair) หน่วยและหน่วยร่วม (counit) เป็นไอโซมอร์ฟิซึมตามธรรมชาติในกรณีนี้ ถ้าη : id → GFและε : GF → idเป็นไอโซมอร์ฟิซึมตามธรรมชาติแล้ว จะมีไอโซมอร์ฟิซึมตามธรรมชาติที่ไม่ซ้ำกันε' : GF → idและ η' : id → GFซึ่ง(η, ε')และ(η', ε)เป็นคู่หน่วยร่วม-หน่วยสำหรับFและGตามลำดับ $${\displaystyle {\begin{aligned}\varepsilon '&=\varepsilon \circ (F\eta ^{-1}G)\circ (FG\varepsilon ^{-1})\\\eta '&=(GF\eta ^{-1})\circ (G\varepsilon ^{-1}F)\circ \eta \end{aligned}}}$$

ชุดของการเชื่อมต่อ

ฟังก์ชันπ ₀ซึ่งกำหนดเซตของส่วนประกอบที่เชื่อมต่อให้กับหมวดหมู่ เป็นตัวผกผันซ้ายของฟังก์ชันDซึ่งกำหนดหมวดหมู่แบบไม่ต่อเนื่องให้กับเซตนั้น ยิ่งไปกว่านั้นDเป็นตัวผกผันซ้ายของฟังก์ชันวัตถุUซึ่งกำหนดเซตของวัตถุให้กับแต่ละหมวดหมู่ และสุดท้ายUเป็นตัวผกผันซ้ายของA ซึ่งกำหนดหมวดหมู่แบบไม่ต่อเนื่อง ^{[ 7 ]}ให้กับแต่ละเซตนั้น

วัตถุเลขชี้กำลัง

ในหมวดหมู่ปิดแบบคาร์ทีเซียน ฟังก์ชัน ภายใน C → Cที่กำหนดโดย–× Aมีตัวผกผันทางขวา– ^Aคู่ดังกล่าวนี้มักเรียกว่าcurryingและ uncurrying ในหลายกรณีพิเศษ พวกมันยังต่อเนื่องและก่อให้เกิด homeomorphism ด้วย

การวัดปริมาณ

ถ้าเป็น述語เอกภาคที่แสดงคุณสมบัติบางอย่าง ทฤษฎีเซตที่แข็งแกร่งเพียงพออาจพิสูจน์การมีอยู่ของเซตของเทอมที่ตรงตามคุณสมบัตินั้นได้ เซตย่อยที่แท้จริงและการฉีดที่เกี่ยวข้องของเข้าไปใน นั้นมีลักษณะเฉพาะโดย述語ที่แสดงคุณสมบัติที่เข้มงวดกว่าอย่างเคร่งครัด${\displaystyle \phi _{Y}}$${\displaystyle Y=\{y\mid \phi _{Y}(y)\}}$${\displaystyle T\subset Y}$${\displaystyle T}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle \phi _{T}(y)=\phi _{Y}(y)\land \varphi (y)}$

บทบาทของตัวบ่งปริมาณในตรรกศาสตร์ภาคแสดงคือการสร้างประพจน์และยังใช้ในการแสดงภาคแสดงที่ซับซ้อนโดยการปิดสูตรที่มีตัวแปรมากกว่าหนึ่งตัวได้ ตัวอย่างเช่น พิจารณาภาคแสดงที่มีตัวแปรเปิดสองตัวคือและโดยใช้ตัวบ่งปริมาณเพื่อปิดเราสามารถสร้างเซต ได้ ${\displaystyle \psi _{f}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle X}$

$${\displaystyle \{y\in Y\mid \exists x.\,\psi _{f}(x,y)\land \phi _{S}(x)\}}$$ ขององค์ประกอบทั้งหมดที่มี ซึ่งมีความสัมพันธ์กับ และซึ่งตัวมันเองมีลักษณะเฉพาะด้วยคุณสมบัติการดำเนินการทางทฤษฎีเซต เช่น การตัดกันของสองเซต สอดคล้องโดยตรงกับการเชื่อมโยงของภาคแสดง ในตรรกศาสตร์เชิงหมวดหมู่ ซึ่งเป็นสาขาย่อยของทฤษฎีโทโพสตัวบ่งปริมาณจะถูกระบุว่าเป็นตัวผกผันของฟังก์ชันดึงกลับ การรับรู้เช่นนี้สามารถมองเห็นได้ในลักษณะเดียวกับการอภิปรายตรรกศาสตร์เชิงประพจน์โดยใช้ทฤษฎีเซต แต่คำจำกัดความทั่วไปทำให้มีตรรกศาสตร์ที่หลากหลายมากขึ้น ${\displaystyle y}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle x}$${\displaystyle \psi _{f}}$${\displaystyle \phi _{S}}$${\displaystyle \cap }$${\displaystyle \land }$

