ในกลศาสตร์คลาสสิกตัวแปรแอคชั่น-มุมคือชุดพิกัดเชิงแคนอนิกที่มีประโยชน์ในการกำหนดลักษณะของการไหลแบบสลับตำแหน่งได้ในระบบที่สามารถหาปริพันธ์ได้เมื่อชุดระดับพลังงานอนุรักษ์มีความกะทัดรัด และการไหลแบบสลับตำแหน่งได้นั้นสมบูรณ์ ตัวแปรแอคชั่น-มุมยังมีความสำคัญในการหาความถี่ของการเคลื่อนที่แบบสั่นหรือแบบหมุนโดยไม่ต้องแก้สมการการเคลื่อนที่ ตัวแปรเหล่านี้จะมีอยู่และให้ลักษณะสำคัญของพลศาสตร์ก็ต่อเมื่อระบบสามารถหาปริพันธ์ได้อย่างสมบูรณ์กล่าวคือ จำนวนของตัวแปรคงที่ปัวซงแบบสลับตำแหน่งได้อิสระมีค่าสูงสุด และพื้นผิวพลังงานอนุรักษ์มีความกะทัดรัด ซึ่งโดยทั่วไปแล้วจะมีคุณค่าในการคำนวณในทางปฏิบัติเมื่อสมการแฮมิลตัน-จาโคบีสามารถแยกส่วนได้อย่างสมบูรณ์ และสามารถหาค่าคงที่การแยกส่วนได้ในรูปของฟังก์ชันบนปริภูมิเฟส ตัวแปรแอคชั่น-มุมกำหนดการแบ่งชั้นโดยใช้ทอรัสลากรางจ์ที่ไม่เปลี่ยนแปลงเนื่องจากกระแสที่เกิดจากตัวแปรคงที่แบบปัวซงยังคงอยู่ในเซตระดับร่วม ในขณะที่ความกะทัดรัดของเซตระดับพลังงานบ่งชี้ว่าพวกมันเป็นทอรัส ตัวแปรมุมให้พิกัดบนชั้นที่กระแสแบบสลับกันเป็นเชิงเส้น

ความเชื่อมโยงระหว่างระบบแฮมิลโทเนียนแบบคลาสสิกและการควอนตัมในแนวทางกลศาสตร์คลื่นของชโรดิงเกอร์นั้นชัดเจนขึ้นเมื่อพิจารณาสมการแฮมิลตัน-จาโคบีเป็นพจน์ลำดับนำในอนุกรมเชิงอะซิมโทติก WKBสำหรับสมการชโรดิงเกอร์ ในกรณีของระบบที่สามารถหาปริพันธ์ได้ เงื่อนไข การควอนตัมของบอร์-ซอมเมอร์เฟลด์ถูกนำมาใช้ครั้งแรกก่อนการเกิดขึ้นของกลศาสตร์ควอนตัมเพื่อคำนวณสเปกตรัมของอะตอมไฮโดรเจน เงื่อนไขเหล่านี้กำหนดให้ตัวแปรแอคชั่น-มุมต้องมีอยู่ และต้องเป็นจำนวนเต็มเท่าของค่าคงที่พลังค์ลด รูป ความเข้าใจของไอน์สไตน์ ใน การควอนตัม EBK เกี่ยวกับความยากลำบากในการควอนตัมระบบที่ไม่สามารถหาปริพันธ์ได้นั้นมา จากข้อเท็จจริงนี้ ${\displaystyle \hbar }$

พิกัดแอคชั่น-มุมยังเป็นประโยชน์ในทฤษฎีการรบกวนของกลศาสตร์แฮมิลโทเนียนโดยเฉพาะอย่างยิ่งในการกำหนดค่าคงที่แบบอะเดียแบติกผลลัพธ์แรกๆ จากทฤษฎีความโกลาหลสำหรับเสถียรภาพทางพลวัตของระบบพลวัตที่สามารถหาปริพันธ์ได้ภายใต้การรบกวนเล็กน้อย คือทฤษฎีบท KAMซึ่งระบุว่าทอรัสคงที่มีเสถียรภาพบางส่วน

ในทฤษฎีสมัยใหม่ของระบบที่สามารถหาปริพันธ์ได้ตัวแปรแอคชั่น-มุมถูกนำมาใช้ในการแก้ปัญหาของแลตทิซโทดาการกำหนดคู่แล็กซ์หรือโดยทั่วไปแล้ว วิวัฒนาการ ไอโซสเปกตรัมของตัวดำเนินการเชิงเส้นที่บ่งบอกถึงพลวัตที่สามารถหาปริพันธ์ได้ และการตีความข้อมูลสเปกตรัมที่เกี่ยวข้องในฐานะตัวแปรแอคชั่น-มุมในสูตรแฮมิลโทเนียน

