ในกลศาสตร์ท้องฟ้าโมเมนตัมเชิงมุมสัมพัทธ์จำเพาะ (มักจะใช้สัญลักษณ์หรือ) ของวัตถุ คือโมเมนตัมเชิงมุมของวัตถุนั้นหารด้วยมวลของมัน^{[ 1 ]}ในกรณีของวัตถุสองดวงที่โคจร โมเมนตัมเชิงมุมสัมพัทธ์คือผลคูณเวกเตอร์ของตำแหน่งสัมพัทธ์และโมเมนตัมเชิงเส้นสัมพัทธ์ของวัตถุทั้งสอง หารด้วยมวลของวัตถุนั้น ${\displaystyle {\vec {h}}}$${\displaystyle \mathbf {h} }$

โมเมนตัมเชิงมุมสัมพัทธ์จำเพาะมีบทบาทสำคัญในการวิเคราะห์ปัญหาของวัตถุสองชิ้นเนื่องจากมันจะคงที่สำหรับวงโคจรที่กำหนดภายใต้เงื่อนไขในอุดมคติ คำว่า " จำเพาะ " ในบริบทนี้หมายถึงโมเมนตัมเชิงมุมต่อหน่วยมวลหน่วย SIของโมเมนตัมเชิงมุมสัมพัทธ์จำเพาะคือตารางเมตรต่อวินาที

โมเมนตัมเชิงมุมสัมพัทธ์จำเพาะถูกกำหนดให้เป็นผลคูณเชิงเวกเตอร์ ของ เวกเตอร์ตำแหน่ง สัมพัทธ์และเวกเตอร์ความเร็วสัมพัทธ์ ${\displaystyle \mathbf {r} }$${\displaystyle \mathbf {v} }$$${\displaystyle \mathbf {h} =\mathbf {r} \times \mathbf {v} ={\frac {\mathbf {L} }{m}}}$$

โดยที่เป็นเวกเตอร์โมเมนตัมเชิงมุม ซึ่งกำหนดโดย ${\displaystyle \mathbf {L} }$${\displaystyle \mathbf {r} \times m\mathbf {v} }$

เวก เตอร์จะตั้งฉากกับ ระนาบวงโคจรสัมผัสณ ขณะนั้นเสมอซึ่งตรงกับวงโคจรที่ถูกรบกวน ณ ขณะนั้น แต่ไม่จำเป็นต้องตั้งฉากกับระนาบวงโคจรเฉลี่ยเมื่อเวลาผ่านไป ${\displaystyle \mathbf {h} }$

ภายใต้เงื่อนไขบางประการ สามารถพิสูจน์ได้ว่าโมเมนตัมเชิงมุมจำเพาะมีค่าคงที่ เงื่อนไขสำหรับการพิสูจน์นี้ได้แก่:

• มวลของวัตถุหนึ่งมีค่ามากกว่ามวลของวัตถุอีกชิ้นหนึ่งมาก ( )${\displaystyle m_{1}\gg m_{2}}$
• ระบบพิกัดเป็นระบบพิกัดเฉื่อย
• แต่ละวัตถุสามารถถือได้ว่าเป็นมวลจุดที่มี สมมาตรทรงกลม
• ไม่มีแรงอื่นใดกระทำต่อระบบนี้ นอกเหนือจากแรงโน้มถ่วงที่เชื่อมต่อวัตถุทั้งสองเข้าด้วยกัน

การพิสูจน์เริ่มต้นด้วยสมการการเคลื่อนที่ของวัตถุสองชิ้นซึ่งได้มาจากกฎแรงโน้มถ่วงสากลของนิวตัน :

$${\displaystyle {\ddot {\mathbf {r} }}+{\frac {Gm_{1}}{r^{2}}}{\frac {\mathbf {r} }{r}}=0}$$

ที่ไหน:

• ${\displaystyle \mathbf {r} }$คือเวกเตอร์ตำแหน่งจากไป ที่มีขนาดเป็นสเกลาร์${\displaystyle m_{1}}$${\displaystyle m_{2}}$${\displaystyle r}$
• ${\displaystyle {\ddot {\mathbf {r} }}}$คืออนุพันธ์อันดับสองของ( ความเร่ง ) เทียบกับเวลา${\displaystyle \mathbf {r} }$
• ${\displaystyle G}$คือ ค่าคง ที่ความโน้มถ่วง

