ในทางคณิตศาสตร์กลุ่มกระชับเฉพาะที่ (locally compact group ) คือกลุ่มทางทอพอโลยีGซึ่งทอพอโลยีพื้นฐานเป็นแบบกระชับเฉพาะที่และแบบเฮาส์ดอร์ฟกลุ่มกระชับเฉพาะที่มีความสำคัญเพราะตัวอย่างมากมายของกลุ่มที่เกิดขึ้นในทางคณิตศาสตร์นั้นเป็นกลุ่มกระชับเฉพาะที่ และกลุ่มดังกล่าวมีมาตรวัด ตามธรรมชาติ ที่เรียกว่า มาตร วัดฮาร์ (Haar measure ) ซึ่งทำให้สามารถกำหนดปริพันธ์ของ ฟังก์ชันที่วัดได้ แบบบอเรล (Borel measurable functions) บนG ได้ ดังนั้นแนวคิดการวิเคราะห์มาตรฐาน เช่นการแปลงฟูริเยร์ (Fourier transform)และ ปริภูมิฟูริเยร์ (Fourier spaces) จึง สามารถขยายความได้ ${\displaystyle L^{p}}$

ผลลัพธ์หลายอย่างของทฤษฎีการแทนกลุ่มจำกัด ได้รับการพิสูจน์โดยการหาค่าเฉลี่ยเหนือกลุ่ม สำหรับกลุ่มกระชับ การปรับเปลี่ยนการพิสูจน์เหล่านี้จะให้ผลลัพธ์ที่คล้ายกันโดยการหาค่าเฉลี่ยเทียบกับ ปริพันธ์ฮาร์แบบนอร์มาไลซ์ ในบริบทของกลุ่มกระชับเฉพาะที่ทั่วไป เทคนิคดังกล่าวอาจใช้ไม่ได้ผล ทฤษฎีที่ได้เป็นส่วนสำคัญของการวิเคราะห์ฮาร์ มอนิก ทฤษฎีการแทนสำหรับกลุ่มอาเบเลียนกระชับเฉพาะที่อธิบายโดย ทฤษฎีทวิภาวะ ของปอนทรียาจิน

• กลุ่มที่มีขนาดกะทัดรัดใดๆ ก็ตามย่อมมีขนาดกะทัดรัดในระดับท้องถิ่นด้วย
  • โดยเฉพาะอย่างยิ่งกลุ่มวงกลมS ¹ของจำนวนเชิงซ้อนที่มีโมดูลัสหนึ่งหน่วยภายใต้การคูณนั้นเป็นกลุ่มกระชับ และด้วยเหตุนี้จึงเป็นกลุ่มกระชับเฉพาะที่ กลุ่มวงกลมนี้ในอดีตถือเป็นกลุ่มทางทอพอโลยีที่ไม่ธรรมดาเป็นครั้งแรกที่มีคุณสมบัติความกระชับเฉพาะที่ และด้วยเหตุนี้จึงเป็นแรงบันดาลใจในการค้นหาทฤษฎีที่ครอบคลุมมากขึ้น ซึ่งนำเสนอไว้ในที่นี้
• กลุ่มดิสครีตใดๆ ก็เป็นกลุ่มคอมแพ็กต์เฉพาะที่ได้เช่นกัน ดังนั้น ทฤษฎีของกลุ่มคอมแพ็กต์เฉพาะที่จึงครอบคลุมทฤษฎีของกลุ่มธรรมดา เนื่องจากกลุ่มใดๆ ก็จะกลายเป็นกลุ่มโทโพโลยีได้เมื่อกำหนดโทโพโลยีแบบดิสครีตให้
• กลุ่มการบวกของจำนวนจริงRและของจำนวนเชิงซ้อนC หากกำหนดโทโพโลยีมาตรฐานแล้ว จะเป็น กลุ่มกระชับเฉพาะที่ เช่นเดียวกับกลุ่มการคูณของจำนวนที่ไม่เป็นศูนย์R ^xและC ^x
• กลุ่มลี (Lie groups)ซึ่งเป็นกลุ่มยุคลิดเฉพาะที่ (locally Euclidean groups) จะเป็นกลุ่มกระชับเฉพาะที่ (locally compact groups) ในที่นี้เราพบตัวอย่างมากมายของกลุ่มกระชับเฉพาะที่ที่ไม่เป็นอาเบเลียน (non-abelian locally compact groups)
• ปริภูมิเวกเตอร์เชิงทอพอโลยีที่ปรับค่าได้เหนือฟิลด์เฉพาะที่ จะกระชับเฉพาะที่ก็ต่อเมื่อมีมิติจำกัดเท่านั้น
• กลุ่มบวกของจำนวนตรรกยะQไม่เป็นกลุ่มกระชับเฉพาะที่ หากกำหนดโทโพโลยีมาตรฐานเป็นโทโพโลยีสัมพัทธ์ในฐานะเซตย่อยของจำนวนจริงแต่จะเป็นกลุ่มกระชับเฉพาะที่ หากกำหนดโทโพโลยีแบบไม่ต่อเนื่องเป็น
• กลุ่มบวกของจำนวนp -adic Q _pที่มีโทโพโลยีมาตรฐานนั้นเป็นกลุ่มกระชับเฉพาะที่สำหรับจำนวนเฉพาะp ใด ๆ

