ทฤษฎีเออร์โกดิกเป็นสาขาหนึ่งของคณิตศาสตร์ที่ศึกษาคุณสมบัติทางสถิติ ของ ระบบพลวัตเชิง กำหนด กล่าวคือเป็นการศึกษาเรื่องเออร์โกดิกในบริบทนี้ "คุณสมบัติทางสถิติ" หมายถึงคุณสมบัติที่แสดงออกผ่านพฤติกรรมของ ค่า เฉลี่ยตามเวลาของฟังก์ชันต่างๆ ตามวิถีการเคลื่อนที่ของระบบพลวัต แนวคิดของระบบพลวัตเชิงกำหนดนั้นถือว่าสมการที่กำหนดพลวัตนั้นไม่มีการรบกวนแบบสุ่มสัญญาณรบกวนหรือสิ่งรบกวนอื่นๆ ดังนั้น สถิติที่เราสนใจจึงเป็นคุณสมบัติของพลวัต

ทฤษฎีเออร์โกดิก เช่นเดียวกับทฤษฎีความน่าจะเป็นนั้นตั้งอยู่บนแนวคิดทั่วไปของ ทฤษฎี การวัด การพัฒนาในระยะเริ่มต้นนั้นได้รับแรงบันดาลใจจากปัญหาในฟิสิกส์เชิงสถิติ

ประเด็นสำคัญประการหนึ่งของทฤษฎีเออร์โกดิกคือพฤติกรรมของระบบพลวัตเมื่อปล่อยให้มันทำงานเป็นเวลานาน ผลลัพธ์แรกในทิศทางนี้คือทฤษฎีบทการเกิดซ้ำของปวงกาเรซึ่งกล่าวว่าเกือบทุกจุดในเซตย่อยใด ๆ ของปริภูมิเฟสจะกลับมายังเซตนั้นในที่สุด ระบบที่ทฤษฎีบทการเกิดซ้ำของปวงกาเรเป็นจริงเรียกว่าระบบอนุรักษ์ดังนั้นระบบเออร์โกดิกทั้งหมดจึงเป็นระบบอนุรักษ์

ข้อมูลที่แม่นยำยิ่งขึ้นได้มาจากทฤษฎีบทเออร์โกดิก ต่างๆ ซึ่งยืนยันว่า ภายใต้เงื่อนไขบางประการ ค่าเฉลี่ยตามเวลาของฟังก์ชันตามวิถีการเคลื่อนที่นั้นมีอยู่เกือบทุกที่และมีความสัมพันธ์กับค่าเฉลี่ยตามพื้นที่ ทฤษฎีบทที่สำคัญที่สุดสองทฤษฎีคือ ทฤษฎีบทของBirkhoff (1931) และvon Neumannซึ่งยืนยันการมีอยู่ของค่าเฉลี่ยตามเวลาตามวิถีการเคลื่อนที่แต่ละเส้น สำหรับระบบเออร์โกดิก ประเภทพิเศษ ค่าเฉลี่ยตามเวลานี้จะเท่ากันสำหรับจุดเริ่มต้นเกือบทั้งหมด กล่าวคือ ในทางสถิติ ระบบที่วิวัฒนาการไปเป็นเวลานานจะ "ลืม" สถานะเริ่มต้นของมัน คุณสมบัติที่แข็งแกร่งกว่า เช่นการผสมและการกระจายอย่างเท่าเทียมกันก็ได้รับการศึกษาอย่างกว้างขวางเช่นกัน

ปัญหาการจำแนกระบบตามเมตริกเป็นอีกส่วนสำคัญของทฤษฎีเออร์โกดิกเชิงนามธรรม บทบาทที่โดดเด่นในทฤษฎีเออร์โกดิกและการประยุกต์ใช้กับกระบวนการสุ่ม นั้น คือแนวคิดต่างๆ เกี่ยวกับเอนโทรปีสำหรับระบบพลวัต

แนวคิดเรื่องภาวะเออร์โกดิกและสมมติฐานเออร์โกดิกเป็นหัวใจสำคัญของการประยุกต์ใช้ทฤษฎีเออร์โกดิก แนวคิดพื้นฐานคือ สำหรับระบบบางระบบ ค่าเฉลี่ยตามเวลาของคุณสมบัติของระบบนั้นจะเท่ากับค่าเฉลี่ยตลอดทั้งปริภูมิ การประยุกต์ใช้ทฤษฎีเออร์โกดิกในส่วนอื่นๆ ของคณิตศาสตร์มักเกี่ยวข้องกับการสร้างคุณสมบัติเออร์โกดิกสำหรับระบบชนิดพิเศษ ในเรขาคณิตวิธีการของทฤษฎีเออร์โกดิกถูกนำมาใช้เพื่อศึกษาการไหลของเส้นจีโอเดสิกบนแมนิโฟลด์แบบรีมันน์โดยเริ่มต้นจากผลลัพธ์ของเอเบอร์ฮาร์ด ฮอปฟ์สำหรับ พื้น ผิวรีมันน์ที่มีความโค้งเป็นลบโซ่มาคอ ฟ เป็นบริบททั่วไปสำหรับการประยุกต์ใช้ในทฤษฎีความน่าจะเป็นทฤษฎีเออร์โกดิกมีความเชื่อมโยงอย่างมีประโยชน์กับการวิเคราะห์ฮาร์มอนิกทฤษฎีลี ( ทฤษฎีการแทน ค่า แลตทิซในกลุ่มพีชคณิต ) และทฤษฎีจำนวน (ทฤษฎีการประมาณค่าไดโอแฟนไทน์ฟังก์ชัน L )

