ในทางคณิตศาสตร์โดยเฉพาะในเรขาคณิตเชิงซิ มเพล็กติก แผนที่โมเมนตัม (หรือโดยรากศัพท์ที่ผิดแผนที่โมเมนต์^{[ 1 ]} ) เป็นเครื่องมือที่เกี่ยวข้องกับการกระทำแฮมิลโทเนียน ของกลุ่มลีบนแมนิโฟลด์เชิงซิม เพล็กติก ซึ่งใช้ในการสร้างปริมาณอนุรักษ์สำหรับการกระทำ แผนที่โมเมนตัมเป็นการขยายแนวคิดคลาสสิกของโมเมนตัม เชิงเส้นและเชิงมุม มันเป็นส่วนประกอบสำคัญในการสร้างแมนิโฟลด์เชิงซิมเพล็กติกต่างๆ รวมถึงผลหารเชิงซิมเพล็กติก ( มาร์สเดน-ไวน์สไตน์ ) ที่กล่าวถึงด้านล่าง และการตัดและผลรวม เชิงซิมเพล็ก ติก

ให้เป็นแมนิโฟลด์ที่มีรูปแบบเชิงซิมเพล็กติกสมมติว่ากลุ่มลีกระทำต่อผ่านซิมเพล็กโตมอร์ฟิซึม (นั่นคือ การกระทำของแต่ละในรักษา ไว้) ให้เป็นพีชคณิตลีของ, คู่ของมันและ ${\displaystyle M}$${\displaystyle \omega }$${\displaystyle G}$${\displaystyle M}$${\displaystyle g}$${\displaystyle G}$${\displaystyle \omega }$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle G}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}^{*}}$

${\displaystyle \langle \,\cdot ,\cdot \rangle :{\mathfrak {g}}^{*}\times {\mathfrak {g}}\to \mathbb {R} }$

การจับคู่ระหว่างทั้งสอง สิ่งใดก็ตามที่เหนี่ยวนำให้เกิดสนามเวกเตอร์บน ซึ่งอธิบาย การกระทำ ที่เล็กมากของกล่าวให้แม่นยำยิ่งขึ้น ณ จุดหนึ่งในเวกเตอร์คือ ${\displaystyle \xi }$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle \rho (\xi )}$${\displaystyle M}$${\displaystyle \xi }$${\displaystyle x}$${\displaystyle M}$${\displaystyle \rho (\xi )_{x}}$

${\displaystyle \left.{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\right|_{t=0}\exp(t\xi )\cdot x,}$

โดยที่แผนที่เอกซ์โพเนนเชียลและแสดงถึงการกระทำบน^{[ 2 ]}ให้แสดงถึงการหดตัวของฟิลด์เวกเตอร์นี้ด้วยเนื่องจากกระทำโดยซิมเพล็กโตมอร์ฟิซึม จึงเป็นไปตามสูตรวิเศษของคาร์ตันว่าปิด(สำหรับทุกใน) ${\displaystyle \exp :{\mathfrak {g}}\to G}$${\displaystyle \cdot }$${\displaystyle G}$${\displaystyle M}$${\displaystyle \iota _{\rho (\xi )}\โอเมก้า \,}$${\displaystyle \omega }$${\displaystyle G}$${\displaystyle \iota _{\rho (\xi )}\โอเมก้า \,}$${\displaystyle \xi }$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

สมมติว่าไม่เพียงแต่เป็นเซตปิด แต่ยังเป็นเซตที่แม่นยำด้วย ดังนั้นสำหรับฟังก์ชันบางฟังก์ชันถ้าเงื่อนไขนี้เป็นจริง เราอาจเลือกเพื่อทำให้แผนที่นั้นเป็นเชิงเส้นแผนที่โมเมนตัมสำหรับการกระทำของ บนคือแผนที่เช่นนั้น ${\displaystyle \iota _{\rho (\xi )}\โอเมก้า \,}$${\displaystyle \iota _{\rho (\xi )}\omega =\mathrm {d} H_{\xi }}$${\displaystyle H_{\xi }:M\to \mathbb {R} }$${\displaystyle H_{\xi }}$${\displaystyle \xi \mapsto H_{\xi }}$${\displaystyle G}$${\displaystyle (M,\omega )}$${\displaystyle \mu :M\to {\mathfrak {g}}^{*}}$

