ในทางคณิตศาสตร์โดยเฉพาะในเรขาคณิตเชิงซิม เพล็กติก ผล รวม เชิงซิมเพล็กติกเป็นการดัดแปลงทางเรขาคณิตบนแมนิโฟลด์เชิงซิมเพล็กติก ซึ่งเชื่อมแมนิโฟลด์สองอันที่กำหนดให้เข้าด้วยกันเป็นแมนิโฟลด์ใหม่เพียงอันเดียว มันเป็นรูปแบบเชิงซิมเพล็กติกของการหาผลรวมที่เชื่อมต่อกันตามซับแมนิโฟลด์ซึ่งมักเรียกว่าผลรวมไฟเบอร์

ผลรวมเชิงซิมเพล็กติกเป็นส่วนกลับของการตัดเชิงซิมเพล็กติกซึ่งแบ่งแมนิโฟลด์ที่กำหนดออกเป็นสองส่วน เมื่อรวมกันแล้ว ผลรวมเชิงซิมเพล็กติกและการตัดเชิงซิมเพล็กติกอาจมองได้ว่าเป็นการเปลี่ยนแปลงรูปทรงของแมนิโฟลด์เชิงซิมเพล็กติก ในลักษณะที่คล้ายคลึงกับการเปลี่ยนแปลงรูปทรงของกรวยปกติในเรขาคณิตเชิงพีชคณิตเป็นต้น

ผลรวมเชิงซิมเพล็กติกถูกนำมาใช้ในการสร้างตระกูลของแมนิโฟลด์เชิงซิมเพล็กติกที่ไม่เคยรู้จักมาก่อน และเพื่อหาความสัมพันธ์ระหว่างค่าคงที่ของโกรโมฟ-วิตเทนของแมนิโฟลด์เชิงซิมเพล็กติก

ให้และเป็น แมนิโฟลด์เชิงซิ มเพล็กติกสองตัว และ แมนิโฟลด์ เชิงซิมเพล็กติกอีกตัว ซึ่งฝังตัวเป็นซับแมนิโฟลด์ลงในทั้งและผ่านทาง ${\displaystyle M_{1}}$${\displaystyle M_{2}}$${\displaystyle 2n}$${\displaystyle V}$${\displaystyle (2n-2)}$${\displaystyle M_{1}}$${\displaystyle M_{2}}$

${\displaystyle j_{i}:V\hookrightarrow M_{i},}$

โดยที่ชั้นออยเลอร์ของบันเดิลปกติจะตรงข้ามกัน:

${\displaystyle e(N_{M_{1}}V)=-e(N_{M_{2}}V).}$

ในบทความปี 1995 ที่กำหนดนิยามของผลรวมเชิงซิมเพล็กติกโรเบิร์ต กอมฟ์พิสูจน์ว่าสำหรับไอโซมอร์ฟิซึมแบบกลับ ทิศทาง ใดๆ

${\displaystyle \psi :N_{M_{1}}V\ถึง N_{M_{2}}V}$

มี คลาส ไอโซโทปี แบบแคนอนิก ของโครงสร้างซิมเพล็กติกบนผลรวมที่เชื่อมต่อกัน

${\displaystyle (M_{1},V)\#(M_{2},V)}$

โดยต้องตรงตามเงื่อนไขความเข้ากันได้หลายประการกับผลรวมกล่าวอีกนัยหนึ่ง ทฤษฎีบทนี้กำหนดการ ดำเนินการ ผลรวมเชิงซิมเพล็กติกซึ่งผลลัพธ์เป็นแมนิโฟลด์เชิงซิมเพล็กติกที่มีเอกลักษณ์เฉพาะตัวจนถึงระดับไอโซโทปี ${\displaystyle M_{i}}$

เพื่อสร้างโครงสร้างซิมเพล็กติกที่กำหนดไว้อย่างดี การคำนวณผลรวมที่เชื่อมต่อกันจะต้องดำเนินการโดยให้ความสำคัญเป็นพิเศษกับการเลือกการระบุต่างๆ กล่าวโดยคร่าวๆ คือ ไอโซมอร์ฟิซึม ประกอบขึ้นจากการผกผันซิ ม เพล็กติกแบบกลับทิศทางของบันเดิลปกติของ (หรือบัน เดิลดิสก์หน่วยเจาะรูที่สอดคล้องกัน) จากนั้นการประกอบนี้จะใช้เพื่อเชื่อมต่อตามสำเนาสองชุดของ${\displaystyle \psi }$${\displaystyle V}$${\displaystyle M_{1}}$${\displaystyle M_{2}}$${\displaystyle V}$