โดยอาศัยความเป็นเอกรูป ความกะทัดรัดเฉพาะที่ของปริภูมิพื้นฐานสำหรับกลุ่มทางทอพอโลยีจำเป็นต้องตรวจสอบที่เอกลักษณ์เท่านั้น กล่าวคือ กลุ่มGเป็นปริภูมิที่กะทัดรัดเฉพาะที่ก็ต่อเมื่อสมาชิกเอกลักษณ์มีย่านใกล้เคียงที่กะทัดรัด ดังนั้นจึงมีฐานเฉพาะที่ของย่านใกล้เคียงที่กะทัดรัดในทุกจุด

ทุกกลุ่มย่อยปิด ของกลุ่มที่กะทัดรัดเฉพาะที่ จะเป็นกลุ่มที่กะทัดรัดเฉพาะที่ด้วย (เงื่อนไขการปิดเป็นเงื่อนไขที่จำเป็น ดังที่กลุ่มของจำนวนตรรกยะแสดงให้เห็น) ในทางกลับกัน ทุกกลุ่มย่อยที่กะทัดรัดเฉพาะที่ของกลุ่มเฮาส์ดอร์ฟ จะเป็นกลุ่มปิด ทุกผลหารของกลุ่มที่กะทัดรัดเฉพาะที่ จะเป็นกลุ่มที่กะทัดรัดเฉพาะที่ผลคูณของกลุ่มที่กะทัดรัดเฉพาะที่ จะเป็นกลุ่มที่กะทัดรัดเฉพาะที่ ก็ต่อเมื่อตัวประกอบทั้งหมด ยกเว้นจำนวนจำกัด เป็นกลุ่มที่กะทัดรัดจริง ๆ

กลุ่มเชิงทอพอโลยีเป็นกลุ่มปกติสมบูรณ์ เสมอ ในฐานะปริภูมิเชิงทอพอโลยี กลุ่มกระชับเฉพาะที่ (locally compact groups) มีคุณสมบัติที่แข็งแกร่งกว่าคือเป็นกลุ่มปกติ (normal )

ทุกกลุ่มที่กระชับเฉพาะที่ซึ่งเป็นT ₀และนับได้เป็นอันดับแรกสามารถกำหนดเมตริกได้ในฐานะกลุ่มเชิงทอพอโลยี (กล่าวคือ สามารถกำหนดเมตริกที่ไม่เปลี่ยนแปลงทางซ้ายซึ่งเข้ากันได้กับทอพอโลยี) และสมบูรณ์ ยิ่งไปกว่านั้น หากปริภูมิสามารถนับได้เป็นอันดับสองเมตริกสามารถเลือกให้เป็นเมตริกที่เหมาะสมได้ (ดูบทความเกี่ยวกับกลุ่มเชิงทอพอโลยี )

ในกลุ่มโปแลนด์Gพีชคณิต σ ของเซตว่าง Haarสอดคล้องกับเงื่อนไขโซ่ที่นับได้ก็ต่อเมื่อGเป็นกระชับเฉพาะที่^{[ 1 ]}

สำหรับกลุ่มอาเบเลียนแบบกระชับเฉพาะที่ (LCA) ใดๆกลุ่มของโฮโมมอร์ฟิซึมต่อเนื่อง

Hom( A , S ¹ )

จากAไปยังกลุ่มวงกลมนั้นยังคงมีความกะทัดรัดในระดับท้องถิ่นทฤษฎีทวิภาวะของปอนทรียาจินยืนยันว่าฟังก์ชัน นี้ เหนี่ยวนำให้เกิดความเท่าเทียมกันของหมวดหมู่

LCA ^op → LCA.

