ในทางคณิตศาสตร์โดยเฉพาะอย่างยิ่งในโทโพโลยีเชิงพีชคณิต ชั้นออยเลอร์ (Euler class)คือชั้นลักษณะเฉพาะของกลุ่มเวกเตอร์จริงที่มีทิศทาง เช่นเดียวกับชั้นลักษณะเฉพาะอื่นๆ มันใช้วัดว่ากลุ่มเวกเตอร์นั้น "บิดเบี้ยว" มากน้อยเพียงใด ในกรณีของกลุ่ม เวกเตอร์สัมผัส ของแมนิโฟลด์ เรียบ มันเป็นการขยายแนวคิดคลาสสิกของลักษณะเฉพาะของออยเลอร์ (Euler characteristic ) จึงได้ชื่อนี้ ตามชื่อของ เลออนฮาร์ด ออยเลอร์ (Leonhard Euler )

ตลอดทั้งบทความนี้ จะ ใช้ เวกเตอร์บันเดิลเชิงทิศทางและจริงที่มีอันดับเหนือปริภูมิฐาน${\displaystyle E}$${\displaystyle r}$${\displaystyle X}$

ชั้นออยเลอร์เป็นองค์ประกอบของกลุ่ม โคฮอโมโลยี เชิงอินทิกรัล${\displaystyle e(E)}$

${\displaystyle H^{r}(X;\mathbf {Z} ),}$

สร้างขึ้นดังต่อไปนี้การวางแนวของปริมาณเท่ากับการเลือกตัวสร้างของโคฮอโมโลยีอย่างต่อเนื่อง ${\displaystyle E}$

${\displaystyle H^{r}(\mathbf {R} ^{r},\mathbf {R} ^{r}\setminus \{0\};\mathbf {Z} )\cong {\tilde {H}}^{r-1}(S^{r-1};\mathbf {Z} )\cong \mathbf {Z} }$

ของแต่ละเส้นใยสัมพันธ์กับส่วนเติมเต็มของศูนย์ จากไอโซมอร์ฟิซึมของทอมสิ่งนี้ทำให้เกิดชั้นการวางแนว${\displaystyle \mathbf {R} ^{r}}$${\displaystyle \mathbf {R} ^{r}\setminus \{0\}}$

${\displaystyle u\in H^{r}(E,E\setminus E_{0};\mathbf {Z} )}$

ในโคฮอโมโลยีที่สัมพันธ์กับส่วนเติมเต็มของส่วนศูนย์การรวม ${\displaystyle E}$${\displaystyle E\setminus E_{0}}$${\displaystyle E_{0}}$

${\displaystyle (X,\emptyset )\hookrightarrow (E,\emptyset )\hookrightarrow (E,E\setminus E_{0}),}$

โดยที่รวมเข้าไปเป็นส่วนศูนย์ เหนี่ยวนำแผนที่ ${\displaystyle X}$${\displaystyle E}$

${\displaystyle H^{r}(E,E\setminus E_{0};\mathbf {Z} )\to H^{r}(E;\mathbf {Z} )\to H^{r}(X;\mathbf {Z} ).}$

ชั้นออยเลอร์e ( E ) คือภาพของuภายใต้การประกอบกันของแผนที่เหล่านี้

ชั้นออยเลอร์ (Euler class) มีคุณสมบัติเหล่านี้ ซึ่งเป็นสัจพจน์ของชั้นลักษณะเฉพาะ (characteristic class):

• ฟังก์ชันนิตี้:ถ้าเป็นเวกเตอร์บันเดิลจริงที่มีทิศทางอีกอันหนึ่ง และมีความต่อเนื่องและครอบคลุมโดยแผนที่รักษาทิศทางแล้วโดยเฉพาะอย่างยิ่ง^{[ 1 ]}${\displaystyle F\to Y}$${\displaystyle f\colon Y\to X}$${\displaystyle F\to E}$${\displaystyle e(F)=f^{*}(e(E))}$${\displaystyle e(f^{*}(E))=f^{*}(e(E))}$
• สูตรผลรวมของ Whitney :ถ้าเป็นเวกเตอร์บันเดิลจริงที่มีทิศทางอีกอันหนึ่ง ชั้นออยเลอร์ของผลรวมโดยตรง ของพวกมัน จะได้รับจาก ^{[ 2 ] [ 3 ]}${\displaystyle F\to X}$${\displaystyle e(E\oplus F)=e(E)\smile e(F).}$
• การทำให้เป็นมาตรฐาน:ถ้ามีส่วนที่ไม่มีศูนย์อยู่เลยแล้ว^{[ 4 ]}${\displaystyle E}$${\displaystyle e(E)=0}$
• การวางแนว:ถ้าเป็นการวางแนวตรงข้ามแล้ว^{[ 5 ]}${\displaystyle {\overline {E}}}$${\displaystyle E}$${\displaystyle e({\overline {E}})=-e(E)}$

