การวิเคราะห์ฮาร์มอนิกเป็นสาขาหนึ่งของการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ที่เกิดขึ้นจากการศึกษาฟังก์ชันฮาร์มอนิกโดยเฉพาะอย่างยิ่งพฤติกรรมที่ขอบเขตของฟังก์ชันเหล่านั้น วิธีการวิเคราะห์ฮาร์มอนิกจะแยกฟังก์ชันและวัตถุที่เกี่ยวข้อง เช่นมาตรวัดออกเป็นส่วนประกอบต่างๆ โดยอาศัยสมมาตร มาตราส่วน สเปกตรัม หรือการแกว่ง นอกจากนี้ยังเกี่ยวข้องกับการประมาณค่าเชิงวิเคราะห์สำหรับตัวดำเนินการที่เกิดขึ้นจากการแยกส่วนประกอบดังกล่าว ตัวอย่างพื้นฐาน ได้แก่อนุกรมฟูริเยร์และการแปลงฟูริเยร์ในขณะที่การวิเคราะห์ฮาร์มอนิกสมัยใหม่ยังศึกษาฟังก์ชันสูงสุดอิน ทิกรัลเอก ฐานอิน ทิก รัลแกว่ง ตัวคูณฟูริเยร์ ทฤษฎีลิตเติ ลวูด-พาเลย์และการแยกส่วนประกอบสเปกตรัมด้วย

แนวคิดที่เกี่ยวข้องคือการวิเคราะห์ฮาร์มอนิกเชิงนามธรรมซึ่งเน้นที่ฟังก์ชันและการแสดงแทนบนกลุ่มทางทอพอโลยีรวมถึง ทฤษฎีบท คู่ของปอนทรียาจินทฤษฎีบท ปี เตอร์-ไวล์และทฤษฎีบทประเภทแพลนเชอเรล การวิเคราะห์ฮาร์มอนิกทับซ้อนอย่างมากกับการวิเคราะห์ฟูริเยร์การวิเคราะห์เชิงจริงการวิเคราะห์เชิงฟังก์ชันสมการเชิงอนุพันธ์ย่อยทฤษฎีศักย์ ทฤษฎี เออร์โกดิกทฤษฎีการแสดงแทนและทฤษฎี จำนวน

การวิเคราะห์ฮาร์มอนิกมีวิธีการหลายอย่างที่คล้ายคลึงกับการวิเคราะห์ฟูริเยร์ ซึ่งเกี่ยวข้องกับการแยกฟังก์ชันออกเป็นความถี่หรือฮาร์มอนิกเช่นกัน แต่แตกต่างจากการวิเคราะห์ฟูริเยร์หลักๆ ในชนิดของฟังก์ชันที่พิจารณาและประเภทของคำถามที่ถาม การวิเคราะห์ฟูริเยร์มีรูปแบบพื้นฐานใน ปริภูมิ ฮิลเบิร์ตโดยที่ความเป็นตั้งฉากและทฤษฎีบทของแพลนเชอเรลเป็นสิ่งสำคัญ และศึกษาวัตถุที่ใกล้เคียงกับการแยกความถี่แบบตั้งฉาก เช่นตัวคูณ การสังเคราะห์และ สม การเชิงอนุพันธ์ย่อยเชิงเส้นที่มีสัมประสิทธิ์คงที่ ในทางตรงกันข้าม การวิเคราะห์ฮาร์มอนิกมักศึกษาการแยกแบบฟูริเยร์ในสถานการณ์ที่ความเป็นตั้งฉากเพียงอย่างเดียวไม่เพียงพอ ดังนั้นจึงมักต้องมองหาการแยกและคุณสมบัติของฟังก์ชันที่ละเอียดกว่าทฤษฎีฟูริเยร์

แหล่งที่มาหนึ่งของการวิเคราะห์ฮาร์มอนิก โดยเฉพาะอย่างยิ่งประเพณีตัวแปรจริง คือการศึกษาฟังก์ชันฮาร์มอนิกและทฤษฎีศักย์ คลาสสิก โดยเฉพาะอย่างยิ่งสูตรปริพันธ์ปัวซงแสดงฟังก์ชันฮาร์มอนิกในดิสก์หรือครึ่งพื้นที่ในแง่ของข้อมูลขอบเขต แต่พฤติกรรมขอบเขตของฟังก์ชันฮาร์มอนิกและเคอร์เนลปัวซงมักจะละเอียดอ่อนกว่าที่วิธีการฟูริเยร์เพียงอย่างเดียวจะแก้ไขได้ ดังนั้นคำถามเกี่ยวกับการลู่เข้าของปริพันธ์ปัวซง การมีอยู่ของค่าขอบเขต และพฤติกรรมของฟังก์ชันฮาร์มอนิกคู่ควบ นำไปสู่การประมาณค่าสูงสุดและตัวดำเนินการปริพันธ์เอกฐาน^{[ 1 ] [ 2 ]}

