ในทฤษฎีกลุ่มการจำกัด (restriction)สร้างการแสดงแทนของกลุ่มย่อยโดยใช้การแสดงแทนที่ทราบแล้วของกลุ่ม ทั้งหมด การจำกัดเป็นโครงสร้างพื้นฐานในทฤษฎีการแสดงแทนของกลุ่ม บ่อยครั้งที่การแสดงแทนที่ถูกจำกัดนั้นเข้าใจได้ง่ายกว่า กฎสำหรับการแยกการจำกัดของการแสดงแทนที่ลดทอนไม่ได้ (irreducible representation)ออกเป็นการแสดงแทนแทนที่ลดทอนไม่ได้ของกลุ่มย่อยเรียกว่ากฎการแตกแขนง (branching rules ) และมีการประยุกต์ใช้ที่สำคัญในฟิสิกส์ตัวอย่างเช่น ในกรณีของการทำลายสมมาตรอย่างชัดเจนกลุ่มสมมาตร ของปัญหาจะลดลงจากกลุ่มทั้งหมดไปเป็นหนึ่งในกลุ่มย่อย ใน กลศาสตร์ควอนตัมการลดลงของสมมาตรนี้ปรากฏเป็นการแยกของระดับพลังงานที่เสื่อมสภาพออกเป็นกลุ่มย่อยหลายกลุ่ม(multiplets ) เช่นในปรากฏการณ์สตาร์ก (Stark effect ) หรือ ซีแมน (Zeeman effect )

การแทนแบบเหนี่ยวนำเป็นการดำเนินการที่เกี่ยวข้องซึ่งสร้างการแทนของกลุ่มทั้งหมดจากการแทนของกลุ่มย่อย ความสัมพันธ์ระหว่างการจำกัดและการเหนี่ยวนำอธิบายโดยการแลกเปลี่ยนแบบ Frobeniusและทฤษฎีบท Mackey การจำกัดไปยังกลุ่มย่อยปกติมีพฤติกรรมที่ดีเป็นพิเศษและมักเรียกว่าทฤษฎีบท Cliffordตามทฤษฎีบทของ AH Clifford ^{[ 1 ]}การจำกัดสามารถขยายไปสู่โฮโมมอร์ฟิซึมกลุ่ม อื่นและ วงแหวนอื่นได้

สำหรับกลุ่มG ใดๆ กลุ่มย่อยHของ กลุ่ม G และการแสดงแทนเชิงเส้นρของGการจำกัดของρบนHจะถูกแสดงด้วยสัญลักษณ์

${\displaystyle \rho \,{\Big |}_{H}}$

เป็นการแทนH บน ปริภูมิเวกเตอร์เดียวกันโดยใช้ตัวดำเนินการเดียวกัน:

${\displaystyle \rho \,{\Big |}_{H}(h)=\rho (h).}$

กฎการแตกแขนงแบบคลาสสิกอธิบายถึงการจำกัดการแสดงแทนเชิงซ้อน ที่ไม่สามารถลดทอนได้ ( π ,  V ) ของกลุ่มคลาสสิกGไปยังกลุ่มย่อยคลาสสิกHกล่าวคือ ความหลากหลายที่การแสดงแทนที่ไม่สามารถลดทอนได้ ( σ ,  W ) ของHปรากฏใน  πโดยอาศัยหลักการแลกเปลี่ยนแบบ Frobenius สำหรับกลุ่มกระชับสิ่งนี้เทียบเท่ากับการหาความหลากหลายของπในการแสดงแทนเอกภาพที่เหนี่ยวนำมาจาก σ กฎการแตกแขนงสำหรับกลุ่มคลาสสิกถูกกำหนดโดย

• ไวล์ (1946)ระหว่างกลุ่มเอกภาพที่ ต่อเนื่องกัน
• Murnaghan (1938)ระหว่างกลุ่มออร์โธโกนอลพิเศษ ที่ต่อเนื่องกัน และกลุ่มซิมเพล็กติกเอกภาพ
• Littlewood (1950)จากกลุ่มเอกภาพไปสู่กลุ่มซิมเพล็กติกเอกภาพและกลุ่มตั้งฉากพิเศษ

