เรขาคณิตเชิงซิมเพล็กติกเป็นสาขาหนึ่งของเรขาคณิตเชิงอนุพันธ์และโทโพโลยีเชิงอนุพันธ์ที่ศึกษาแมนิโฟลด์ เชิงซิมเพล็กติก นั่นคือแมนิโฟลด์เชิงอนุพันธ์ที่มีฟอร์ม 2-ฟอร์มปิดที่ไม่เสื่อม สภาพ เรขาคณิตเชิงซิมเพล็กติกมีต้นกำเนิดมาจากการกำหนดสูตรแฮมิลโทเนียนของกลศาสตร์คลาสสิกซึ่งปริภูมิเฟสของระบบคลาสสิกบางระบบมีโครงสร้างเป็นแมนิโฟลด์เชิงซิมเพล็กติก^{[ 1 ]}

คำว่า "symplectic" ซึ่งถูกนำมาใช้ในคณิตศาสตร์โดยHermann Weyl [ ^{2 ] [ 3 ]} เป็นคำ ที่ลอกเลียนแบบมาจากภาษากรีกสมัยใหม่ ของ ^คำว่า "complex" ก่อนหน้านี้ " กลุ่ม symplectic " เคยถูกเรียกว่า "กลุ่ม complex เส้น" คำว่า "complex" มาจากภาษาละตินcom-plexusซึ่งหมายถึง "ถักทอเข้าด้วยกัน" (co- + plexus) ในขณะที่ "symplectic" มาจากภาษากรีกsym-plektikos ( συμπλεκτικός "การพันหรือถักเข้าด้วยกัน, การเชื่อมโยง") ในทั้งสองกรณี รากศัพท์มาจากรากศัพท์อินโด-ยุโรป*pleḱ-ซึ่งแสดงถึงแนวคิดของการพับหรือการทอ และคำนำหน้าบ่งบอกถึง "การอยู่ร่วมกัน" ชื่อนี้สะท้อนให้เห็นถึงความเชื่อมโยงอย่างลึกซึ้งระหว่างโครงสร้าง complex และ symplectic

ตามทฤษฎีบทของดาร์บูซ์ แมนิโฟลด์เชิงซิมเพล็กติกนั้นสมมาตรเฉพาะที่กับปริภูมิเวกเตอร์เชิงซิม เพล็กติกมาตรฐาน ดังนั้นจึงมีเพียงตัวแปรคงที่ทั่วโลก (เชิงโทโพโลยี) เท่านั้น คำว่า "โทโพโลยีเชิงซิมเพล็กติก" มักใช้แทนกันได้กับคำว่า "เรขาคณิตเชิงซิมเพล็กติก"

เรขาคณิตเชิงซิมเพล็กติกถูกกำหนดบนปริภูมิเรียบมิติคู่ซึ่งเป็นแมนิโฟลด์ที่สามารถหาอนุพันธ์ได้บนปริภูมินี้มีการกำหนดวัตถุทางเรขาคณิตซิมเพล็กติก 2-ฟอร์มซึ่งช่วยให้สามารถวัดขนาดของวัตถุสองมิติในปริภูมิได้ ซิมเพล็กติกฟอร์มในเรขาคณิตเชิงซิมเพล็กติกมีบทบาทคล้ายคลึงกับเมตริกเทนเซอร์ในเรขาคณิตแบบรีมันน์โดยที่เมตริกเทนเซอร์วัดความยาวและมุม ซิมเพล็กติกฟอร์มจะวัดพื้นที่ที่มีทิศทาง^{[ 4 ]}

เรขาคณิตเชิงซิมเพล็กติกเกิดขึ้นจากการศึกษาทางกลศาสตร์คลาสสิกและตัวอย่างของโครงสร้างเชิงซิมเพล็กติกคือการเคลื่อนที่ของวัตถุในหนึ่งมิติ ในการระบุวิถีการเคลื่อนที่ของวัตถุ จำเป็นต้องทราบทั้งตำแหน่งqและโมเมนตัมpซึ่งก่อให้เกิดจุด ( p , q ) ในระนาบยูคลิด ในกรณีนี้ รูปแบบเชิงซิมเพล็กติกคือ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$