${\displaystyle \mathrm {d} (\langle \mu ,\xi \rangle )=\iota _{\rho (\xi )}\omega }$

สำหรับทั้งหมดใน. นี่คือฟังก์ชันจากถึง ที่กำหนดโดย. แผนที่โมเมนตัมถูกกำหนดอย่างไม่ซ้ำกันโดยมีค่าคงที่ของการอินทิเกรตเพิ่มเติม (ในแต่ละส่วนประกอบที่เชื่อมต่อกัน) ${\displaystyle \xi }$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle \langle \mu ,\xi \rangle }$${\displaystyle M}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \langle \mu ,\xi \rangle (x)=\langle \mu (x),\xi \rangle }$

การกระทำบนแมนิโฟลด์เชิงซิมเพล็กติกเรียกว่าแฮมิลโทเนียนถ้าแมนิโฟลด์นั้นเป็นเชิงซิมเพล็กติกและยอมรับแผนที่โมเมนตัม ${\displaystyle G}$${\displaystyle (M,\omega )}$

แผนที่โมเมนตัมมักจะต้องมีค่าคงที่สมมาตร (equivariant) ด้วย โดยที่กระทำต่อผ่านการกระทำร่วม (coadjoint action ) และบางครั้งข้อกำหนดนี้จะรวมอยู่ในนิยามของการกระทำของกลุ่มแฮมิลโทเนียน หากกลุ่มนั้นเป็นกลุ่มกระชับ (compact) หรือกลุ่มกึ่งง่าย (semisimple) ค่าคงที่ของการอินทิเกรตสามารถเลือกได้เสมอเพื่อให้แผนที่โมเมนตัมมีค่าคงที่สมมาตร อย่างไรก็ตาม โดยทั่วไปแล้ว การกระทำร่วมจะต้องได้รับการแก้ไขเพื่อให้แผนที่นั้นมีค่าคงที่สมมาตร (ตัวอย่างเช่นในกรณีของกลุ่มยุคลิด ) การแก้ไขนั้นทำโดยใช้ 1-โคไซเคิล (1- cocycle)บนกลุ่มที่มีค่าอยู่ในดังที่ Souriau (1970) ได้อธิบายไว้เป็นครั้งแรก ${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}^{*}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}^{*}}$

ในกรณีของการกระทำแบบแฮมิลโทเนียนของวงกลมพีชคณิตลีคู่ขนานจะถูกระบุโดยธรรมชาติด้วยและแผนที่โมเมนตัมก็คือฟังก์ชันแฮมิลโทเนียนที่สร้างการกระทำของวงกลม ${\displaystyle G=U(1)}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}^{*}}$${\displaystyle \mathbb {R} }$

กรณีคลาสสิกอีกกรณีหนึ่งเกิดขึ้นเมื่อเป็นมัดโคแทนเจนต์ของและเป็นกลุ่มยุคลิดที่สร้างขึ้นโดยการหมุนและการเลื่อน นั่นคือเป็นกลุ่มหกมิติ ซึ่งเป็นผลคูณกึ่งตรงของและส่วนประกอบทั้งหกของแผนที่โมเมนตัมจึงเป็นโมเมนตัมเชิงมุมสามตัวและโมเมนตัมเชิงเส้นสามตัว ${\displaystyle M}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$${\displaystyle \operatorname {SO} (3)}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