โดยทั่วไปแล้ว ผลรวมเชิงซิมเพล็กติกสามารถกระทำได้บนแมนิโฟลด์เชิงซิมเพล็กติกเดี่ยวที่มีสำเนาที่ไม่ทับซ้อนกันสองชุดของโดยเชื่อมแมนิโฟลด์เข้ากับตัวเองตามสำเนาทั้งสองชุด คำอธิบายก่อนหน้านี้เกี่ยวกับผลรวมของแมนิโฟลด์สองอันจึงสอดคล้องกับกรณีพิเศษที่ประกอบด้วยส่วนประกอบที่เชื่อมต่อกันสองส่วน โดยแต่ละส่วนประกอบด้วยสำเนาของ ${\displaystyle M}$${\displaystyle V}$${\displaystyle X}$${\displaystyle V}$

นอกจากนี้ ยังสามารถคำนวณผลรวมพร้อมกันบนซับแมนิโฟลด์ที่มีมิติเท่ากันและตัดกันในแนวตั้งฉากได้อีก ด้วย${\displaystyle X_{i}\subseteq M_{i}}$${\displaystyle V}$

นอกจากนี้ยังมีข้อสรุปทั่วไปอื่นๆ อีก อย่างไรก็ตาม เป็นไปไม่ได้ที่จะลบข้อกำหนดที่ว่าต้องมีมิติร่วมสองในนั้นดังที่ข้อโต้แย้งต่อไปนี้แสดงให้เห็น ${\displaystyle V}$${\displaystyle M_{i}}$

ผลรวมเชิงซิมเพล็กติกตามซับแมนิโฟลด์ที่มีมิติ ร่วม ต้องใช้การผกผันเชิงซิมเพล็กติกของ วงแหวน มิติ n หากการผกผันนี้มีอยู่จริง ก็สามารถใช้ในการต่อลูกบอลมิติ n สองลูกเข้าด้วยกันเพื่อสร้างทรงกลม มิติ n เชิงซิมเพล็กติก ได้ เนื่องจากทรงกลมเป็น แมนิโฟลด์แบบ กระชับรูปแบบเชิงซิมเพล็กติก บนทรงกลมจึงเหนี่ยวนำให้เกิด คลาส โคฮอโมโลยีที่ไม่เป็นศูนย์${\displaystyle 2k}$${\displaystyle 2k}$${\displaystyle 2k}$${\displaystyle 2k}$${\displaystyle \omega }$

${\displaystyle [\omega ]\in H^{2}(\mathbb {S} ^{2k},\mathbb {R} ).}$

แต่กลุ่มโคฮอโมโลยีที่สองนี้จะเป็นศูนย์เว้นแต่ว่าดังนั้นผลรวมเชิงซิมเพล็กติกจึงเป็นไปได้เฉพาะบนซับแมนิโฟลด์ที่มีมิติร่วมสองเท่านั้น ${\displaystyle 2k=2}$

เมื่อกำหนดซับแมนิโฟลด์เชิงซิมเพล็กติกที่มีมิติร่วมสองแล้วเราสามารถเติมเต็มบันเดิลปกติของไปยังบันเดิล ได้อย่างเชิงโปรเจคทีฟ${\displaystyle M}$${\displaystyle V}$${\displaystyle V}$${\displaystyle M}$${\displaystyle \mathbb {CP} ^{1}}$

${\displaystyle P:=\mathbb {P} (N_{M}V\oplus \mathbb {C} ).}$

สิ่งนี้ประกอบด้วยสำเนามาตรฐานสองชุดของ: ส่วนศูนย์ซึ่งมีบันเดิลปกติเท่ากับของในและส่วนอนันต์ซึ่งมีบันเดิลปกติที่ตรงกันข้าม ดังนั้น เราสามารถรวมแบบซิมเพล็กติกกับ ได้ผลลัพธ์ก็คือโดยที่ตอนนี้ ทำหน้าที่เป็น: ${\displaystyle P}$${\displaystyle V}$${\displaystyle V_{0}}$${\displaystyle V}$${\displaystyle M}$${\displaystyle V_{\infty }}$${\displaystyle (M,V)}$${\displaystyle (P,V_{\infty })}$${\displaystyle M}$${\displaystyle V_{0}}$${\displaystyle V}$