ทฤษฎีเออร์โกดิกมักเกี่ยวข้องกับการแปลงเออร์โกดิกแนวคิดเบื้องหลังการแปลงดังกล่าว ซึ่งกระทำกับเซตที่กำหนด คือการ "กวน" องค์ประกอบของเซตนั้นอย่างทั่วถึง ตัวอย่างเช่น ถ้าเซตคือข้าวโอ๊ตร้อนในชาม และถ้าหยดน้ำเชื่อมลงไปในชาม การทำซ้ำของการแปลงเออร์โกดิกผกผันของข้าวโอ๊ตจะไม่ทำให้น้ำเชื่อมคงอยู่ในบริเวณย่อยเฉพาะที่ของข้าวโอ๊ต แต่จะกระจายน้ำเชื่อมไปทั่วทั้งชามอย่างสม่ำเสมอ ในขณะเดียวกัน การทำซ้ำเหล่านี้จะไม่บีบอัดหรือขยายส่วนใดส่วนหนึ่งของข้าวโอ๊ต: มันจะรักษาระดับความหนาแน่นเอาไว้

นิยามอย่างเป็นทางการมีดังนี้:

ให้T  : X → Xเป็นการแปลงที่รักษาการวัดบนปริภูมิการวัด( X , Σ , μ )โดยที่μ ( X ) = 1แล้วTเป็นแบบเออร์โกดิกถ้าสำหรับทุกEในΣที่μ ( T ⁻¹ ( E ) Δ E ) = 0 (นั่นคือEเป็นปริภูมิไม่เปลี่ยนแปลง ) μ ( E ) = 0หรือμ ( E ) = 1

ตัวดำเนินการ Δ ในที่นี้คือผลต่างสมมาตรของเซต ซึ่งเทียบเท่ากับ การดำเนินการ เอกซ์คลูซีฟออร์โดยพิจารณาจากความเป็นสมาชิกของเซต เงื่อนไขที่ว่าผลต่างสมมาตรมีค่าการวัดเป็นศูนย์เรียกว่าการคงสภาพโดยพื้นฐาน (essentially invariant )

• การหมุนที่ไม่สมเหตุสมผลของวงกลมR / Z , T : x → x + θ โดยที่ θ เป็นจำนวนอตรรกยะนั้นเป็นเออร์โกดิก การแปลงนี้มีคุณสมบัติที่แข็งแกร่งยิ่งกว่าในด้าน ความเป็นเออร์โกดิก ที่ไม่ซ้ำกันความน้อยที่สุดและการกระจายอย่างเท่าเทียมกันในทางตรงกันข้าม ถ้า θ = p / qเป็นจำนวนตรรกยะ (ในเงื่อนไขที่ต่ำที่สุด) แล้วTจะเป็นคาบ โดยมีคาบqและดังนั้นจึงไม่สามารถเป็นเออร์โกดิกได้: สำหรับช่วงI ใดๆ ที่มีความยาวa , 0 < a < 1/ qวงโคจรของมันภายใต้T (นั่นคือ การรวมกันของI , T ( I ), ..., T ^{q −1} ( I ) ซึ่งมีภาพของI ภายใต้การประยุกต์ใช้ Tจำนวนใดๆ) เป็น เซตที่ไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้ T mod 0 ซึ่งเป็นการรวมกันของ ช่วง qช่วงที่มีความยาวaดังนั้นจึงมีมาตรวัดqaอย่างเคร่งครัดระหว่าง 0 และ 1
• ให้Gเป็นกลุ่มอาเบเลียนขนาดกะทัดรัดμคือมาตรวัดฮาร์แบบนอร์มาไลซ์และT คือออ โตมอร์ฟิซึมของ กลุ่ม Gให้G * เป็น กลุ่ม คู่ของพอนทรียาจินซึ่งประกอบด้วยอักขระ ต่อเนื่อง ของGและT * คือออโตมอร์ฟิซึมผกผันที่สอดคล้องกันของG * ออโตมอร์ฟิซึมTเป็นแบบเออร์โกดิกก็ต่อเมื่อความเท่าเทียมกัน ( T *) ⁿ ( χ ) =  χเป็นไปได้ก็ต่อเมื่อn  = 0 หรือχคืออักขระที่ไม่สำคัญของGโดยเฉพาะอย่างยิ่ง ถ้าGคือทอรัสnมิติและออโตมอร์ฟิซึมTถูกแทนด้วยเมทริกซ์เอกโมดูลาร์Aแล้วT เป็น แบบเออร์โกดิกก็ต่อเมื่อไม่มีค่าลักษณะเฉพาะของAที่เป็นรากของเอกภาพ
• การเลื่อนแบบเบอร์นูลลีเป็นแบบเออร์โกดิก โดยทั่วไปแล้ว ความเป็นเออร์โกดิกของการแปลงการเลื่อนที่เกี่ยวข้องกับลำดับของตัวแปรสุ่มอิสระที่มีการแจกแจงเหมือน กัน และกระบวนการสถิต ทั่วไปบางอย่างนั้น มาจากกฎศูนย์-หนึ่งของโคลโมโกโรฟ
• ความเป็นเออร์โกดิกของระบบพลวัตต่อเนื่องหมายความว่าวิถีการเคลื่อนที่ของระบบนั้น "กระจายไปทั่ว" ปริภูมิเฟสระบบที่มีปริภูมิเฟสแบบกระชับซึ่งมีปริพันธ์อันดับแรกที่ไม่คงที่นั้นไม่สามารถเป็นเออร์โกดิกได้ โดยเฉพาะอย่างยิ่งระบบแฮมิลโทเนียนที่มีปริพันธ์อันดับแรกIที่เป็นอิสระเชิงฟังก์ชันจากฟังก์ชันแฮมิลตันHและเซตระดับแบบกระชับX = {( p , q ): H ( p , q ) = E} ที่มีพลังงานคงที่ทฤษฎีบทของ Liouvilleบ่งชี้ถึงการมีอยู่ของมาตรวัดไม่แปรเปลี่ยนแบบจำกัดบนXแต่พลวัตของระบบถูกจำกัดไว้ที่เซตระดับของIบนXดังนั้นระบบจึงมีเซตไม่แปรเปลี่ยนที่มีค่าบวกแต่มีมาตรวัดน้อยกว่าค่าเต็ม คุณสมบัติของระบบพลวัตต่อเนื่องที่เป็นสิ่งที่ตรงกันข้ามกับความเป็นเออร์โกดิกคือ ความสามารถในการหาปริพันธ์ ได้อย่างสมบูรณ์