ให้เป็นแมนิโฟลด์เรียบ และให้เป็นบันเดิลโคแทนเจนต์ของมัน โดยมีแผนที่การฉายภาพ ให้ แทนรูปแบบ 1-ฟอร์มแบบสัจนิรันดร์บนสมมติว่ากระทำบนการกระทำที่เหนี่ยวนำของบนแมนิโฟลด์เชิงซิมเพล็กติกซึ่งกำหนดโดยสำหรับคือแฮมิลโทเนียนที่มีแผนที่โมเมนตัมสำหรับทุก ในที่ นี้แทนการหดตัวของสนามเวกเตอร์การกระทำอนันต์เล็กของโดยมีรูปแบบ 1-ฟอร์ม${\displaystyle N}$${\displaystyle T^{*}N}$${\displaystyle \pi :T^{*}N\rightarrow N}$${\displaystyle \tau }$${\displaystyle T^{*}N}$${\displaystyle G}$${\displaystyle N}$${\displaystyle G}$${\displaystyle (T^{*}N,\mathrm {d} \tau )}$${\displaystyle g\cdot \eta :=(T_{\pi (\eta )}g^{-1})^{*}\eta }$${\displaystyle g\in G,\eta \in T^{*}N}$${\displaystyle -\iota _{\rho (\xi )}\tau }$${\displaystyle \xi \in {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle \iota _{\rho (\xi )}\tau }$${\displaystyle \rho (\xi )}$${\displaystyle \xi }$${\displaystyle \tau }$

ข้อเท็จจริงที่กล่าวถึงด้านล่างนี้ สามารถนำมาใช้สร้างตัวอย่างแผนที่โมเมนตัมเพิ่มเติมได้

ให้และ เป็นกลุ่มลีที่มีพีชคณิตลีตามลำดับ ${\displaystyle G,H}$${\displaystyle {\mathfrak {g}},{\mathfrak {h}}}$

1. ให้เป็นวงโคจรร่วมสมมาตรแล้วจะมีโครงสร้างเชิงซิมเพล็กติกที่ไม่ซ้ำกันบนซึ่งทำให้แผนที่การรวมเป็นแผนที่โมเมนตัม${\displaystyle {\mathcal {O}}(F),F\in {\mathfrak {g}}^{*}}$${\displaystyle {\mathcal {O}}(F)}$${\displaystyle {\mathcal {O}}(F)\hookrightarrow {\mathfrak {g}}^{*}}$
2. ให้กระทำบนแมนิโฟลด์เชิงซิมเพล็กติกด้วยแผนที่โมเมนตัมสำหรับการกระทำ และเป็นโฮโมมอร์ฟิซึมของกลุ่ม ลี ซึ่งเหนี่ยวนำให้เกิดการกระทำของบน แล้วการกระทำของบนก็เป็นแฮมิลโทเนียนเช่นกัน โดยมีแผนที่โมเมนตัมกำหนดโดย โดยที่คือแผนที่คู่ขนานไปยัง( หมายถึงองค์ประกอบเอกลักษณ์ของ) กรณีที่น่าสนใจเป็นพิเศษคือเมื่อเป็นกลุ่มย่อยลีของและคือแผนที่การรวม${\displaystyle G}$${\displaystyle (M,\omega )}$${\displaystyle \Phi _{G}:M\rightarrow {\mathfrak {g}}^{*}}$${\displaystyle \psi :H\rightarrow G}$${\displaystyle H}$${\displaystyle M}$${\displaystyle H}$${\displaystyle M}$${\displaystyle (\mathrm {d} \psi )_{e}^{*}\circ \Phi _{G}}$${\displaystyle (\mathrm {d} \psi )_{e}^{*}:{\mathfrak {g}}^{*}\rightarrow {\mathfrak {h}}^{*}}$${\displaystyle (\mathrm {d} \psi )_{e}:{\mathfrak {h}}\rightarrow {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle e}$${\displaystyle H}$${\displaystyle H}$${\displaystyle G}$${\displaystyle \psi }$
3. ให้เป็นแฮมิลโทเนียนแมนิโฟลด์ และเป็นแฮมิลโทเนียนแมนิโฟลด์ แล้วการกระทำตามธรรมชาติของบนเป็นแบบแฮมิลโทเนียน โดยมีแผนที่โมเมนตัมเป็นผลรวมโดยตรงของแผนที่โมเมนตัมสองแผนที่และโดยที่หมายถึงแผนที่การฉายภาพ${\displaystyle (M_{1},\omega _{1})}$${\displaystyle G}$${\displaystyle (M_{2},\omega _{2})}$${\displaystyle H}$${\displaystyle G\times H}$${\displaystyle (M_{1}\times M_{2},\omega _{1}\times \omega _{2})}$${\displaystyle \Phi _{G}}$${\displaystyle \Phi _{H}}$${\displaystyle \omega _{1}\times \omega _{2}:=\pi _{1}^{*}\omega _{1}+\pi _{2}^{*}\omega _{2}}$${\displaystyle \pi _{i}:M_{1}\times M_{2}\rightarrow M_{i}}$
4. ให้เป็นแมนิโฟลด์แฮมิลโทเนียน และเป็นซับแมนิโฟลด์ของที่ไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้โดยที่การจำกัดของฟอร์มซิมเพล็กติก บนไปยังนั้นไม่เสื่อมสภาพ ซึ่งจะทำให้ มีโครงสร้างซิมเพล็กติกในลักษณะที่เป็นธรรมชาติ จากนั้น การกระทำของบนก็จะเป็นแฮมิลโทเนียนเช่นกัน โดยมีแผนที่โมเมนตัม เป็นการประกอบกันของแผนที่การรวม กับแผนที่โมเมนตัม ของ${\displaystyle M}$${\displaystyle G}$${\displaystyle N}$${\displaystyle M}$${\displaystyle G}$${\displaystyle M}$${\displaystyle N}$${\displaystyle N}$${\displaystyle G}$${\displaystyle N}$${\displaystyle M}$

