ในคณิตศาสตร์และฟิสิกส์สนามเวกเตอร์แฮมิลโท เนียน บนแมนิโฟลด์เชิงซิมเพล็กติกคือสนามเวกเตอร์ที่กำหนดสำหรับฟังก์ชันพลังงานหรือแฮมิลโทเนียน ใดๆ ตั้งชื่อตามนักฟิสิกส์และนักคณิตศาสตร์ เซอร์ วิลเลียม โรวัน แฮมิลตัน สนามเวกเตอร์แฮมิลโทเนียนเป็นการแสดงออกทางเรขาคณิตของสมการของแฮมิลตันในกลศาสตร์คลาสสิ ก เส้นโค้งอินทิกรัลของสนามเวกเตอร์แฮมิลโทเนียนแสดงถึงคำตอบของสมการการเคลื่อนที่ในรูปแบบแฮมิล โทเนียน การแปลงแบบดิฟเฟอเรน เชียลของแมนิโฟลด์เชิงซิมเพล็กติกที่เกิดขึ้นจากการไหลของสนามเวกเตอร์แฮมิลโทเนียนเรียกว่าการแปลงแบบแคนอนิก ในฟิสิกส์และ ซิมเพล็กโทมอร์ฟิซึม (แฮมิลโทเนียน) ในคณิตศาสตร์^{[ 1 ]}

ฟิลด์เวกเตอร์แฮมิลโทเนียนสามารถนิยามได้โดยทั่วไปบนแมนิโฟลด์ปัว ซงใดๆ วงเล็บลีของฟิลด์เวกเตอร์แฮมิลโทเนียนสองตัวที่สอดคล้องกับฟังก์ชันและ บนแมนิโฟลด์ นั้น เองก็เป็นฟิลด์เวกเตอร์แฮมิลโทเนียน โดยที่แฮมิลโทเนียนกำหนดโดยวงเล็บปัวซงของและ${\displaystyle f}$${\displaystyle g}$${\displaystyle f}$${\displaystyle g}$

สมมติว่าเป็นแมนิโฟลด์เชิงซิมเพล็กติกเนื่องจากรูปแบบเชิงซิมเพล็กติกไม่เสื่อมสภาพ จึงทำให้เกิดไอโซมอร์ฟิซึมเชิงเส้นแบบไฟเบอร์${\displaystyle (M,\omega )}$${\displaystyle \omega }$

$${\displaystyle \omega :TM\to T^{*}M,}$$

ระหว่างมัดสัมผัส และมัดโคสัมผัสโดยมีผกผัน ${\displaystyle TM}$${\displaystyle T^{*}M}$

$${\displaystyle \Omega :T^{*}M\to TM,\quad \Omega =\omega ^{-1}.}$$

ดังนั้นรูปแบบหนึ่งบนแมนิโฟลด์เชิงซิมเพล็กติกอาจถูกระบุด้วยฟิลด์เวกเตอร์และฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้ ทุกฟังก์ชัน จะกำหนดฟิลด์เวกเตอร์ ที่ไม่ซ้ำกัน เรียกว่า ฟิลด์เวกเตอร์แฮมิ ล โท เนียนโดยที่แฮมิลโทเนียนคือ โดยการกำหนด สำหรับทุกฟิลด์เวกเตอร์บน${\displaystyle M}$${\displaystyle H:M\rightarrow \mathbb {R} }$${\displaystyle X_{H}}$${\displaystyle H}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle M}$

$${\displaystyle \mathrm {d} H(Y)=\โอเมก้า (X_{H},Y).}$$หรือกล่าวโดยย่อก็คือ. ${\displaystyle \iota _{X_{H}}\omega =dH}$

หมายเหตุ : ผู้เขียนบางท่านกำหนดสนามเวกเตอร์แฮมิลโทเนียนด้วยเครื่องหมายตรงข้าม จึงต้องคำนึงถึงข้อกำหนดที่แตกต่างกันในเอกสารทางฟิสิกส์และคณิตศาสตร์ด้วย

