ในเรขาคณิตเชิงอนุพันธ์ความหนาแน่นเทนเซอร์หรือ เทนเซอร์สัมพัทธ์เป็นการขยายแนวคิดของสนามเทนเซอร์ความหนาแน่นเทนเซอร์จะแปลงเป็นสนามเทนเซอร์เมื่อเปลี่ยนจากระบบพิกัดหนึ่งไปยังอีกระบบหนึ่ง (ดูสนามเทนเซอร์ ) ยกเว้นว่าจะมีการคูณหรือถ่วงน้ำหนัก เพิ่มเติม ด้วยกำลังของดีเทอร์มิแนนต์จาโคเบียนของฟังก์ชันการเปลี่ยนพิกัดหรือค่าสัมบูรณ์ของมัน ความหนาแน่นเทนเซอร์ที่มีดัชนีเดียวเรียกว่าความหนาแน่นเวกเตอร์มีการแบ่งแยกความหนาแน่นเทนเซอร์ (แท้จริง) ความหนาแน่นพсевдотеротеро ความหนาแน่นเทนเซอร์คู่ และความหนาแน่นเทนเซอร์คี่ บางครั้งความหนาแน่นเทนเซอร์ที่มีน้ำหนักลบเรียกว่าความจุเทนเซอร์^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]}ความหนาแน่นเทนเซอร์ยังสามารถถือได้ว่าเป็นส่วนหนึ่งของผลคูณเทนเซอร์ของ บัน เดิ ลเท นเซอร์กับบันเดิลความหนาแน่น${\displaystyle W}$${\displaystyle W}$

ในวิชาฟิสิกส์และสาขาที่เกี่ยวข้อง การทำงานกับส่วนประกอบของวัตถุเชิงพีชคณิตมักจะมีประโยชน์มากกว่าการทำงานกับตัววัตถุเอง ตัวอย่างเช่น การแยกเวกเตอร์ออกเป็นผลรวมของ เวกเตอร์ ฐานที่ถ่วงน้ำหนักด้วยสัมประสิทธิ์บางอย่าง เช่น โดย ที่ เป็นเวกเตอร์ใน ปริภูมิยูคลิด 3 มิติและเป็นเวกเตอร์ฐานมาตรฐานทั่วไปในปริภูมิยูคลิด วิธีนี้มักจำเป็นสำหรับการคำนวณ และมักให้ข้อมูลเชิงลึกเมื่อวัตถุเชิงพีชคณิตแสดงถึงนามธรรมที่ซับซ้อน แต่ส่วนประกอบของมันมีการตีความที่เป็นรูปธรรม อย่างไรก็ตาม ในการระบุตัวตนนี้ เราต้องระมัดระวังในการติดตามการเปลี่ยนแปลงของฐานพื้นฐานที่ใช้ในการขยายปริมาณนั้น ในระหว่างการคำนวณ อาจจำเป็นต้องเปลี่ยนฐานในขณะที่เวกเตอร์ยังคงอยู่กับที่ในปริภูมิทางกายภาพ โดยทั่วไปแล้ว หากวัตถุเชิงพีชคณิตแสดงถึงวัตถุทางเรขาคณิต แต่แสดงในรูปของฐานเฉพาะ เมื่อฐานเปลี่ยนไป ก็จำเป็นต้องเปลี่ยนการแสดงผลด้วย นักฟิสิกส์มักจะเรียกการแสดงแทนวัตถุทางเรขาคณิตนี้ว่าเทนเซอร์หากมันแปลงรูปภายใต้ลำดับของแผนที่เชิงเส้นที่กำหนดโดยการเปลี่ยนฐานเชิงเส้น (แม้ว่าบางคนจะเรียกวัตถุทางเรขาคณิตพื้นฐานที่ไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้การแปลงพิกัดว่า "เทนเซอร์" ซึ่งเป็นธรรมเนียมที่บทความนี้หลีกเลี่ยงอย่างเคร่งครัด) โดยทั่วไปแล้ว มีการแสดงแทนที่แปลงรูปไปในรูปแบบต่างๆ ขึ้นอยู่กับวิธีการสร้างค่าคงที่ทางเรขาคณิตขึ้นใหม่จากการแสดงแทน ในบางกรณีพิเศษ การใช้การแสดงแทนที่แปลงรูปเกือบเหมือนเทนเซอร์ แต่มีปัจจัยที่ไม่เป็นเชิงเส้นเพิ่มเติมในการแปลงนั้นสะดวกกว่า ตัวอย่างต้นแบบคือเมทริกซ์ที่แสดงผลคูณไขว้ (พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานที่แผ่ขยาย) บน การแสดงแทนนั้นกำหนดโดย ในฐานมาตรฐานโดย $${\displaystyle {\vec {v}}=c_{1}{\vec {e}__{1}+c_{2}{\vec {e}__{2}+c_{3}{\vec {e}__{3}}$$${\displaystyle {\vec {v}}}$${\displaystyle c_{i}\in \mathbb {R} ^{1}{\text{ และ }}{\vec {e}}_{i}}$${\displaystyle {\vec {v}}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}.}$$${\displaystyle {\vec {u}}\times {\vec {v}}={\begin{bmatrix}u_{1}&u_{2}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}0&1\\-1&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}v_{1}\\v_{2}\end{bmatrix}}=u_{1}v_{2}-u_{2}v_{1}}$$