ทฤษฎีบทของ Noetherสามารถแสดงออกมาในรูปแบบที่สวยงามเป็นพิเศษโดยใช้แผนที่โมเมนตัม โดยสรุปสั้นๆ เกี่ยวกับวัตถุที่เกี่ยวข้องในส่วนนี้: ให้ symplectic manifold เป็นปริภูมิเฟสของระบบแฮมิล โทเนียน ที่มีแฮมิลโทเนียนแต่ละจุดในแสดงถึงสถานะของระบบ และวิวัฒนาการตามเวลาของมันถูกควบคุมโดย โดยที่คือเวกเตอร์ฟิลด์แฮมิลโทเนียนที่สอดคล้องกับแฮมิลโทเนียนนั่นคือวิวัฒนาการตามเวลาของฟังก์ชันสามารถแสดงให้เห็นได้ง่ายๆ ว่ากำหนดโดยวงเล็บปัวซง ${\displaystyle (M,\omega )}$${\displaystyle H:M\rightarrow \mathbb {R} }$${\displaystyle z}$${\displaystyle M}$${\displaystyle {\dot {z}}=X_{H}}$${\displaystyle X_{H}}$${\displaystyle H}$${\displaystyle \iota _{X_{H}}\omega =dH}$${\displaystyle F:M\rightarrow \mathbb {R} }$${\displaystyle \{F,H\}=\omega (X_{F},X_{H})}$

ทฤษฎีบทของ Noether กล่าวว่า ถ้าแฮมิลโทเนียนไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้การกระทำของกลุ่ม (ซิมเพล็กโตมอร์ฟิก) ที่มีตัวสร้างอนันต์เล็กตามที่กำหนดไว้ข้างต้น แผนที่โมเมนตัมที่สอดคล้องกันจะเป็นค่าคงที่ของการเคลื่อนที่ การพิสูจน์เรื่องนี้ทำได้ง่าย: เพียงแค่หาอนุพันธ์ของเงื่อนไขความไม่เปลี่ยนแปลงเทียบกับ เพื่อให้ได้ ${\displaystyle \Phi (g,z):G\times M\rightarrow M}$${\displaystyle \rho (\xi )}$${\displaystyle J(\xi )}$${\displaystyle H(z)=H(\Phi (g,z))}$${\displaystyle g}$$${\displaystyle {\begin{aligned}0&=dH\cdot \rho (\xi )&\\\rightarrow \quad 0&=\iota _{\rho (\xi )}\iota _{X_{H}}\omega \\\rightarrow \quad 0&=\{H,J(\xi ))\}\\\rightarrow \quad 0&={\dot {J}}(\xi )\end{aligned}}}$$

