ในกลศาสตร์คลาสสิกปัญหาของเคปเลอร์เป็นกรณีพิเศษของปัญหาวัตถุสองชิ้นซึ่งวัตถุทั้งสองมีปฏิสัมพันธ์กันด้วยแรงสู่ศูนย์กลางที่แปรผัน ตามกำลังสอง ผกผันของระยะห่างระหว่างวัตถุ แรงนั้นอาจเป็นแรงดึงดูดหรือแรงผลัก ปัญหาคือการหาตำแหน่งหรือความเร็วของวัตถุทั้งสองเมื่อเวลาผ่านไป โดยกำหนดมวลตำแหน่งและความเร็ว ของวัตถุเหล่านั้น โดยใช้กลศาสตร์คลาสสิก คำตอบสามารถแสดงได้ในรูปวงโคจรของเคปเลอร์โดย ใช้ ส่วนประกอบวงโคจรหกส่วน

ปัญหาเคปเลอร์ตั้งชื่อตามโยฮันเนส เคปเลอร์ผู้เสนอกฎการเคลื่อนที่ของดาวเคราะห์ของเคปเลอร์ (ซึ่งเป็นส่วนหนึ่งของกลศาสตร์คลาสสิกและแก้ปัญหาวงโคจรของดาวเคราะห์) และศึกษาประเภทของแรงที่จะส่งผลให้วงโคจรเป็นไปตามกฎเหล่านั้น (เรียกว่าปัญหาผกผันของเคปเลอร์ ) ^{[ 1 ]}

สำหรับการอภิปรายเกี่ยวกับปัญหาของเคปเลอร์โดยเฉพาะในวงโคจรแนวรัศมี โปรดดูที่วิถีโคจรแนวรัศมีทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไปให้คำตอบที่แม่นยำกว่าสำหรับปัญหาวัตถุสองชิ้น โดยเฉพาะอย่างยิ่งในสนามโน้มถ่วง ที่ รุนแรง

กฎกำลังสองผกผันที่อยู่เบื้องหลังปัญหาของเคปเลอร์เป็นกฎแรงศูนย์กลางที่สำคัญที่สุด^{[ 1 ] : 92} ปัญหาของเคปเลอร์มีความสำคัญในกลศาสตร์ท้องฟ้าเนื่องจากแรงโน้มถ่วงของนิวตันเป็นไปตามกฎกำลังสองผกผันตัวอย่างเช่น ดาวเทียมที่โคจรรอบดาวเคราะห์ ดาวเคราะห์ที่โคจรรอบดวงอาทิตย์ หรือดาวคู่สองดวงที่โคจรรอบกัน ปัญหาของเคปเลอร์ยังมีความสำคัญในการเคลื่อนที่ของอนุภาคที่มีประจุสองอนุภาค เนื่องจากกฎไฟฟ้าสถิตของ คูลอมบ์ ก็เป็นไปตามกฎกำลังสองผกผันเช่น กัน

ปัญหาของเคปเลอร์และ ปัญหา การสั่นแบบฮาร์มอนิกอย่างง่ายเป็นปัญหาพื้นฐานที่สุดสองปัญหาในกลศาสตร์คลาสสิกเป็น ปัญหา เพียงสองปัญหาที่มีวงโคจรปิดสำหรับทุกชุดเงื่อนไขเริ่มต้นที่เป็นไปได้ กล่าวคือ กลับไปยังจุดเริ่มต้นด้วยความเร็วเท่าเดิม ( ทฤษฎีบทของเบอร์ทรานด์ ) ^{[ 1 ] : 92}

ปัญหาของเคปเลอร์ยังคงรักษาเวกเตอร์ลาปลาซ-รุงเก-เลนซ์ไว้ซึ่งต่อมาได้ถูกขยายให้ครอบคลุมปฏิสัมพันธ์อื่นๆ ด้วย การแก้ปัญหาของเคปเลอร์ทำให้นักวิทยาศาสตร์สามารถแสดงให้เห็นว่าการเคลื่อนที่ของดาวเคราะห์สามารถอธิบายได้อย่างสมบูรณ์โดยกลศาสตร์คลาสสิกและกฎแรงโน้มถ่วงของนิวตันคำอธิบายทางวิทยาศาสตร์เกี่ยวกับการเคลื่อนที่ของดาวเคราะห์มีบทบาทสำคัญในการนำไปสู่ยุคแห่งการ ตรัสรู้