โปรดทราบว่า "การทำให้เป็นมาตรฐาน" (Normalization) เป็นคุณลักษณะเด่นของคลาสออยเลอร์ (Euler class) คลาสออยเลอร์ขัดขวางการมีอยู่ของส่วนที่ไม่เป็นศูนย์ในแง่ที่ว่า ถ้าแล้วจะไม่มีส่วนที่ไม่เป็นศูนย์ ${\displaystyle e(E)\neq 0}$${\displaystyle E}$

นอกจากนี้ ยังแตกต่างจากคลาสลักษณะเฉพาะอื่นๆ ตรงที่มันกระจุกตัวอยู่ในระดับที่ขึ้นอยู่กับอันดับของบันเดิล: ในทางตรงกันข้าม คลาส Stiefel Whitney ดำรงอยู่โดยไม่ขึ้นอยู่กับอันดับของซึ่งสะท้อนให้เห็นว่าคลาส Euler นั้นไม่เสถียรดังที่ได้กล่าวไว้ด้านล่าง ${\displaystyle e(E)\in H^{r}(X)}$${\displaystyle w_{i}(E)}$${\displaystyle H^{i}(X;\mathbb {Z} /2)}$${\displaystyle E}$

ชั้นออยเลอร์สอดคล้องกับตำแหน่งที่หายไปของส่วนตัดในลักษณะต่อไปนี้ สมมติว่าเป็นแมนิโฟลด์เรียบที่มีทิศทางและมีมิติให้เป็นส่วนตัดเรียบที่ตัดขวางกับส่วนตัดศูนย์ ให้ เป็นตำแหน่งศูนย์ ของ แล้วเป็นซับแมนิโฟลด์ ที่ มีมิติร่วมของซึ่งแสดงถึงชั้นโฮโมโลยีและเป็นคู่ปวงกาเรของ ${\displaystyle E}$${\displaystyle X}$${\displaystyle d}$${\displaystyle \sigma \colon X\to E}$${\displaystyle Z\subseteq X}$${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle Z}$${\displaystyle r}$${\displaystyle X}$${\displaystyle [Z]\in H_{d-r}(X;\mathbf {Z} )}$${\displaystyle e(E)}$${\displaystyle [Z]}$

ตัวอย่างเช่น ถ้าเป็นซับแมนิโฟลด์แบบกระชับ ชั้นออยเลอร์ของบันเดิลปกติของใน จะถูกระบุอย่าง เป็น ธรรมชาติด้วยการตัดกันเองของใน${\displaystyle Y}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle X}$

ในกรณีพิเศษ เมื่อบันเดิลEที่กล่าวถึงคือบันเดิลสัมผัสของแมนิโฟลด์แบบกระชับ มีทิศทาง และ มีมิติ rชั้นออยเลอร์จะเป็นองค์ประกอบของโคฮอโมโลยีสูงสุดของแมนิโฟลด์ ซึ่งโดยธรรมชาติแล้วจะถูกระบุว่าเป็นจำนวนเต็มโดยการประเมินชั้นโคฮอโมโลยีบนชั้นโฮโมโลยีพื้นฐานภายใต้การระบุนี้ ชั้นออยเลอร์ของบันเดิลสัมผัสจะเท่ากับลักษณะเฉพาะของออยเลอร์ของแมนิโฟลด์ ในภาษาของจำนวนลักษณะเฉพาะลักษณะเฉพาะของออยเลอร์คือจำนวนลักษณะเฉพาะที่สอดคล้องกับชั้นออยเลอร์

ดังนั้น คลาสออยเลอร์จึงเป็นการขยายความทั่วไปของลักษณะเฉพาะของออยเลอร์ไปยังกลุ่มเวกเตอร์อื่นๆ นอกเหนือจากกลุ่มสัมผัส ในทางกลับกัน คลาสออยเลอร์เป็นต้นแบบสำหรับคลาสลักษณะเฉพาะอื่นๆ ของกลุ่มเวกเตอร์ โดยที่คลาสลักษณะเฉพาะ "สูงสุด" แต่ละคลาสจะเท่ากับคลาสออยเลอร์ ดังนี้

การปรับแต่งโดย 2 ทำให้เกิดแผนที่

${\displaystyle H^{r}(X,\mathbf {Z} )\to H^{r}(X,\mathbf {Z} /2\mathbf {Z} ).}$

ภาพของคลาสออยเลอร์ภายใต้แผนที่นี้คือคลาส Stiefel–Whitney ด้านบน w _r ( E ) ^{[ 6 ]}เราสามารถมองคลาส Stiefel-Whitney นี้ได้ว่าเป็น "คลาสออยเลอร์ โดยไม่คำนึงถึงทิศทาง"