การวิเคราะห์ฮาร์มอนิกสมัยใหม่มักเกี่ยวข้องกับวิธีการตัวแปรจริง ซึ่งพบครั้งแรกในการศึกษาฟังก์ชันฮาร์มอนิก อินทิกรัลปัวซงอยู่ระหว่างวิธีการตัวแปรจริงและตัวแปรเชิงซ้อน: การวิเคราะห์เชิงซ้อนให้เครื่องมือที่มีประสิทธิภาพสำหรับฟังก์ชันโฮโลมอร์ฟิกและฮาร์มอนิก ในขณะที่การลู่เข้าของขอบเขตและการประมาณค่าในL ^p , L ¹ แบบอ่อน และปริภูมิที่เกี่ยวข้อง มักต้องการวิธีการตัวแปรจริง ทฤษฎีตัวแปรจริงยังปรากฏชัดในการแปลงฮิลเบิร์ต ที่เกี่ยวข้อง ซึ่งเกิดขึ้นในทฤษฎีของฟังก์ชันฮาร์มอนิกคู่ควบและค่าขอบเขตของฟังก์ชันโฮโลมอร์ฟิก การแปลงเหล่านี้กลายเป็นต้นแบบสำหรับตัวดำเนินการอินทิกรัลเอกพจน์ทั่วไปมากขึ้น ซึ่งวิธีการตัวแปรจริงของการวิเคราะห์ฮาร์มอนิกเหมาะสมกว่า ในมิติที่สูงกว่า ตัวดำเนินการที่คล้ายคลึงกัน ได้แก่การแปลงรีซซึ่งเชื่อมโยงกับอนุพันธ์ของศักยภาพฮาร์มอนิกและนิวตัน^{[ 1 ] [ 3 ]}

ส่วนประกอบหนึ่งคือฟังก์ชันสูงสุดของ Hardy–Littlewoodฟังก์ชันสูงสุดใช้เพื่อควบคุมการลู่เข้าแบบจุดต่อจุด การหาอนุพันธ์ของอินทิกรัล และขอบเขตของฟังก์ชันฮาร์มอนิกหรือซับฮาร์มอนิกนอกจากนี้ยังเป็นแบบจำลองสำหรับการประมาณค่าในภายหลังจำนวนมากในการวิเคราะห์ตัวแปรจริง รวมถึงอสมการประเภทอ่อน ข้อโต้แย้ง การสอดแทรกและอสมการบรรทัดฐานถ่วงน้ำหนัก^{[ 1 ] [ 3 ]}

ทฤษฎีของตัวดำเนินการ Calderón–Zygmundเป็นหนึ่งในการพัฒนาหลักในการวิเคราะห์ตัวดำเนินการอินทิกรัลเอกฐาน ทฤษฎีนี้ให้เงื่อนไขที่ตัวดำเนินการอินทิกรัลเอกฐานมีขอบเขตบนปริภูมิ เช่นL ^p และปริภูมิฟังก์ชันที่เกี่ยวข้อง ทฤษฎี นี้จัดการกับการแปลงฮิลเบิร์ต การแปลงรีซ ตัวดำเนินการคอนโวลูชันจำนวนมาก และตัวดำเนินการอินทิกรัลเอกฐานที่เกิดขึ้นใน สมการเชิงอนุพันธ์ย่อยแบบ วงรีและพาราโบลา^{[ 1 ] [ 3 ]}

ทฤษฎี Littlewood–Paleyเป็นอีกองค์ประกอบหนึ่งของการวิเคราะห์ฮาร์มอนิก โดยมุ่งเน้นการแยกฟังก์ชันตามมาตราส่วนหรือความถี่ และประมาณฟังก์ชันกำลังสองที่สร้างขึ้นจากชิ้นส่วนที่ได้ เทคนิคนี้ใช้ร่วมกับทฤษฎีฟูริเยร์ แต่แทนที่ข้อโต้แย้งเรื่องความเป็นตั้งฉากของทฤษฎีฟูริเยร์ด้วยวิธีการเกือบตั้งฉาก ซึ่งเหมาะสมกับสถานการณ์ที่ไม่มีความเป็นตั้งฉากอีกต่อไป เช่น ในกรณีที่^{[ 4 ] [ 3 ]}การแยกส่วนที่เกี่ยวข้องมักจะละเอียดกว่าวิธีการในปริภูมิฮิลเบิร์ตซึ่งเพียงพอสำหรับคำถามพื้นฐานหลายข้อในการวิเคราะห์ฟูริเยร์ ${\displaystyle L^{p}}$${\displaystyle p\neq 2}$