มุมแอคชั่นเกิดจากการแปลงแคนอนิกประเภทที่ 2 โดยที่ฟังก์ชันก่อกำเนิดคือฟังก์ชันลักษณะเฉพาะของแฮมิลตัน ( ไม่ใช่ฟังก์ชันหลักของแฮมิลตัน) เนื่องจากแฮมิลโทเนียนดั้งเดิมไม่ได้ขึ้นอยู่กับเวลาโดยตรง แฮมิลโทเนียนใหม่จึงเป็นเพียงแฮมิลโทเนียนเดิมที่แสดงในรูปของพิกัดแคนอนิก ใหม่ ซึ่งเราใช้สัญลักษณ์แทนด้วย( มุมแอคชั่นซึ่งเป็นพิกัดทั่วไป ) และโมเมนตัมทั่วไปใหม่ของพวกมันเราไม่จำเป็นต้องแก้หาฟังก์ชันก่อกำเนิดในที่นี้ แต่เราจะใช้มันเป็นเพียงเครื่องมือในการเชื่อม โยงพิกัดแคนอนิกใหม่และเก่าเข้าด้วยกัน ${\displaystyle W(\mathbf {q} )}$${\displaystyle S}$${\displaystyle K(\mathbf {w} ,\mathbf {J} )}$${\displaystyle H(\mathbf {q} ,\mathbf {p} )}$${\displaystyle \mathbf {w} }$${\displaystyle \mathbf {J} }$${\displaystyle W}$

แทนที่จะกำหนดมุมการกระทำโดยตรง เราจะกำหนดโมเมนตัมทั่วไปแทน ซึ่งคล้ายกับการกระทำแบบคลาสสิกสำหรับพิกัดทั่วไป ดั้งเดิมแต่ละพิกัด${\displaystyle \mathbf {w} }$

${\displaystyle J_{k}\equiv \oint p_{k}\,\mathrm {d} q_{k}}$

โดยที่เส้นทางการอินทิเกรตนั้นกำหนดโดยปริยายจากฟังก์ชันพลังงานคงที่เนื่องจากไม่มีการเคลื่อนที่จริงเข้ามาเกี่ยวข้องกับการอินทิเกรตนี้ โมเมนตัมทั่วไปเหล่านี้จึงเป็นค่าคงที่ของการเคลื่อนที่ ซึ่งหมายความว่าแฮมิลโทเนียนที่แปลงแล้วจะไม่ขึ้นอยู่กับพิกัดทั่วไป คู่ควบ${\displaystyle E=E(q_{k},p_{k})}$${\displaystyle J_{k}}$${\displaystyle K}$${\displaystyle w_{k}}$

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}J_{k}=0={\frac {\partial K}{\partial w_{k}}}}$

โดยที่ค่าเหล่านี้กำหนดโดยสมการทั่วไปสำหรับการแปลงแคนอนิก ประเภทที่ 2${\displaystyle w_{k}}$

${\displaystyle w_{k}\equiv {\frac {\บางส่วน W}{\บางส่วน J_{k}}}}$

ดังนั้น แฮมิลโทเนียนใหม่จึง ขึ้นอยู่กับโมเมนตัมทั่วไปใหม่เท่านั้น${\displaystyle K=K(\mathbf {J} )}$${\displaystyle \mathbf {J} }$

พลวัตของมุมการกระทำนั้นกำหนดโดยสมการของแฮมิลตัน

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}w_{k}={\frac {\partial K}{\partial J_{k}}}\equiv \nu _{k}(\mathbf {J} )}$

ด้านขวามือเป็นค่าคงที่ของการเคลื่อนที่ (เนื่องจากค่าs ทั้งหมดเป็นค่าคงที่) ดังนั้น คำตอบจึงกำหนดโดย ${\displaystyle J}$

${\displaystyle w_{k}=\nu _{k}(\mathbf {J} )t+\beta _{k}}$

โดยที่เป็นค่าคงที่ของการอินทิเกรต โดยเฉพาะอย่างยิ่ง หากพิกัดทั่วไป ดั้งเดิม มีการสั่นหรือหมุนด้วยคาบมุมการกระทำที่สอดคล้องกันจะเปลี่ยนแปลงไปเป็น ${\displaystyle \beta _{k}}$${\displaystyle T}$${\displaystyle w_{k}}$${\displaystyle \Delta w_{k}=\nu _{k}(\mathbf {J} )T}$

นี่คือความถี่ของการแกว่ง/การหมุนสำหรับพิกัดทั่วไป ดั้งเดิม เพื่อแสดงสิ่งนี้ เราจะทำการอินทิเกรตการเปลี่ยนแปลงสุทธิของมุมการกระทำตลอดการเปลี่ยนแปลงที่สมบูรณ์หนึ่งครั้ง (เช่น การแกว่งหรือการหมุน) ของพิกัดทั่วไป${\displaystyle \nu _{k}(\mathbf {J} )}$${\displaystyle q_{k}}$${\displaystyle w_{k}}$${\displaystyle q_{k}}$