${\displaystyle (M,V)=((M,V)\#(P,V_{\infty }),V_{0}).}$

ดังนั้น สำหรับคู่ใดๆ ก็ตามจะมีองค์ประกอบเอกลักษณ์สำหรับผลรวมเชิงซิมเพล็กติก องค์ประกอบเอกลักษณ์ดังกล่าวถูกนำมาใช้ทั้งในการสร้างทฤษฎีและการคำนวณ ดังที่กล่าวไว้ด้านล่าง ${\displaystyle (M,V)}$${\displaystyle P}$

บางครั้งการมองผลรวมเชิงซิมเพล็กติกเป็นกลุ่มของแมนิโฟลด์ก็มีประโยชน์ ในกรอบความคิดนี้ ข้อมูลที่กำหนดให้, , , , , จะกำหนด แมนิโฟลด์เชิงซิมเพล็กติกแบบเรียบมิติที่ไม่ซ้ำกันและ การจัด เรียงแบบไฟเบอร์${\displaystyle M_{1}}$${\displaystyle M_{2}}$${\displaystyle V}$${\displaystyle j_{1}}$${\displaystyle j_{2}}$${\displaystyle \psi }$${\displaystyle (2n+2)}$${\displaystyle Z}$

${\displaystyle Z\to D\subseteq \mathbb {C} }$

ซึ่งเส้นใยหลักคือพื้นที่เอกลักษณ์

${\displaystyle Z_{0}=M_{1}\ถ้วย _{V}M_{2}}$

ได้มาจากการรวมพจน์ต่างๆ เข้าด้วยกันตามแนวและไฟเบอร์ทั่วไปคือผลรวมเชิงซิมเพล็กติกของ(นั่นคือ ไฟเบอร์ทั่วไปทั้งหมดเป็นสมาชิกของชั้นไอโซโทปีที่ไม่ซ้ำกันของผลรวมเชิงซิมเพล็กติก) ${\displaystyle M_{i}}$${\displaystyle V}$${\displaystyle Z_{\epsilon }}$${\displaystyle M_{i}}$

โดยคร่าวๆ แล้ว เราสร้างตระกูลนี้ขึ้นมาดังนี้ เลือกส่วนตัดโฮโลมอร์ฟิกที่ไม่เป็นศูนย์ของบันเดิล เส้นเชิงซ้อน ที่ไม่สำคัญ${\displaystyle \eta }$

${\displaystyle N_{M_{1}}V\otimes _{\mathbb {C} }N_{M_{2}}V.}$

จากนั้น ในผลรวมโดยตรง

${\displaystyle N_{M_{1}}V\oplus N_{M_{2}}V,}$

โดยที่แทนเวกเตอร์ปกติไปยังในให้พิจารณาโลคัสของสมการกำลังสอง ${\displaystyle v_{i}}$${\displaystyle V}$${\displaystyle M_{i}}$

${\displaystyle v_{1}\otimes v_{2}=\epsilon \eta }$

สำหรับค่าเล็กๆ ที่เลือกไว้เราสามารถนำทั้งสอง(พจน์ที่ถูกลบออก) มาติดไว้บนตำแหน่งนี้ได้ ผลลัพธ์ที่ได้คือผลรวมเชิงซิมเพล็กติก ${\displaystyle \epsilon \in \mathbb {C} }$${\displaystyle M_{i}\setminus V}$${\displaystyle V}$${\displaystyle Z_{\epsilon }}$

เมื่อค่าต่างๆ เปลี่ยนแปลงไป ผลรวมจะก่อตัวเป็นกลุ่มตามที่อธิบายไว้ข้างต้นโดยธรรมชาติ เส้นใยตรงกลางคือส่วนตัดเชิงซิมเพล็กติกของเส้นใยทั่วไป ดังนั้น ผลรวมเชิงซิมเพล็กติกและส่วนตัดจึงสามารถมองได้ว่าเป็นการเปลี่ยนแปลงเชิงกำลังสองของแมนิโฟลด์เชิงซิมเพล็กติก ${\displaystyle \epsilon }$${\displaystyle Z_{\epsilon }}$${\displaystyle Z\to D}$${\displaystyle Z_{0}}$