การแปลง ฟูริเยร์ยังคงเป็นเครื่องมือพื้นฐานในการวิเคราะห์ฮาร์มอนิก แต่การวิเคราะห์ฮาร์มอนิกตัวแปรจริงสมัยใหม่ส่วนใหญ่ไม่ได้เน้นการผกผันฟูริเยร์โดยตรงมากนัก แต่เน้นการประมาณค่าตัวดำเนินการมากกว่า นี่คือสิ่งที่ทำให้แตกต่างจากการวิเคราะห์ฟูริเยร์แบบคลาสสิก และแตกต่างจากการวิเคราะห์ฮาร์มอนิกเชิงนามธรรม ซึ่งเน้นไปที่สมมาตร กลุ่มกระชับเฉพาะที่ และทฤษฎีการแทน

วิธีตัวแปรจริงในการวิเคราะห์ฮาร์มอนิกคือการแยกฟังก์ชันออกเป็นส่วนควบคุมและกลุ่มของส่วนพิเศษเฉพาะที่ ตัวอย่างหนึ่งคือการแยกส่วนแบบ Calderón–Zygmundเมื่อกำหนดฟังก์ชันที่หาปริพันธ์ได้และค่าเกณฑ์เราจะเลือกช่วงหรือลูกบาศก์ที่มีขนาดเฉลี่ยของ มากกว่า จากนั้นฟังก์ชันจะถูกเขียนในรูปแผนภาพดังนี้ ${\displaystyle f}$${\displaystyle \lambda >0}$${\displaystyle f}$${\displaystyle \lambda }$

${\displaystyle f=g+\sum _{j}b_{j}.}$

นี่คือส่วน "ดี": มันสอดคล้องกับส่วนที่อยู่ห่างจากลูกบาศก์ที่เลือกไว้ และมีขนาดจำกัดโดยค่าคงที่คูณกับ แต่ละส่วนเป็นส่วน "ไม่ดี" ที่รองรับอยู่บนลูกบาศก์ที่เลือกไว้ลูกใดลูกหนึ่ง แต่มีการหักล้างกัน: ${\displaystyle g}$${\displaystyle f}$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle b_{j}}$

${\displaystyle \int b_{j}=0.}$

ลูกบาศก์ครอบครองเซตที่มีขนาดรวมที่ถูกควบคุมโดยดังนั้นตำแหน่งที่มีขนาดใหญ่เกินไปจึงถูกจำกัด ในขณะที่ส่วนที่เหลือมีขอบเขตและประมาณค่าได้ง่ายกว่า^{[ 1 ] [ 3 ]}${\displaystyle \|f\|_{1}/\แลมบ์ดา }$${\displaystyle f}$

ในการประมาณค่าตัวดำเนินการ เช่น อินทิกรัลเอกฐาน เราจะใช้วิธีการประมาณค่าในปริภูมิฮิลเบิร์ต ซึ่งคุณสมบัติความเป็นตั้งฉากและความเป็นขอบเขตมีอยู่ ส่วนประกอบเฉพาะที่ถูกจัดการแยกกัน: ใกล้กับลูกบาศก์ที่รองรับ ส่วนประกอบทั้งหมดจะมีขนาดเล็ก ในขณะที่ไกลจากลูกบาศก์เหล่านั้น การหักล้างค่าเฉลี่ยเป็นศูนย์จะลดขนาดของตัวดำเนินการลง ด้วยวิธีนี้ ฟังก์ชันจะถูกแบ่งออกเป็นส่วนๆ ตามขนาดในระดับท้องถิ่น ก่อนที่จะถูกแยกส่วนออกเป็นความถี่ในระดับสากล การแยกส่วนแบบท้องถิ่น-สากลนี้เป็นลักษณะเฉพาะของอาร์กิวเมนต์หลายๆ ตัวในการวิเคราะห์ฮาร์มอนิก ${\displaystyle g}$${\displaystyle L^{2}}$${\displaystyle b_{j}}$