ผลลัพธ์มักจะแสดงออกมาในรูปแบบกราฟิกโดยใช้แผนภาพ Youngเพื่อเข้ารหัสลายเซ็นที่ใช้กันทั่วไปในการติดฉลากการแสดงแทนแบบลดทอนไม่ได้ ซึ่งคุ้นเคยกันดีจากทฤษฎีอินแวเรียนต์แบบคลาสสิก Hermann WeylและRichard Brauerค้นพบวิธีการที่เป็นระบบในการกำหนดกฎการแตกแขนงเมื่อกลุ่มGและHมีทอรัสสูงสุด ร่วมกัน ในกรณีนี้กลุ่ม WeylของHเป็นกลุ่มย่อยของกลุ่ม Weyl ของGดังนั้นจึงสามารถอนุมานกฎได้จากสูตรลักษณะเฉพาะของ Weyl [ ^{2 ] [ 3 ] Howe} (1995)ได้ให้การตีความสมัยใหม่ที่เป็นระบบในบริบทของทฤษฎีคู่คู่ ของเขา กรณีพิเศษที่ σ เป็นการแสดงแทนแบบไม่สำคัญของHถูกนำมาใช้อย่างกว้างขวางเป็นครั้งแรกโดยHuaในงานของเขาเกี่ยวกับเคอร์เนล Szegőของโดเมนสมมาตรที่มีขอบเขตในตัวแปรเชิงซ้อนหลายตัวโดยที่ขอบเขต ShilovมีรูปแบบG / H ^{[ 4 ] [ 5 ]}โดยทั่วไปแล้วทฤษฎีบท Cartan-Helgasonให้การแยกส่วนเมื่อG / Hเป็นปริภูมิสมมาตรขนาดกะทัดรัด ซึ่งในกรณีนี้ความซ้ำซ้อนทั้งหมดเป็นหนึ่ง^{[ 6 ]}การวางนัยทั่วไปไปยัง σ ใดๆ ได้รับโดยKostant (2004)การพิจารณาทางเรขาคณิตที่คล้ายกันนี้ยังถูกใช้โดยKnapp (2003)เพื่อพิสูจน์กฎของ Littlewood ใหม่ ซึ่งเกี่ยวข้องกับกฎ Littlewood–Richardson ที่มีชื่อเสียง สำหรับการเทนเซอร์การแสดงแทนที่ลดทอนไม่ได้ของกลุ่มเอกภาพ Littelmann (1995)ได้ค้นพบการวางนัยทั่วไปของกฎเหล่านี้ไปยังกลุ่ม Lie กึ่งง่ายขนาดกะทัดรัดใดๆ โดยใช้แบบจำลองเส้นทาง ของเขา ซึ่งเป็นแนวทางสู่ทฤษฎีการแสดงแทนที่ใกล้เคียงกับทฤษฎีฐานผลึกของLusztigและKashiwaraวิธีการของเขาให้กฎการแตกแขนงสำหรับข้อจำกัดไปยังกลุ่มย่อยที่มีทอรัสสูงสุด การศึกษากฎการแตกแขนงมีความสำคัญในทฤษฎีอินแวเรียนต์แบบคลาสสิกและคู่ขนานสมัยใหม่คือพีชคณิตเชิงการจัดเรียง^{[ 7 ] [ 8 ]}

ตัวอย่างกลุ่มเอกภาพU ( N ) มีการแสดงแทนที่ไม่สามารถลดทอนได้ซึ่งกำกับด้วยลายเซ็น

${\displaystyle \mathbf {f} \,\colon \,f_{1}\geq f_{2}\geq \cdots \geq f_{N}}$

โดยที่f _iเป็นจำนวนเต็ม ในความเป็นจริง ถ้าเมทริกซ์เอกลักษณ์Uมีค่าลักษณะเฉพาะz _iแล้ว ค่าลักษณะเฉพาะของการแสดงแทนแบบไม่สามารถลดทอนได้π _f ที่สอดคล้องกัน จะกำหนดโดย

${\displaystyle \operatorname {Tr} \pi _{\mathbf {f} }(U)={\det z_{j}^{f_{i}+Ni} \over \prod _{i<j}(z_{i}-z_{j})}.}$

กฎการแตกกิ่งจากU ( N ) ไปยังU ( N  – 1) ระบุว่า

${\displaystyle \pi _{\mathbf {f} }|_{U(N-1)}=\bigoplus _{f_{1}\geq g_{1}\geq f_{2}\geq g_{2}\geq \cdots \geq f_{N-1}\geq g_{N-1}\geq f_{N}}\pi _{\mathbf {g} }}$