ถ้าเราลองแสดงนิพจน์เดียวกันนี้ในฐานอื่นที่ไม่ใช่ฐานมาตรฐาน ส่วนประกอบของเวกเตอร์จะเปลี่ยนไป เช่น ตามเมทริกซ์ 2x2 ของจำนวนจริง เนื่องจากพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานที่แผ่ขยายเป็นค่าคงที่ทางเรขาคณิต จึงไม่สามารถเปลี่ยนแปลงได้ภายใต้การเปลี่ยนฐาน ดังนั้นการแสดงเมทริกซ์แบบใหม่จึงต้องเป็น: ซึ่งเมื่อขยายแล้วก็คือนิพจน์เดิมแต่คูณด้วยดีเทอร์มิแนนต์ ของ ซึ่งก็คือ ในความเป็นจริง การแสดงนี้อาจคิดได้ว่าเป็นการแปลงเทนเซอร์สองดัชนี แต่ในทางคำนวณแล้วง่ายกว่าที่จะคิดว่ากฎการแปลงเทนเซอร์เป็นการคูณด้วยมากกว่าการคูณเมทริกซ์ 2 ตัว (ในความเป็นจริงในมิติที่สูงกว่า การขยายตามธรรมชาติของสิ่งนี้คือการคูณเมทริกซ์ ซึ่งสำหรับค่า ขนาดใหญ่เป็นไปไม่ได้เลย) วัตถุที่แปลงในลักษณะนี้เรียกว่าความหนาแน่นเทนเซอร์เพราะมันเกิดขึ้นตามธรรมชาติเมื่อพิจารณาปัญหาเกี่ยวกับพื้นที่และปริมาตร ดังนั้นจึงมักใช้ในการอินทิเกรต ${\textstyle {\begin{bmatrix}u'_{1}&u'_{2}\end{bmatrix}}^{\textsf {T}}=A{\begin{bmatrix}u_{1}&u_{2}\end{bmatrix}}^{\textsf {T}}}$${\displaystyle A}$$${\displaystyle \left(A^{-1}\right)^{\textsf {T}}{\begin{bmatrix}0&1\\-1&0\end{bmatrix}}A^{-1}}$$${\displaystyle A^{-1},}$${\textstyle {\frac {1}{\det A}}.}$${\textstyle {\frac {1}{\det A}},}$${\displaystyle n,n\times n}$${\displaystyle n}$

ในบทความนี้ ผู้เขียนบางคนจำแนกความหนาแน่นของเทนเซอร์ออกเป็นสองประเภท คือ ความหนาแน่นของเทนเซอร์ (แท้จริง) และความหนาแน่นของเทนเซอร์เทียม ในขณะที่ผู้เขียนคนอื่นๆ จำแนกแตกต่างออกไป โดยแบ่งออกเป็นประเภทความหนาแน่นของเทนเซอร์คู่และความหนาแน่นของเทนเซอร์คี่ เมื่อน้ำหนักของความหนาแน่นของเทนเซอร์เป็นจำนวนเต็ม จะมีความเท่าเทียมกันระหว่างวิธีการเหล่านี้ ซึ่งขึ้นอยู่กับว่าจำนวนเต็มนั้นเป็นจำนวนคู่หรือจำนวนคี่