ให้T : X → Xเป็นการแปลงที่รักษาการวัดบนปริภูมิการวัด ( X , Σ, μ ) และสมมติว่าfเป็น ฟังก์ชันที่สามารถหาปริพันธ์ได้บน μ กล่าว คือf ∈ L ¹ ( μ ) จากนั้นเรากำหนดค่าเฉลี่ย ต่อไปนี้ :

ค่าเฉลี่ยตามเวลา: ค่าเฉลี่ยนี้ถูกกำหนดให้เป็นค่าเฉลี่ย (ถ้ามี) จากการวนซ้ำของTโดยเริ่มจากจุดเริ่มต้นx ใดๆ : $${\displaystyle {\hat {f}}(x)=\lim _{n\to \infty }\;{\frac {1}{n}}\sum _{k=0}^{n-1}f(T^{k}x).}$$

ค่าเฉลี่ยเชิงพื้นที่:ถ้าμ ( X ) มีค่าจำกัดและไม่เป็นศูนย์ เราสามารถพิจารณา ค่าเฉลี่ย เชิงพื้นที่หรือเชิงเฟสของ ƒ ได้: $${\displaystyle {\bar {f}}={\frac {1}{\mu (X)}}\int f\,d\mu .\quad {\text{ (สำหรับปริภูมิความน่าจะเป็น }}\mu (X)=1.)}$$

โดยทั่วไป ค่าเฉลี่ยตามเวลาและค่าเฉลี่ยตามพื้นที่อาจแตกต่างกัน แต่ถ้าการแปลงเป็นแบบเออร์โกดิก และการวัดไม่เปลี่ยนแปลง ค่าเฉลี่ยตามเวลาจะเท่ากับค่าเฉลี่ยตามพื้นที่เกือบทุกที่นี่คือทฤษฎีบทเออร์โกดิกอันโด่งดัง ในรูปแบบนามธรรม ซึ่งเป็นผลงานของจอร์จ เดวิด เบิร์คฮอฟฟ์ (อันที่จริง บทความของเบิร์คฮอฟฟ์ไม่ได้พิจารณากรณีทั่วไปที่เป็นนามธรรม แต่พิจารณาเฉพาะกรณีของระบบพลวัตที่เกิดขึ้นจากสมการเชิงอนุพันธ์บนแมนิโฟลด์เรียบ เท่านั้น ) ทฤษฎีบทการกระจายอย่างเท่าเทียมกันเป็นกรณีพิเศษของทฤษฎีบทเออร์โกดิก ซึ่งเกี่ยวข้องกับการกระจายความน่าจะเป็นบนช่วงหน่วยโดยเฉพาะ