ตัวอย่างที่สำคัญเกิดขึ้นเมื่อหนึ่งในพจน์บวกเป็นองค์ประกอบเอกลักษณ์ในกรณีนั้น ไฟเบอร์ทั่วไปจะเป็นแมนิโฟลด์เชิงซิมเพล็กติกและไฟเบอร์กลางจะมีบันเดิลปกติที่"ถูกบีบออกที่อนันต์" เพื่อสร้างบันเดิลซึ่งคล้ายคลึงกับการเปลี่ยนรูปของกรวยปกติไปตามตัวหารเรียบในเรขาคณิตเชิงพีชคณิต อันที่จริง การวิเคราะห์เชิงซิมเพล็กติกของทฤษฎี Gromov–Witten มักใช้ผลรวม/การตัดเชิงซิมเพล็กติกสำหรับข้อโต้แย้ง "การปรับขนาดเป้าหมาย" ในขณะที่การวิเคราะห์เชิงพีชคณิตเรขาคณิตใช้การเปลี่ยนรูปของกรวยปกติสำหรับข้อโต้แย้งเดียวกันนี้ ${\displaystyle P}$${\displaystyle M}$${\displaystyle M}$${\displaystyle V}$${\displaystyle \mathbb {CP} ^{1}}$${\displaystyle P}$${\displaystyle V}$

อย่างไรก็ตาม ผลรวมเชิงซิมเพล็กติกไม่ใช่การดำเนินการที่ซับซ้อนโดยทั่วไป ผลรวมของแมนิโฟลด์คาห์เลอร์ สองตัว ไม่จำเป็นต้องเป็นแมนิโฟลด์คาห์เลอร์เสมอไป

ผลรวมเชิงซิมเพล็กติกได้รับการนิยามอย่างชัดเจนเป็นครั้งแรกในปี 1995 โดยโรเบิร์ต กอมฟ์ เขาใช้มันเพื่อแสดงให้เห็นว่ากลุ่มที่นำเสนออย่างจำกัด ใดๆ จะปรากฏเป็นกลุ่มพื้นฐานของแมนิโฟลด์สี่มิติเชิงซิมเพล็กติก ดังนั้นจึง แสดงให้เห็นว่า หมวดหมู่ของแมนิโฟลด์เชิงซิมเพล็กติกนั้นใหญ่กว่าหมวดหมู่ของแมนิโฟลด์คาห์เลอร์มาก

ในเวลาเดียวกันนั้น ยูจีน เลอร์แมน ได้เสนอแนวคิดเรื่องการตัดเชิงซิมเพล็กติก (symplectic cut) ซึ่งเป็นการวางนัยทั่วไปของการระเบิดเชิงซิมเพล็กติก (symplectic blow up) และใช้มันเพื่อศึกษาผลหารเชิงซิมเพล็กติก (symplectic quotient)และการดำเนินการอื่นๆ บนแมนิโฟลด์เชิงซิมเพล็กติก (symplectic manifolds)

นักวิจัยจำนวนมากได้ศึกษาพฤติกรรมของเส้นโค้งซูโดโฮโลมอร์ฟิกภายใต้ผลรวมเชิงซิมเพล็กติก และพิสูจน์สูตรผลรวมเชิงซิมเพล็กติกในรูปแบบต่างๆ สำหรับค่าคงที่โกรโมฟ-วิตเทน สูตรดังกล่าวช่วยในการคำนวณโดยอนุญาตให้แบ่งแมนิโฟลด์ที่กำหนดออกเป็นส่วนย่อยๆ ที่ง่ายกว่า ซึ่งค่าคงที่โกรโมฟ-วิตเทนของส่วนย่อยเหล่านั้นควรจะคำนวณได้ง่ายกว่า อีกแนวทางหนึ่งคือการใช้องค์ประกอบเอกลักษณ์เพื่อเขียนแมนิโฟลด์เป็นผลรวมเชิงซิมเพล็กติก ${\displaystyle P}$${\displaystyle M}$

${\displaystyle (M,V)=(M,V)\#(P,V_{\infty }).}$

สูตรสำหรับค่าคงที่ Gromov–Witten ของผลรวมเชิงซิมเพล็กติกจะให้สูตรเวียนเกิดสำหรับค่าคงที่ Gromov–Witten ของ ${\displaystyle M}$