เวกเตอร์บันเดิลเชิงซ้อนE ใดๆ ที่มีอันดับเชิงซ้อนdสามารถถือได้ว่าเป็นเวกเตอร์บันเดิลจริงแบบมีทิศทางEที่มีอันดับจริง 2d ชั้นออยเลอร์ของEกำหนดโดยชั้นเชิร์นที่มีมิติสูงสุด${\displaystyle e(E)=c_{d}(E)\in H^{2d}(X)}$

คลาส Pontryagin ถูกกำหนดให้เป็นคลาส Chern ของการสร้างเชิงซ้อนของ: . ${\displaystyle p_{r}(E)}$${\displaystyle E}$${\displaystyle p_{r}(E)=c_{r}(\mathbf {C} \otimes E)}$

การทำให้ซับซ้อนนั้นเป็นไอโซมอร์ฟิกในฐานะบันเดิลเชิงทิศทางกับเมื่อเปรียบเทียบชั้นออยเลอร์ เราจะเห็นว่า ${\displaystyle \mathbf {C} \otimes E}$${\displaystyle E\oplus E}$

${\displaystyle e(E)\smile e(E)=e(E\oplus E)=e(E\otimes \mathbf {C} )=c_{r}(E\otimes \mathbf {C} )\in H^{2r}(X,\mathbf {Z} ).}$

ถ้าอันดับของเป็นเลขคี่ แล้ว[ ^{7 ] ถ้า}อันดับrของเป็นเลขคู่ แล้ว^โดยที่ คือ ชั้น Pontryaginมิติสูงสุดของ^{[ 8} ]${\displaystyle E}$${\displaystyle e(E)\smile e(E)=0}$${\displaystyle E}$${\displaystyle e(E)\smile e(E)=c_{r}(E)=p_{r/2}(E)}$${\displaystyle p_{r/2}(E)}$${\displaystyle E}$

ชั้นลักษณะเฉพาะจะเสถียรก็ต่อเมื่อเป็นบันเดิลที่ไม่สำคัญอันดับหนึ่ง ต่างจากชั้นลักษณะเฉพาะอื่นๆ ส่วนใหญ่ ชั้นออยเลอร์ไม่เสถียรอันที่จริงแล้ว ${\displaystyle c}$${\displaystyle c(E\oplus {\underline {R}}^{1})=c(E)}$${\displaystyle {\underline {R}}^{1}}$${\displaystyle e(E\oplus {\underline {R}}^{1})=e(E)\smile e({\underline {R}}^{1})=0}$

ชั้นออยเลอร์แสดงด้วยชั้นโคฮอโมโลยีในปริภูมิจำแนกBSO( k ) ความไม่เสถียรของชั้นออยเลอร์แสดงให้เห็นว่ามันไม่ใช่พูลแบ็กของชั้นภายใต้การรวม ${\displaystyle e\in H^{k}(\mathrm {BSO} (k))}$${\displaystyle H^{k}(\mathrm {BSO} (k+1))}$${\displaystyle \mathrm {BSO} (k)\to \mathrm {BSO} (k+1)}$

สิ่งนี้สามารถเข้าใจได้โดยสัญชาตญาณ เนื่องจากคลาสออยเลอร์เป็นคลาสที่มีดีกรีขึ้นอยู่กับมิติของบันเดิล (หรือแมนิโฟลด์ ถ้าเป็นบันเดิลสัมผัส): คลาสออยเลอร์เป็นสมาชิกของ โดยที่คือมิติของบันเดิล ในขณะที่คลาสอื่นๆ มีมิติคงที่ (เช่น คลาสสติเฟล-วิทนีย์แรกเป็นสมาชิกของ) ${\displaystyle H^{d}(X)}$${\displaystyle d}$${\displaystyle H^{1}(X)}$

ข้อเท็จจริงที่ว่าคลาสออยเลอร์ไม่เสถียรนั้นไม่ควรถูกมองว่าเป็น "ข้อบกพร่อง" แต่หมายความว่าคลาสออยเลอร์ "ตรวจจับปรากฏการณ์ที่ไม่เสถียร" ตัวอย่างเช่น มัดสัมผัสของทรงกลมมิติคู่มีความเสถียรแต่ไม่ใช่มัดธรรมดา (การรวมทรงกลมตามปกติจะมีมัดปกติที่เป็นมัดธรรมดา ดังนั้นมัดสัมผัสของทรงกลมบวกกับมัดเส้นตรงธรรมดาคือมัดสัมผัสของปริภูมิยุคลิดซึ่งจำกัดอยู่ที่ซึ่งเป็นมัดธรรมดา) ดังนั้นคลาสลักษณะเฉพาะอื่นๆ ทั้งหมดจึงเป็นศูนย์สำหรับทรงกลม แต่คลาสออยเลอร์ไม่เป็นศูนย์สำหรับทรงกลมมิติคู่ ทำให้ได้ค่าคงที่ที่ไม่ใช่มัดธรรมดา ${\displaystyle S^{n}\subseteq \mathrm {R} ^{n+1}}$${\displaystyle S^{n}}$