ดังนั้นลองพิจารณาวัตถุในหมวดหมู่ที่มีพูลแบ็ก มอร์ฟิซึมใดๆจะสร้างฟังก์ชัน บนหมวดหมู่ที่เป็นพรีออร์เดอร์ของซับออบเจ็กต์โดยจะแมปซับออบเจ็กต์ของ(ในทางเทคนิคคือ คลาสโมโนมอร์ฟิซึมของ) ไปยังพูลแบ็กหากฟังก์ชันนี้มีแอดจอยต์ซ้ายหรือขวา ฟังก์ชันเหล่านั้นจะถูกเรียกว่าและตามลำดับ^{[ 8 ]}ทั้งสองแมปจากกลับไปยังโดยคร่าวๆ เมื่อกำหนดโดเมนเพื่อวัดความสัมพันธ์ที่แสดงผ่านฟังก์ชัน/ตัววัดปริมาณจะปิดในและส่งคืนเซตย่อยของ ที่ระบุไว้ ${\displaystyle Y}$${\displaystyle f:X\to Y}$$${\displaystyle f^{*}:{\text{Sub}}(Y)\longrightarrow {\text{Sub}}(X)}$$${\displaystyle T}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle T\to Y}$${\displaystyle X\times _{Y}T}$${\displaystyle \exists _{f}}$${\displaystyle \forall _{f}}$${\displaystyle {\text{Sub}}(X)}$${\displaystyle {\text{Sub}}(Y)}$${\displaystyle S\subset X}$${\displaystyle f}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X\times _{Y}T}$${\displaystyle Y}$

ตัวอย่าง : ในหมวดหมู่ของเซตและฟังก์ชัน วัตถุย่อยเชิงแคนอนิกคือเซตย่อย (หรือกล่าวอีกนัยหนึ่งคือการฉีดเชิงแคนอนิกของเซตย่อยเหล่านั้น) การดึงกลับของการฉีดเซตย่อยเข้าไปในเซตย่อยนั้นมีลักษณะเฉพาะคือเซตที่ใหญ่ที่สุดที่รู้ทุกอย่างเกี่ยวกับเซตย่อย และการฉีดเซตย่อยเข้าไปในเซตย่อย ดังนั้นจึงกลายเป็น (ในการจับคู่แบบหนึ่งต่อหนึ่งกับ) ภาพผกผัน ${\displaystyle \operatorname {Set} }$${\displaystyle f^{*}T=X\times _{Y}T}$${\displaystyle T}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f}$${\displaystyle T}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle f^{-1}[T]\subseteq X}$

ต่อไปเรามาหาตัวผกผันซ้ายกัน ซึ่งกำหนดโดย ซึ่งในที่นี้หมายถึง ${\displaystyle S\subseteq X}$$${\displaystyle {\operatorname {Hom} }(\exists _{f}S,T)\cong {\operatorname {Hom} }(S,f^{*}T),}$$$${\displaystyle \exists _{f}S\subseteq T\leftrightarrow S\subseteq f^{-1}[T].}$$

พิจารณา. เราเห็น. ในทางกลับกัน ถ้าสำหรับเรามี ด้วยเช่นกันแล้วเห็นได้ชัดว่า. ดังนั้น จึงหมายความว่า. เราสรุปได้ว่าตัวผกผันซ้ายของฟังก์ชันภาพผกผันนั้นกำหนดโดยภาพโดยตรง ต่อไปนี้คือลักษณะเฉพาะของผลลัพธ์นี้ ซึ่งตรงกับการตีความเชิงตรรกะมากกว่า: ภาพของภายใต้คือเซตทั้งหมดของเช่นนั้นไม่ว่างเปล่า สิ่งนี้ใช้ได้ผลเพราะมันละเลยเฉพาะเซตที่อยู่ในส่วนเติมเต็มของดังนั้น ลองเปรียบเทียบสิ่งนี้กับแรงจูงใจของเรา ${\displaystyle f[S]\subseteq T}$${\displaystyle S\subseteq f^{-1}[f[S]]\subseteq f^{-1}[T]}$${\displaystyle x\in S}$${\displaystyle x\in f^{-1}[T]}$${\displaystyle f(x)\in T}$${\displaystyle S\subseteq f^{-1}[T]}$${\displaystyle f[S]\subseteq T}$${\displaystyle f^{*}}$${\displaystyle S}$${\displaystyle \exists _{f}}$${\displaystyle y}$${\displaystyle f^{-1}[\{y\}]\cap S}$${\displaystyle y\in Y}$${\displaystyle f[S]}$$${\displaystyle \exists _{f}S=\{y\in Y\mid \exists (x\in f^{-1}[\{y\}]).\,x\in S\;\}=f[S].}$$${\displaystyle \{y\in Y\mid \exists x.\,\psi _{f}(x,y)\land \phi _{S}(x)\}}$

