ระบบแฮมิลตันเป็นระบบพลวัตที่ควบคุมโดยสมการของแฮมิลตันในทางฟิสิกส์ระบบพลวัตนี้อธิบายถึงวิวัฒนาการของระบบทางกายภาพเช่นระบบดาวเคราะห์หรืออิเล็กตรอนในสนามแม่เหล็กไฟฟ้าระบบเหล่านี้สามารถศึกษาได้ทั้งในกลศาสตร์แฮมิลตันและ ทฤษฎีระบบพลวัต

โดยทั่วไปแล้ว ระบบแฮมิลตันเป็นรูปแบบทางคณิตศาสตร์ที่พัฒนาโดยวิลเลียม โรวัน แฮมิลตันเพื่ออธิบายสมการวิวัฒนาการของระบบทางกายภาพ ข้อดีของการอธิบายนี้คือมันให้ข้อมูลเชิงลึกที่สำคัญเกี่ยวกับพลวัต แม้ว่าปัญหาค่าเริ่มต้นจะไม่สามารถแก้ได้ด้วยวิธีวิเคราะห์ก็ตาม ตัวอย่างหนึ่งคือการเคลื่อนที่ของดาวเคราะห์สามดวง : แม้ว่าจะไม่มีคำตอบในรูปแบบปิดสำหรับปัญหาทั่วไป แต่เฮนรี ปวงกาเรได้แสดงให้เห็นเป็นครั้งแรกว่ามันแสดงให้เห็นถึง ความโกลาหล เชิง กำหนด

ในทางรูปธรรม ระบบแฮมิลโทเนียนเป็นระบบพลวัตที่มีลักษณะเฉพาะด้วยฟังก์ชันสเกลาร์หรือที่รู้จักกันในชื่อแฮมิลโทเนียน^{[ 1 ]}สถานะของระบบอธิบายได้ด้วยพิกัดทั่วไปและซึ่งสอดคล้องกับโมเมนตัมและตำแหน่งทั่วไปตามลำดับ ทั้งและเป็นเวกเตอร์ค่าจริงที่มีมิติ  N เท่ากัน ดังนั้น สถานะจึงอธิบายได้อย่างสมบูรณ์ด้วยเวกเตอร์ 2 Nมิติ ${\displaystyle H({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {p}},t)}$${\displaystyle {\boldสัญลักษณ์ {r}}}$${\displaystyle {\boldสัญลักษณ์ {p}}}$${\displaystyle {\boldสัญลักษณ์ {q}}}$${\displaystyle {\boldสัญลักษณ์ {p}}}$${\displaystyle {\boldสัญลักษณ์ {q}}}$

${\displaystyle {\boldsymbol {r}}=({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {p}})}$

และสมการวิวัฒนาการนั้นกำหนดโดยสมการของแฮมิลตัน :

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {d{\boldsymbol {p}}}{dt}}=-{\frac {\partial H}{\partial {\boldsymbol {q}}}},\\[5pt]&{\frac {d{\boldsymbol {q}}}{dt}}=+{\frac {\partial H}{\partial {\boldsymbol {p}}}}.\end{aligned}}}$

วิถีการเคลื่อนที่คือคำตอบของปัญหาค่าเริ่มต้น ที่กำหนดโดยสมการของแฮมิล ตัน และเงื่อนไขเริ่มต้น${\displaystyle {\boldsymbol {r}}(t)}$${\displaystyle {\boldsymbol {r}}(t=0)={\boldsymbol {r}}_{0}\in \mathbb {R} ^{2N}}$

ถ้าแฮมิลโทเนียนไม่ขึ้นอยู่กับเวลาอย่างชัดเจน กล่าวคือ ถ้าแฮมิลโทเนียนจะไม่เปลี่ยนแปลงตามเวลาเลย: ^{[ 1 ]}${\displaystyle H({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {p}},t)=H({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {p}})}$

ดังนั้นแฮมิลโทเนียนจึงเป็นค่าคงที่ของการเคลื่อนที่ซึ่งค่าคงที่นี้เท่ากับพลังงาน รวม ของระบบ: ตัวอย่างของระบบดังกล่าว ได้แก่ลูกตุ้มที่ไม่มี การหน่วง ตัวสั่น ฮาร์มอนิกและบิลเลียด ไดนามิก${\displaystyle H=E}$

ตัวอย่างของระบบแฮมิลโทเนียนที่ไม่ขึ้นกับเวลาคือตัวสั่นฮาร์มอนิก พิจารณาระบบที่กำหนดโดยพิกัดและแล้วแฮมิลโทเนียนจะกำหนดโดย ${\displaystyle {\boldsymbol {p}}=m{\dot {x}}}$${\displaystyle {\boldsymbol {q}}=x}$