โปรดทราบว่าการจำแนกประเภทเหล่านี้อธิบายถึงวิธีการต่างๆ ที่ความหนาแน่นของเทนเซอร์อาจเปลี่ยนแปลงไปในลักษณะที่ผิดปกติภายใต้ การแปลงพิกัดแบบ กลับทิศทางไม่ว่าจะเป็นการจำแนกประเภทอย่างไรก็ตาม ความหนาแน่นของเทนเซอร์จะเปลี่ยนแปลงไปเพียงวิธีเดียวเท่านั้นภายใต้การแปลงพิกัดแบบ รักษา ทิศทาง

ในบทความนี้ เราได้เลือกแบบแผนที่กำหนดน้ำหนัก +2 ให้กับ ซึ่งเป็นดีเทอร์มิแนนต์ของเทนเซอร์เมตริกที่แสดงด้วย ดัชนี โคแวเรียนต์ด้วยการเลือกนี้ ความหนาแน่นแบบคลาสสิก เช่น ความหนาแน่นประจุ จะถูกแทนด้วยความหนาแน่นเทนเซอร์ที่มีน้ำหนัก +1 ผู้เขียนบางคนใช้แบบแผนเครื่องหมายสำหรับน้ำหนักที่เป็นปฏิปักษ์กับที่นำเสนอในที่นี้^{[ 4 ]}${\displaystyle g=\det \left(g_{\rho \sigma }\right)}$

ในทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไป คำว่า " pseudotensor " บางครั้งหมายถึงวัตถุที่ไม่เปลี่ยนแปลงรูปร่างเหมือนเทนเซอร์หรือเทนเซอร์สัมพัทธ์ที่มีน้ำหนักใดๆ ซึ่งแตกต่างจากความหมายที่ใช้ในบทความนี้

ตัวอย่างเช่น ความหนาแน่นเทนเซอร์ผสมอันดับสอง (ของแท้) ของน้ำหนักแปลงเป็น: ^{[ 5 ] [ 6 ]}${\displaystyle W}$

${\displaystyle {\mathfrak {T}}_{\beta }^{\alpha }=\left(\det {\left[{\frac {\partial {\bar {x}}^{\iota }}{\partial {x}^{\gamma }}}\right]}\right)^{W}\,{\frac {\partial {x}^{\alpha }}{\partial {\bar {x}}^{\delta }}}\,{\frac {\partial {\bar {x}}^{\epsilon }}{\partial {x}^{\beta }}}\,{\bar {\mathfrak {T}}}_{\epsilon }^{\delta }\,,}$     (ความหนาแน่นเทนเซอร์ (แท้จริง) ของน้ำหนัก (จำนวนเต็ม) )${\displaystyle W}$

โดยที่คือความหนาแน่นเทนเซอร์อันดับสองในระบบพิกัด และคือความหนาแน่นเทนเซอร์ที่แปลงแล้วในระบบพิกัด และเราใช้ ดีเทอร์มิ แนนต์ของจาโคเบียนเนื่องจากดีเทอร์มิแนนต์สามารถเป็นค่าลบได้ ซึ่งเป็นกรณีของการแปลงพิกัดแบบกลับทิศทาง สูตรนี้จึงใช้ได้เฉพาะเมื่อเป็นจำนวนเต็มเท่านั้น (อย่างไรก็ตาม โปรดดูความหนาแน่นเทนเซอร์คู่และคี่ด้านล่าง) ${\displaystyle {\bar {\mathfrak {T}}}}$${\displaystyle {\bar {x}}}$${\displaystyle {\mathfrak {T}}}$${\displaystyle {x}}$${\displaystyle W}$

เรากล่าวว่าความหนาแน่นเทนเซอร์เป็นความหนาแน่นพсевдотеротерเมื่อมีการพลิกเครื่องหมายเพิ่มเติมภายใต้การแปลงพิกัดแบบกลับทิศทาง ความหนาแน่นพсевдотеротероแบบผสมอันดับสองของน้ำหนักจะแปลงเป็น ${\displaystyle W}$

${\displaystyle {\mathfrak {T}}_{\beta }^{\alpha }=\operatorname {sgn} \left(\det {\left[{\frac {\partial {\bar {x}}^{\iota }}{\partial {x}^{\gamma }}}\right]}\right)\left(\det {\left[{\frac {\partial {\bar {x}}^{\iota }}{\partial {x}^{\gamma }}}\right]}\right)^{W}\,{\frac {\partial {x}^{\alpha }}{\partial {\bar {x}}^{\delta }}}\,{\frac {\partial {\bar {x}}^{\epsilon }}{\partial {x}^{\beta }}}\,{\bar {\mathfrak {T}}}_{\epsilon }^{\delta }\,,}$     (ความหนาแน่นของพсевдотеротеритึมที่มีน้ำหนัก (จำนวนเต็ม) )${\displaystyle W}$