ตัวอย่างกลุ่มซิมเพล็กติกเอกภาพหรือกลุ่มเอกภาพควอเทอร์เนียนซึ่งเขียนแทนด้วย Sp( N ) หรือ U ( N , H ) คือกลุ่มของการแปลงทั้งหมดของ H → ^Nซึ่งสลับที่ได้กับการคูณทางขวาด้วยควอเทอร์เนียนHและรักษา ผลคูณภายในแบบเฮอร์มิเชียนที่มีค่าเป็น Hไว้

${\displaystyle (q_{1},\ldots ,q_{N})\cdot (r_{1},\ldots ,r_{N})=\sum r_{i}^{*}q_{i}}$

บนH ^Nโดยที่q * หมายถึงควอเทอร์เนียนคอนจูเกตกับqเมื่อสร้างควอเทอร์เนียนเป็นเมทริกซ์เชิงซ้อนขนาด 2 x 2 กลุ่ม Sp( N ) จึงเป็นเพียงกลุ่มของเมทริกซ์บล็อก ( q _ij ) ใน SU(2 N ) ที่มี

${\displaystyle q_{ij}={\begin{pmatrix}\alpha _{ij}&\beta _{ij}\\-{\overline {\beta }}_{ij}&{\overline {\alpha }__{ij}\end{pmatrix}},}$

โดยที่ α _ijและβ _ijเป็นจำนวนเชิงซ้อน

แต่ละเมทริกซ์Uใน Sp( N ) จะเป็นเมทริกซ์สังยุคกับเมทริกซ์บล็อกแนวทแยงที่มีสมาชิก

${\displaystyle q_{i}={\begin{pmatrix}z_{i}&0\\0&{\overline {z}}_{i}\end{pmatrix}},}$

โดยที่ | z _i | = 1 ดังนั้นค่าไอเกนของUคือ ( z _i ^±1 ) การแสดงผลแบบลดทอนไม่ได้ของ Sp( N ) จะถูกกำกับด้วยลายเซ็น

${\displaystyle \mathbf {f} \,\colon \,f_{1}\geq f_{2}\geq \cdots \geq f_{N}\geq 0}$

โดยที่f _iเป็นจำนวนเต็ม อักขระของการแสดงแทนแบบไม่สามารถลดทอนได้ที่สอดคล้องกันσ _fจะได้รับจาก^{[ 9 ]}

${\displaystyle \operatorname {Tr} \sigma _{\mathbf {f} }(U)={\det z_{j}^{f_{i}+N-i+1}-z_{j}^{-f_{i}-N+i-1} \over \prod (z_{i}-z_{i}^{-1})\cdot \prod _{i<j}(z_{i}+z_{i}^{-1}-z_{j}-z_{j}^{-1})}.}$

กฎการแตกกิ่งจาก Sp( N ) ไปยัง Sp( N  – 1) ระบุว่า^{[ 10 ]}

${\displaystyle \sigma _{\mathbf {f} }|_{\mathrm {Sp} (N-1)}=\bigoplus _{f_{i}\geq g_{i}\geq f_{i+2}}m(\mathbf {f} ,\mathbf {g} )\sigma _{\mathbf {g} }}$

ในที่นี้f _{N + 1} = 0 และความหลากหลายm ( f , g ) กำหนดโดย

${\displaystyle m(\mathbf {f} ,\mathbf {g} )=\prod _{i=1}^{N}(a_{i}-b_{i}+1)}$

ที่ไหน

${\displaystyle a_{1}\geq b_{1}\geq a_{2}\geq b_{2}\geq \cdots \geq a_{N}\geq b_{N}=0}$

คือการเรียงลำดับใหม่ที่ไม่เพิ่มขึ้นของจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบ 2 N ( f _i ), ( g _j ) และ 0

ตัวอย่างการแตกแขนงจาก U(2 N ) ไปยัง Sp( N ) อาศัยเอกลักษณ์สองประการของLittlewood : ^{[ 11 ] [ 12 ] [ 13 ] [ 14 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}&\sum _{f_{1}\geq f_{2}\geq f_{N}\geq 0}\operatorname {Tr} \Pi _{\mathbf {f} ,0}(z_{1},z_{1}^{-1},\ldots ,z_{N},z_{N}^{-1})\cdot \operatorname {Tr} \pi _{\mathbf {f} }(t_{1},\ldots ,t_{N})\\[5pt]={}&\sum _{f_{1}\geq f_{2}\geq f_{N}\geq 0}\operatorname {Tr} \sigma _{\mathbf {f} }(z_{1},\ldots ,z_{N})\cdot \operatorname {Tr} \pi _{\mathbf {f} }(t_{1},\ldots ,t_{N})\cdot \prod _{i<j}(1-z_{i}z_{j})^{-1},\end{aligned}}}$