ลักษณะเฉพาะของออยเลอร์ของทรง กลม nมิติS ⁿคือ:

${\displaystyle \chi (\mathbf {S} ^{n})=1+(-1)^{n}={\begin{cases}2&n{\text{ even}}\\0&n{\text{ odd}}.\end{cases}}}$

ดังนั้น จึงไม่มีส่วนใดของมัดสัมผัสที่ไม่เป็นศูนย์ของทรงกลมคู่ (นี่คือสิ่งที่เรียกว่าทฤษฎีลูกบอลขนปุย ) โดยเฉพาะอย่างยิ่ง มัดสัมผัสของทรงกลมคู่ไม่ใช่มัดสัมผัสธรรมดา กล่าวคือไม่ใช่แมนิโฟลด์ที่ขนานกันได้และไม่สามารถมีโครงสร้าง กลุ่มลี ได้${\displaystyle S^{2n}}$

สำหรับทรงกลมคี่S ^{2 n −1} ⊂ R ^{2 n}ส่วนที่ไม่มีที่ใดเป็นศูนย์จะกำหนดโดย

${\displaystyle (x_{2},-x_{1},x_{4},-x_{3},\dots ,x_{2n},-x_{2n-1})}$

ซึ่งแสดงให้เห็นว่าชั้นออยเลอร์หายไป นี่เป็นเพียง การทำซ้ำ nครั้งของส่วนตัดปกติบนวงกลม

เนื่องจากชั้นออยเลอร์สำหรับทรงกลมที่มีมิติเป็นเลขคู่สอดคล้องกับเราจึงสามารถใช้ข้อเท็จจริงที่ว่าชั้นออยเลอร์ของผลรวมวิทนีย์ของบันเดิลสองอันเป็นเพียงผลคูณคัพของชั้นออยเลอร์ของบันเดิลทั้งสองเพื่อดูว่าไม่มีบันเดิลย่อยอื่นใดของบันเดิลสัมผัส นอกเหนือจากบันเดิลสัมผัสเองและบันเดิลศูนย์ สำหรับทรงกลมที่มีมิติเป็นเลขคู่ใดๆ ${\displaystyle 2[S^{2n}]\in H^{2n}(S^{2n},\mathbf {Z} )}$

เนื่องจากกลุ่มสัมผัสของทรงกลมเป็นกลุ่มที่ไม่สำคัญอย่างเสถียรแต่ไม่ใช่กลุ่มที่ไม่สำคัญ ดังนั้นชั้นลักษณะเฉพาะอื่นๆ ทั้งหมดจึงเป็นศูนย์บนกลุ่มสัมผัสนี้ และชั้นออยเลอร์เป็นชั้นโคฮอโมโลยีธรรมดาเพียงชั้นเดียวที่ตรวจจับความไม่สำคัญของกลุ่มสัมผัสของทรงกลมได้: ในการพิสูจน์ผลลัพธ์เพิ่มเติม จำเป็นต้องใช้การดำเนินการโคฮอโมโลยีรองหรือทฤษฎี K

ทรงกระบอกเป็นมัดเส้นตรงบนวงกลม โดยการฉายภาพตามธรรมชาติมันเป็นมัดเส้นตรงที่ไม่สำคัญ ดังนั้นจึงมีส่วนตัดที่ไม่เป็นศูนย์ที่ใดเลย และด้วยเหตุนี้ชั้นออยเลอร์ของมันจึงเป็น 0 นอกจากนี้มันยังสม isomorphic กับมัดเส้นสัมผัสของวงกลม ข้อเท็จจริงที่ว่าชั้นออยเลอร์ของมันเป็น 0 สอดคล้องกับข้อเท็จจริงที่ว่าลักษณะเฉพาะของออยเลอร์ของวงกลมเป็น 0 ${\displaystyle \mathrm {R} ^{1}\times S^{1}\to S^{1}}$

• พหุนามแวนเดอร์มอนด์
• ไอโซมอร์ฟิซึมของทอม
• ทฤษฎีบทเกาส์-บอนเนต์แบบทั่วไป

• คลาสเชิร์น
• ชั้นเรียนปอนทรียาจิน
• คลาส Stiefel-Whitney