${\displaystyle H={\frac {p^{2}}{2m}}+{\frac {kq^{2}}{2}}.}$

แฮมิลโทเนียนของระบบนี้ไม่ขึ้นอยู่กับเวลา ดังนั้นพลังงานของระบบจึงได้รับการอนุรักษ์

คุณสมบัติสำคัญประการหนึ่งของระบบไดนามิกแฮมิลโทเนียนคือมีโครงสร้างซิมเพล็กติก^{[ 1 ]}เขียน

${\displaystyle \nabla _{\boldsymbol {r}}H({\boldsymbol {r}})={\begin{bmatrix}{\frac {\partial H({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {p}})}{\partial {\boldsymbol {q}}}}\\{\frac {\partial H({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {p}})}{\partial {\boldsymbol {p}}}}\\\end{bmatrix}}}$

สมการวิวัฒนาการของระบบพลวัตสามารถเขียนได้ดังนี้

${\displaystyle {\frac {d{\boldsymbol {r}}}{dt}}=M_{N}\nabla _{\boldsymbol {r}}H({\boldsymbol {r}})}$

ที่ไหน

${\displaystyle M_{N}={\begin{bmatrix}0&I_{N}\\-I_{N}&0\\\end{bmatrix}}}$

และI _Nคือเมทริกซ์เอกลักษณ์ขนาด N × N

ผลสำคัญประการหนึ่งของคุณสมบัตินี้คือปริมาตรของปริภูมิเฟสที่เล็กมากจะถูกรักษาไว้^{[ 1 ]}ผลสืบเนื่องมาจากสิ่งนี้คือทฤษฎีบทของ Liouvilleซึ่งระบุว่าในระบบแฮมิลโทเนียน ปริมาตรของปริภูมิเฟสของพื้นผิวปิดจะถูกรักษาไว้ภายใต้วิวัฒนาการของเวลา^{[ 1 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dt}}\oint _{\partial V}d{\boldsymbol {r}}&=\oint _{\partial V}{\frac {d{\boldsymbol {r}}}{dt}}\cdot d{\hat {\boldsymbol {n}}}_{\partial V}\\&=\oint _{\partial V}\left(M_{N}\nabla _{\boldsymbol {r}}H({\boldsymbol {r}})\right)\cdot d{\hat {\boldsymbol {n}}}_{\partial V}\\&=\int _{V}\nabla _{\boldsymbol {r}}\cdot \left(M_{N}\nabla _{\boldsymbol {r}}H({\boldsymbol {r}})\right)\,dV\\&=\int _{V}\sum _{i=1}^{N}\sum _{j=1}^{N}\left({\frac {\partial ^{2}H}{\partial q_{i}\partial p_{j}}}-{\frac {\partial ^{2}H}{\partial p_{i}\partial q_{j}}}\right)\,dV\\&=0\end{aligned}}}$

โดยความเท่าเทียมกันข้อที่สามมาจากทฤษฎีบทไดเวอร์เจนซ์

ระบบแฮมิลโทเนียนบางระบบแสดงพฤติกรรมอลวนเมื่อการเปลี่ยนแปลงของระบบแฮมิลโทเนียนมีความไวต่อเงื่อนไขเริ่มต้นสูง และการเคลื่อนที่ดูเหมือนสุ่มและไม่แน่นอน ระบบนั้นจะถูกเรียกว่าแสดงพฤติกรรมอลวนแบบแฮมิลโทเนียน

แนวคิดเรื่องความโกลาหลในระบบแฮมิลโทเนียนมีรากฐานมาจากผลงานของอองรี ปวงกาเรซึ่งในช่วงปลายศตวรรษที่ 19 ได้มีส่วนสำคัญในการทำความเข้าใจปัญหาวัตถุสามชิ้นในกลศาสตร์ดาราศาสตร์ปวงกาเรแสดงให้เห็นว่าแม้แต่ระบบแรงโน้มถ่วง ที่เรียบง่าย ของวัตถุสามชิ้นก็สามารถแสดงพฤติกรรมที่ซับซ้อนซึ่งไม่สามารถคาดการณ์ได้ในระยะยาว ผลงานของเขาถือเป็นหนึ่งในการสำรวจพฤติกรรมโกลาหลในระบบทางกายภาพที่ เก่าแก่ที่สุด ^{[ 2 ]}

ความโกลาหลแบบแฮมิลโทเนียนมีลักษณะดังต่อไปนี้: ^{[ 1 ]}

ความไวต่อเงื่อนไขเริ่มต้น : ลักษณะเด่นของระบบอลวน ความแตกต่างเล็กน้อยในเงื่อนไขเริ่มต้นสามารถนำไปสู่วิถีที่แตกต่างกันอย่างมาก ซึ่งเรียกว่าปรากฏการณ์ผีเสื้อ^{[ 3 ]}