โดยที่ Π _{f ,0}คือการแสดงแทนแบบลดทอนไม่ได้ของU (2 N ) ที่มีลายเซ็นf ₁ ≥ ··· ≥ f _N ≥ 0 ≥ ··· ≥ 0

${\displaystyle \prod _{i<j}(1-z_{i}z_{j})^{-1}=\sum _{f_{2i-1}=f_{2i}}\operatorname {Tr} \pi _{f}(z_{1},\ldots ,z_{N}),}$

โดยที่f _i ≥ 0

กฎการแตกกิ่งจาก U(2 N ) ไปยัง Sp( N ) กำหนดโดย

${\displaystyle \Pi _{\mathbf {f} ,0}|_{\mathrm {Sp} (N)}=\bigoplus _{\mathbf {h} ,\,\,\mathbf {g} ,\,\,g_{2i-1}=g_{2i}}M(\mathbf {g} ,\mathbf {h} ;\mathbf {f} )\sigma _{\mathbf {h} }}$

โดยที่ลายเซ็นทั้งหมดเป็นค่าที่ไม่เป็นลบ และสัมประสิทธิ์M ( g , h ; k ) คือความซ้ำซ้อนของการแสดงแทนแบบลดทอนไม่ได้π _kของU ( N ) ในผลคูณเทนเซอร์π _g π _hโดยกำหนดในเชิงการจัดเรียงตามกฎของ Littlewood–Richardson ซึ่งเป็นจำนวนการเรียงสับเปลี่ยนแลตทิซของไดอะแกรมเฉียงk / hที่มีน้ำหนักg ^{[ 8 ]}${\displaystyle \otimes }$

มีการขยายกฎการแตกแขนงของ Littlewood ไปสู่ลายเซ็นแบบใดก็ได้โดยSundaram (1990 , หน้า 203) สัมประสิทธิ์ Littlewood–Richardson M ( g , h ; f ) ได้รับการขยายเพื่อให้ลายเซ็นfมี 2 Nส่วน แต่จำกัดให้gมีความยาวคอลัมน์เป็นเลขคู่ ( g _{2 i – 1} = g _{2 i} ) ในกรณีนี้ สูตรจะเป็นดังนี้

${\displaystyle \Pi _{\mathbf {f} }|_{\operatorname {Sp} (N)}=\bigoplus _{\mathbf {h} ,\,\,\mathbf {g} ,\,\,g_{2i-1}=g_{2i}}M_{N}(\mathbf {g} ,\mathbf {h} ;\mathbf {f} )\sigma _{\mathbf {h} }}$

โดยที่M _N ( g , h ; f ) นับจำนวนการเรียงสับเปลี่ยนแลตทิซของf / hที่มีน้ำหนักgซึ่ง 2 j + 1 ปรากฏไม่ต่ำกว่าแถวN + jของfสำหรับ 1 ≤ j ≤ | g |/2

ตัวอย่างกลุ่มออร์โธโกนอลพิเศษ SO( N ) มี การแสดงแทนแบบธรรมดาและแบบสปินที่ไม่สามารถลดทอนได้โดยมีป้ายกำกับด้วยลายเซ็น^{[ 2 ] [ 7 ] [ 15 ] [ 16 ]}

• ${\displaystyle f_{1}\geq f_{2}\geq \cdots \geq f_{n-1}\geq |f_{n}|}$สำหรับN = 2n ;
• ${\displaystyle f_{1}\geq f_{2}\geq \cdots \geq f_{n}\geq 0}$สำหรับN = 2n + 1

ค่าf _iจะอยู่ในZสำหรับการแสดงแทนแบบธรรมดา และอยู่ใน ½ + Zสำหรับการแสดงแทนแบบสปิน ในความเป็นจริง ถ้าเมทริกซ์เชิงตั้งฉากUมีค่าลักษณะเฉพาะz _i ^±1สำหรับ 1 ≤ i ≤ nแล้ว ค่าลักษณะเฉพาะของการแสดงแทนแบบลดทอนไม่ได้π _f ที่สอดคล้องกัน จะกำหนดโดย

