ทฤษฎีบทโคลโมโกโรฟ-อาร์โนลด์-โมเซอร์ ( KAM ) เป็นผลลัพธ์ในระบบพลวัตเกี่ยวกับการคงอยู่ของการเคลื่อนที่แบบกึ่งคาบภาย ใต้การรบกวนเล็กน้อย ทฤษฎีบท นี้ช่วยแก้ ปัญหาตัวหารขนาดเล็กที่เกิดขึ้นในทฤษฎีการรบกวนของกลศาสตร์คลาสสิกได้บาง ส่วน

ปัญหาคือว่าการรบกวนเล็กน้อยของระบบพลวัตแบบอนุรักษ์ จะส่งผลให้เกิด วงโคจรแบบกึ่งคาบที่ ยั่งยืนหรือไม่ ความก้าวหน้าครั้งแรกในปัญหานี้เกิดขึ้นโดยAndrey Kolmogorovในปี 1954 ^{[ 1 ]}ซึ่งได้รับการพิสูจน์อย่างเข้มงวดและขยายโดยJürgen Moserในปี 1962 ^{[ 2 ]} (สำหรับแผนที่บิด เรียบ ) และVladimir Arnoldในปี 1963 ^{[ 3 ]} (สำหรับระบบแฮมิลโทเนียน เชิงวิเคราะห์ ) และผลลัพธ์ทั่วไปนี้เรียกว่าทฤษฎีบท KAM

เดิมทีอาร์โนลด์คิดว่าทฤษฎีบทนี้สามารถนำไปใช้กับการเคลื่อนที่ของระบบสุริยะหรือกรณีอื่นๆ ของ ปัญหา n -body ได้แต่ปรากฏว่ามันใช้ได้เฉพาะกับปัญหาสามวัตถุ เท่านั้น เนื่องจากความเสื่อมในสูตรของเขาสำหรับปัญหาที่มีจำนวนวัตถุมากกว่า ต่อมากาเบรียลลา ปินซารีได้แสดงวิธีขจัดความเสื่อมนี้โดยการพัฒนาทฤษฎีบทเวอร์ชันที่ไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้การหมุน^{[ 4 ]}

ทฤษฎีบท KAM มักถูกกล่าวถึงในแง่ของวิถีในปริภูมิเฟสของระบบแฮมิลโทเนียน ที่สามารถหาปริพันธ์ได้ การเคลื่อนที่ของระบบที่สามารถหาปริพันธ์ได้นั้นถูกจำกัดอยู่ในทอรัสไม่แปรเปลี่ยน ( พื้นผิวรูป โดนัท ) เงื่อนไขเริ่มต้น ที่แตกต่างกันของระบบแฮมิลโทเนียนที่สามารถหาปริพันธ์ได้จะสร้าง ทอรัสไม่แปรเปลี่ยนที่แตกต่างกันในปริภูมิเฟส การพล็อตพิกัดของระบบที่สามารถหาปริพันธ์ได้จะแสดงให้เห็นว่าพิกัดเหล่านั้นเป็นแบบกึ่งคาบ

ทฤษฎีบท KAM กล่าวว่า หากระบบถูกรบกวนแบบไม่เชิงเส้นอย่างอ่อนๆ วงแหวนไม่แปรเปลี่ยนบางส่วนจะเสียรูปและยังคงอยู่ กล่าวคือ มีแผนที่จากแมนิโฟลด์เดิมไปยังแมนิโฟลด์ที่เสียรูปซึ่งต่อเนื่องในการรบกวน ในทางกลับกัน วงแหวนไม่แปรเปลี่ยนอื่นๆ จะถูกทำลาย แม้แต่การรบกวนที่เล็กน้อยมากก็ทำให้แมนิโฟลด์ไม่แปรเปลี่ยนอีกต่อไป และไม่มีแผนที่ดังกล่าวไปยังแมนิโฟลด์ใกล้เคียง วงแหวนที่ยังคงอยู่เป็นไปตามเงื่อนไขไม่เกิดการสั่นพ้อง กล่าวคือ มีความถี่ที่ "ไม่เป็นจำนวนตรรกยะเพียงพอ" ซึ่งหมายความว่าการเคลื่อนที่บนวงแหวนที่เสียรูปยังคงเป็นแบบกึ่งคาบโดยที่คาบอิสระเปลี่ยนไป (เป็นผลมาจากเงื่อนไขไม่เสื่อมสภาพ) ทฤษฎีบท KAM ระบุปริมาณระดับของการรบกวนที่สามารถนำมาใช้เพื่อให้สิ่งนี้เป็นจริงได้

KAM tori เหล่านั้นที่ถูกทำลายโดยการรบกวนจะกลายเป็นเซต Cantor ที่ไม่เปลี่ยนแปลง ซึ่งIan C. Percivalตั้งชื่อว่าCantoriในปี 1979 ^{[ 5 ]}

เงื่อนไขการไม่เกิดเรโซแนนซ์และการไม่เกิดภาวะเสื่อมสภาพของทฤษฎีบท KAM นั้นยากที่จะเป็นไปได้มากขึ้นสำหรับระบบที่มีจำนวนองศาอิสระมากขึ้น เนื่องจากเมื่อจำนวนมิติของระบบเพิ่มขึ้น ปริมาตรที่วงแหวนทรงกลมครอบครองจะลดลง