กล่าวโดยละเอียดกว่านั้น ทฤษฎีบทเออร์โกดิก แบบจุดต่อจุดหรือแบบเข้มแข็งระบุว่าลิมิตในนิยามของค่าเฉลี่ยเวลาของfมีอยู่สำหรับเกือบทุกxและฟังก์ชันลิมิต (ซึ่งกำหนดไว้เกือบทุกที่) สามารถหาปริพันธ์ได้: ${\displaystyle {\hat {f}}}$

$${\displaystyle {\hat {f}}\in L^{1}(\mu ).\,}$$

นอกจากนี้ ยังเป็นT -invariant กล่าวคือ ${\displaystyle {\hat {f}}}$

$${\displaystyle {\hat {f}}\circ T={\hat {f}}\,}$$

ใช้ได้เกือบทุกที่ และถ้าμ ( X ) มีค่าจำกัด การทำให้เป็นมาตรฐานก็จะเหมือนกัน:

$${\displaystyle \int {\hat {f}}\,d\mu =\int f\,d\mu .}$$

โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ถ้าTเป็นเอร์โกดิก (ergodic) แล้วจะต้องเป็นค่าคงที่ (เกือบทุกที่) ดังนั้นจึงได้ว่า ${\displaystyle {\hat {f}}}$

$${\displaystyle {\bar {f}}={\hat {f}}\,}$$

เกือบทุกที่ เมื่อรวมข้ออ้างแรกกับข้ออ้างสุดท้ายเข้าด้วยกัน และสมมติว่าμ ( X ) มีค่าจำกัดและไม่เป็นศูนย์ จะได้ว่า

$${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\;{\frac {1}{n}}\sum _{k=0}^{n-1}f(T^{k}x)={\frac {1}{\mu (X)}}\int f\,d\mu }$$

สำหรับค่า x เกือบทั้งหมด กล่าวคือ สำหรับค่า x ทั้งหมด ยกเว้นเซตที่มีขนาดเป็นศูนย์

สำหรับการแปลงแบบเออร์โกดิก ค่าเฉลี่ยตามเวลาจะเท่ากับค่าเฉลี่ยตามเวลาในพื้นที่เกือบแน่นอน

ยกตัวอย่างเช่น สมมติว่าปริภูมิการวัด ( X , Σ, μ ) จำลองอนุภาคของแก๊สดังที่กล่าวมาข้างต้น และให้f ( x )แทนความเร็วของอนุภาค ณ ตำแหน่งxทฤษฎีบทเออร์โกดิกแบบจุดต่อจุดกล่าวว่า ความเร็วเฉลี่ยของอนุภาคทั้งหมด ณ เวลาใดเวลาหนึ่งจะเท่ากับความเร็วเฉลี่ยของอนุภาคหนึ่งตัวในช่วงเวลาหนึ่ง

ทฤษฎีบทของ Birkhoff ได้รับการขยายความโดยทั่วไปเป็นทฤษฎีบท ergodic แบบ subadditive ของ Kingman

ทฤษฎีบท Birkhoff–Khinchinให้ ƒ เป็นจำนวนที่วัดได้, E (|ƒ|) < ∞ และTเป็นฟังก์ชันที่รักษาการวัด แล้วด้วยความน่าจะเป็น 1 :

$${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\;{\frac {1}{n}}\sum _{k=0}^{n-1}f(T^{k}x)=E(f\mid {\mathcal {C}})(x),}$$

โดยที่ ค่า คาด หวังแบบมีเงื่อนไขนั้นกำหนดโดยพีชคณิต σ ของเซตไม่แปรเปลี่ยนของT${\displaystyle E(f|{\mathcal {C}})}$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$

บทสรุป ( ทฤษฎีบทเออร์โกดิกแบบจุดต่อจุด ): โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ถ้าTเป็นเออร์โกดิกด้วยแล้วσ-algebra จะเป็น σ-algebra ที่ไม่สำคัญ และด้วยเหตุนี้จึงมีความน่าจะเป็น 1: ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$

$${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\;{\frac {1}{n}}\sum _{k=0}^{n-1}f(T^{k}x)=E(f).}$$

ทฤษฎีบทเออร์โกดิกเฉลี่ยของฟอน นอยมันน์ใช้ได้ในปริภูมิฮิลเบิร์ต^{[ 1 ]}

ให้Uเป็นตัวดำเนินการเอกภาพบนปริภูมิฮิลเบิร์ตH หรือ โดยทั่วไปแล้วเป็นตัวดำเนินการเชิงเส้นไอโซเมตริก (นั่นคือ ตัวดำเนินการเชิงเส้นที่ไม่จำเป็นต้องเป็นแบบทั่วถึงซึ่งสอดคล้องกับ ‖ Ux ‖ = ‖ x ‖ สำหรับทุกxในHหรือเทียบเท่ากับที่สอดคล้องกับU * U = I แต่ไม่จำเป็นต้องสอดคล้อง กับ UU * = I) ให้Pเป็นการฉายภาพเชิงตั้งฉากบน { ψ  ∈  H  |  Uψ  = ψ} = ker( I  −  U )

