ในทฤษฎีกลุ่มการแทนแบบเหนี่ยวนำ (induced representation) คือการแทนกลุ่ม Gซึ่งสร้างขึ้นโดยใช้การแทน กลุ่มย่อย H ที่ทราบแล้ว เมื่อกำหนดการแทนกลุ่มH มา แล้วการแทนแบบเหนี่ยวนำจึงเปรียบเสมือนการแทนกลุ่มG ที่ "ทั่วไปที่สุด" ซึ่งต่อยอดจากการแทนกลุ่ม H ที่กำหนดให้ เนื่องจากการหาการแทนกลุ่ม H ที่เล็กกว่ามักจะง่าย กว่าการหาการแทนกลุ่มG ดังนั้นการสร้างการแทนแบบเหนี่ยวนำจึงเป็นเครื่องมือสำคัญในการสร้างการแทนกลุ่มใหม่ๆ

แนวคิดเรื่องการแทนค่าแบบเหนี่ยวนำ (Induced representations) ถูกนิยามขึ้นครั้งแรกโดยFrobeniusสำหรับการแทนค่าเชิงเส้นของกลุ่มจำกัดแนวคิดนี้ไม่ได้จำกัดอยู่เฉพาะกรณีของกลุ่มจำกัดเท่านั้น แต่ทฤษฎีในกรณีนั้นมีพฤติกรรมที่ดีเป็นพิเศษ

ให้Gเป็นกลุ่มจำกัด และH _{เป็น กลุ่มย่อยใด ๆ}ของGนอกจากนี้ ให้( π , V )เป็นการแทนของHให้n = [ G  : H ]เป็นดัชนีของHในGและให้g₁ , ..., gₙเป็นเซตเต็มของตัวแทนในGของโคเซตซ้ายในG / Hการแทนแบบเหนี่ยวนำInd^จี_เอชอาจมองได้ว่า ค่า π กระทำต่อปริภูมิต่อไปนี้:

${\displaystyle W=\bigoplus _{i=1}^{n}g_{i}V.}$

ในที่นี้ g _i Vแต่ละตัวเป็น สำเนา ไอโซมอร์ฟิกของปริภูมิเวกเตอร์Vซึ่งมีองค์ประกอบเขียนเป็นg _i vโดยที่v ∈ Vสำหรับแต่ละgในGและแต่ละg _iจะมีh _iในHและการเรียงสับเปลี่ยนjของ {1, ..., n } เช่นนั้น g g _i = g _{j ( i )} h _iโดยที่h _iและjขึ้นอยู่กับgนี่เป็นเพียงอีกวิธีหนึ่งในการกล่าวว่าg ₁ , ..., g _nเป็นเซตตัวแทนที่สมบูรณ์ ผ่านการแสดงแทนแบบเหนี่ยวนำGกระทำต่อWดังต่อไปนี้:

${\displaystyle g\cdot \sum _{i=1}^{n}g_{i}v_{i}=\sum _{i=1}^{n}g_{j(i)}\pi (h_{i})v_{i}}$

โดย ที่สำหรับแต่ละi${\displaystyle v_{i}\in V}$

อีกทางเลือกหนึ่งคือ เราสามารถสร้างการแทนแบบเหนี่ยวนำโดยการขยายสเกลาร์ได้ กล่าว คือ การแทนเชิงเส้นKใดๆ ของกลุ่มHสามารถมองได้ว่าเป็นโมดูลVเหนือวงแหวนกลุ่มK [ H ] จากนั้นเราสามารถกำหนด ${\displaystyle \pi }$

${\displaystyle \operatorname {Ind} _{H}^{G}\pi =K[G]\otimes _{K[H]}V.}$

สูตรหลังนี้ยังสามารถใช้เพื่อกำหนดInd ได้อีกด้วย^จี_เอชπสำหรับกลุ่ม Gและกลุ่มย่อย H ใดๆ โดยไม่จำเป็นต้องมีความจำกัด ^{[ 1 ]}

สำหรับกลุ่มใดๆ การแทนแบบเหนี่ยวนำของการแทนแบบไม่สำคัญของกลุ่มย่อยไม่สำคัญนั้นคือการแทนแบบปกติ ทางขวา โดยทั่วไปแล้ว การแทนแบบเหนี่ยวนำของการแทนแบบไม่สำคัญของกลุ่มย่อยใดๆ คือการแทนแบบเรียงสับเปลี่ยนบนเซตย่อยร่วมของกลุ่มย่อยนั้น

การแทนแบบเหนี่ยวนำของการแทนแบบหนึ่งมิติเรียกว่าการแทนแบบเอกนามเนื่องจากสามารถแทนได้ในรูปเมทริกซ์เอกนามกลุ่มบางกลุ่มมีคุณสมบัติที่ว่า การแทนแบบไม่สามารถลดทอนได้ทั้งหมดของกลุ่มนั้นเป็นเอกนาม ซึ่งเรียกว่ากลุ่มเอกนาม