ผลคูณเชิงเวกเตอร์ของเวกเตอร์ตำแหน่งกับสมการการเคลื่อนที่คือ:

$${\displaystyle \mathbf {r} \times {\ddot {\mathbf {r} }}+\mathbf {r} \times {\frac {Gm_{1}}{r^{2}}}{\frac {\mathbf {r} }{r}}=0}$$

เนื่องจากพจน์ที่สองหายไป: ${\displaystyle \mathbf {r} \times \mathbf {r} =0}$

$${\displaystyle \mathbf {r} \times {\ddot {\mathbf {r} }}=0}$$

นอกจากนี้ยังสามารถสรุปได้ว่า: $${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left(\mathbf {r} \times {\dot {\mathbf {r} }}\right)={\dot {\mathbf {r} }}\times {\dot {\mathbf {r} }}+\mathbf {r} \times {\ddot {\mathbf {r} }}=\mathbf {r} \times {\ddot {\mathbf {r} }}}$$

เมื่อรวมสมการทั้งสองเข้าด้วยกันจะได้: $${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left(\mathbf {r} \times {\dot {\mathbf {r} }}\right)=0}$$

เนื่องจากอนุพันธ์เทียบกับเวลาเท่ากับศูนย์ ปริมาณจึงคงที่ เมื่อใช้เวกเตอร์ความเร็วแทนอัตราการเปลี่ยนแปลงของตำแหน่ง และสำหรับโมเมนตัมเชิงมุมจำเพาะ: ก็จะคงที่เช่นกัน ${\displaystyle \mathbf {r} \times {\dot {\mathbf {r} }}}$${\displaystyle \mathbf {v} }$${\displaystyle \mathbf {h} }$$${\displaystyle \mathbf {h} =\mathbf {r} \times \mathbf {v} }$$

นี่แตกต่างจากการสร้างโมเมนตัมแบบปกติเพราะไม่ได้รวมมวลของวัตถุที่เกี่ยวข้องเข้าไปด้วย ${\displaystyle \mathbf {r} \times \mathbf {p} }$

กฎการเคลื่อนที่ของดาวเคราะห์ของเคปเลอร์สามารถพิสูจน์ได้เกือบโดยตรงจากความสัมพันธ์ข้างต้น

การพิสูจน์เริ่มต้นอีกครั้งด้วยสมการของปัญหาวัตถุสองชิ้น คราวนี้ ผลคูณเชิงเวกเตอร์จะถูกคูณด้วยโมเมนตัมเชิงมุมสัมพัทธ์จำเพาะ $${\displaystyle {\ddot {\mathbf {r} }}\times \mathbf {h} =-{\frac {\mu }{r^{2}}}{\frac {\mathbf {r} }{r}}\times \mathbf {h} }$$

ด้านซ้ายมือเท่ากับอนุพันธ์เนื่องจากโมเมนตัมเชิงมุมคงที่ ${\textstyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left({\dot {\mathbf {r} }}\times \mathbf {h} \right)}$

หลังจากดำเนินการตามขั้นตอนบางอย่าง (ซึ่งรวมถึงการใช้ผลคูณเวกเตอร์สามตัวและกำหนดให้ค่าสเกลาร์เป็นความเร็วเชิงรัศมีแทนที่จะเป็นค่าบรรทัดฐานของเวกเตอร์) ด้านขวามือจะกลายเป็น: ${\displaystyle {\dot {r}}}$${\displaystyle {\dot {\mathbf {r} }}}$$${\displaystyle -{\frac {\mu }{r^{3}}}\left(\mathbf {r} \times \mathbf {h} \right)=-{\frac {\mu }{r^{3}}}\left(\left(\mathbf {r} \cdot \mathbf {v} \right)\mathbf {r} -r^{2}\mathbf {v} \right)=-\left({\frac {\mu }{r^{2}}}{\dot {r}}\mathbf {r} -{\frac {\mu }{r}}\mathbf {v} \right)=\mu {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left({\frac {\mathbf {r} }{r}}\right)}$$