${\displaystyle \omega =dp\wedge dq}$

และเป็นรูปแบบพื้นที่ที่ใช้วัดพื้นที่AของบริเวณSในระนาบโดยใช้การอินทิเกรต :

${\displaystyle A=\int _{S}\omega .}$

พื้นที่นี้มีความสำคัญเนื่องจากเมื่อระบบพลวัตแบบอนุรักษ์วิวัฒนาการไปตามเวลา พื้นที่นี้จะไม่เปลี่ยนแปลง^{[ 4 ]}

เรขาคณิตเชิงซิมเพล็กติกมิติสูงกว่านั้นถูกนิยามในทำนองเดียวกัน เรขาคณิตเชิงซิมเพล็กติก 2n มิติถูกสร้างขึ้นจากคู่ของทิศทาง

${\displaystyle ((x_{1},x_{2}),(x_{3},x_{4}),\ldots (x_{2n-1},x_{2n}))}$

ในแมนิโฟลด์ 2n มิติพร้อมกับรูปแบบซิมเพล็กติก

${\displaystyle \omega =dx_{1}\wedge dx_{2}+dx_{3}\wedge dx_{4}+\cdots +dx_{2n-1}\wedge dx_{2n}.}$

รูปแบบซิมเพล็กติกนี้ให้ขนาดของบริเวณ 2n มิติ V ในปริภูมิเป็นผลรวมของพื้นที่ของการฉายภาพของVบนระนาบแต่ละระนาบที่เกิดจากคู่ทิศทาง^{[ 4 ]}

${\displaystyle A=\int _{V}\omega =\int _{V}dx_{1}\wedge dx_{2}+\int _{V}dx_{3}\wedge dx_{4}+\cdots +\int _{V}dx_{2n-1}\wedge dx_{2n}.}$

เรขาคณิตแบบรีมันน์คือการศึกษาเกี่ยวกับแมนิโฟลด์ที่สามารถหาอนุพันธ์ได้ซึ่งมีเทนเซอร์ 2 มิติแบบสมมาตรที่ไม่เสื่อมสภาพ (เรียกว่าเทนเซอร์เมตริก ) เรขาคณิตแบบซิมเพล็กติกมีความคล้ายคลึงและแตกต่างจากเรขาคณิตแบบรีมันน์อยู่หลายประการ

ต่างจากกรณีของ Riemannian แมนิโฟลด์เชิงซิมเพล็กติกไม่มีค่าคงที่เฉพาะที่ เช่นความโค้งนี่เป็นผลมาจากทฤษฎีบทของ Darbouxซึ่งกล่าวว่า บริเวณใกล้เคียงของจุดใดๆ บนแมนิโฟลด์เชิงซิมเพล็กติก 2n มิติจะสมมาตรกับโครงสร้างเชิงซิมเพล็กติกมาตรฐานบนเซตเปิดของ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}}$

ความแตกต่างอีกประการหนึ่งกับเรขาคณิตแบบรีมันน์คือ ไม่ใช่ทุกแมนิโฟลด์ที่หาอนุพันธ์ได้จะสามารถมีรูปแบบซิมเพล็กติกได้ มีข้อจำกัดทางโทโพโลยีบางประการ ตัวอย่างเช่น ทุกแมนิโฟลด์ซิมเพล็กติกจะต้องมีมิติเป็นเลขคู่และสามารถกำหนดทิศทางได้นอกจากนี้ ถ้าMเป็นแมนิโฟลด์ซิมเพล็กติกแบบปิดกลุ่มโคฮอโมโลยีเดอแรมลำดับ ที่ 2 H ² ( M ) จะต้องไม่ใช่กลุ่มว่าง (ยิ่งไปกว่านั้น ทุกกลุ่มโคฮอโมโลยีที่มีมิติเป็นเลขคู่จะต้องไม่ใช่กลุ่มว่าง) ซึ่งหมายความว่า ตัวอย่างเช่นทรงกลมn มิติเพียงทรงกลมเดียวที่มีรูปแบบซิ ม เพล็กติกคือทรงกลม 2 มิติ