ถ้าHเป็นกลุ่มย่อยของกลุ่มGแล้วการแสดงแทนเชิงเส้นK ทุกตัว ρของGสามารถมองได้ว่าเป็นการ แสดงแทนเชิงเส้น KของHซึ่งเรียกว่าการจำกัดของρไปยังHและแสดงด้วยRes(ρ)ในกรณีของกลุ่มจำกัดและการแสดงแทนมิติจำกัดทฤษฎีบทการแลกเปลี่ยนของ Frobeniusระบุว่า เมื่อกำหนดการแสดงแทนσของHและρของG แล้ว พื้นที่ของแผนที่เชิงเส้นH - equivariant จาก σไปยังRes( ρ )จะมีมิติเหนือKเท่ากับมิติของ แผนที่เชิงเส้น G -equivariant จากInd( σ )ไปยังρ ^{[ 2 ]}

คุณสมบัติสากลของการแสดงแทนแบบเหนี่ยวนำ ซึ่งใช้ได้กับกลุ่มอนันต์ด้วยนั้น เทียบเท่ากับการเชื่อมโยงที่ยืนยันในทฤษฎีบทการแลกเปลี่ยน ถ้าเป็นการแสดงแทนของHและเป็นการแสดงแทนของGที่เหนี่ยวนำโดยแล้วจะมีแผนที่เชิงเส้นH -equivariant ที่มีคุณสมบัติดังต่อไปนี้: เมื่อกำหนดการแสดงแทนใดๆ(ρ, W )ของGและ แผนที่เชิงเส้น H -equivariant จะมี แผนที่เชิงเส้น G -equivariant ที่ไม่ซ้ำกัน เพียง แผนที่เดียวที่มี กล่าวอีกนัยหนึ่งคือแผนที่ที่ไม่ซ้ำกันที่ทำให้ไดอะแกรมต่อไปนี้สลับกันได้ : ^{[ 3 ]}${\displaystyle (\sigma ,V)}$${\displaystyle (\operatorname {Ind} (\sigma ),{\hat {V}})}$${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle j:V\to {\hat {V}}}$${\displaystyle f:V\to W}$${\displaystyle {\hat {f}}:{\hat {V}}\ถึง W}$${\displaystyle {\hat {f}}j=f}$${\displaystyle {\hat {f}}}$

สูตร ของFrobeniusระบุว่า ถ้าχคือลักษณะเฉพาะของการแสดงแทนσซึ่งกำหนดโดยχ ( h ) = Tr σ ( h )แล้วลักษณะเฉพาะψของการแสดงแทนที่เหนี่ยวนำจะกำหนดโดย

${\displaystyle \psi (g)=\sum _{x\in G/H}{\widehat {\chi }}\left(x^{-1}gx\right),}$

โดยผลรวมนั้นคำนวณจากระบบตัวแทนของโคเซตซ้ายของHในGและ

${\displaystyle {\widehat {\chi }}(k)={\begin{cases}\chi (k)&{\text{ถ้า }}k\in H\\0&{\text{มิฉะนั้น}}\end{cases}}}$

ถ้าGเป็นกลุ่มทอพอโลยีแบบกระชับเฉพาะที่ (อาจเป็นอนันต์) และHเป็นกลุ่มย่อยปิดแล้ว จะมีการสร้างเชิงวิเคราะห์ร่วมกันของการแสดงแทนแบบเหนี่ยวนำ ให้( π , V )เป็นการ แสดงแทนแบบเอกภาพ ต่อเนื่องของHไปยัง ปริภูมิ ฮิลเบิร์ตVจากนั้นเราสามารถกำหนดได้ดังนี้:

${\displaystyle \operatorname {Ind} _{H}^{G}\pi =\left\{\phi \colon G\to V\ :\ \phi (gh^{-1})=\pi (h)\phi (g){\text{ สำหรับทุก }}h\in H,\;g\in G{\text{ และ }}\ \phi \in L^{2}(G/H)\right\}.}$

ในที่นี้φ∈ L ² ( G / H )หมายความว่า: ปริภูมิG / Hมีมาตรวัดไม่แปรเปลี่ยนที่เหมาะสม และเนื่องจากค่าบรรทัดฐานของ φ( g ) มีค่าคงที่บนโคเซตซ้ายแต่ละเซตของHเราจึงสามารถอินทิเกรตกำลังสองของค่าบรรทัดฐานเหล่านี้บนG / Hและได้ผลลัพธ์ที่จำกัด กลุ่มGกระทำบนปริภูมิการแสดงแทนแบบเหนี่ยวนำโดยการเลื่อน นั่นคือ( g .φ)( x )=φ( g ⁻¹ x )สำหรับg,x ∈ Gและφ∈Ind^จี_เอชπ .

