สมการบิเนต์ (Binet equation ) ซึ่งคิดค้นโดยฌาคส์ ฟิลิปป์ มารี บิเนต์ (Jacques Philippe Marie Binet ) ให้รูปแบบของแรงสู่ศูนย์กลางโดยพิจารณาจากรูปร่างของการเคลื่อนที่แบบวงโคจรในพิกัดเชิงขั้วระนาบสมการนี้ยังสามารถใช้เพื่อหาลักษณะของวงโคจรสำหรับกฎแรงที่กำหนดได้ แต่โดยปกติแล้วจะเกี่ยวข้องกับการแก้สมการเชิงอนุพันธ์สามัญอันดับสองแบบไม่เชิงเส้น ซึ่งเป็นไปไม่ได้ที่จะได้คำตอบที่เฉพาะเจาะจงในกรณีของการเคลื่อนที่แบบวงกลมรอบศูนย์กลางของแรง

โดยทั่วไปแล้ว รูปร่างของวงโคจรจะถูกอธิบายอย่างสะดวกโดยใช้ระยะทางสัมพัทธ์เป็นฟังก์ชันของมุมθ สำหรับสมการของบิเนต์ รูปร่างของวงโคจรจะถูกอธิบายอย่างกระชับกว่าโดยใช้ส่วนกลับของ θ เป็นฟังก์ชันθ กำหนดโมเมนตัมเชิงมุมจำเพาะเป็นθ = θ + ... ${\displaystyle r}$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle u=1/r}$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle h=L/m}$${\displaystyle L}$${\displaystyle m}$${\displaystyle u(\theta )}$$${\displaystyle F(u^{-1})=-mh^{2}u^{2}\left({\frac {\mathrm {d} ^{2}u}{\mathrm {d} \theta ^{2}}}+u\right)}$$

กฎข้อที่สองของนิวตันสำหรับแรงสู่ศูนย์กลางโดยแท้จริงคือ $${\displaystyle F(r)=m\left({\ddot {r}}-r{\dot {\theta }}^{2}\right).}$$

การอนุรักษ์โมเมนตัมเชิงมุมกำหนดไว้ว่า $${\displaystyle r^{2}{\dot {\theta }}=h={\text{ค่าคงที่}}.}$$

อนุพันธ์ของเทียบกับเวลา สามารถเขียนใหม่ได้เป็นอนุพันธ์ของเทียบกับมุม: ${\displaystyle r}$${\displaystyle u=1/r}$$${\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {\mathrm {d} u}{\mathrm {d} \theta }}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left({\frac {1}{r}}\right){\frac {\mathrm {d} t}{\mathrm {d} \theta }}=-{\frac {\dot {r}}{r^{2}{\dot {\theta }}}}=-{\frac {\dot {r}}{h}}\\&{\frac {\mathrm {d} ^{2}u}{\mathrm {d} \theta ^{2}}}=-{\frac {1}{h}}{\frac {\mathrm {d} {\dot {r}}}{\คณิตศาสตร์ {d} t}}{\frac {\คณิตศาสตร์ {d} t}{\mathrm {d} \theta }}=-{\frac {\ddot {r}}{h{\dot {\theta }}}}=-{\frac {\ddot {r}}{h^{2}u^{2}}}\end{aligned}}}$$

เมื่อนำทั้งหมดข้างต้นมารวมกัน เราจะได้ผลลัพธ์ดังนี้ $${\displaystyle F=m\left({\ddot {r}}-r{\dot {\theta }}^{2}\right)=-m\left(h^{2}u^{2}{\frac {\mathrm {d} ^{2}u}{\mathrm {d} \theta ^{2}}}+h^{2}u^{3}\right)=-mh^{2}u^{2}\left({\frac {\mathrm {d} ^{2}u}{\mathrm {d} \theta ^{2}}}+u\right)}$$

วิธีแก้ปัญหาทั่วไปคือ^{[ 1 ]} โดยที่คือพิกัดเริ่มต้นของอนุภาคพลังงานศักยภาพและพลังงานรวม ( ) $${\displaystyle \theta =\int _{r_{0}}^{r}{\frac {\mathrm {d} r}{r^{2}{\sqrt {{\frac {2m}{L^{2}}}(EV)-{\frac {1}{r^{2}}}}}}}+\theta _{0}}$$${\displaystyle (r_{0},\theta _{0})}$${\displaystyle V}$${\displaystyle E}$${\displaystyle E=T+V}$