สมมติว่าเป็นแมนิโฟลด์เชิงซิมเพล็กติกมิติ n จากนั้นในระดับท้องถิ่น เราอาจเลือกพิกัดแคนอนิกบนซึ่งรูปแบบซิมเพล็กติกจะแสดงเป็น: ^{[ 2 ]}${\displaystyle M}$${\displaystyle 2n}$${\displaystyle (q^{1},\cdots ,q^{n},p_{1},\cdots ,p_{n})}$${\displaystyle M}$${\displaystyle \omega =\sum _{i}\mathrm {d} q^{i}\wedge \mathrm {d} p_{i},}$

โดยที่หมายถึงอนุพันธ์ภายนอกและหมายถึงผลคูณภายนอกจากนั้นฟิลด์เวกเตอร์แฮมิลโทเนียนที่มีแฮมิลโทเนียนจะมีรูปแบบดังนี้: ^{[ 1 ]}${\displaystyle \operatorname {d} }$${\displaystyle \wedge }$${\displaystyle H}$${\displaystyle \mathrm {X} _{H}=\left({\frac {\partial H}{\partial p_{i}}},-{\frac {\partial H}{\partial q^{i}}}\right)=\Omega \,\mathrm {d} H,}$

โดยที่เป็นเมทริกซ์จัตุรัส ${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle 2n\times 2n}$

$${\displaystyle \Omega ={\begin{bmatrix}0&I_{n}\\-I_{n}&0\\\end{bmatrix}},}$$

และ

$${\displaystyle \mathrm {d} H={\begin{bmatrix}{\frac {\partial H}{\partial q^{i}}}\\{\frac {\partial H}{\partial p_{i}}}\end{bmatrix}}.}$$

โดย ทั่วไป จะใช้สัญลักษณ์ แทนเมทริกซ์${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle \mathbf {J} }$

สมมติว่าเป็นปริภูมิเวกเตอร์เชิงซิมเพล็กติกมิติที่มีพิกัดแคนอนิก (ทั่วโลก) ${\displaystyle M=\mathbb {R} ^{2n}}$${\displaystyle 2n}$

• ถ้าเช่นนั้น${\displaystyle H=p_{i}}$${\displaystyle X_{H}=\partial /\partial q^{i};}$
• ถ้าเช่นนั้น${\displaystyle H=q_{i}}$${\displaystyle X_{H}=-\partial /\partial p^{i};}$
• ถ้าเช่นนั้น${\textstyle H={\frac {1}{2}}\sum (p_{i})^{2}}$${\textstyle X_{H}=\sum p_{i}\partial /\partial q^{i};}$
• ถ้าเช่นนั้น${\textstyle H={\frac {1}{2}}\sum a_{ij}q^{i}q^{j},a_{ij}=a_{ji}}$${\textstyle X_{H}=-\sum a_{ij}q_{i}\partial /\partial p^{j}.}$