โครงสร้างนี้มักถูกดัดแปลงในรูปแบบต่างๆ เพื่อให้เหมาะสมกับการใช้งานที่ต้องการ รูปแบบที่นิยมใช้กันทั่วไปเรียกว่าการเหนี่ยวนำแบบมาตรฐาน (normalized induction)และมักใช้สัญลักษณ์เดียวกัน นิยามของปริภูมิการแสดงผลมีดังนี้:

${\displaystyle \operatorname {Ind} _{H}^{G}\pi =\left\{\phi \colon G\to V\ :\ \phi (gh^{-1})=\Delta _{G}^{-{\frac {1}{2}}}(h)\Delta _{H}^{\frac {1}{2}}(h)\pi (h)\phi (g){\text{ and }}\phi \in L^{2}(G/H)\right\}.}$

ในที่นี้ΔG _และ ΔHคือฟังก์ชันโมดูลาร์ของGและHตามลำดับ เมื่อเพิ่ม ปัจจัย การทำให้เป็นมาตรฐาน_แล้วฟังก์ชันการเหนี่ยวนำนี้จะแปลงการแสดงแทนแบบเอกภาพไปเป็นการแสดงแทนแบบเอกภาพ

อีกรูปแบบหนึ่งของการอุปนัยเรียกว่าการอุปนัยแบบกระชับ (compact induction ) ซึ่งก็คือการอุปนัยแบบมาตรฐานที่จำกัดเฉพาะฟังก์ชันที่มี ขอบเขตจำกัด ( compact support ) โดยทั่วไปจะใช้สัญลักษณ์ ind และนิยามดังนี้:

${\displaystyle \operatorname {ind} _{H}^{G}\pi =\left\{\phi \colon G\to V\ :\ \phi (gh^{-1})=\pi (h)\phi (g){\text{ and }}\phi {\text{ has compact support mod }}H\right\}.}$

โปรดทราบว่า ถ้าG / Hเป็นคอมแพ็กต์แล้ว Ind และ ind จะเป็นฟังก์ชันเดียวกัน

สมมติว่าGเป็นกลุ่มเชิงทอพอโลยีและHเป็นกลุ่มย่อยปิด ของGและสมมติว่าπเป็นการแทนของHบนปริภูมิเวกเตอร์Vแล้วG กระทำต่อผลคูณG × V ดังนี้:

${\displaystyle g.(g',x)=(gg',x)}$

โดยที่gและg ′เป็นสมาชิกของGและxเป็นสมาชิกของ V

กำหนด ความสัมพันธ์สมมูล บน G × V

${\displaystyle (g,x)\sim (gh,\pi (h^{-1})(x)){\text{ for all }}h\in H.}$

ให้ แทนชั้นสมมูลของสังเกตว่าความสัมพันธ์สมมูลนี้ไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้การกระทำของGดังนั้นG จึงกระทำต่อ( G × V )/~ซึ่งเป็นเวกเตอร์บันเดิลเหนือปริภูมิผลหารG / Hโดยที่Hเป็นกลุ่มโครงสร้างและVเป็นไฟเบอร์ ให้Wเป็นปริภูมิของส่วนตัดของเวกเตอร์บันเดิลนี้ นี่คือปริภูมิเวกเตอร์ที่อยู่เบื้องหลังการแสดงแทนแบบเหนี่ยวนำกลุ่มGกระทำต่อส่วนตัดที่กำหนดโดยดังนี้: ${\displaystyle (g,x)}$${\displaystyle [g,x]}$${\displaystyle \phi :G/H\to (G\times V)/\!\sim }$${\displaystyle \operatorname {Ind} _{H}^{G}\pi :W\to {\mathcal {L}}_{W}}$${\displaystyle \phi :G/H\to (G\times V)/\!\sim }$${\displaystyle gH\mapsto [g,\phi _{g}]}$

${\displaystyle (g\cdot \phi )(g'H)=[g',\phi _{g^{-1}g'}]\ {\text{ for }}g,g'\in G.}$

ในกรณีของการแสดงแทนแบบเอกภาพของกลุ่มที่กระชับเฉพาะที่ การสร้างแบบอุปนัยสามารถกำหนดได้ในแง่ของระบบความไม่เป็นแบบดั้งเดิม

ในทฤษฎีของลีตัวอย่างที่สำคัญอย่างยิ่งคือการเหนี่ยวนำแบบพาราโบลิก : การเหนี่ยวนำการแทนของกลุ่มลดรูปจากการแทนของกลุ่มย่อยแบบพาราโบลิกซึ่งนำไปสู่โปรแกรมของแลงแลนด์สผ่าน ปรัชญาของรูปแบบคัสป์

• การเป็นตัวแทนที่จำกัด
• การรับรู้แบบไม่เชิงเส้น
• สูตรตัวละครฟรอเบเนียส
• หลักการแลกเปลี่ยนแบบฟรอเบนิอุส (Frobenius reciprocity ) เป็นผลลัพธ์สำคัญที่เชื่อมโยงการแสดงแทนแบบเหนี่ยวนำกับการแสดงแทนแบบจำกัด