ปัญหาของเคปเลอร์เริ่มต้นจากผลลัพธ์เชิงประจักษ์ของโยฮันเนส เคปเลอร์ซึ่งได้มาอย่างยากลำบากจากการวิเคราะห์การสังเกตการณ์ทางดาราศาสตร์ของไทโค บราเฮหลังจากพยายามจับคู่ข้อมูลกับวงโคจรวงกลมประมาณ 70 ครั้ง เคปเลอร์ก็ได้แนวคิดเกี่ยวกับวงโคจรวงรีในที่สุดเขาก็สรุปผลลัพธ์ของเขาในรูปแบบของ กฎการ เคลื่อนที่ของดาวเคราะห์สามข้อ^{[ 2 ]}

สิ่งที่ปัจจุบันเรียกว่าปัญหาของเคปเลอร์นั้นไอแซค นิวตัน ได้กล่าวถึงเป็นครั้งแรก ในฐานะส่วนสำคัญของหนังสือ Principia ของเขา "ทฤษฎีบทที่ 1" ของเขาเริ่มต้นด้วยสัจพจน์หรือกฎการเคลื่อนที่ สองข้อแรกจากสามข้อของเขา และส่งผลให้เกิดกฎการเคลื่อนที่ของดาวเคราะห์ข้อที่สองของเคปเลอร์ ต่อมานิวตันพิสูจน์ "ทฤษฎีบทที่ 2" ของเขา ซึ่งแสดงให้เห็นว่าหากกฎข้อที่สองของเคปเลอร์เกิดขึ้น แรงที่เกี่ยวข้องจะต้องอยู่ตามแนวเส้นตรงระหว่างวัตถุทั้งสอง กล่าวอีกนัยหนึ่ง นิวตันพิสูจน์สิ่งที่ในปัจจุบันอาจเรียกว่า "ปัญหาเคปเลอร์ผกผัน": ลักษณะวงโคจรต้องการให้แรงขึ้นอยู่กับกำลังสองผกผันของระยะทาง^{[ 3 ] : 107}

แรงสู่ศูนย์กลางFระหว่างวัตถุสองชิ้นจะมีค่าแปรผันตรงกับกำลังสองผกผันของระยะห่างrระหว่างวัตถุทั้งสอง:

${\displaystyle \mathbf {F} ={\frac {k}{r^{2}}}\mathbf {\hat {r}} }$

โดยที่kเป็นค่าคงที่และแทนเวกเตอร์หน่วยตามแนวเส้นตรงระหว่างกัน^{[ 4 ]} แรงอาจเป็นแรงดึงดูด ( k < 0) หรือแรงผลัก ( k > 0) ศักย์สเกลาร์ ที่สอดคล้องกัน คือ: ${\displaystyle \mathbf {\hat {r}} }$

${\displaystyle V(r)={\frac {k}{r}}}$

สมการการเคลื่อนที่สำหรับรัศมีของอนุภาคที่มีมวลซึ่งเคลื่อนที่ในศักย์ศูนย์กลางนั้นกำหนดโดยสมการของลากรองจ์${\displaystyle r}$${\displaystyle m}$${\displaystyle V(r)}$

${\displaystyle m{\frac {d^{2}r}{dt^{2}}}-mr\omega ^{2}=m{\frac {d^{2}r}{dt^{2}}}-{\frac {L^{2}}{mr^{3}}}=-{\frac {dV}{dr}}}$

${\displaystyle \omega \equiv {\frac {d\theta }{dt}}}$และโมเมนตัมเชิงมุม จะถูกอนุรักษ์ไว้ เพื่อเป็นตัวอย่าง พจน์แรกทางด้านซ้ายมือจะเป็นศูนย์สำหรับวงโคจรแบบวงกลม และแรงที่กระทำเข้าด้านในจะเท่ากับแรงสู่ศูนย์กลางตามที่คาดไว้ ${\displaystyle L=mr^{2}\โอเมก้า }$${\displaystyle {\frac {dV}{dr}}}$${\displaystyle mr\omega ^{2}}$

ถ้าLไม่เป็นศูนย์ นิยามของโมเมนตัมเชิงมุมจะอนุญาตให้เปลี่ยนตัวแปรอิสระจากเป็น${\displaystyle t}$${\displaystyle \theta }$

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}={\frac {L}{mr^{2}}}{\frac {d}{d\theta }}}$

ซึ่งให้สมการการเคลื่อนที่ใหม่ที่ไม่ขึ้นกับเวลา

${\displaystyle {\frac {L}{r^{2}}}{\frac {d}{d\theta }}\left({\frac {L}{mr^{2}}}{\frac {dr}{d\theta }}\right)-{\frac {L^{2}}{mr^{3}}}=-{\frac {dV}{dr}}}$