โดยที่sgn ( )${\displaystyle \cdot }$เป็นฟังก์ชันที่ส่งคืนค่า +1 เมื่ออาร์กิวเมนต์เป็นค่าบวก หรือ −1 เมื่ออาร์กิวเมนต์เป็นค่าลบ

การแปลงสำหรับความหนาแน่นเทนเซอร์คู่และคี่มีข้อดีคือสามารถนิยามได้อย่างชัดเจนแม้ว่าจะไม่ใช่จำนวนเต็ม ดังนั้นจึงสามารถกล่าวถึงความหนาแน่นเทนเซอร์คี่ที่มีน้ำหนัก +2 หรือความหนาแน่นเทนเซอร์คู่ที่มีน้ำหนัก −1/2 ได้ ${\displaystyle W}$

เทนเซอร์ความหนาแน่นแบบคู่จะแปลงรูปดังต่อไปนี้ แม้ว่าสูตรจะใช้ได้กับน้ำหนักW ที่เป็นค่าจริงใดๆ ก็ตาม แต่ชื่อนี้เกิดขึ้นเนื่องจากการแปลงรูปนี้เทียบเท่ากับการแปลงรูปของเทนเซอร์ความหนาแน่น (แท้จริง) เมื่อน้ำหนักเป็นเลขคู่

${\displaystyle {\mathfrak {T}}_{\beta }^{\alpha }=\left\vert \det {\left[{\frac {\partial {\bar {x}}^{\iota }}{\partial {x}^{\gamma }}}\right]}\right\vert ^{W}\,{\frac {\partial {x}^{\alpha }}{\partial {\bar {x}}^{\delta }}}\,{\frac {\partial {\bar {x}}^{\epsilon }}{\partial {x}^{\beta }}}\,{\bar {\mathfrak {T}}}_{\epsilon }^{\delta }\,.}$     (ความหนาแน่นเทนเซอร์คู่ของน้ำหนัก)${\displaystyle W}$

ในทำนองเดียวกัน ความหนาแน่นเทนเซอร์คี่จะแปลงดังต่อไปนี้ แม้ว่าสูตรจะใช้ได้กับน้ำหนักW ที่เป็นค่าจริงใดๆ ก็ตาม แต่ชื่อนี้เกิดขึ้นเนื่องจากการแปลงนั้นเทียบเท่ากับการแปลงความหนาแน่นเทนเซอร์ (แท้จริง) เมื่อน้ำหนักเป็นเลขคี่

${\displaystyle {\mathfrak {T}}_{\beta }^{\alpha }=\operatorname {sgn} \left(\det {\left[{\frac {\partial {\bar {x}}^{\iota }}{\partial {x}^{\gamma }}}\right]}\right)\left\vert \det {\left[{\frac {\partial {\bar {x}}^{\iota }}{\partial {x}^{\gamma }}}\right]}\right\vert ^{W}\,{\frac {\partial {x}^{\alpha }}{\partial {\bar {x}}^{\delta }}}\,{\frac {\partial {\bar {x}}^{\epsilon }}{\partial {x}^{\beta }}}\,{\bar {\mathfrak {T}}}_{\epsilon }^{\delta }\,.}$     (ความหนาแน่นเทนเซอร์คี่ของน้ำหนัก)${\displaystyle W}$

ความหนาแน่นเทนเซอร์ชนิดใดก็ตามที่มีน้ำหนักเป็นศูนย์ เรียกว่าเทนเซอร์สัมบูรณ์ส่วนความหนาแน่นเทนเซอร์แท้ที่มีน้ำหนักเป็นศูนย์ ซึ่งเป็นความหนาแน่นเทนเซอร์คู่ที่มีน้ำหนักเป็นศูนย์เช่นกัน เรียกว่า เท น เซอร์ธรรมดา

หากไม่ได้ระบุค่าน้ำหนัก แต่มีการใช้คำว่า "สัมพัทธ์" หรือ "ความหนาแน่น" ในบริบทที่ต้องการ ทราบ ค่าน้ำหนักที่เฉพาะเจาะจง โดยปกติจะถือว่าค่าน้ำหนักนั้นเป็น+1