จากนั้น สำหรับx ใดๆ ในHเราจะได้ว่า:

$${\displaystyle \lim _{N\to \infty }{1 \over N}\sum _{n=0}^{N-1}U^{n}x=Px,}$$

โดยที่ลิมิตนั้นสัมพันธ์กับบรรทัดฐานบนHกล่าวอีกนัยหนึ่งคือ ลำดับของค่าเฉลี่ย

$${\displaystyle {\frac {1}{N}}\sum _{n=0}^{N-1}U^{n}}$$

ลู่เข้าสู่Pใน โทโพโล ยี ตัวดำเนินการที่แข็งแกร่ง

อันที่จริง ไม่ยากที่จะเห็นว่าในกรณีนี้สามารถแยกออกเป็นส่วนย่อยแบบตั้งฉากได้จากและตามลำดับ ส่วนแรกไม่เปลี่ยนแปลงในผลรวมย่อยทั้งหมดเมื่อเพิ่มขึ้น ในขณะที่ส่วนหลัง จากอนุกรมแบบเทเลสโคปิกจะได้ว่า: ${\displaystyle x\in H}$${\displaystyle \ker(IU)}$${\displaystyle {\overline {\operatorname {ran} (IU)}}}$${\displaystyle N}$

$${\displaystyle \lim _{N\to \infty }{1 \over N}\sum _{n=0}^{N-1}U^{n}(IU)=\lim _{N\to \infty }{\frac {1}{N}}\left(IU^{N}\right)=0}$$

ทฤษฎีบทนี้ใช้ได้เฉพาะกรณีที่ปริภูมิฮิลเบิร์ตHประกอบด้วย^{ฟังก์ชัน}L²บนปริภูมิการวัด และUเป็นตัวดำเนินการในรูปแบบ

$${\displaystyle Uf(x)=f(Tx)\,}$$

โดยที่Tเป็นเอนโดมอร์ฟิซึมที่รักษาการวัดของXซึ่งในการประยุกต์ใช้ถือว่าเป็นการแสดงถึงขั้นตอนเวลาของระบบไดนามิกแบบไม่ต่อเนื่อง^{[ 2 ]} จากนั้นทฤษฎีบทเออร์โกดิกก็ยืนยันว่าพฤติกรรมเฉลี่ยของฟังก์ชัน ƒ ในช่วงเวลาที่ยาวนานพอสมควรจะถูกประมาณโดยส่วนประกอบเชิงตั้งฉากของ ƒ ซึ่งไม่เปลี่ยนแปลงตามเวลา

ในอีกรูปแบบหนึ่งของทฤษฎีบทเออร์โกดิกเฉลี่ย ให้U _tเป็น กลุ่ม ตัวดำเนินการเอกภาพแบบพารามิเตอร์เดียว ที่มีความต่อเนื่องอย่างเข้มแข็งบน Hแล้วตัวดำเนินการ

$${\displaystyle {\frac {1}{T}}\int \limits _{0}^{T}U_{t}\,dt}$$

ลู่เข้าในโทโพโลยีตัวดำเนินการที่แข็งแกร่งเมื่อT → ∞ อันที่จริง ผลลัพธ์นี้ยังขยายไปถึงกรณีของเซมิกรุปพารามิเตอร์เดียว ที่ต่อเนื่องอย่างแข็งแกร่ง ของตัวดำเนินการหดตัวบนปริภูมิสะท้อนกลับด้วย

หมายเหตุ: แนวคิดบางอย่างเกี่ยวกับทฤษฎีบทค่าเฉลี่ยเออร์โกดิกสามารถพัฒนาได้โดยการพิจารณากรณีที่จำนวนเชิงซ้อนที่มีความยาวหนึ่งหน่วยถือเป็นการแปลงแบบเอกภาพบนระนาบเชิงซ้อน (โดยการคูณทางซ้าย) ถ้าเราเลือกจำนวนเชิงซ้อนที่มีความยาวหนึ่งหน่วยเพียงจำนวนเดียว (ซึ่งเราคิดว่าเป็นU ) เป็นเรื่องที่เข้าใจได้ง่ายว่ากำลังของมันจะเติมเต็มวงกลม เนื่องจากวงกลมมีความสมมาตรเกี่ยวกับ 0 จึงสมเหตุสมผลที่ค่าเฉลี่ยของกำลังของUจะลู่เข้าสู่ 0 นอกจากนี้ 0 ยังเป็นจุดคงที่เพียงจุดเดียวของUดังนั้นการฉายภาพลงบนพื้นที่ของจุดคงที่จึงต้องเป็นตัวดำเนินการศูนย์ (ซึ่งสอดคล้องกับลิมิตที่อธิบายไว้ข้างต้น)