เมื่อการรบกวนเพิ่มขึ้นและเส้นโค้งเรียบสลายไป เราจะเปลี่ยนจากทฤษฎี KAM ไปสู่ทฤษฎี Aubry–Mather ซึ่งต้องการสมมติฐานที่เข้มงวดน้อยกว่าและใช้ได้กับเซตแบบ Cantor

การมีอยู่ของทฤษฎีบท KAM สำหรับการรบกวนของระบบควอนตัมหลายอนุภาคที่สามารถหาปริพันธ์ได้ยังคงเป็นคำถามที่เปิดกว้าง แม้ว่าจะเชื่อกันว่าการรบกวนที่เล็กมาก ๆ จะทำลายความสามารถในการหาปริพันธ์ได้ในขีดจำกัดขนาดอนันต์ก็ตาม

ผลลัพธ์ที่สำคัญอย่างหนึ่งของทฤษฎีบท KAM คือ สำหรับเงื่อนไขเริ่มต้นจำนวนมาก การเคลื่อนที่จะยังคงเป็นแบบกึ่งคาบอย่างต่อเนื่อง

วิธีการที่ Kolmogorov, Arnold และ Moser นำเสนอ ได้พัฒนาไปสู่ผลลัพธ์จำนวนมากที่เกี่ยวข้องกับการเคลื่อนที่แบบกึ่งคาบ ซึ่งปัจจุบันรู้จักกันในชื่อทฤษฎี KAMที่สำคัญคือ ทฤษฎีนี้ได้รับการขยายไปสู่ระบบที่ไม่ใช่แฮมิลโทเนียน (เริ่มต้นจาก Moser) ไปสู่สถานการณ์ที่ไม่ใช่การรบกวน (เช่นในงานของMichael Herman ) และไปสู่ระบบที่มีความถี่เร็วและช้า (เช่นในงานของ Mikhail B. Sevryuk)

แมนิโฟลด์ที่ไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้การกระทำของการไหลเรียกว่า อินวาเรียนต์-ทอรัส หากมีการแปลงแบบดิฟเฟอเรน เชียลไปยัง - ทอรัส มาตรฐาน โดยที่การเคลื่อนที่ที่เกิดขึ้นบนเป็นการเคลื่อนที่เชิงเส้นสม่ำเสมอแต่ไม่ใช่การเคลื่อนที่แบบคงที่ กล่าว คือโดยที่เป็นเวกเตอร์คงที่ที่ไม่เป็นศูนย์ เรียกว่า เวก เตอร์ ความถี่${\displaystyle {\mathcal {T}}^{d}}$${\displaystyle \phi ^{t}}$${\displaystyle d}$${\displaystyle {\boldsymbol {\varphi }}:{\mathcal {T}}^{d}\rightarrow \mathbb {T} ^{d}}$${\displaystyle d}$${\displaystyle \mathbb {T} ^{d}:=\underbrace {\mathbb {S} ^{1}\times \mathbb {S} ^{1}\times \cdots \times \mathbb {S} ^{1}} _{d}}$${\displaystyle \mathbb {T} ^{d}}$${\displaystyle \mathrm {d} {\boldสัญลักษณ์ {\varphi }}/\mathrm {d} t={\boldสัญลักษณ์ {\omega }}}$${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}\in \mathbb {R} ^{d}}$

ถ้าเวกเตอร์ความถี่เป็นดังนี้: ${\displaystyle {\boldสัญลักษณ์ {\โอเมก้า }}}$

• เป็นอิสระอย่างมีเหตุผล ( หรืออีกนัยหนึ่งคือไม่สามารถเปรียบเทียบกันได้สำหรับทุกสิ่ง)${\displaystyle {\boldsymbol {k}}\cdot {\boldsymbol {\omega }}\neq 0}$${\displaystyle {\boldsymbol {k}}\in \mathbb {Z} ^{d}\backslash \left\{{\boldsymbol {0}}\right\}}$
• และประมาณค่าได้ "ไม่ดีนัก" ด้วยจำนวนตรรกยะ โดยทั่วไปใน ความหมายแบบ ไดโอแฟนไทน์ :

${\displaystyle \exists ~\gamma ,\tau >0{\text{ such that }}|{\boldsymbol {\omega }}\cdot {\boldsymbol {k}}|\geq {\frac {\gamma }{\|{\boldsymbol {k}}\|^{\tau }}},\forall ~{\boldsymbol {k}}\in \mathbb {Z} ^{d}\backslash \left\{{\boldsymbol {0}}\right\},}$

จากนั้น-torus ที่ไม่เปลี่ยนแปลง ( ) เรียกว่าKAM torus กรณี นี้มักถูกยกเว้นในทฤษฎี KAM แบบคลาสสิก เนื่องจากไม่เกี่ยวข้องกับตัวหารขนาดเล็ก ${\displaystyle d}$${\displaystyle {\mathcal {T}}^{d}}$${\displaystyle d\geq 2}$${\displaystyle d=1}$

• เสถียรภาพของระบบสุริยะ
• การแพร่ของอาร์โนลด์
• ทฤษฎีเออร์โกดิก
• ผีเสื้อของฮอฟสตัดเตอร์
• เนโคโรเชฟประเมิน