เมื่อกำหนดให้สองนิพจน์นี้เท่ากันและทำการอินทิเกรตเทียบกับเวลา จะได้ (โดยมีค่าคงที่ของการอินทิเกรต) ${\displaystyle \mathbf {C} }$$${\displaystyle {\dot {\mathbf {r} }}\times \mathbf {h} =\mu {\frac {\mathbf {r} }{r}}+\mathbf {C} }$$

ตอนนี้สมการนี้ถูกคูณ ( ผลคูณดอท ) กับและจัดเรียงใหม่ ${\displaystyle \mathbf {r} }$$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {r} \cdot \left({\dot {\mathbf {r} }}\times \mathbf {h} \right)&=\mathbf {r} \cdot \left(\mu {\frac {\mathbf {r} }{r}}+\mathbf {C} \right)\\\Rightarrow \left(\mathbf {r} \times {\dot {\mathbf {r} }}\right)\cdot \mathbf {h} &=\mu r+rC\cos \theta \\\Rightarrow h^{2}&=\mu r+rC\cos \theta \end{aligned}}}$$

ในที่สุด สมการวงโคจรก็ปรากฏขึ้น^{[ 1 ]}$${\displaystyle r={\frac {\frac {h^{2}}{\mu }}{1+{\frac {C}{\mu }}\cos \theta }}}$$

ซึ่งเป็นสมการของภาคตัดกรวยในพิกัดเชิงขั้วที่มีกึ่งลาตัสเรกตัม และค่าความเยื้องศูนย์ ${\textstyle p={\frac {h^{2}}{\mu }}}$${\textstyle e={\frac {C}{\mu }}}$

กฎข้อที่สองเป็นผลสืบเนื่องมาจากสมการที่สองจากสามสมการเพื่อคำนวณค่าสัมบูรณ์ของโมเมนตัมเชิงมุมสัมพัทธ์เฉพาะ^{[ 1 ]}

หากนำสมการรูปแบบนี้ไปเชื่อมโยงกับความสัมพันธ์ของพื้นที่ของส่วนโค้งที่มีมุมเล็กมาก(สามเหลี่ยมที่มีด้านหนึ่งเล็กมาก) จะได้สมการดังนี้ ${\textstyle \mathrm {d} t={\frac {r^{2}}{h}}\,\mathrm {d} \theta }$${\textstyle \mathrm {d} A={\frac {r^{2}}{2}}\,\mathrm {d} \theta }$${\displaystyle \mathrm {d} \theta }$$${\displaystyle \mathrm {d} t={\frac {2}{h}}\,\mathrm {d} A}$$

กฎข้อที่สามของเคปเลอร์เป็นผลโดยตรงจากกฎข้อที่สอง การอินทิเกรตตลอดหนึ่งรอบจะให้คาบการโคจร^{[ 1 ]}$${\displaystyle T={\frac {2\pi ab}{h}}}$$

สำหรับพื้นที่ของวงรี เมื่อแทนที่แกนกึ่งเล็กด้วยและโมเมนตัมเชิงมุมสัมพัทธ์จำเพาะด้วยจะได้ ${\displaystyle \pi ab}$${\displaystyle b={\sqrt {ap}}}$${\displaystyle h={\sqrt {\mu p}}}$$${\displaystyle T=2\pi {\sqrt {\frac {a^{3}}{\mu }}}}$$

ดังนั้นจึงมีความสัมพันธ์ระหว่างแกนกึ่งเอกและคาบการโคจรของดาวเทียม ซึ่งสามารถลดทอนให้เหลือค่าคงที่ของวัตถุศูนย์กลางได้

• พลังงานวงโคจรจำเพาะซึ่งเป็นปริมาณอนุรักษ์อีกอย่างหนึ่งในปัญหาของวัตถุสองชิ้น
• ปัญหาแรงสู่ศูนย์กลางแบบคลาสสิก § โมเมนตัมเชิงมุมจำเพาะ