ให้ ( X , Σ, μ ) เป็นปริภูมิความน่าจะเป็นดังที่กล่าวมาข้างต้น โดยมีการแปลงT ที่รักษาการวัด และให้ 1 ≤ p ≤ ∞ ความคาดหวังแบบมีเงื่อนไขเกี่ยวกับพีชคณิตย่อย σ Σ _Tของ เซตที่ไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้ Tคือโปรเจคเตอร์เชิงเส้นE _Tที่มีนอร์ม 1 ของปริภูมิบานาคL ^p ( X , Σ, μ ) ไปยังปริภูมิย่อยปิดL ^p ( X , Σ _T , μ ) ซึ่งอาจมีลักษณะเฉพาะเป็นปริภูมิของฟังก์ชันL ^pที่ไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้T ทั้งหมดบน Xค่าเฉลี่ยแบบเออร์โกดิก ในฐานะตัวดำเนินการเชิงเส้นบนL ^p ( X , Σ, μ ) ก็มีนอร์มตัวดำเนินการหนึ่งเช่นกัน และเป็นผลสืบเนื่องอย่างง่ายจากทฤษฎีบท Birkhoff–Khinchin จะลู่เข้าสู่โปรเจคเตอร์E _Tในโทโพโลยีตัวดำเนินการที่แข็งแกร่งของL ^pถ้า 1 ≤ p ≤ ∞ และในโทโพโลยีตัวดำเนินการที่อ่อนแอถ้าp = ∞ นอกจากนี้ หาก 1 < p ≤ ∞ ทฤษฎีบทการลู่เข้าแบบครอบงำเชิงเออร์โกดิกของ Wiener–Yoshida–Kakutani ระบุว่าค่าเฉลี่ยเชิงเออร์โกดิกของf ∈ L ^pนั้นถูกครอบงำในL ^pอย่างไรก็ตาม หากf ∈ L ¹ค่าเฉลี่ยเชิงเออร์โกดิกอาจไม่ถูกครอบงำอย่างเท่าเทียมกันในL ^pสุดท้าย หากถือว่าf อยู่ในชั้น Zygmund นั่นคือ | f | log ⁺ (| f |) สามารถหาปริพันธ์ได้ ค่าเฉลี่ยเชิงเออร์โกดิกจะถูกครอบงำแม้กระทั่งใน L ¹

ให้ ( X , Σ, μ ) เป็นปริภูมิการวัด โดยที่μ ( X ) มีค่าจำกัดและไม่เป็นศูนย์ เวลาที่ใช้ในเซตที่วัดได้Aเรียกว่าเวลาพำนัก (sojourn time ) ผลที่ตามมาโดยตรงจากทฤษฎีบทเออร์โกดิกคือ ในระบบเออร์โกดิก การวัดสัมพัทธ์ของAเท่ากับเวลาพำนักเฉลี่ย

$${\displaystyle {\frac {\mu (A)}{\mu (X)}}={\frac {1}{\mu (X)}}\int \chi _{A}\,d\mu =\lim _{n\to \infty }\;{\frac {1}{n}}\sum _{k=0}^{n-1}\chi _{A}(T^{k}x)}$$

สำหรับ xทั้งหมดยกเว้นเซตที่มีขนาดเป็นศูนย์โดยที่ χ _Aคือฟังก์ชันบ่งชี้ของA

เวลาเกิดเหตุการณ์ของเซตที่วัดได้Aถูกกำหนดให้เป็นเซตk ₁ , k ₂ , k ₃ , ..., ของเวลาkโดยที่T ^k ( x ) อยู่ในAเรียงลำดับจากน้อยไปมาก ความแตกต่างระหว่างเวลาเกิดเหตุการณ์ที่ต่อเนื่องกันR _i = k _i − k _{i −1}เรียกว่าเวลาเกิดซ้ำของAผลที่ตามมาอีกประการหนึ่งของทฤษฎีบทเออร์โกดิกคือ เวลาเกิดซ้ำเฉลี่ยของAเป็นสัดส่วนผกผันกับขนาดของAโดยสมมติว่าจุดเริ่มต้นxอยู่ในAดังนั้นk ₀ = 0

$${\displaystyle {\frac {R_{1}+\cdots +R_{n}}{n}}\to {\frac {\mu (X)}{\mu (A)}}\quad {\text{(เกือบแน่นอน)}}}$$

(ดูเกือบจะแน่นอน ) กล่าวคือ ยิ่งค่า A เล็กเท่าไหร่ ก็ยิ่งใช้เวลานานขึ้นในการกลับไปยังค่า A นั้น

เอเบอร์ฮาร์ด ฮอปฟ์ได้พิสูจน์ความเป็นเออร์โกดิกของการไหลของจีโอเดสิกบนพื้นผิวรีมันน์ ขนาด กะทัดรัด ที่มีความโค้ง ลบแปรผันได้ และบน แมนิโฟ ลด์ขนาดกะทัดรัดที่มีความโค้งลบคงที่ใน มิติใดๆ ในปี 1939 แม้ว่ากรณีพิเศษจะได้รับการศึกษามาก่อนหน้านี้แล้ว เช่นบิลเลียดของฮาดามาร์ด (1898) และบิลเลียดของอาร์ติน (1924) ความสัมพันธ์ระหว่างการไหลของจีโอเดสิกบนพื้นผิวรีมันน์และกลุ่มย่อยหนึ่งพารามิเตอร์บนSL(2, R )ได้รับการอธิบายในปี 1952 โดยเอส.วี. โฟมินและไอ.เอ็ม. เกลฟานด์บทความเกี่ยวกับการไหลของอโนซอฟเป็นตัวอย่างของการไหลแบบเออร์โกดิกบน SL(2, R ) และบนพื้นผิวรีมันน์ที่มีความโค้งลบ การพัฒนาส่วนใหญ่ที่อธิบายไว้ในนั้นสามารถขยายไปสู่แมนิโฟลด์ไฮเปอร์โบลิกได้ เนื่องจากสามารถมองได้ว่าเป็นผลหารของปริภูมิไฮเปอร์โบลิกโดยการกระทำของแลตทิซในกลุ่มลีแบบกึ่งง่ายSO(n,1 ) FI Mautnerได้แสดงให้เห็นถึงความเป็นเออร์โกดิกของการไหลของเส้นจีโอเดสิกบนปริภูมิสมมาตรแบบรีมันน์ในปี 1957 ในปี 1967 DV AnosovและYa. G. Sinaiได้พิสูจน์ความเป็นเออร์โกดิกของการไหลของเส้นจีโอเดสิกบนแมนิโฟลด์กระชับที่มีความโค้งภาคตัดขวางเชิงลบ ที่แปรผันได้ Calvin C. Mooreได้ให้เกณฑ์ง่ายๆ สำหรับความเป็นเออร์โก ดิกของการไหลเอกพันธุ์บน ปริภูมิเอกพันธุ์ของกลุ่มลีแบบกึ่ง ง่าย ในปี 1966 ทฤษฎีบทและผลลัพธ์จำนวนมากจากสาขาการศึกษานี้เป็นแบบอย่างของทฤษฎี ความแข็งแกร่ง