สิ่งที่สามารถเปรียบเทียบได้ระหว่างสองหัวข้อนี้คือ ความคล้ายคลึงกันระหว่างเส้นจีโอเดสิกในเรขาคณิตแบบรีมันน์และเส้นโค้งซูโดโฮโลมอร์ฟิกในเรขาคณิตแบบซิมเพล็กติก เส้นจีโอเดสิกเป็นเส้นโค้งที่มีความยาวสั้นที่สุด (ในระดับท้องถิ่น) ในขณะที่เส้นโค้งซูโดโฮโลมอร์ฟิกเป็นพื้นผิวที่มีพื้นที่น้อยที่สุด แนวคิดทั้งสองนี้มีบทบาทพื้นฐานในสาขาวิชาของตนเอง

ทุกแมนิโฟลด์คาห์เลอร์เป็นแมนิโฟลด์ซิมเพล็กติกด้วยเช่นกัน จนกระทั่งถึงช่วงทศวรรษ 1970 ผู้เชี่ยวชาญด้านซิมเพล็กติกยังไม่แน่ใจว่ามีแมนิโฟลด์ซิมเพล็กติกแบบกะทัดรัดที่ไม่ใช่คาห์เลอร์อยู่หรือไม่ แต่หลังจากนั้นก็มีการสร้างตัวอย่างขึ้นมามากมาย (ตัวอย่างแรกเป็นผลงานของวิลเลียม เธอร์สตัน ) โดยเฉพาะอย่างยิ่งโรเบิร์ต กอมฟ์ได้แสดงให้เห็นว่ากลุ่มที่นำเสนออย่างจำกัด ทุกกลุ่ม ปรากฏเป็นกลุ่มพื้นฐานของแมนิโฟลด์ซิมเพล็กติก4 มิติ บางประเภท ซึ่งแตกต่างอย่างเห็นได้ชัดจากกรณีของคาห์เลอร์

อาจกล่าวได้ว่า แมนิโฟลด์เชิงซิมเพล็กติกส่วนใหญ่ไม่ใช่แมนิโฟลด์แบบคาห์เลอร์ และดังนั้นจึงไม่มีโครงสร้างเชิงซ้อน ที่สามารถหาปริพันธ์ได้ ซึ่งเข้ากันได้กับรูปแบบเชิงซิมเพล็กติก อย่างไรก็ตาม มิคาอิล โกรโมฟได้ตั้งข้อสังเกตที่สำคัญว่า แมนิโฟลด์เชิงซิมเพล็กติกยอมรับโครงสร้างเชิงซ้อนเกือบสมบูรณ์ ที่เข้ากันได้จำนวนมาก ดังนั้นจึงเป็นไปตามสัจพจน์ทั้งหมดสำหรับแมนิโฟลด์แบบคาห์เลอร์ยกเว้นข้อกำหนดที่ว่าแผนที่การเปลี่ยนผ่านต้องเป็นโฮโลมอร์ฟิก

Gromov ใช้การมีอยู่ของโครงสร้างที่ซับซ้อนเกือบทั้งหมดบนแมนิโฟลด์เชิงซิมเพล็กติกเพื่อพัฒนาทฤษฎีของเส้นโค้งซูโดโฮโลมอ ร์ฟิก [ ^{5 ]}ซึ่งนำไปสู่ความก้าวหน้าหลายประการในโทโพโลยีเชิงซิมเพล็กติก รวมถึงกลุ่มของตัวแปรเชิงซิมเพล็กติกที่ปัจจุบันรู้จักกันในชื่อ^{ตัวแปร} Gromov–Witten ต่อมา Andreas Floer ได้คิดค้นเครื่องมือสำคัญอีกอย่างหนึ่งในเรขาคณิตเชิง ซิมเพล็กติกโดยใช้เทคนิคเส้นโค้งซูโดโฮโลมอร์ฟิกซึ่งรู้จักกันในชื่อ โฮโมโล ยีของ Floer ^{[ 6 ]}

• สื่อที่เกี่ยวข้องกับเรขาคณิตเชิงซิมเพล็กติกในวิกิมีเดียคอมมอนส์
• "โครงสร้างซิมเพล็กติก" , สารานุกรมคณิตศาสตร์ , EMS Press , 2001 [1994]