${\displaystyle \Delta w_{k}\equiv \oint {\frac {\partial w_{k}}{\partial q_{k}}}\,\mathrm {d} q_{k}=\oint {\frac {\partial ^{2}W}{\partial J_{k}\,\partial q_{k}}}\,\mathrm {d} q_{k}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} J_{k}}}\oint {\frac {\partial W}{\partial q_{k}}}\,\mathrm {d} q_{k}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} J_{k}}}\oint p_{k}\,\mathrm {d} q_{k}={\frac {\mathrm {d} J_{k}}{\mathrm {d} J_{k}}}=1}$

เมื่อกำหนดให้ทั้งสองนิพจน์เท่ากัน เราจะได้สมการที่ต้องการ ${\displaystyle \Delta w_{k}}$

${\displaystyle \nu _{k}(\mathbf {J} )={\frac {1}{T}}}$

มุมการกระทำเป็นชุดพิกัดทั่วไปที่ เป็นอิสระต่อกัน ดังนั้น ในกรณีทั่วไป พิกัดทั่วไปดั้งเดิมแต่ละตัวสามารถแสดงได้ในรูปอนุกรมฟูริเยร์ในมุมการกระทำ ทั้งหมด${\displaystyle \mathbf {w} }$${\displaystyle q_{k}}$

${\displaystyle q_{k}=\sum _{s_{1}=-\infty }^{\infty }\sum _{s_{2}=-\infty }^{\infty }\cdots \sum _{s_{N}=-\infty }^{\infty }A_{s_{1},s_{2},\ldots ,s_{N}}^{k}e^{i2\pi s_{1}w_{1}}e^{i2\pi s_{2}w_{2}}\cdots e^{i2\pi s_{N}w_{N}}}$

โดยที่คือสัมประสิทธิ์ของอนุกรมฟูริเยร์ ในกรณีส่วนใหญ่ในทางปฏิบัติ พิกัดทั่วไปดั้งเดิมจะสามารถแสดงได้ในรูปอนุกรมฟูริเยร์โดยใช้เพียงมุมการกระทำของมันเองเท่านั้น${\displaystyle A_{s_{1},s_{2},\ldots ,s_{N}}^{k}}$${\displaystyle q_{k}}$${\displaystyle w_{k}}$

${\displaystyle q_{k}=\sum _{s_{k}=-\infty }^{\infty }A_{s_{k}}^{k}e^{i2\pi s_{k}w_{k}}}$

ขั้นตอนทั่วไปมีสามขั้นตอน:

1. คำนวณโมเมนตัมทั่วไปใหม่${\displaystyle J_{k}}$
2. แสดงแฮมิลโทเนียนดั้งเดิมทั้งหมดในรูปของตัวแปรเหล่านี้
3. หาอนุพันธ์ของแฮมิลโทเนียนเทียบกับโมเมนตัมเหล่านี้เพื่อหาความถี่${\displaystyle \nu _{k}}$

ในบางกรณี ความถี่ของพิกัดทั่วไป สองแบบที่แตกต่างกัน จะเหมือนกัน กล่าวคือสำหรับในกรณีเช่นนี้ การเคลื่อนที่นั้นเรียกว่าการเคลื่อนที่แบบเสื่อมสภาพ (degenerate motion ) ${\displaystyle \nu _{k}=\nu _{l}}$${\displaystyle k\neq l}$

สัญญาณการเคลื่อนที่แบบเสื่อมสภาพบ่งชี้ว่ามีปริมาณอนุรักษ์ทั่วไปเพิ่มเติม ตัวอย่างเช่น ความถี่ของปัญหาเคปเลอร์เป็นแบบเสื่อมสภาพ ซึ่งสอดคล้องกับการอนุรักษ์เวกเตอร์ลาปลาส-รุงเก-เลนซ์

การเคลื่อนที่แบบเสื่อมสภาพยังบ่งชี้ว่าสมการแฮมิลตัน-จาโคบีสามารถแยกตัวแปรได้อย่างสมบูรณ์ในระบบพิกัดมากกว่าหนึ่งระบบ ตัวอย่างเช่น ปัญหาของเคปเลอร์สามารถแยกตัวแปรได้อย่างสมบูรณ์ทั้งในระบบพิกัดทรงกลมและระบบพิกัดพาราโบลา

• แบบจำลองโบห์ร-ซอมเมอร์เฟลด์
• ระบบบูรณาการ
• วิธีของไอน์สไตน์-บริลลูอิน-เคลเลอร์
• ระบบแฮมิลโทเนียนที่สามารถอินทิเกรตได้ยิ่งยวด
• รูปแบบเดียวเชิงตรรกะ