ตัวผกผันทางขวาของฟังก์ชันภาพผกผันนั้นกำหนดโดย (โดยไม่ต้องคำนวณในที่นี้) $${\displaystyle \forall _{f}S=\{y\in Y\mid \forall (x\in f^{-1}[\{y\}]).\,x\in S\;\}.}$$

เซตย่อยของมีลักษณะเฉพาะคือเป็นเซตทั้งหมดของที่มีคุณสมบัติว่าภาพผกผันของเมื่อเทียบกับจะถูกบรรจุอยู่ภายในอย่างสมบูรณ์โปรดสังเกตว่าตัวบ่งชี้ที่กำหนดเซตนั้นเหมือนกับข้างต้น ยกเว้นว่าถูกแทนที่ด้วย${\displaystyle \forall _{f}S}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle y}$${\displaystyle \{y\}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle S}$${\displaystyle \exists }$${\displaystyle \forall }$

ข้อเท็จจริงคู่ในความน่าจะเป็นสามารถเข้าใจได้ว่าเป็นความสัมพันธ์แบบเสริมกัน กล่าวคือ ค่าคาดหวังสามารถสลับที่ได้กับการแปลงเชิงเส้น และค่าคาดหวังเป็นคำตอบ ที่ดีที่สุดในบางแง่ สำหรับปัญหาการหาค่าประมาณที่เป็นค่าจริงของการกระจายบนจำนวนจริง

กำหนดหมวดหมู่โดยอิงจากโดยที่วัตถุคือจำนวนจริง และมอร์ฟิซึมคือ "ฟังก์ชันเชิงเส้นที่ประเมินค่า ณ จุด" กล่าวคือ สำหรับฟังก์ชันเชิงเส้นใดๆและจำนวนจริงใดๆให้กำหนดมอร์ฟิซึม ${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle f(x)=ax+b}$${\displaystyle r}$${\displaystyle (r,f):r\to f(r)}$

กำหนดหมวดหมู่โดยอิงจากเซตของการแจกแจงความน่าจะเป็นบนที่มีค่าคาดหวังจำกัด กำหนดมอร์ฟิซึมบนว่าเป็น "ฟังก์ชันเชิงเส้นที่ประเมินค่า ณ การแจกแจง" กล่าวคือ สำหรับฟังก์ชันเชิงเส้นใดๆและ ใดๆให้กำหนดมอร์ฟิซึม ${\displaystyle M(\mathbb {R} )}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle M(\mathbb {R} )}$${\displaystyle f(x)=ax+b}$${\displaystyle \mu \in M(\mathbb {R} )}$${\displaystyle (\mu ,f):\mu \to \mu \circ f^{-1}}$

จากนั้นการวัดเดลต้าของ Diracกำหนดฟังก์ชัน: และค่าคาดหวังกำหนดฟังก์ชันอีกตัวหนึ่ง : และฟังก์ชันทั้งสองนี้เป็นฟังก์ชันผกผันกัน: (ที่น่าสับสนเล็กน้อยคือ เป็นฟังก์ชันผกผันด้านซ้าย แม้ว่าจะเป็นฟังก์ชัน "ลืม" และเป็นฟังก์ชัน "อิสระ") ${\displaystyle \delta :x\mapsto \delta _{x}}$${\displaystyle \mathbb {E} :\mu \mapsto \mathbb {E} [\mu ]}$${\displaystyle \mathbb {E} \dashv \delta }$${\displaystyle \mathbb {E} }$${\displaystyle \mathbb {E} }$${\displaystyle \delta }$

ดังนั้นจึงมีฟังก์ชันและรูปแบบการแปลงธรรมชาติมากมายที่เกี่ยวข้องกับการเชื่อมโยงทุกรูปแบบ และเพียงส่วนเล็ก ๆ ก็เพียงพอที่จะกำหนดส่วนที่เหลือได้

การเชื่อมโยงระหว่างหมวดหมู่CและDประกอบด้วย

• ฟังก์ชันF  : D → C เรียกว่าตัวผกผันซ้าย
• ฟังก์ชันG  : C → Dเรียกว่าแอดจอยต์ขวา
• ไอโซมอร์ฟิซึมตามธรรมชาติΦ : hom _C ( F –,–) → hom _D (–, G –)
• การแปลงทางธรรมชาติε : FG → 1 _Cเรียกว่าหน่วยร่วม
• การแปลงธรรมชาติη : 1 _D → GFเรียกว่าหน่วย