ในช่วงทศวรรษ 1930 GA Hedlundพิสูจน์ว่าการไหลของโฮโรไซเคิลบนพื้นผิวไฮเปอร์โบลิกแบบกะทัดรัดนั้นเป็นการไหลขั้นต่ำและเออร์โกดิก ความเป็นเออร์โกดิกที่ไม่ซ้ำกันของการไหลนั้นได้รับการพิสูจน์โดยHillel Furstenbergในปี 1972 ทฤษฎีบทของ Ratner ให้การวางนัยทั่วไปที่สำคัญของความเป็นเออร์โกดิกสำหรับการไหลแบบยูนิโพเท น ต์บนปริภูมิเอกพันธุ์ในรูปแบบ Γ \  Gโดยที่Gคือกลุ่มลีและ Γ คือแลตทิซใน  G

ในช่วง 20 ปีที่ผ่านมา มีงานวิจัยมากมายที่พยายามค้นหาทฤษฎีบทการจำแนกประเภทการวัดที่คล้ายกับทฤษฎีบทของRatner แต่สำหรับแอคชั่นที่สามารถทำให้เป็นแนวทแยงได้ โดยได้รับแรงบันดาลใจจากข้อสันนิษฐานของ Furstenberg และ Margulisผลลัพธ์บางส่วนที่สำคัญ (ซึ่งแก้ข้อสันนิษฐานเหล่านั้นด้วยข้อสมมติเพิ่มเติมเกี่ยวกับเอนโทรปีที่เป็นบวก) ได้รับการพิสูจน์โดยElon Lindenstraussและเขาได้รับรางวัลFields Medalในปี 2010 จากผลลัพธ์นี้

• Birkhoff, George David (1931), "การพิสูจน์ทฤษฎีบทเออร์โกดิก" , Proc. Natl. Acad. Sci. USA , vol. 17, no. 12, pp.  656– 660, Bibcode : 1931PNAS...17..656B , doi : 10.1073/pnas.17.12.656 , PMC  1076138 , PMID  16577406.
• Birkhoff, George David (1942), "ทฤษฎีบทเออร์โกดิกคืออะไร?", Amer. Math. Monthly , เล่มที่ 49, ฉบับที่ 4, หน้า  222–226 , doi : 10.2307/2303229 , JSTOR  2303229.
• ฟอน นอยมันน์, จอห์น (1932), "การพิสูจน์สมมติฐานกึ่งเออร์โกดิก", Proc. Natl. Acad. Sci. USA , เล่มที่ 18, ฉบับที่ 1, หน้า  70–82 , Bibcode : 1932PNAS...18...70N , doi : 10.1073/pnas.18.1.70 , PMC  1076162 , PMID  16577432.
• ฟอน นอยมันน์, จอห์น (1932), "การประยุกต์ใช้ทางฟิสิกส์ของสมมติฐานเออร์โกดิก", Proc. Natl. Acad. Sci. USA , เล่มที่ 18, ฉบับที่ 3, หน้า  263–266 , Bibcode : 1932PNAS...18..263N , doi : 10.1073/pnas.18.3.263 , JSTOR  86260 , PMC  1076204 , PMID  16587674.
• ฮอพฟ์, เอเบอร์ฮาร์ด (1939), "Statistik der geodätischen Linien in Mannigfaltigkeiten Negativer Krümmung", ไลพ์ซิก แบร์ เวอร์แฮนเดิล. แซคส์ อกาด. วิส.เล่มที่ 91  หน้า261–304.
• Fomin, Sergei V. ; Gelfand, IM (1952), "การไหลของเส้นจีโอเดสิกบนแมนิโฟลด์ที่มีความโค้งลบคงที่", Uspekhi Mat. Nauk , vol. 7, no. 1, pp.  118– 137.
• Mautner, FI (1957), "การไหลของจีโอเดสิกบนปริภูมิรีมันน์สมมาตร", Ann. Math. , vol. 65, no. 3, pp.  416– 431, doi : 10.2307/1970054 , JSTOR  1970054.
• Moore, CC (1966), "Ergodicity of flows on homogeneous spaces", Amer. J. Math. , vol. 88, no. 1, pp.  154– 178, doi : 10.2307/2373052 , JSTOR  2373052.