${\displaystyle \operatorname {Tr} \,\pi _{\mathbf {f} }(U)={\det(z_{j}^{f_{i}+n-i}+z_{j}^{-f_{i}-n+i}) \over \prod _{i<j}(z_{i}+z_{i}^{-1}-z_{j}-z_{j}^{-1})}}$

สำหรับN = 2n และโดย

${\displaystyle \operatorname {Tr} \pi _{\mathbf {f} }(U)={\det(z_{j}^{f_{i}+1/2+n-i}-z_{j}^{-f_{i}-1/2-n+i}) \over \prod _{i<j}(z_{i}+z_{i}^{-1}-z_{j}-z_{j}^{-1})\cdot \prod _{k}(z_{k}^{1/2}-z_{k}^{-1/2})}}$

สำหรับN = 2n + 1

กฎการแตกกิ่งจาก SO( N ) ไปยัง SO( N  – 1) ระบุว่า^{[ 17 ]}

${\displaystyle \pi _{\mathbf {f} }|_{SO(2n)}=\bigoplus _{f_{1}\geq g_{1}\geq f_{2}\geq g_{2}\geq \cdots \geq f_{n-1}\geq g_{n-1}\geq f_{n}\geq |g_{n}|}\pi _{\mathbf {g} }}$

สำหรับN = 2n +  1 และ

${\displaystyle \pi _{\mathbf {f} }|_{SO(2n-1)}=\bigoplus _{f_{1}\geq g_{1}\geq f_{2}\geq g_{2}\geq \cdots \geq f_{n-1}\geq g_{n-1}\geq |f_{n}|}\pi _{\mathbf {g} }}$

สำหรับN = 2n โดยที่ผลต่างf _i  −  g _iต้องเป็นจำนวนเต็ม

เนื่องจากกฎการแตกแขนงจากไปหรือไปมีความซ้ำซ้อนเท่ากับหนึ่ง พจน์ที่ไม่สามารถแยกย่อยได้ซึ่งสอดคล้องกับN ที่เล็กลงเรื่อยๆ จะสิ้นสุดลงในปริภูมิย่อยหนึ่งมิติในที่สุด ด้วยวิธีนี้GelfandและTsetlinจึงสามารถสร้างฐานของการแสดงแทนแบบแยกย่อยไม่ได้ใดๆ ของหรือที่ติดป้ายกำกับด้วยสายโซ่ของลายเซ็นที่สลับกัน เรียกว่ารูปแบบ Gelfand–Tsetlinสูตรที่ชัดเจนสำหรับการกระทำของพีชคณิต Lie บนฐาน Gelfand–Tsetlinได้รับการระบุไว้ในŽelobenko (1973)โดยเฉพาะอย่างยิ่ง สำหรับฐาน Gelfand-Testlin ของการแสดงแทนแบบแยกย่อยไม่ได้ของที่มีมิติจะได้มาจาก ฮาร์มอนิ ก ทรงกลม เชิงซ้อน${\displaystyle U(N)}$${\displaystyle U(N-1)}$${\displaystyle SO(N)}$${\displaystyle SO(N-1)}$${\displaystyle U(N)}$${\displaystyle SO(N)}$${\displaystyle N=3}$${\displaystyle SO(3)}$${\displaystyle 2l+1}$${\displaystyle \{Y_{m}^{l}|-l\leq m\leq l\}}$

สำหรับกลุ่มคลาสสิกที่เหลือการแตกแขนงจะไม่เป็นอิสระจากความซ้ำซ้อนอีกต่อไป ดังนั้นหากVและWเป็นตัวแทนที่ไม่สามารถลดทอนได้ของและปริภูมิของตัวเชื่อมสามารถมีมิติมากกว่าหนึ่ง ปรากฏว่าYangianซึ่งเป็นพีชคณิต Hopfที่แนะนำโดยLudwig Faddeevและผู้ร่วมงานทำหน้าที่อย่างไม่สามารถลดทอนได้ในปริภูมิความซ้ำซ้อนนี้ ซึ่งเป็นข้อเท็จจริงที่ทำให้Molev (2006)สามารถขยายการสร้างฐาน Gelfand–Tsetlin ไปยัง^{[ 18 ]}${\displaystyle Sp(N)}$${\displaystyle Sp(N-1)}$${\displaystyle Sp(N)}$${\displaystyle Hom_{Sp(N-1)}(V,W)}$${\displaystyle Y({\mathfrak {gl}}_{2})}$${\displaystyle Sp(N)}$