สูตรที่เทียบเท่ากัน โดยที่Xแทนวัตถุใดๆ ของCและYแทนวัตถุใดๆ ของDมีดังต่อไปนี้:

สำหรับมอร์ฟิซึมC ใดๆ f  : FY → Xจะมีมอร์ฟิซึมD ที่ไม่ซ้ำกัน Φ _{Y , X} ( f ) = g  : Y → GXและสำหรับมอร์ฟิซึมD ใดๆ g  : Y → GXจะมีมอร์ฟิซึมC ที่ไม่ซ้ำกัน Φ ⁻¹ _{Y , X} ( g ) = f  : FY → XในCซึ่งทำให้ไดอะแกรมด้านล่างสลับกันได้:

จากข้อความนี้ เราสามารถสรุปได้ว่า:

โดยเฉพาะอย่างยิ่ง สมการข้างต้นช่วยให้สามารถกำหนดΦ , εและηในรูปของตัวแปรใดตัวหนึ่งในสามตัวนี้ได้ อย่างไรก็ตาม โดยทั่วไปแล้ว ฟังก์ชันผกผันFและGเพียงอย่างเดียวไม่เพียงพอที่จะกำหนดการเชื่อมโยงได้ ความเท่าเทียมกันของสถานการณ์เหล่านี้จะแสดงให้เห็นต่อไป

เมื่อกำหนดฟังก์ชันผกผันขวาG  : C → Dในความหมายของมอร์ฟิซึมเริ่มต้นแล้ว เราสามารถสร้างการเชื่อมโยงเซตโฮมที่เหนี่ยวนำได้โดยทำตามขั้นตอนต่อไปนี้

• สร้างฟังก์ชันF  : D → Cและการแปลงธรรมชาติ η
  • สำหรับแต่ละวัตถุYในDให้เลือกมอร์ฟิซึมเริ่มต้น ( F ( Y ), η _Y ) จากYไปยังGโดยที่η _Y  : Y → G ( F ( Y ))เรามีแผนที่ของFบนวัตถุและตระกูลของมอร์ฟิซึมη
  • สำหรับแต่ละf  : Y ₀ → Y ₁โดยที่( F ( Y ₀ ), η _{Y 0} )เป็นมอร์ฟิซึมเริ่มต้น จากนั้นให้แยกตัวประกอบη _{Y 1} ∘ Fกับη _{Y 0}แล้วจะได้F ( f ) : F ( Y ₀ ) → F ( Y ₁ )นี่คือแผนที่ของFบนมอร์ฟิซึม
  • แผนภาพการสลับตำแหน่งของการแยกตัวประกอบนั้นบ่งบอกถึงแผนภาพการสลับตำแหน่งของการแปลงธรรมชาติ ดังนั้นη  : 1 _D → G ∘ Fจึงเป็นการแปลงธรรมชาติ
  • ความเป็นเอกลักษณ์ของการแยกตัวประกอบนั้นและการที่Gเป็นฟังก์ชันบ่งชี้ว่าแผนที่ของFบนมอร์ฟิซึมจะรักษาการประกอบและเอกลักษณ์ไว้
• สร้างไอโซมอร์ฟิซึมตามธรรมชาติΦ : hom _C ( F −,−) → hom _D (−, G −) .
  • สำหรับวัตถุX แต่ละตัว ในCและวัตถุY แต่ละ _ตัวในDโดยที่( F ( Y ), ηY )เป็นมอร์ฟิซึมเริ่มต้น ดังนั้น_ΦY , _{X จึง เป็นการจับคู่แบบหนึ่งต่อหนึ่ง ทั่วถึง}โดยที่ΦY _{, X} ( f  : F ( Y ) → X ) ₌ G ( F ) ∘ ηY
  • ถ้า ηเป็นการแปลงธรรมชาติ และGเป็นฟังก์ชัน แล้วสำหรับวัตถุใดๆX ₀ , X ₁ในC , วัตถุใดๆY ₀ , Y ₁ใน D}}, x ใดๆ  : X ₀ → X ₁ , y ใดๆ  : Y ₁ → Y ₀เราจะได้Φ _{Y 1 , X 1} ( x ∘ f ∘ F ( y )) = G( x ) ∘ G ( f ) ∘ G ( f ( y )) ∘ η _{Y 1} = G ( x ) ∘ G ( f ) ∘ η _{Y 0} ∘ y = G ( x ) ∘ Φ _{Y 0 , X 0} (∘) ∘ yแล้วΦก็เป็นการแปลงธรรมชาติในอาร์กิวเมนต์ทั้งสองด้วย