ตัวอย่างเช่น การแปลงฮิลเบิร์ตไม่มีขอบเขตในแต่จะแมปไปยังประเภทอ่อนการพิสูจน์ใช้ฟังก์ชันและแยกออกเป็นส่วนที่มีขอบเขตใน และส่วนที่มีขอบเขตในค่าเฉลี่ยเหนือชุดของช่วงย่อย จากนั้นจะได้ ซึ่งจำกัดค่าบรรทัดฐานของในแง่ของค่าบรรทัดฐานของการแปลงฮิลเบิร์ตมีขอบเขตบนดังนั้นส่วนที่ดีจึงได้รับขอบเขตเดียวกัน เนื่องจากเซตที่ไม่ดีมีการวัดที่ควบคุมโดยสำหรับขอบเขตประเภทอ่อน จึงเพียงพอที่จะประมาณการแปลงฮิลเบิร์ตของ ที่อยู่ห่างจากเซตที่ไม่ดี และในที่นี้การตัดทอนจะสร้างการประมาณเช่น โดยเป็นการขยายเซตที่ไม่ดีเล็กน้อย (เช่น เพิ่มขนาดของทุกช่วงรอบจุดศูนย์กลางเป็นสองเท่า) ${\displaystyle L^{1}}$${\displaystyle L^{1,\infty }}$${\displaystyle f\in L^{1}\cap L^{2}}$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle 2\lambda }$${\displaystyle f=g+b}$$${\displaystyle \|g\|_{2}^{2}\leq C\|g\|_{\infty }\|g\|_{1}\leq C\lambda \|f\|_{1}}$$${\displaystyle L^{2}}$${\displaystyle g}$${\displaystyle L^{1}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle L^{2}}$${\displaystyle g}$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle b}$$${\displaystyle \int _{\mathbb {R} \setminus E_{*}}|Hg|\leq C\|f\|_{1}}$$${\displaystyle E_{*}}$

ปัญหา การจำกัดของฟูริเยร์แสดงให้เห็นอีกวิธีหนึ่งที่การวิเคราะห์ฮาร์มอนิกขยายการวิเคราะห์ฟูริเยร์แบบคลาสสิก ในการวิเคราะห์ฟูริเยร์เบื้องต้น การแปลงฟูริเยร์จะถูกศึกษาเป็นอันดับแรกในฐานะการแปลงฟังก์ชันบนปริภูมิทั้งหมด เช่นโดยมีผลลัพธ์พื้นฐานเกี่ยวกับการผกผัน การสังเคราะห์ ทฤษฎีบทของแพลนเชอเรล และการแยกฟังก์ชันออกเป็นความถี่ ปัญหาการจำกัดจะถามคำถามว่าการแปลงฟูริเยร์ของฟังก์ชันสามารถจำกัดได้อย่างมีความหมายไปยังเซตที่มีมิติที่ต่ำกว่าในปริภูมิความถี่ เช่น ทรงกลม กรวย หรือพาราโบลาหรือไม่ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

ถ้าแล้วจะต่อเนื่อง ดังนั้นการจำกัดฟังก์ชันนี้บนพื้นผิวเรียบจึงมีความหมายที่ชัดเจน ปัญหาจะซับซ้อนขึ้นสำหรับฟังก์ชันในซึ่งการแปลงฟูริเยร์ไม่จำเป็นต้องกำหนดโดยฟังก์ชันที่กำหนดเฉพาะจุดตามปกติ จึงเกิดคำถามว่าการประมาณค่าในรูปแบบ นั้นเหมาะสมหรือไม่ ${\displaystyle f\in L^{1}(\mathbb {R} ^{n})}$${\displaystyle {\วงกว้าง {f}}}$${\displaystyle S}$${\displaystyle L^{p}(\mathbb {R} ^{n})}$

${\displaystyle \|{\widehat {f}}|_{S}\|_{L^{q}(S,d\sigma )}\leq C\|f\|_{L^{p}(\mathbb {R} ^{n})}}$

สามารถคงไว้ได้ โดยที่คือการวัดพื้นผิวบน ในทำนองเดียวกัน โดยอาศัยหลักทวิภาวะ เราจะศึกษาตัวดำเนินการขยาย ${\displaystyle d\sigma }$${\displaystyle S}$

${\displaystyle Eg(x)=\int _{S}g(\xi )e^{2\pi ix\cdot \xi }\,d\sigma (\xi )}$

และขอประมาณการต่างๆ เช่น

${\displaystyle \|Eg\|_{L^{r}(\mathbb {R} ^{n})}\leq C\|g\|_{L^{q}(S)}.}$

ในสูตรนี้เป็นการซ้อนทับของคลื่นระนาบที่มีความถี่อยู่บนพื้นผิว^{[ 3 ]}${\displaystyle Eg}$${\displaystyle S}$