ปัญหาดั้งเดิม ของเคปเลอร์ ในการคำนวณวงโคจรของกฎกำลังสองผกผันสามารถอ่านได้จากสมการของบิเนต์ในฐานะคำตอบของสมการเชิงอนุพันธ์ $${\displaystyle -ku^{2}=-mh^{2}u^{2}\left({\frac {\mathrm {d} ^{2}u}{\mathrm {d} \theta ^{2}}}+u\right)}$$$${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}u}{\mathrm {d} \theta ^{2}}}+u={\frac {k}{mh^{2}}}\equiv {\text{constant}}>0.}$$

ถ้า วัดมุม จากจุดใกล้ที่สุดของวงโคจร ( periapsis ) แล้ว คำตอบทั่วไปสำหรับวงโคจรที่แสดงในพิกัดเชิงขั้ว (ส่วนกลับ) คือ ${\displaystyle \theta }$$${\displaystyle lu=1+\varepsilon \cos \theta .}$$

สมการเชิงขั้วข้างต้นอธิบายภาคตัดกรวยโดยมีกึ่งลาตัสเรกตัม (เท่ากับ) และความ เยื้องศูนย์ ของ วงโคจร${\displaystyle l}$${\displaystyle h^{2}/\mu =h^{2}m/k}$${\displaystyle \varepsilon }$

สมการสัมพัทธภาพที่ได้มาสำหรับเมตริก De Sitter–Schwarzschildคือ^{[ 2 ]} โดยที่คือความเร็วแสงคือรัศมีSchwarzschildและคือค่าคงที่จักรวาลวิทยาและสำหรับเมตริก Reissner–Nordströmเราจะได้ โดยที่คือประจุไฟฟ้าและคือ ค่าสภาพยอมทาง ไฟฟ้า ของสุญญากาศ$${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}u}{\mathrm {d} \phi ^{2}}}+u={\begin{cases}{\dfrac {r_{s}c^{2}}{2h^{2}}}+{\dfrac {3}{2}}r_{s}u^{2}-{\dfrac {\Lambda c^{2}}{3h^{2}u^{3}}}&{\text{(particle)}}\\[1.2em]{\dfrac {3}{2}}r_{s}u^{2}&{\text{(photon)}}\end{cases}}}$$${\displaystyle c}$${\displaystyle r_{s}}$${\displaystyle \Lambda }$$${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}u}{\mathrm {d} \phi ^{2}}}+u={\begin{cases}{\dfrac {r_{s}c^{2}}{2h^{2}}}+{\dfrac {3}{2}}r_{s}u^{2}-{\dfrac {GQ^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}c^{4}}}\left({\dfrac {c^{2}}{h^{2}}}u+2u^{3}\right)&{\text{(particle)}}\\[1.2em]{\dfrac {3}{2}}r_{s}u^{2}-{\dfrac {GQ^{2}}{2\pi \varepsilon _{0}c^{4}}}u^{3}&{\text{(photon)}}\end{cases}}}$$${\displaystyle Q}$${\displaystyle \varepsilon _{0}}$

ลองพิจารณาปัญหาเคปเลอร์ผกผันดู กฎแรงแบบใดที่ทำให้เกิดวงโคจรวงรี ที่ไม่เป็นวงกลม (หรือโดยทั่วไปแล้วคือภาคตัดกรวย ที่ไม่เป็นวงกลม ) รอบจุดโฟกัสของวงรี ?

การหาอนุพันธ์อันดับสองของสมการเชิงขั้วข้างต้นสำหรับวงรีจะได้ $${\displaystyle l\,{\frac {\mathrm {d} ^{2}u}{\mathrm {d} \theta ^{2}}}=-\varepsilon \cos \theta .}$$

ดังนั้น กฎของแรงจึงเป็น ซึ่งเป็นกฎกำลังสองผกผันที่คาดการณ์ไว้ การจับคู่ค่าวงโคจรกับค่าทางกายภาพ เช่นหรือจะได้กฎแรงโน้มถ่วงสากลของนิวตันหรือกฎของคูลอมบ์ตามลำดับ $${\displaystyle F=-mh^{2}u^{2}\left({\frac {-\varepsilon \cos \theta }{l}}+{\frac {1+\varepsilon \cos \theta }{l}}\right)=-{\frac {mh^{2}u^{2}}{l}}=-{\frac {mh^{2}}{lr^{2}}},}$$${\displaystyle h^{2}/l=\mu }$${\displaystyle GM}$${\displaystyle k_{e}q_{1}q_{2}/m}$