การให้เหตุผลในทำนองเดียวกันนี้ทำให้เราสามารถสร้างการเชื่อมโยงเซตโฮมจากมอร์ฟิซึมปลายทางไปยังฟังก์ชันผกผันซ้ายได้ (การสร้างที่เริ่มต้นด้วยฟังก์ชันผกผันขวาพบได้บ่อยกว่าเล็กน้อย เนื่องจากฟังก์ชันผกผันขวาในคู่ฟังก์ชันผกผันหลายคู่เป็นฟังก์ชันการรวมหรือฟังก์ชันลืมที่นิยามไว้อย่างชัดเจน)

เมื่อกำหนดฟังก์ชันF  : D → C , G  : C → Dและการเชื่อมโยงระหว่างหน่วยย่อย(ε, η) : F ⊣ Gแล้ว เราสามารถสร้างการเชื่อมโยงเซต hom ได้โดยการค้นหาการแปลงธรรมชาติΦ : hom _C ( F −,−) → hom _D (−, G −)ตามขั้นตอนต่อไปนี้:

• สำหรับแต่ละf  : FY → Xและแต่ละg  : Y → GXให้กำหนดการแปลง Φ และ Ψ เป็นธรรมชาติ เนื่องจาก η และ ε เป็นธรรมชาติ$${\displaystyle {\begin{aligned}\Phi _{Y,X}(f)=G(f)\circ \eta _{Y}\\\Psi _{Y,X}(g)=\varepsilon _{X}\circ F(g)\end{aligned}}}$$
• โดยใช้หลักการที่ว่าFเป็นฟังก์ชัน, εเป็นธรรมชาติ และสมการหน่วยร่วม1 _FY = ε _FY ∘ F (η _Y ) ตามลำดับ เราจะได้ว่า ΨΦ คือการแปลงเอกลักษณ์$${\displaystyle {\begin{aligned}\Psi \Phi f&=\varepsilon _{X}\circ FG(f)\circ F(\eta _{Y})\\&=f\circ \varepsilon _{FY}\circ F(\eta _{Y})\\&=f\circ 1_{FY}=f\end{aligned}}}$$
• ในทำนองเดียวกัน โดยใช้ว่าGเป็นฟังก์ชัน, ηเป็นธรรมชาติ และสมการโคยูนิต–ยูนิต1 _GX = G (ε _X ) ∘ η _GXเราจะได้ว่าΦΨคือการแปลงเอกลักษณ์ ดังนั้นΦ จึงเป็นไอโซมอร์ฟิซึมตามธรรมชาติที่มีอินเวอร์สΦ ⁻¹ = Ψ$${\displaystyle {\begin{aligned}\Phi \Psi g&=G(\varepsilon _{X})\circ GF(g)\circ \eta _{Y}\\&=G(\varepsilon _{X})\circ \eta _{GX}\circ g\\&=1_{GX}\circ g=g\end{aligned}}}$$

เมื่อกำหนดฟังก์ชันF  : D → C , G  : C → Dและการเชื่อมโยงเซต hom Φ : hom _C ( F −,−) → hom _D (−, G −)แล้ว เราสามารถสร้างการเชื่อมโยงระหว่างหน่วยย่อยกับหน่วยย่อยได้

$${\displaystyle (\varepsilon ,\eta ):F\dashv G,}$$

ซึ่งกำหนดกลุ่มของมอร์ฟิซึมเริ่มต้นและมอร์ฟิซึมสุดท้าย โดยมีขั้นตอนดังต่อไปนี้:

• ให้สำหรับแต่ละXในCโดยที่คือมอร์ฟิซึมเอกลักษณ์${\displaystyle \varepsilon _{X}=\Phi _{GX,X}^{-1}(1_{GX})\in \mathrm {hom} _{C}(FGX,X)}$${\displaystyle 1_{GX}\in \mathrm {hom} _{D}(GX,GX)}$
• ให้สำหรับแต่ละYในDโดยที่คือมอร์ฟิซึมเอกลักษณ์${\displaystyle \eta _{Y}=\Phi _{Y,FY}(1_{FY})\in \mathrm {hom} _{D}(Y,GFY)}$${\displaystyle 1_{FY}\in \mathrm {hom} _{C}(FY,FY)}$
• คุณสมบัติความเป็นหนึ่งเดียวและเป็นธรรมชาติของΦบ่งชี้ว่าแต่ละ( GX , ε _X )เป็นมอร์ฟิซึมปลายทางจากFไปยังXในCและแต่ละ( FY , η _Y )เป็นมอร์ฟิซึมเริ่มต้นจากYไปยังGในD
• ความเป็นธรรมชาติของΦบ่งบอกถึงความเป็นธรรมชาติของεและηและสูตรทั้งสองสำหรับแต่ละf : FY → Xและg : Y → GX (ซึ่งกำหนดΦ ได้อย่างสมบูรณ์ )$${\displaystyle {\begin{aligned}\Phi _{Y,X}(f)=G(f)\circ \eta _{Y}\\\Phi _{Y,X}^{-1}(g)=\varepsilon _{X}\circ F(g)\end{aligned}}}$$
• เมื่อแทนค่า FYด้วยXและη _Y = Φ _{Y , FY} (1 _FY )ด้วยgในสูตรที่สอง จะได้สมการหน่วยย่อยแรกและเมื่อแทนค่า GXด้วยYและ ε _X = Φ ⁻¹ _{GX, X} (1 _GX )}} ด้วยfในสูตรแรก จะได้สมการหน่วยย่อยที่สอง$${\displaystyle 1_{FY}=\varepsilon _{FY}\circ F(\eta _{Y}),}$$$${\displaystyle 1_{GX}=G(\varepsilon _{X})\circ \eta _{GX}.}$$

ไม่ใช่ทุกฟังก์ชันG  : C → Dจะมีตัวผกผันซ้าย ถ้าCเป็นหมวดหมู่สมบูรณ์ฟังก์ชันที่มีตัวผกผันซ้ายสามารถระบุลักษณะได้โดยทฤษฎีบทฟังก์ชันผกผันของปีเตอร์ เจ. เฟรย์ด : Gมีตัวผกผันซ้ายก็ต่อเมื่อมันต่อเนื่องและตรงตามเงื่อนไขความเล็กบางประการ: สำหรับทุกวัตถุYของDจะมีตระกูลของมอร์ฟิซึมอยู่

โดยที่ดัชนีiมาจากเซตIไม่ใช่คลาสที่แท้จริงซึ่งทำให้มอร์ฟิซึมทุกตัว

สามารถเขียนได้ดังนี้

h = G ( t ) f _i${\displaystyle \circ }$

สำหรับi บางตัว ในIและมอร์ฟิซึมบางตัว

ข้อความในทำนองเดียวกันนี้อธิบายถึงฟังก์ชันที่มีแอดจอยต์ทางขวา

กรณีพิเศษที่สำคัญคือกรณีของหมวดหมู่ที่นำเสนอได้ในระดับท้องถิ่นถ้าเป็นฟังก์ชันระหว่างหมวดหมู่ที่นำเสนอได้ในระดับท้องถิ่นแล้ว ${\displaystyle F:C\to D}$

• Fมีตัวผกผันขวา (right adjoint) ก็ต่อเมื่อFรักษาขอบเขตร่วมขนาดเล็ก (small colimits) ไว้
• Fมีแอดจอยต์ซ้ายก็ต่อเมื่อFรักษาลิมิตเล็ก ๆ และเป็นฟังก์ชันที่เข้าถึงได้

ถ้าฟังก์ชันF  : D → Cมีตัวผกผันทางขวา 2 ตัว คือGและG ′แล้วGและG ′จะเป็นไอโซมอร์ฟิกกันโดยธรรมชาติและเช่นเดียวกันสำหรับตัวผกผันทางซ้าย

ในทางกลับกัน ถ้าFเป็นตัวผกผันซ้ายของGและGเป็นไอโซมอร์ฟิกตามธรรมชาติของG ′แล้วFก็จะเป็นตัวผกผันซ้ายของG ′ ด้วย โดยทั่วไปแล้ว ถ้า⟨ F , G , ε, η⟩เป็นการเชื่อมโยง (ที่มีหน่วยร่วม–หน่วย( ε , η ) ) และ {{block indent| σ : F → F ′ {{block indent| τ : G → G ′ เป็นไอโซมอร์ฟิซึมตามธรรมชาติ แล้ว⟨ F ′ , G ′ , ε ′ , η ′ ⟩เป็นการเชื่อมโยง โดยที่ หมายถึงการประกอบในแนวตั้งของการแปลงตามธรรมชาติ และหมายถึงการประกอบในแนวนอน $${\displaystyle {\begin{aligned}\eta '&=(\tau \ast \sigma )\circ \eta \\\varepsilon '&=\varepsilon \circ (\sigma ^{-1}\ast \tau ^{-1}).\end{aligned}}}$$${\displaystyle \circ }$${\displaystyle \ast }$