แง่มุมเชิงวิเคราะห์ฟูริเยร์ของปัญหานี้คือการแสดงแทนด้วยการสั่นเอง ฟังก์ชันถูกอธิบายด้วยคลื่นที่มีความถี่ที่กำหนดไว้ และการเลือกค่าต่างๆ จะสอดคล้องกับสถานการณ์ทางเรขาคณิตหรือทางกายภาพที่แตกต่างกัน ตัวอย่างเช่น พาราโบโลอิดเชื่อมโยงกับสมการชโรดิงเกอร์ แบบอิสระ ในขณะที่กรวยเชื่อมโยงกับสมการคลื่นแง่มุมเชิงวิเคราะห์ฮาร์มอนิกคือทฤษฎีการประมาณค่า ซึ่งกำหนดว่าเลขชี้กำลังใดเป็นไปได้ และคำตอบขึ้นอยู่กับความโค้ง การหักล้าง การปรับขนาด และวิธีที่กลุ่มคลื่นซ้อนทับกันในพื้นที่ทางกายภาพอย่างไร ${\displaystyle S}$

ความถี่ที่กระจุกตัวอยู่บนระนาบแบนจะไม่กระจายตัวเหมือนความถี่บนพื้นผิวโค้ง สำหรับพื้นผิวโค้ง การสั่นสามารถบังคับให้เกิดการหักล้างและการกระจายตัว ทำให้สามารถประมาณค่าได้ซึ่งจะล้มเหลวสำหรับเซตแบน ผลลัพธ์พื้นฐานประเภทนี้คือทฤษฎีบท Stein–Tomasซึ่งให้ทฤษฎีบทการจำกัดสำหรับทรงกลม ปัญหาการจำกัดขั้นสูงกว่านั้นเกี่ยวข้องกับการประมาณค่าแบบทวิเชิงเส้นและพหุเชิงเส้น การแยกส่วนแพ็กเก็ตคลื่น การเหนี่ยวนำบนมาตราส่วน และความเชื่อมโยงกับเรขาคณิตประเภท Kakeya ^{[ 3 ]}${\displaystyle L^{2}}$

ดังนั้น ในปัญหาข้อจำกัดของฟูริเยร์ การวิเคราะห์ฟูริเยร์จะให้การแปลงและการกำหนดสูตรในปริภูมิความถี่ ในขณะที่การวิเคราะห์ฮาร์มอนิกจะศึกษาความไม่เท่าเทียมกันที่เกิดขึ้นและพฤติกรรมที่ละเอียดอ่อนของตัวดำเนินการที่เกี่ยวข้อง

การวิเคราะห์ฮาร์มอนิกให้เครื่องมือวิเคราะห์สำหรับผลลัพธ์ที่เกี่ยวข้องกับการวัดแบบเลเบสหนึ่งในนั้นคือทฤษฎีบทการหาอนุพันธ์ของเลเบสซึ่งกล่าวว่าฟังก์ชันที่สามารถหาปริพันธ์ได้ในระดับท้องถิ่นนั้น แทบจะเท่ากับลิมิตของค่าเฉลี่ยของฟังก์ชันนั้นบนทรงกลม การพิสูจน์ใช้การประมาณค่าแบบอ่อนและฟังก์ชันสูงสุดเพื่อควบคุมการลู่เข้าแบบแทบจะทุกที่

การวิเคราะห์ฮาร์มอนิกใช้ในผลลัพธ์คลาสสิกของทฤษฎีเออร์โกดิกทฤษฎีบทเออร์โกดิกสูงสุดนั้นคล้ายคลึงกับทฤษฎีบทสูงสุดของฮาร์ดี-ลิตเติลวูด: มันจำกัดการวัดของเซตที่ค่าเฉลี่ยเออร์โกดิกสูงสุดมีขนาดใหญ่ การประมาณค่าสูงสุดดังกล่าวใช้ในการพิสูจน์ทฤษฎีบทเออร์โกดิกของเบิร์คฮอฟฟ์ซึ่งช่วยในการเปลี่ยนจากการลู่เข้าบนคลาสของฟังก์ชันที่หนาแน่นไปสู่การลู่เข้าเกือบทุกที่^{[ 5 ]}

Calderón แสดงให้เห็นว่าการประมาณค่าเชิงวิเคราะห์ฮาร์มอนิกสำหรับตัวดำเนินการที่ไม่เปลี่ยนแปลงตามการแปลสามารถถ่ายโอนไปยังค่าเฉลี่ยแบบเออร์โกดิกที่เกี่ยวข้องกับการแปลงที่รักษาการวัดได้^{[ 6 ]}ซึ่งทำให้สามารถใช้การประมาณค่าเชิงวิเคราะห์ฮาร์มอนิกสำหรับฟังก์ชันสูงสุดและปริพันธ์เอกฐานในการตั้งค่าแบบเออร์โกดิกได้