แรงที่มีประสิทธิภาพสำหรับพิกัด Schwarzschild คือ^{[ 3 ]} โดยที่เทอมที่สองเป็นแรงควอติกผกผันที่สอดคล้องกับผลควอดรูโพล เช่น การเลื่อนเชิงมุมของจุดใกล้ที่สุด(สามารถหาได้จากศักยภาพที่ล่าช้า^{[ 4 ]} เช่นกัน ) $${\displaystyle F=-GMmu^{2}\left(1+3\left({\frac {hu}{c}}\right)^{2}\right)=-{\frac {GMm}{r^{2}}}\left(1+3\left({\frac {h}{rc}}\right)^{2}\right).}$$

ในรูปแบบพารามิเตอร์หลังนิวตันเราจะได้ โดยที่สำหรับทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไปและสำหรับกรณีคลาสสิก $${\displaystyle F=-{\frac {GMm}{r^{2}}}\left(1+(2+2\gamma -\beta )\left({\frac {h}{rc}}\right)^{2}\right).}$$${\displaystyle \gamma =\beta =1}$${\displaystyle \gamma =\beta =0}$

กฎแรงกำลังสามผกผันมีรูปแบบดังนี้ $${\displaystyle F(r)=-{\frac {k}{r^{3}}}.}$$

รูปร่างของวงโคจรของกฎกำลังสามผกผันเรียกว่าเกลียวโคเตส (Cotes spirals ) สมการบิเนต์ (Binet equation) แสดงให้เห็นว่าวงโคจรเหล่านั้นต้องเป็นคำตอบของสมการ $${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}u}{\mathrm {d} \theta ^{2}}}+u={\frac {ku}{mh^{2}}}=Cu.}$$

สมการเชิงอนุพันธ์มีคำตอบสามแบบ ในลักษณะเดียวกับภาคตัดกรวยที่แตกต่างกันของปัญหาเคปเลอร์ เมื่อคำตอบจะเป็น เกลียว เอพิสไปรัลซึ่งรวมถึงกรณีผิดปกติที่เป็นเส้นตรงเมื่อเมื่อคำตอบจะเป็นเกลียวไฮเปอร์โบลิกเมื่อคำตอบจะเป็นเกลียวปวงโซต์ ${\displaystyle C<1}$${\displaystyle C=0}$${\displaystyle C=1}$${\displaystyle C>1}$

แม้ว่าสมการของบิเนต์จะไม่สามารถให้กฎแรงที่เฉพาะเจาะจงสำหรับการเคลื่อนที่แบบวงกลมรอบจุดศูนย์กลางของแรงได้ แต่สมการนี้สามารถให้กฎแรงได้เมื่อจุดศูนย์กลางของวงกลมและจุดศูนย์กลางของแรงไม่ตรงกัน ตัวอย่างเช่น พิจารณาวงโคจรวงกลมที่ผ่านจุดศูนย์กลางของแรงโดยตรง สมการเชิงขั้ว (ส่วนกลับ) สำหรับวงโคจรวงกลมที่มีเส้นผ่านศูนย์กลางดังกล่าวคือ ${\displaystyle D}$$${\displaystyle D\,u(\theta )=\sec \theta .}$$

การหาอนุพันธ์สองครั้งและการใช้เอกลักษณ์พีทาโกเรียนจะได้ ${\displaystyle u}$$${\displaystyle D\,{\frac {\mathrm {d} ^{2}u}{\mathrm {d} \theta ^{2}}}=\sec \theta \tan ^{2}\theta +\sec ^{3}\theta =\sec \theta (\sec ^{2}\theta -1)+\sec ^{3}\theta =2D^{3}u^{3}-D\,u.}$$

ดังนั้นกฎของแรงจึงเป็นดังนี้ $${\displaystyle F=-mh^{2}u^{2}\left(2D^{2}u^{3}-u+u\right)=-2mh^{2}D^{2}u^{5}=-{\frac {2mh^{2}D^{2}}{r^{5}}}.}$$

โปรดทราบว่า การแก้ปัญหาผกผัน ทั่วไป กล่าว คือ การสร้างวงโคจรของกฎแรงดึงดูด เป็นปัญหาที่ยากกว่ามาก เนื่องจากเทียบเท่ากับการแก้ปัญหา ${\displaystyle 1/r^{5}}$$${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}u}{\mathrm {d} \theta ^{2}}}+u=Cu^{3}}$$

ซึ่งเป็นสมการเชิงอนุพันธ์ไม่เชิงเส้นอันดับสอง

• การควอนตัมของโบร์-ซอมเมอร์เฟลด์ § วงโคจรเชิงสัมพัทธภาพ
• ปัญหาแรงสู่ศูนย์กลางแบบคลาสสิก
• ทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไป
• ปัญหาวัตถุสองชิ้นในทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไป
• ทฤษฎีบทของเบอร์ทรานด์