ในทางคณิตศาสตร์เส้นโค้งอินทิกรัลคือเส้นโค้งพาราเมตริกที่แสดงถึงคำตอบเฉพาะของสมการเชิงอนุพันธ์สามัญหรือระบบสมการ

เส้นโค้งอินทิกรัลมีชื่อเรียกอื่นๆ ที่หลากหลาย ขึ้นอยู่กับลักษณะและการตีความของสมการเชิงอนุพันธ์หรือสนามเวกเตอร์ ในทางฟิสิกส์เส้นโค้งอินทิกรัลสำหรับสนามไฟฟ้าหรือสนามแม่เหล็กเรียกว่าเส้นสนามและเส้นโค้งอินทิกรัลสำหรับสนามความเร็วของของเหลวเรียกว่าเส้นกระแสในระบบพลวัตเส้นโค้งอินทิกรัลสำหรับสมการเชิงอนุพันธ์ที่ควบคุมระบบเรียกว่าวิถีหรือวงโคจร

สมมติว่าFเป็นสนามเวกเตอร์ สถิต นั่นคือฟังก์ชันค่าเวกเตอร์ที่มีส่วนประกอบ( F₁ F₂ ..., Fₙ )ใน ระบบพิกัดคา ร์ทีเซียน x ( t เป็นเส้นโค้งพาราเมตริกที่มีพิกัดคาร์ทีเซียน( x₁ t ), x₂ ( t ), ..., xₙ ( t )) แล้ว x ( t )เป็นเส้นโค้งอินทิกรัลของF ถ้ามัน คำตอบของระบบสมการเชิงอนุพันธ์สามัญแบบ อิสระ

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dx_{1}}{dt}}&=F_{1}(x_{1},\ldots ,x_{n})\\&\;\,\vdots \\{\frac {dx_{n}}{dt}}&=F_{n}(x_{1},\ldots ,x_{n}).\end{aligned}}}$$

ระบบดังกล่าวสามารถเขียนได้ในรูปสมการเวกเตอร์เดียว

$${\displaystyle \mathbf {x} '(t)=\mathbf {F} (\mathbf {x} (t)).}$$

สมการนี้กล่าวว่า เวกเตอร์สัมผัสกับเส้นโค้ง ณ จุดใดๆx ( t )บนเส้นโค้งนั้นคือเวกเตอร์F ( x ( t )) อย่างแม่นยำ ดังนั้น เส้นโค้งx ( t ) จึงสัมผัสกับสนามเวกเตอร์ Fที่ทุกจุด

ถ้าฟิลด์เวกเตอร์ที่กำหนดมีความต่อเนื่องแบบลิปชิตซ์ ทฤษฎีบท ของPicard–Lindelöfจะบ่งชี้ว่าจะมีกระแสการไหลที่ไม่ซ้ำกันเพียงหนึ่งเดียวในช่วงเวลาสั้นๆ

ถ้าสมการเชิงอนุพันธ์ถูกแทนด้วยสนามเวกเตอร์หรือสนามความชันเส้นโค้งปริพันธ์ที่สอดคล้องกันจะเป็นเส้นสัมผัสกับสนามนั้น ณ แต่ละจุด

ให้Mเป็นแมนิโฟลด์แบบบานาคที่มีระดับชั้นC ^rโดยที่r ≥ 2ตามปกติT Mแทนบัน เดิลสัมผัส ของMโดยมีการฉายภาพตามธรรมชาติπ M  T M → Mกำหนดโดย

$${\displaystyle \pi _{M}:(x,v)\mapsto x.}$$

สนามเวกเตอร์บนMคือภาคตัดขวางของมัดสัมผัสT Mกล่าวคือ การกำหนดเวกเตอร์สัมผัส ให้กับทุก จุด บนแมนิโฟลด์ M ให้ Xเป็นสนามเวกเตอร์บนMที่มีระดับชั้นC ^{r −1}และให้p ∈ Mเส้นโค้งปริพันธ์สำหรับXที่ผ่านpณ เวลาt คือเส้นโค้งα  : J → Mที่มีระดับชั้นC ^{r −1}ซึ่งกำหนดบนช่วงเปิดJของเส้นจำนวนจริงRที่ประกอบด้วยt โดยที่

$${\displaystyle {\begin{aligned}\alpha (t_{0})&=p;\\\alpha '(t)&=X(\alpha (t)){\text{ สำหรับทุก }}t\in J.\end{aligned}}}$$

นิยามข้างต้นของเส้นโค้งอินทิกรัลαสำหรับสนามเวกเตอร์Xที่ผ่านจุดpณ เวลาt = นั้น เหมือนกับการกล่าวว่าαเป็นคำตอบเฉพาะที่ของสมการเชิงอนุพันธ์สามัญ/ปัญหาค่าเริ่มต้น

$${\displaystyle {\begin{aligned}\alpha (t_{0})&=p;\\\alpha '(t)&=X(\alpha (t)).\end{aligned}}}$$

มันเป็นแบบเฉพาะที่ในแง่ที่ว่ามันถูกกำหนดไว้เฉพาะในช่วงเวลาในJ เท่านั้น และไม่จำเป็นต้องใช้ได้กับทุกt ≥ t (หรือแม้แต่t ≤ t ) ดังนั้น ปัญหาของการพิสูจน์การมีอยู่และความเป็นเอกลักษณ์ของเส้นโค้งอินทิกรัลจึงเหมือนกับปัญหาของการหาคำตอบของสมการเชิงอนุพันธ์สามัญ/ปัญหาค่าเริ่มต้น และการแสดงให้เห็นว่าคำตอบเหล่านั้นมีเอกลักษณ์

ในข้างต้นα ′( t )หมายถึงอนุพันธ์ของαณ เวลาtซึ่งเป็น "ทิศทางที่αชี้ไป" ณ เวลาtจากมุมมองที่เป็นนามธรรมมากขึ้น นี่คืออนุพันธ์ของ Fréchet :

$${\displaystyle (\mathrm {d} _{t}\alpha )(+1)\in \mathrm {T} _{\alpha (t)}M.}$$

ในกรณีพิเศษที่M เป็น เซตย่อยเปิดบาง ส่วน ของR ⁿนี่คืออนุพันธ์ที่คุ้นเคย

$${\displaystyle \left({\frac {\mathrm {d} \alpha _{1}}{\mathrm {d} t}},\dots ,{\frac {\mathrm {d} \alpha _{n}}{\mathrm {d} t}}\right),}$$

โดยที่α , ..., α คือพิกัดของαเมื่อเทียบกับทิศทางพิกัดปกติ

อาจกล่าวได้อีกอย่างหนึ่งอย่างเป็นนามธรรมมากขึ้นในแง่ของแผนที่เหนี่ยวนำโปรดสังเกตว่าบันเดิลสัมผัสT JของJคือบันเดิลแบบไม่สำคัญJ × Rและมีภาคตัดขวางแบบแคนอนิกιของบันเดิลนี้โดยที่ι ( t ) = 1 (หรือแม่นยำกว่านั้นคือ( t , 1) ∈ ι ) สำหรับทุกt ∈ Jเส้นโค้งαเหนี่ยวนำแผนที่บันเดิลα  : T J → T Mดังนั้นแผนภาพต่อไปนี้จึงสลับกันได้:

จากนั้นอนุพันธ์เทียบ กับ เวลาα ′คือองค์ประกอบα ′ = α o ιและα ′( t )คือค่าของมัน ณ จุดใดจุดหนึ่ง  t ∈ J