ฟังก์ชันนี้แลกเปลี่ยนคุณสมบัติหลายประการของกลุ่มทางทอพอโลยี ตัวอย่างเช่น กลุ่มจำกัดจะสอดคล้องกับกลุ่มจำกัด กลุ่มกระชับจะสอดคล้องกับกลุ่มไม่ต่อเนื่อง และ กลุ่ม เมตริกจะสอดคล้องกับการรวมกันแบบนับได้ของกลุ่มกระชับ (และในทางกลับกันในทุกข้อความ)

กลุ่ม LCA ก่อตัวเป็นหมวดหมู่ที่แน่นอนโดยที่โมโนมอร์ฟิซึมที่ยอมรับได้คือกลุ่มย่อยปิด และเอพิโมร์ฟิซึมที่ยอมรับได้คือแผนที่ผลหารเชิงทอพอโลยี ดังนั้นจึงเป็นไปได้ที่จะพิจารณาสเปกตรัมทฤษฎี K ของหมวดหมู่นี้Clausen (2017)ได้แสดงให้เห็นว่ามันวัดความแตกต่างระหว่างทฤษฎี K พีชคณิตของZและRซึ่งเป็นจำนวนเต็มและจำนวนจริงตามลำดับ ในแง่ที่ว่ามีลำดับไฟเบอร์โฮโมโทปี

K( Z ) → K( R ) → K(LCA)

• กลุ่มคอมแพ็กต์  – กลุ่มทางทอพอโลยีที่มีทอพอโลยีแบบคอมแพ็กต์
• ฟิลด์ที่สมบูรณ์
• สนามขนาดกะทัดรัดในท้องถิ่น
• ปริภูมิกระชับเฉพาะที่  – ปริภูมิเชิงทอพอโลยีประเภทหนึ่งในคณิตศาสตร์
• กลุ่มควอนตัมขนาดกะทัดรัดเฉพาะที่
• ปริภูมิเวกเตอร์เชิงทอพอโลยีแบบเรียงลำดับ
• กลุ่มอาเบเลียนเชิงทอพอโลยี
• ฟิลด์เชิงทอพอโลยี  – โครงสร้างพีชคณิตที่มีการบวก การคูณ และการหารหน้าเว็บที่แสดงคำอธิบายสั้น ๆ ของเป้าหมายการเปลี่ยนเส้นทาง
• กลุ่มเชิงทอพอโลยี  – กลุ่มที่เป็นปริภูมิเชิงทอพอโลยีที่มีการดำเนินการกลุ่มแบบต่อเนื่อง
• โมดูลเชิงทอพอโลยี
• วงแหวนเชิงทอพอโลยี
• เซมิกรุปเชิงทอพอโลยี
• ปริภูมิเวกเตอร์เชิงทอพอโลยี  – ปริภูมิเวกเตอร์ที่มีแนวคิดเรื่องความใกล้เคียง

• Clausen, Dustin (2017), แนวทางเชิงทฤษฎี K สำหรับแผนที่ Artin , arXiv : 1703.07842v2

• ฟอลแลนด์, เจอรัลด์ บี. (1995), หลักสูตรการวิเคราะห์ฮาร์มอนิกเชิงนามธรรม , สำนักพิมพ์ CRC, ISBN 978-0-8493-8490-5.
• Pontri︠a︡gin, Lev Semenovich (1939). กลุ่มโทโพโลยีแปลโดย Lehmer, Emma. สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยพรินซ์ตัน. OCLC  65707155
• ไวล์, อังเดร (1940) L'int´egration dans les groupes topologiques et ses applications [ L'intégration dans les groupes topologiques et ses applications ] (ในภาษาฝรั่งเศส) ปารีส: เฮอร์มันน์. โอซีแอลซี 490312990 .
• มอนต์โกเมอรี, ดีน ; ​​ซิปปิน, ลีโอ (1955). กลุ่มการแปลงเชิงทอพอโลยี. สำนักพิมพ์อินเตอร์ไซแอนซ์. ISBN 978-0-486-82449-9. OCLC  1019833944 .{{cite book}}:ปัญหาความไม่เข้ากันของหมายเลข ISBN / วันที่ ( ขอความช่วยเหลือ )
• ฮิววิตต์, เอ็ดวิน ; รอสส์, เคนเนธ เอ. (1963) “การวิเคราะห์ฮาร์มอนิกเชิงนามธรรม” . กรุนเดิลเริน เดอร์ มาเทมาติเชน วิสเซนชาฟเทินฉัน (115) ดอย : 10.1007/978-3-662-26755-4 . ไอเอสบีเอ็น 978-3-662-24595-8ISSN 0072-7830​ ​{{cite journal}}:ปัญหาความไม่เข้ากันของหมายเลข ISBN / วันที่ ( ขอความช่วยเหลือ )
• Tao, Terence (17 กรกฎาคม 2557). ปัญหา ข้อที่ห้าของฮิลเบิร์ตและหัวข้อที่เกี่ยวข้องการศึกษาระดับบัณฑิตศึกษาทางคณิตศาสตร์ เล่มที่ 153 พรอวิเดนซ์ โรดไอส์แลนด์: สมาคมคณิตศาสตร์อเมริกันdoi : 10.1090/gsm/153 ISBN 978-1-4704-1564-8.
• Tao, Terence (17 สิงหาคม 2554). บันทึกเกี่ยวกับกลุ่มท้องถิ่น . มีอะไรใหม่บ้าง.