พิจารณาปัญหาคลาสสิกของเคปเลอร์ในที่นี้ เฟสคือกลุ่มโคแทนเจนต์ของระนาบ ในพิกัดคาร์ทีเซียน จะเห็นได้ง่ายว่าแฮมิลโทเนียนไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้การหมุนแบบวงกลมของระนาบ ดังที่กล่าวไว้ก่อนหน้านี้ แผนที่โมเมนตัมสำหรับการกระทำบนกลุ่มโคแทนเจนต์ที่เกิดจากการกระทำบนแมนิโฟลด์ฐานคือในการคำนวณสิ่งนี้ ก่อนอื่นเราสังเกตว่ากำหนดในพิกัดโดยเนื่องจากไม่มี พจน์ หรือในเราจึงจำเป็นต้องคำนวณเฉพาะส่วนของ ที่อยู่ในแมนิโฟลด์ฐาน เท่านั้น ซึ่งคือ: การหดตัวของสิ่งนี้กับจะได้และการใช้ทฤษฎีบทของโนเธอร์บอกเราว่าปริมาณนี้ โมเมนตัมเชิงมุม จะถูกอนุรักษ์ตลอดการเคลื่อนที่ ซึ่งเทียบเท่ากับกฎข้อที่สองของเคปเลอร์ $${\displaystyle H={\frac {1}{2}}(p_{1}^{2}+p_{2}^{2})-{\frac {1}{\sqrt {q_{1}^{2}+q_{2}^{2}}}}}$$${\displaystyle \iota _{\rho (\xi )}\tau }$${\displaystyle \tau }$${\displaystyle p_{1}dq_{1}+p_{2}dq_{2}}$${\displaystyle dp_{1}}$${\displaystyle dp_{2}}$${\displaystyle \tau }$${\displaystyle \rho (\xi )}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$$${\displaystyle {\frac {d}{dg}}{\begin{bmatrix}\cos g&\sin g\\-\sin g&\cos g\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}q_{1}\\q_{2}\end{bmatrix}}{\Big |}_{g=0}={\begin{bmatrix}q_{2}\\-q_{1}\end{bmatrix}}}$$${\displaystyle \tau }$${\displaystyle J=p_{1}q_{2}-p_{2}q_{1}}$

สมมติว่าการกระทำของกลุ่มลี บนแมนิโฟลด์เชิงซิมเพล็กติกเป็นแบบแฮมิลโทเนียน ตามที่นิยามไว้ข้างต้น โดยมีแผนที่โมเมนตัมแบบสมมาตรจากเงื่อนไขแฮมิลโทเนียน จะได้ว่าไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้ ${\displaystyle G}$${\displaystyle (M,\omega )}$${\displaystyle \mu :M\to {\mathfrak {g}}^{*}}$${\displaystyle \mu ^{-1}(0)}$${\displaystyle G}$