• DV Anosov (2001) [1994], "ทฤษฎีเออร์โกดิก" , สารานุกรมคณิตศาสตร์ , EMS Press
• บทความนี้ได้นำเนื้อหาจากทฤษฎีบทเออร์โกดิก (ergodic theorem) บนเว็บไซต์ PlanetMath มาใช้ ซึ่งได้รับอนุญาตภายใต้Creative Commons Attribution/Share-Alike License
• Vladimir Igorevich Arnol'dและ André Avez ปัญหาการยศาสตร์ของกลศาสตร์คลาสสิก . นิวยอร์ก: WA เบนจามิน 1968.
• ลีโอ ไบรแมน, ความน่าจะเป็น . ฉบับพิมพ์ครั้งแรกโดยสำนักพิมพ์แอดดิสัน-เวสลีย์, 1968; พิมพ์ซ้ำโดยสมาคมคณิตศาสตร์อุตสาหกรรมและประยุกต์, 1992. ISBN 0-89871-296-3( ดูบทที่ 6)
• Walters, Peter (1982), บทนำสู่ทฤษฎีเออร์โกดิก , ตำราเรียนคณิตศาสตร์ระดับบัณฑิตศึกษา, เล่มที่ 79, Springer-Verlag , ISBN 0-387-95152-0, Zbl  0475.28009
• Bedford, Tim; Keane, Michael; Series, Caroline, eds. (1991), ทฤษฎีเออร์โกดิก พลวัตเชิงสัญลักษณ์ และปริภูมิไฮเปอร์โบลิกสำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยออกซ์ฟอร์ด ISBN 0-19-853390-X(ภาพรวมหัวข้อต่างๆ ในทฤษฎีเออร์โกดิก พร้อมแบบฝึกหัด)
• คาร์ล ปีเตอร์เซน. ทฤษฎีเออร์โกดิก (ชุดการศึกษาคณิตศาสตร์ขั้นสูงของเคมบริดจ์). เคมบริดจ์: สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยเคมบริดจ์. 1990.
• Françoise Pène, คุณสมบัติสุ่มของระบบไดนามิก , Cours spécialisés de la SMF, เล่มที่ 30, 2022
• Joseph M. Rosenblatt และ Máté Weirdl, ทฤษฎีบทเออร์โกดิกแบบจุดต่อจุดผ่านการวิเคราะห์ฮาร์มอนิก (1993) ปรากฏในทฤษฎีเออร์โกดิกและความเชื่อมโยงกับการวิเคราะห์ฮาร์มอนิก รายงานการประชุม Alexandria ปี 1993 (1995) Karl E. Petersen และ Ibrahim A. Salama บรรณาธิการสำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยเคมบริดจ์ เคมบริดจ์ISBN 0-521-45999-0( การสำรวจอย่างละเอียดเกี่ยวกับคุณสมบัติเชิงเออร์โกดิกของการวางนัยทั่วไปของทฤษฎีบทการกระจายเท่าๆ กันของแผนที่การเลื่อนบนช่วงหน่วยโดยเน้นที่วิธีการที่พัฒนาโดย Bourgain)
• AN Shiryaev , ความน่าจะเป็น , ฉบับที่ 2, Springer 1996, Sec. V.3. ไอเอสบีเอ็น 0-387-94549-0.
• Zund, Joseph D. (2002), " George David Birkhoff และ John von Neumann: คำถามเกี่ยวกับลำดับความสำคัญและทฤษฎีบทเออร์โกดิก, 1931–1932 ", Historia Mathematica , 29 (2): 138– 156, doi : 10.1006/hmat.2001.2338(การอภิปรายอย่างละเอียดเกี่ยวกับลำดับความสำคัญของการค้นพบและการตีพิมพ์ทฤษฎีบทเออร์โกดิกโดยเบิร์คฮอฟฟ์และฟอน นอยมันน์ โดยอ้างอิงจากจดหมายของฟอน นอยมันน์ถึงเพื่อนของเขา ฮาวาร์ด เพอร์ซี โรเบิร์ตสัน)
• Andrzej Lasota, Michael C. Mackey, Chaos, Fractals, and Noise: Stochastic Aspects of Dynamics . ฉบับพิมพ์ครั้งที่สอง, Springer, 1994.
• แมนเฟรด ไอน์ซีดเลอร์และโทมัส วอร์ด , ทฤษฎีเออร์โกดิกกับมุมมองสู่ทฤษฎีจำนวน . สปริงเกอร์, 2011.
• เจน ฮอว์กินส์ , พลวัตเชิงเออร์โกดิก: จากทฤษฎีพื้นฐานสู่การประยุกต์ใช้ , สปริงเกอร์, 2021. ISBN 978-3-030-59242-4

Wikiquote มีคำคมที่เกี่ยวข้องกับทฤษฎีเออร์โกดิก

• ทฤษฎีเออร์โกดิก (16 มิถุนายน 2015)บันทึกโดย คอสมา โรฮิลลา ชาลิซี
• ทฤษฎีบทเออร์โกดิกผ่านการทดสอบแล้วจาก Physics World