การผสม : เมื่อเวลาผ่านไป เฟสของระบบจะกระจายตัวอย่างสม่ำเสมอในพื้นที่เฟส^{[ 4 ]}

การเกิดซ้ำ : แม้ว่าจะคาดเดาไม่ได้ แต่ในที่สุดระบบก็จะกลับไปสู่สถานะต่างๆ ที่อยู่ใกล้เคียงกับสถานะเริ่มต้นอย่างไม่แน่นอน ซึ่งเรียกว่าการเกิดซ้ำของปวงกาเร (Poincaré recurrence )

ความโกลาหลแบบแฮมิลโทเนียนยังเกี่ยวข้องกับการมีอยู่ของตัวแปรคงที่แบบโกลาหลเช่นเลขชี้กำลัง Lyapunovและเอนโทรปี Kolmogorov–Sinaiซึ่งวัดอัตราที่วิถีใกล้เคียงเบี่ยงเบนออกจากกันและความซับซ้อนของระบบตามลำดับ^{[ 1 ]}

ความโกลาหลแบบแฮมิลโทเนียนพบได้ทั่วไปในหลายสาขาของฟิสิกส์ โดยเฉพาะอย่างยิ่งในกลศาสตร์คลาสสิกและกลศาสตร์เชิงสถิติ ตัวอย่างเช่น ในฟิสิกส์พลาสมาพฤติกรรมของอนุภาคที่มีประจุในสนามแม่เหล็กสามารถแสดงความโกลาหลแบบแฮมิลโทเนียน ซึ่งมีผลต่อการหลอมรวมนิวเคลียร์และพลาสมาทางดาราศาสตร์นอกจากนี้ ในกลศาสตร์ควอนตัมความโกลาหลแบบแฮมิลโทเนียนได้รับการศึกษาผ่านความโกลาหลควอนตัมซึ่งมุ่งที่จะทำความเข้าใจอนาล็อกควอนตัมของพฤติกรรมโกลาหลแบบคลาสสิก ความโกลาหลแบบแฮมิลโทเนียนยังมีบทบาทในฟิสิกส์ดาราศาสตร์โดยใช้ในการศึกษาพลวัตของกระจุกดาวและความเสถียรของโครงสร้างกาแล็กซี^{[ 5 ]}

• บิลเลียดไดนามิก
• ระบบดาวเคราะห์โดยเฉพาะอย่างยิ่งปัญหาของวัตถุหลายชิ้น (n-body problem )
• ทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไปแบบแคนอนิก

• พิกัดมุมการกระทำ
• ทฤษฎีบทของลีอูวิลล์
• ระบบบูรณาการ
• แมนิโฟลด์ซิมเพล็กติก
• ทฤษฎีบทโคลโมโกโรฟ-อาร์โนลด์-โมเซอร์
• ทฤษฎีบทการเกิดซ้ำของปวงกาเร
• ค่าเลขชี้กำลังของ Lyapunov
• ปัญหาวัตถุสามชิ้น
• ทฤษฎีเออร์โกดิก

• Almeida, AM (1992). ระบบแฮมิลโทเนียน: ความโกลาหลและการควอนตัม . เอกสารวิจัยเคมบริดจ์ว่าด้วยฟิสิกส์เชิงคณิตศาสตร์. เคมบริดจ์ (ua: สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยเคมบริดจ์ )
• Audin, M., (2008). ระบบแฮมิ ลโทเนียนและความสามารถในการหาปริพันธ์ของระบบเหล่านั้นพรอวิเดนซ์ รัฐโรดไอแลนด์: สมาคมคณิตศาสตร์อเมริกัน ISBN 978-0-8218-4413-7
• Dickey, LA (2003). สมการโซลิตอนและระบบแฮมิลโทเนียนชุดขั้นสูงในฟิสิกส์คณิตศาสตร์ เล่มที่ 26. ริเวอร์เอจ รัฐนิวเจอร์ซีย์: World Scientific .
• Treschev, D. และ Zubelevich, O. (2010). บทนำสู่ทฤษฎีการรบกวนของระบบแฮมิลโทเนียน ไฮเดลเบิร์ก: สปริงเกอร์
• Zaslavsky, GM (2007). ฟิสิกส์ของความโกลาหลในระบบแฮมิลโทเนียน . ลอนดอน: สำนักพิมพ์อิมพีเรียลคอลเลจ .

• เจมส์ ไมส์ (บรรณาธิการ). "ระบบแฮมิลโทเนียน" . Scholarpedia .