สมมติว่าตอนนี้กระทำอย่างอิสระและเหมาะสมบน ดังนั้น จึงเป็นค่าปกติของดังนั้นและผลหาร ของมัน จึงเป็นแมนิโฟลด์เรียบทั้งคู่ ผลหารสืบทอดรูปแบบซิมเพล็กติกจากนั่นคือ มีรูปแบบซิมเพล็กติกที่ไม่ซ้ำกันบนผลหารซึ่งการดึงกลับไปยังเท่ากับการจำกัดของไปยังดังนั้น ผลหารจึงเป็นแมนิโฟลด์ซิมเพล็กติก เรียกว่าผลหารมาร์สเดน-ไวน์สไตน์ตาม ( Marsden & Weinstein 1974 ) ผลหารซิมเพล็กติกหรือการลดซิมเพล็กติกของโดยและใช้สัญลักษณ์ มิติของมันเท่ากับมิติของลบด้วยสองเท่าของมิติของ ${\displaystyle G}$${\displaystyle \mu ^{-1}(0)}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \mu ^{-1}(0)}$${\displaystyle \mu ^{-1}(0)/G}$${\displaystyle M}$${\displaystyle \mu ^{-1}(0)}$${\displaystyle \omega }$${\displaystyle \mu ^{-1}(0)}$${\displaystyle M}$${\displaystyle G}$${\displaystyle M/\!\!/G}$${\displaystyle M}$${\displaystyle G}$

โดยทั่วไปแล้ว หากGไม่ได้กระทำการอย่างอิสระ (แต่ยังคงกระทำการอย่างเหมาะสม) แล้ว ( Sjamaar & Lerman 1991 ) แสดงให้เห็นว่าเป็นปริภูมิซิมเพล็กติกแบบแบ่งชั้น กล่าวคือปริภูมิแบบแบ่งชั้นที่มีโครงสร้างซิมเพล็กติกที่เข้ากันได้บนชั้นต่างๆ ${\displaystyle M/\!\!/G=\mu ^{-1}(0)/G}$

พื้นที่ของการเชื่อมต่อบนบันเดิลที่ไม่สำคัญบนพื้นผิวหนึ่งๆ นั้นมีรูปแบบซิมเพล็กติกที่มีมิติอนันต์ ${\displaystyle \Omega ^{1}(\Sigma ,{\mathfrak {g}})}$${\displaystyle \Sigma \times G}$

${\displaystyle \langle \alpha ,\beta \rangle :=\int _{\Sigma }{\text{tr}}(\alpha \wedge \beta ).}$

กลุ่มเกจจะกระทำการบนการเชื่อมต่อโดยการผันกลับ ระบุผ่านการจับคู่การบูรณาการ จากนั้นจึงสร้างแผนที่ ${\displaystyle {\mathcal {G}}={\text{Map}}(\Sigma ,G)}$${\displaystyle g\cdot A:=g^{-1}(\mathrm {d} g)+g^{-1}Ag}$${\displaystyle {\text{Lie}}({\mathcal {G}})=\Omega ^{0}(\Sigma ,{\mathfrak {g}})=\Omega ^{2}(\Sigma ,{\mathfrak {g}})^{*}}$

${\displaystyle \mu :\Omega ^{1}(\Sigma ,{\mathfrak {g}})\rightarrow \Omega ^{2}(\Sigma ,{\mathfrak {g}}),\qquad A\;\mapsto \;F:=\mathrm {d} A+{\frac {1}{2}}[A\wedge A]}$

สิ่งที่ส่งการเชื่อมต่อไปยังความโค้งของมันคือแผนที่โมเมนต์สำหรับการกระทำของกลุ่มเกจบนการเชื่อมต่อ โดยเฉพาะอย่างยิ่งพื้นที่โมดูลัสของการเชื่อมต่อแบบราบ โมดูลัสความสมมูลของเกจนั้นกำหนดโดยการลดรูปเชิงซิมเพล็กติก ${\displaystyle \mu ^{-1}(0)/{\mathcal {G}}=\Omega ^{1}(\Sigma ,{\mathfrak {g}})/\!\!/{\mathcal {G}}}$

• ดัชนี GIT
• การหาปริมาณสลับที่ได้กับการลด
• กลุ่มปัวซง-ลี
• ท่อทอริก
• กลศาสตร์เชิงเรขาคณิต
• แผนที่คีร์วัน
• ทฤษฎีความนูนของ Kostant
• การหาปริมาณแบบ BRST