การเชื่อมโยงสามารถประกอบขึ้นได้ในลักษณะที่เป็นธรรมชาติ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ถ้า⟨ F , G , ε , η ⟩เป็นการเชื่อมโยงระหว่างCและDและ⟨ F ′ , G ′ , ε ′ , η ′ ⟩เป็นการเชื่อมโยงระหว่างDและEแล้วฟังก์ชัน จะเป็นฟังก์ชันผกผันซ้ายของ กล่าวให้ แม่นยำยิ่งขึ้น คือมีการเชื่อมโยงระหว่างFF ′และG ′ Gโดยมีหน่วยและหน่วยร่วมที่กำหนดโดยการประกอบตามลำดับ: การเชื่อมโยงใหม่นี้เรียกว่าการประกอบของการเชื่อมโยงสองอันที่กำหนดให้ $${\displaystyle F\circ F':E\rightarrow C}$$$${\displaystyle G'\circ G:C\to E.}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}&1_{\mathcal {E}}{\xrightarrow {\eta '}}G'F'{\xrightarrow {G'\eta F'}}G'GFF'\\&FF'G'G{\xrightarrow {F\varepsilon 'G}}FG{\xrightarrow {\varepsilon }}1_{\mathcal {C}}.\end{aligned}}}$$

เนื่องจากมีวิธีการที่เป็นธรรมชาติในการกำหนดความสัมพันธ์แบบเอกลักษณ์ระหว่างหมวดหมู่Cกับตัวมันเอง ดังนั้นจึงสามารถสร้างหมวดหมู่ที่มีวัตถุเป็นหมวดหมู่ขนาดเล็ก ทั้งหมด และมีมอร์ฟิซึมเป็นความสัมพันธ์แบบเอกลักษณ์ได้

คุณสมบัติที่สำคัญที่สุดของตัวผกผันคือความต่อเนื่อง: ฟังก์ชันทุกตัวที่มีตัวผกผันซ้าย (และดังนั้นจึงเป็นตัวผกผันขวา) จะมีความต่อเนื่อง (กล่าวคือ สลับที่ได้กับลิมิตในความหมายเชิงทฤษฎีของหมวดหมู่) ฟังก์ชันทุกตัวที่มีตัวผกผันขวา (และดังนั้นจึงเป็นตัวผกผันซ้าย) จะมีความต่อเนื่องร่วม (กล่าวคือ สลับที่ได้กับโคลิมิต )

เนื่องจากโครงสร้างทั่วไปหลายอย่างในคณิตศาสตร์เป็นลิมิตหรือโคลิมิต จึงทำให้ได้ข้อมูลมากมาย ตัวอย่างเช่น:

• การใช้ฟังก์ชันผกผันทางขวา (right adjoint functor) กับผลคูณของวัตถุจะให้ผลคูณของภาพ
• การใช้ฟังก์ชันผกผันซ้ายกับผลคูณร่วมของวัตถุจะให้ผลคูณร่วมของภาพ
• ฟังก์ชันผกผันขวาทุกตัวระหว่างหมวดหมู่อาเบเลียนสองหมวดหมู่เป็นฟังก์ชันผกผันซ้ายที่แม่นยำ
• ฟังก์ชันผกผันซ้ายทุกตัวระหว่างหมวดหมู่อาเบเลียนสองหมวดหมู่เป็นฟังก์ชันสัมบูรณ์ขวา

ถ้าCและDเป็นหมวดหมู่ก่อนการบวกและF  : D → Cเป็นฟังก์ชันบวกที่มีตัวผกผันขวาG  : C → Dแล้วGก็เป็นฟังก์ชันบวกเช่นกัน และการจับคู่แบบหนึ่งต่อหนึ่งของเซตโฮม

$${\displaystyle \Phi _{Y,X}:\mathrm {hom} _{\mathcal {C}}(FY,X)\cong \mathrm {hom} _{\mathcal {D}}(Y,GX)}$$ อันที่จริงแล้ว พวกมันคือไอโซมอร์ฟิซึมของกลุ่มอาเบเลียน ในทางกลับกัน ถ้าGมีคุณสมบัติการบวกกับF ซึ่งเป็นตัวผกผันทางซ้าย แล้วFก็มีคุณสมบัติการบวกเช่นกัน

นอกจากนี้ หากทั้งCและDเป็นหมวดหมู่แบบบวก (กล่าวคือ หมวดหมู่แบบก่อนบวกที่มีผลคูณ ร่วมจำกัดทั้งหมด ) แล้วคู่ของฟังก์ชันผกผันระหว่างทั้งสองก็จะเป็นแบบบวกโดยอัตโนมัติ