ในปี พ.ศ. 2480 Alfred H. Cliffordได้พิสูจน์ผลลัพธ์ต่อไปนี้เกี่ยวกับการจำกัดการแสดงแทนแบบลดทอนไม่ได้มิติจำกัดจากกลุ่มGไปยังกลุ่มย่อยปกติN ที่มี ดัชนีจำกัด: ^{[ 19 ]}

ทฤษฎีบท . ให้π : G GL( n , K ) เป็นการแทนแบบไม่สามารถลดทอนได้ โดยที่Kเป็นฟิลด์แล้วการจำกัดของπบนNจะแตกออกเป็นผลรวมโดยตรงของการแทนแบบไม่สามารถลดทอนได้ของNที่มีมิติเท่ากัน การแทนแบบไม่สามารถลดทอนได้ของN เหล่านี้ จะอยู่ในวงโคจรเดียวกันสำหรับการกระทำของGโดยการผันบนชั้นสมมูลของการแทนแบบไม่สามารถลดทอนได้ของN โดยเฉพาะ อย่าง ยิ่ง จำนวนพจน์ที่แตกต่างกันจะไม่เกินดัชนีของNใน  G${\displaystyle \rightarrow }$

ยี่สิบปีต่อมาGeorge Mackeyพบผลลัพธ์ที่แม่นยำยิ่งขึ้นสำหรับข้อจำกัดของการแสดงแทนเอกภาพ ที่ไม่สามารถลดทอนได้ ของกลุ่มที่กระชับเฉพาะที่ไปยังกลุ่มย่อยปกติแบบปิดในสิ่งที่กลายเป็นที่รู้จักในชื่อ "เครื่องจักร Mackey" หรือ "การวิเคราะห์กลุ่มย่อยปกติของ Mackey" ^{[ 20 ]}

จากมุมมองของทฤษฎีหมวดหมู่การจำกัด (restriction) เป็นตัวอย่างหนึ่งของฟังก์ชันลืม (forgetful functor ) ฟังก์ชันนี้มีความแม่นยำ (exact ) และฟังก์ชันผกผันซ้าย (left adjoint functor) ของมัน เรียกว่าการเหนี่ยวนำ (induction ) ความสัมพันธ์ระหว่างการจำกัดและการเหนี่ยวนำในบริบทต่างๆ เรียกว่าการแลกเปลี่ยนแบบฟรอเบนิอุส (Frobenius reciprocity) เมื่อรวมกันแล้ว การดำเนินการของการเหนี่ยวนำและการจำกัดก่อให้เกิดชุดเครื่องมือที่มีประสิทธิภาพสำหรับการวิเคราะห์การแทน (representation) โดยเฉพาะอย่างยิ่งเมื่อใดก็ตามที่การแทนมีคุณสมบัติของการลดทอนได้อย่างสมบูรณ์ (complete reducibility ) ตัวอย่างเช่น ในทฤษฎีการแทนของกลุ่มจำกัดเหนือฟิลด์ที่มีลักษณะเฉพาะเป็นศูนย์

โครงสร้างที่ค่อนข้างชัดเจนนี้สามารถขยายออกไปได้หลายวิธีและอย่างมีนัยสำคัญ ตัวอย่างเช่น เราอาจใช้โฮโมมอร์ฟิซึมกลุ่มใดๆ φ จากHไปยังGแทนที่จะใช้แผนที่การรวมและกำหนดการแสดงแทนแบบจำกัดของHโดยการประกอบ

${\displaystyle \rho \circ \varphi \,}$

เราอาจนำแนวคิดนี้ไปประยุกต์ใช้กับหมวดหมู่อื่นๆ ในพีชคณิตนามธรรม ได้เช่นกัน เช่นพีชคณิตแบบเชื่อมโยงวงแหวนพีชคณิตลี พีชคณิตลีขั้นสูงพีชคณิตฮอปฟ์ เป็นต้น การแทนหรือโมดูลจะจำกัดอยู่เฉพาะวัตถุย่อย หรือผ่านทางโฮโมมอร์ฟิซึม