งานวิจัยในภายหลังเกี่ยวกับค่าเฉลี่ยแบบเออร์โกดิกมุ่งเน้นไปที่การศึกษาการแกว่งและการเบี่ยงเบนรอบค่าเฉลี่ยเหล่านั้น ซึ่งเกี่ยวข้องกับการประมาณค่าความแปรผันระยะสั้นในบรรทัดฐานโดยใช้เทคนิคการวิเคราะห์ฮาร์มอนิก^{[ 7 ]}${\displaystyle L^{p}}$

การวิเคราะห์ฮาร์มอนิกมีความเชื่อมโยงอย่างใกล้ชิดกับปริภูมิโซโบเลฟและทฤษฎีความสม่ำเสมอของสมการเชิงอนุพันธ์ย่อยศักยภาพของรีซและ ตัวดำเนิน การปริพันธ์เศษส่วนใช้เพื่อพิสูจน์ความไม่เท่าเทียมกันประเภทโซโบเลฟ รวมถึงการฝังตัวระหว่าง ปริภูมิ L ^pและปริภูมิของฟังก์ชันที่อนุพันธ์ได้แบบอ่อน^{[ 2 ] [ 1 ] [ 8 ]}

การประมาณค่าอินทิกรัลเอกฐานยังให้ข้อมูลเกี่ยวกับอนุพันธ์อ่อนอีกด้วย ตัวอย่างเช่น ตัวดำเนินการ Calderón–Zygmund ใช้เพื่อหา ค่าประมาณ L ^pสำหรับอนุพันธ์ของคำตอบของสมการเชิงวงรีจากค่าประมาณของสมการเอง ด้วยวิธีนี้ ขอบเขตฮาร์มอนิก-วิเคราะห์สำหรับอินทิกรัลเอกฐานจะกลายเป็นค่าประมาณความสม่ำเสมอสำหรับคำตอบของสมการเชิงอนุพันธ์^{[ 1 ] [ 3 ]}

ทฤษฎี Littlewood–Paley ให้คำอธิบายอีกแบบหนึ่งของปริภูมิฟังก์ชัน Sobolev และฟังก์ชันที่เกี่ยวข้องโดยการแยกฟังก์ชันออกเป็นส่วนๆ ที่ระดับหรือความถี่ต่างกัน มุมมองนี้มีประโยชน์อย่างยิ่งสำหรับปริภูมิ Sobolev เศษส่วน ปริภูมิ Besov ปริภูมิ Triebel–Lizorkin และปัญหาที่ไม่เป็นเชิงเส้นซึ่งต้องมีการประมาณค่าทีละระดับ^{[ 4 ] [ 3 ]}

ในทางคณิตศาสตร์ การวิเคราะห์ฮาร์มอนิกถูกนำมาใช้ในความหมายที่แตกต่างออกไป แต่มีความเกี่ยวข้องกัน เพื่ออธิบายวิธีการศึกษาฟังก์ชันจริงหรือฟังก์ชันเชิงซ้อน (มักอยู่ในโดเมนทั่วไปมาก) โดยใช้สมมาตร เช่นการเลื่อนหรือการหมุนตัวอย่างเช่น การแยกฟังก์ชันในปริภูมิยุคลิดออกเป็นฮาร์มอนิกทรงกลมซึ่งเป็นฟังก์ชันเฉพาะของตัวดำเนินการลาปลาส

การวิเคราะห์ฮาร์มอนิกเชิงนามธรรมขยายการแยกส่วนฮาร์มอนิกทรงกลมแบบคลาสสิกไปสู่ฟังก์ชันบนพื้นที่ที่เกี่ยวข้องกับกลุ่ม อื่น ๆ ด้วยวิธีนี้ ทฤษฎีจึงใกล้เคียงกับทฤษฎีการแทนและการวิเคราะห์เชิงฟังก์ชัน^{[ 9 ]}

หนึ่งในสาขาที่ทันสมัยที่สุดของการวิเคราะห์ฮาร์มอนิก ซึ่งมีรากฐานมาจากช่วงกลางศตวรรษที่ 20 คือการวิเคราะห์บนกลุ่มโทโพโลยีแนวคิดหลักที่กระตุ้นคือการแปลงฟูริเยร์ ต่างๆ ซึ่งสามารถขยายไปสู่การแปลงฟังก์ชันที่กำหนดบนกลุ่มโทโพโลยีแบบกะทัดรัดเฉพาะที่ของ เฮาส์ดอร์ฟ ได้^{[ 10 ]}