ดังที่กล่าวไว้ก่อนหน้านี้ การเชื่อมโยงระหว่างหมวดหมู่CและDก่อให้เกิดตระกูลของมอร์ฟิซึมสากลหนึ่งตัวสำหรับแต่ละวัตถุในCและอีกหนึ่งตัวสำหรับแต่ละวัตถุในDในทางกลับกัน หากมีมอร์ฟิซึมสากลไปยังฟังก์ชันG  : C → DจากทุกวัตถุของDแล้วGจะมีแอดจอยต์ซ้าย

อย่างไรก็ตาม โครงสร้างสากลนั้นมีความทั่วไปมากกว่าฟังก์ชันผกผัน: โครงสร้างสากลนั้นคล้ายกับปัญหาการหาค่าเหมาะสมที่สุด มันจะก่อให้เกิดคู่ผกผันก็ต่อเมื่อปัญหานี้มีคำตอบสำหรับทุกวัตถุของD (หรือเทียบเท่ากับทุกวัตถุของC )

ถ้าฟังก์ชันF  : D → Cเป็นครึ่งหนึ่งของการสมมูลของหมวดหมู่แล้ว ฟังก์ชันนั้นจะเป็นตัวผกผันซ้ายในการสมมูลผกผันของหมวดหมู่ กล่าวคือ เป็นการเชื่อมโยงที่หน่วยและหน่วยร่วมเป็นไอโซมอร์ฟิซึม

ทุกการเชื่อมโยง⟨ F , G , ε , η ⟩ขยายความสมมูลของหมวดหมู่ย่อยบางหมวดหมู่ กำหนดให้C ₁เป็นหมวดหมู่ย่อยสมบูรณ์ของCที่ประกอบด้วยวัตถุXของCซึ่งε _Xเป็นไอโซมอร์ฟิซึม และกำหนดให้D ₁เป็นหมวดหมู่ย่อยสมบูรณ์ของDที่ประกอบด้วยวัตถุYของDซึ่งη _Yเป็นไอโซมอร์ฟิซึม จากนั้น FและGสามารถจำกัดให้อยู่ในD ₁และC ₁และให้ความสมมูลผกผันของหมวดหมู่ย่อยเหล่านี้ได้

ในแง่หนึ่งแล้ว ตัวผกผันร่วม (adjoints) ก็คือตัวผกผันแบบ "ทั่วไป" (generalized inverses) อย่างไรก็ตาม โปรดทราบว่าตัวผกผันทางขวาของF (เช่น ฟังก์ชันGที่FGเป็นไอโซมอร์ฟิกตามธรรมชาติกับ1 _D )ไม่จำเป็นต้องเป็นตัวผกผันร่วมทางขวา (หรือทางซ้าย) ของFตัวผกผันร่วมเป็นการขยายแนวคิดของตัวผกผัน สองด้าน

การเชื่อมโยงทุกรูปแบบ ⟨ F , G , ε , η ⟩ก่อให้เกิดโมนาด ที่เกี่ยวข้อง ⟨ T , η , μ ⟩ในหมวดหมู่Dฟังก์ชันเตอร์ กำหนดโดยT = GFหน่วยของโมนาด คือหน่วยηของการเชื่อมโยง และการแปลงการคูณ กำหนด โดยμ = GεFในทางกลับกัน สามสิ่ง⟨ FG , ε , FηG ⟩กำหนดโคโมนาดในC$${\displaystyle T:{\mathcal {D}}\to {\mathcal {D}}}$$$${\displaystyle \eta :1_{\mathcal {D}}\to T}$$$${\displaystyle \mu :T^{2}\to T\,}$$

โมนาดทุกตัวเกิดขึ้นจากการเชื่อมโยงบางอย่าง—อันที่จริง โดยทั่วไปแล้วเกิดจากการเชื่อมโยงหลายอย่าง—ในลักษณะข้างต้น โครงสร้างสองแบบที่เรียกว่าหมวดหมู่ของพีชคณิตไอเลนเบิร์ก-มัวร์และหมวดหมู่ไคลส์ลีเป็นสองวิธีแก้ปัญหาสุดขั้วสำหรับปัญหาในการสร้างการเชื่อมโยงที่ก่อให้เกิดโมนาดที่กำหนดให้

• เพลย์ลิสต์ Adjunctionsบน YouTube – บทบรรยายสั้น ๆ เจ็ดตอนเกี่ยวกับการสอนแบบ Adjunction โดย Eugenia Chengจาก The Catsters
• WildCatsเป็นแพ็กเกจทฤษฎีหมวดหมู่สำหรับMathematica ใช้สำหรับ จัดการและแสดงภาพของวัตถุมอร์ฟิ ซึม หมวดหมู่ฟังก์ชัน การ แปลงธรรมชาติและคุณสมบัติสากล