การขยายความของพจน์แรกคือ

${\displaystyle {\frac {L}{r^{2}}}{\frac {d}{d\theta }}\left({\frac {L}{mr^{2}}}{\frac {dr}{d\theta }}\right)=-{\frac {2L^{2}}{mr^{5}}}\left({\frac {dr}{d\theta }}\right)^{2}+{\frac {L^{2}}{mr^{4}}}{\frac {d^{2}r}{d\theta ^{2}}}}$

สมการนี้จะกลายเป็นสมการกึ่งเชิงเส้นเมื่อทำการเปลี่ยนตัวแปรและคูณทั้งสองข้างด้วย${\displaystyle u\equiv {\frac {1}{r}}}$${\displaystyle {\frac {นาย^{2}}{L^{2}}}}$

${\displaystyle {\frac {du}{d\theta }}={\frac {-1}{r^{2}}}{\frac {dr}{d\theta }}}$

${\displaystyle {\frac {d^{2}u}{d\theta ^{2}}}={\frac {2}{r^{3}}}\left({\frac {dr}{d\theta }}\right)^{2}-{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {d^{2}r}{d\theta ^{2}}}}$

หลังจากทำการแทนที่และจัดเรียงใหม่:

${\displaystyle {\frac {d^{2}u}{d\theta ^{2}}}+u=-{\frac {m}{L^{2}}}{\frac {d}{du}}V\left({\frac {1}{u}}\right)}$

สำหรับกฎแรงผกผันกำลังสอง เช่นศักย์โน้มถ่วงหรือศักย์ไฟฟ้าสถิตศักย์สเกลาร์สามารถเขียนได้ดังนี้

${\displaystyle V(\mathbf {r} )={\frac {k}{r}}=ku}$

วงโคจรสามารถหาได้จากสมการทั่วไป ${\displaystyle u(\theta )}$

${\displaystyle {\frac {d^{2}u}{d\theta ^{2}}}+u=-{\frac {m}{L^{2}}}{\frac {d}{du}}V\left({\frac {1}{u}}\right)=-{\frac {km}{L^{2}}}}$

ซึ่งคำตอบคือค่าคงที่บวกกับฟังก์ชันไซน์อย่างง่าย ${\displaystyle -{\frac {km}{L^{2}}}}$

${\displaystyle u\equiv {\frac {1}{r}}=-{\frac {km}{L^{2}}}\left[1+e\cos(\theta -\theta _{0})\right]}$

โดยที่(ค่าความเยื้องศูนย์ ) และ( ค่าชดเชยเฟส ) เป็นค่าคงที่ของการอินทิเกรต ${\displaystyle e}$${\displaystyle \theta _{0}}$

นี่คือสูตรทั่วไปสำหรับภาคตัดกรวยที่มีจุดโฟกัสจุดเดียวอยู่ที่จุดกำเนิด โดย สอดคล้องกับวงกลมสอดคล้องกับวงรีสอดคล้องกับพาราโบลาและสอดคล้องกับไฮเปอร์โบลาค่าความเยื้องศูนย์มีความสัมพันธ์กับพลังงาน รวม (ดูเวกเตอร์ลาปลาซ-รันเก-เลนซ์ ) ${\displaystyle e=0}$${\displaystyle e<1}$${\displaystyle e=1}$${\displaystyle e>1}$${\displaystyle e}$${\displaystyle E}$

${\displaystyle e={\sqrt {1+{\frac {2EL^{2}}{k^{2}m}}}}}$

เมื่อเปรียบเทียบสูตรเหล่านี้ จะเห็นได้ว่าสอดคล้องกับวงรี (คำตอบทั้งหมดที่เป็นวงโคจรปิดล้วนเป็นวงรี) สอดคล้องกับพาราโบลาและสอดคล้องกับไฮเปอร์โบลาโดยเฉพาะอย่างยิ่งสำหรับ วงโคจร ที่เป็นวงกลม สมบูรณ์ (แรงสู่ศูนย์กลางเท่ากับแรงสู่ศูนย์กลางที่ต้องการซึ่งเป็นตัวกำหนดความเร็วเชิงมุมที่ต้องการสำหรับรัศมีวงกลมที่กำหนด) ${\displaystyle E<0}$${\displaystyle E=0}$${\displaystyle E>0}$${\displaystyle E=-{\frac {k^{2}m}{2L^{2}}}}$

สำหรับแรงผลัก ( k  > 0) จะใช้เงื่อนไข e  > 1 เท่านั้น