หนึ่งในผลลัพธ์สำคัญในทฤษฎีฟังก์ชันบน กลุ่มคอมแพ็กต์เฉพาะที่แบบ อาเบเลียนเรียกว่าความเป็นคู่ของปอนทรียาจินการวิเคราะห์ฮาร์มอนิกศึกษาคุณสมบัติของความเป็นคู่ดังกล่าว การวางนัยทั่วไปที่แตกต่างกันของการแปลงฟูริเยร์พยายามที่จะขยายคุณสมบัติเหล่านั้นไปยังการตั้งค่าที่แตกต่างกัน ตัวอย่างเช่น กรณีแรกของกลุ่มทอพอโลยีแบบอาเบเลียนทั่วไป และกรณีที่สองของกลุ่มลี แบบไม่อาเบ เลียน^{[ 11 ]}

การวิเคราะห์ฮาร์มอนิกมีความเกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิดกับทฤษฎีการแสดงแทนกลุ่มเอกภาพสำหรับกลุ่มกระชับเฉพาะที่ทั่วไปที่ไม่เป็นอาเบเลียน สำหรับกลุ่มกระชับทฤษฎีบทปีเตอร์-เวย์ลอธิบายว่าเราจะได้ฮาร์มอนิกได้อย่างไรโดยการเลือกการแสดงแทนแบบลดทอนไม่ได้หนึ่งรายการจากแต่ละชั้นสมมูลของการแสดงแทน^{[ 12 ]}การเลือกฮาร์มอนิกนี้มีคุณสมบัติอันมีค่าบางประการของการแปลงฟูริเยร์แบบคลาสสิกในแง่ของการนำการสังเคราะห์ไปสู่ผลคูณแบบจุดต่อจุดหรือแสดงความเข้าใจ โครงสร้าง กลุ่ม พื้นฐานบางอย่าง ดูเพิ่มเติม: การวิเคราะห์ฮาร์มอนิกแบบไม่สลับที่

หากกลุ่มนั้นไม่ใช่ทั้งกลุ่มอาเบเลียนและกลุ่มคอมแพ็กต์ ปัจจุบันยังไม่มีทฤษฎีที่น่าพอใจโดยทั่วไป ("น่าพอใจ" หมายถึงอย่างน้อยก็แข็งแกร่งเท่ากับทฤษฎีบทของแพลนเชอเรล ) อย่างไรก็ตาม มีการวิเคราะห์กรณีเฉพาะหลายกรณี เช่นSL _nในกรณีนี้การแทนในมิติอนันต์มีบทบาทสำคัญอย่างยิ่ง

การวิเคราะห์ฮาร์มอนิกเชิงนามธรรมยังมีการประยุกต์ใช้ในทฤษฎีจำนวน ด้วย ในวิทยานิพนธ์ของเทตคำถามเกี่ยวกับฟังก์ชัน Lได้รับการกำหนดขึ้นโดยใช้การวิเคราะห์ฮาร์มอนิกบนวงแหวนอะเดลและกลุ่มไอเดล^{[ 13 ]}

การวิเคราะห์ฮาร์มอนิกในความหมายหลังนี้มีความเชื่อมโยงอย่างใกล้ชิดกับทฤษฎีสเปกตรัม โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ผ่านการศึกษาตัวดำเนินการลาปลาเซียนและตัวดำเนินการเชิงอนุพันธ์อื่นๆ บนปริภูมิยุคลิด แมนิโฟลด์ ปริภูมิสมมาตร และกราฟ คำถามเกี่ยวกับฟังก์ชันลักษณะเฉพาะ ค่าลักษณะเฉพาะ เคอร์เนลความร้อน และการแพร่กระจายของคลื่น มักจะได้รับการจัดการโดยใช้วิธีการวิเคราะห์ฮาร์มอนิก มุมมองนี้รวมถึงปัญหาต่างๆ เช่นการได้ยินรูปร่างของกลองและการวิเคราะห์ฟังก์ชันทรงกลมบนปริภูมิสมมาตร^{[ 14 ]}

ในปริภูมิยุคลิด การวิเคราะห์ฮาร์มอนิกยังศึกษาปรากฏการณ์เฉพาะของการแปลงฟูริเยร์บนR ⁿเช่น ความไม่แปรเปลี่ยนของการหมุน การประมาณค่าข้อจำกัด การแปลงฟูริเยร์แบบรัศมีฟังก์ชันเบส เซล และฮาร์มอนิกทรงกลมหัวข้อเหล่านี้เชื่อมโยงทฤษฎีตัวแปรจริงกับฟังก์ชันพิเศษแบบคลาสสิกและสมการเชิงอนุพันธ์ย่อย^{[ 2 ] [ 3 ]}