• การกำหนดค่านี้เป็นแบบเชิงเส้นดังนั้นผลรวมของฟังก์ชันแฮมิลโทเนียนสองฟังก์ชันจะแปลงเป็นผลรวมของสนามเวกเตอร์แฮมิลโทเนียนที่สอดคล้องกัน${\displaystyle f\mapsto X_{f}}$
• สมมติว่าเป็นพิกัดเชิงแคนอนิกบน(ดูด้านบน) จากนั้นเส้นโค้งจะเป็นเส้นโค้งอินทิกรัลของสนามเวกเตอร์แฮมิลโทเนียนก็ต่อเมื่อเป็นคำตอบของสมการของแฮมิลตัน : ^{[ 1 ]}${\displaystyle (q^{1},\cdots ,q^{n},p_{1},\cdots ,p_{n})}$${\displaystyle M}$${\displaystyle \gamma (t)=(q(t),p(t))}$${\displaystyle X_{H}}$$${\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {q}}^{i}&={\frac {\partial H}{\partial p_{i}}}\\{\dot {p}}_{i}&=-{\frac {\partial H}{\partial q^{i}}}.\end{aligned}}}$$
• แฮมิลโทเนียนมีค่าคงที่ตลอดเส้นโค้งอินทิกรัล เนื่องจากนั่นคือ ไม่ขึ้นอยู่กับ อย่างแท้จริงคุณสมบัตินี้สอดคล้องกับการอนุรักษ์พลังงานในกลศาสตร์แฮมิลโทเนียน${\displaystyle H}$${\displaystyle \langle dH,{\dot {\gamma }}\rangle =\omega (X_{H}(\gamma ),X_{H}(\gamma ))=0}$${\displaystyle H(\gamma (t))}$${\displaystyle t}$
• โดยทั่วไปแล้ว ถ้าฟังก์ชันสองฟังก์ชันและมีวงเล็บปัว ซงเป็นศูนย์ (ดูด้านล่าง) แล้วจะมีค่าคงที่ตลอดเส้นโค้งอินทิกรัลของและในทำนองเดียวกันจะมีค่าคงที่ตลอดเส้นโค้งอินทิกรัลของข้อเท็จจริงนี้เป็นหลักการทางคณิตศาสตร์เชิงนามธรรมที่อยู่เบื้องหลังทฤษฎีบทของ Noether ^{[ nb 1 ]}${\displaystyle F}$${\displaystyle H}$${\displaystyle F}$${\displaystyle H}$${\displaystyle H}$${\displaystyle F}$
• รูปแบบเชิงซิมเพล็กติก ได้รับการรักษาไว้โดยการไหลของแฮมิลโทเนียน หรือเทียบเท่ากับอนุพันธ์ของลี${\displaystyle \omega }$${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X_{H}}\omega =0}$

แนวคิดของสนามเวกเตอร์แฮมิลโทเนียนนำไปสู่ การดำเนินการทวิเชิงเส้น แบบสมมาตรเฉียงบนฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้บนแมนิโฟลด์เชิงซิมเพล็กติก ซึ่งก็คือวงเล็บปัวซงที่กำหนดโดยสูตร ${\displaystyle M}$

$${\displaystyle \{f,g\}=\omega (X_{g},X_{f})=dg(X_{f})={\mathcal {L}}_{X_{f}}g}$$

โดยที่หมายถึงอนุพันธ์ของ Lieตามสนามเวกเตอร์นอกจากนี้ ยังสามารถตรวจสอบได้ว่าเอกลักษณ์ต่อไปนี้เป็นจริง: ^{[ 1 ]} , ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X_{\{f,g\}}=-[X_{f},X_{g}]}$

โดยที่ด้านขวามือแสดงถึงวงเล็บ Lie ของฟิลด์เวกเตอร์แฮมิลโทเนียนที่มีแฮมิลโทเนียนและ. ผลที่ตามมา (การพิสูจน์ที่วงเล็บ Poisson ) คือ วงเล็บ Poisson สอดคล้องกับเอกลักษณ์ Jacobi : ^{[ 1 ]} , ${\displaystyle f}$${\displaystyle g}$${\displaystyle \{\{f,g\},h\}+\{\{g,h\},f\}+\{\{h,f\},g\}=0}$

ซึ่งหมายความว่าปริมาณเวกเตอร์ของฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้บน ซึ่งมีวงเล็บปัวซงเป็นส่วนประกอบ จะมีโครงสร้างเป็นพีชคณิตลีเหนือและการกำหนดค่าจะเป็นโฮโมมอร์ฟิซึมของพีชคณิตลีซึ่งเคอร์เนลประกอบด้วยฟังก์ชันคงที่เฉพาะที่ (ฟังก์ชันคงที่ถ้าเชื่อมต่อกัน) ${\displaystyle M}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle f\mapsto X_{f}}$${\displaystyle M}$

• สนามเวกเตอร์แฮมิลโทเนียนบนnLab