มีหลายสาขาเฉพาะทางที่ใช้ระเบียบวิธีฮาร์มอนิก-วิเคราะห์ การวิเคราะห์ฮาร์มอนิกบนปริภูมิสมมาตรและกลุ่มกระชับเฉพาะที่เกี่ยวข้องกับทฤษฎีการแทน การวิเคราะห์ฮาร์มอนิกบนโดเมนท่อเชื่อมโยงกับปริภูมิฮาร์ดีและตัวแปรเชิงซ้อนหลายตัวรูปแบบอัตโนมัติอาจถูกมองว่าเป็นวัตถุฮาร์มอนิก-วิเคราะห์ที่เกี่ยวข้องกับกลุ่มสมมาตรทางเลขคณิตได้เช่นกัน แม้ว่าโดยทั่วไปแล้วจะถูกพิจารณาเป็นหัวข้อแยกต่างหากที่เชื่อมโยงอย่างใกล้ชิดกับทฤษฎีจำนวนและโครงการแลงแลนด์ก็ตาม

• การลู่เข้าของอนุกรมฟูริเยร์
• การวิเคราะห์ฟูริเยร์สำหรับการคำนวณความเป็นคาบในข้อมูลที่มีระยะห่างเท่ากัน
• ฮาร์มอนิก (คณิตศาสตร์)
• การวิเคราะห์สเปกตรัมแบบกำลังสองน้อยที่สุดสำหรับการคำนวณความเป็นคาบในข้อมูลที่มีระยะห่างไม่สม่ำเสมอ
• การประมาณความหนาแน่นสเปกตรัม
• วิทยานิพนธ์ของเทต

• Stein, Elias M. (1970), Singular Integrals and Differentiability Properties of Functions , Princeton Mathematical Series, vol. 30, Princeton University Press, ISBN 978-0-691-08079-6
• Stein, Elias M. (1970), หัวข้อในการวิเคราะห์ฮาร์มอนิกที่เกี่ยวข้องกับทฤษฎี Littlewood-Paley , Annals of Mathematics Studies, เล่มที่ 63, สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยพรินซ์ตัน
• Stein, Elias M. (1993), การวิเคราะห์ฮาร์มอนิก: วิธีการตัวแปรจริง ความตั้งฉาก และอินทิกรัลแบบสั่น , ชุดคณิตศาสตร์พรินซ์ตัน เล่มที่ 43, โดยความช่วยเหลือของ Timothy S. Murphy, สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยพรินซ์ตัน, ISBN 978-0-691-03216-0
• Stein, Elias M. ; Weiss, Guido (1971), Introduction to Fourier Analysis on Euclidean Spaces , Princeton Mathematical Series, vol. 32, Princeton University Press, ISBN 978-0-691-08078-9
• Katznelson, Yitzhak (2004), บทนำสู่การวิเคราะห์ฮาร์มอนิก , ห้องสมุดคณิตศาสตร์เคมบริดจ์ (ฉบับที่ 3), สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยเคมบริดจ์, ISBN 978-0-521-54359-0
• ฟอลแลนด์, เจอรัลด์ บี. (1995), หลักสูตรการวิเคราะห์ฮาร์มอนิกเชิงนามธรรม , สำนักพิมพ์ CRC, ISBN 978-0-8493-8490-5
• Robert, Alain (1983), Introduction to the Representation Theory of Compact and Locally Compact Groups , London Mathematical Society Lecture Note Series, vol. 80, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-28975-7
• Mackey, George W. (1980), "การวิเคราะห์ฮาร์มอนิกในฐานะการใช้ประโยชน์จากสมมาตร—การสำรวจทางประวัติศาสตร์", Bulletin of the American Mathematical Society , 3 (1): 543– 698, doi : 10.1090/S0273-0979-1980-14783-7 , hdl : 1911/63317
• Terence Tao , การแปลงฟูริเยร์ (แนะนำการแยกฟังก์ชันออกเป็นส่วนคี่และส่วนคู่เป็นการแยกส่วนฮาร์มอนิกเหนือ...)${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$
• Terras, Audrey (2013). การวิเคราะห์ฮาร์มอนิกบนปริภูมิสมมาตร - ปริภูมิยุคลิด ทรงกลม และระนาบครึ่งบนของปวงกาเร (ฉบับที่ 2). นิวยอร์ก, นิวยอร์ก: สปริงเกอร์. หน้า 37. ISBN 978-1461479710สืบค้นข้อมูลเมื่อ วัน ที่12 ธันวาคม 2017
• Tate, John T. ( 1967), "การวิเคราะห์ฟูริเยร์ในฟิลด์จำนวนและฟังก์ชันซีตาของเฮค" ใน Cassels, JWS; Fröhlich, A. (บรรณาธิการ), ทฤษฎีจำนวนเชิงพีชคณิต , Academic Press, หน้า  305–347