1. ผลรวมเชิงเส้น (หรือที่เรียกว่าผลรวมถ่วงน้ำหนัก ) ของความหนาแน่นเทนเซอร์ประเภทและน้ำหนักเดียวกันจะเป็นความหนาแน่นเทนเซอร์ประเภทและน้ำหนักนั้นอีกครั้ง${\displaystyle W}$
2. ผลคูณของความหนาแน่นเทนเซอร์สองตัวใดๆ ก็ตาม ที่มีน้ำหนักและจะเป็นความหนาแน่นเทนเซอร์ที่มีน้ำหนักนอกจากนี้ ผลคูณของความหนาแน่นเทนเซอร์แท้และความหนาแน่นเทนเซอร์เทียม จะเป็นความหนาแน่นเทนเซอร์แท้เมื่อจำนวนตัวประกอบที่เป็นความหนาแน่นเทนเซอร์เทียมเป็นเลขคู่ และจะเป็นความหนาแน่นเทนเซอร์เทียมเมื่อจำนวนตัวประกอบที่เป็นความหนาแน่นเทนเซอร์เทียมเป็นเลขคี่ ในทำนองเดียวกัน ผลคูณของความหนาแน่นเทนเซอร์เลขคู่และความหนาแน่นเทนเซอร์เลขคี่ จะเป็นความหนาแน่นเทนเซอร์เลขคู่เมื่อจำนวนตัวประกอบที่เป็นความหนาแน่นเทนเซอร์เลขคี่เป็นเลขคู่ และจะเป็นความหนาแน่นเทนเซอร์เลขคี่เมื่อจำนวนตัวประกอบที่เป็นความหนาแน่นเทนเซอร์เลขคี่เป็นเลขคี่${\displaystyle W_{1}}$${\displaystyle W_{2}}$${\displaystyle W_{1}+W_{2}.}$
3. การหดตัวของดัชนีบนความหนาแน่นเทนเซอร์ที่มีน้ำหนักจะให้ความหนาแน่นเทนเซอร์ที่มีน้ำหนักอีกครั้ง^{[ 7 ]}${\displaystyle W}$${\displaystyle W.}$
4. การยกและลดดัชนีโดยใช้เมตริกเทนเซอร์ (ซึ่งเป็นของแท้ แม้กระทั่ง และมีน้ำหนัก 0) จะทำให้น้ำหนักไม่เปลี่ยนแปลง^{[ 8 ]}ดังที่สามารถพิสูจน์ได้โดยการรวม (2) และ (3)

ถ้าเป็นเมทริกซ์ไม่เอกฐาน และเป็นเทนเซอร์ความหนาแน่นอันดับสองที่มีน้ำหนักและดัชนีแบบโคแวเรียนต์แล้ว เมทริกซ์ผกผันของมันจะเป็นเทนเซอร์ความหนาแน่นอันดับสองที่มีน้ำหนักและดัชนีแบบคอนทราแวเรียนต์ ข้อความที่คล้ายกันนี้ใช้ได้เมื่อดัชนีทั้งสองเป็นแบบคอนทราแวเรียนต์หรือเป็นแบบผสมระหว่างโคแวเรียนต์และคอนทราแวเรียนต์ ${\displaystyle {\mathfrak {T}}_{\alpha \beta }}$${\displaystyle W}$${\displaystyle -W}$

ถ้าเป็นความหนาแน่นเทนเซอร์อันดับสองที่มีน้ำหนักและดัชนีโคแวเรียนต์ แล้วดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์จะมีน้ำหนักโดยที่คือจำนวนมิติของปริภูมิเวลา ถ้าเป็นความหนาแน่นเทนเซอร์อันดับสองที่มีน้ำหนักและดัชนีคอนทราแวเรียนต์ แล้วดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์จะมีน้ำหนัก ดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์จะมีน้ำหนัก${\displaystyle {\mathfrak {T}}_{\alpha \beta }}$${\displaystyle W}$${\displaystyle \det {\mathfrak {T}}_{\alpha \beta }}$${\displaystyle NW+2,}$${\displaystyle N}$${\displaystyle {\mathfrak {T}}^{\alpha \beta }}$${\displaystyle W}$${\displaystyle \det {\mathfrak {T}}^{\alpha \beta }}$${\displaystyle NW-2.}$${\displaystyle \det {\mathfrak {T}}_{~\beta }^{\alpha }}$${\displaystyle NW.}$

เทนเซอร์ธรรมดาที่ไม่เอกฐานใดๆจะแปลงรูปดังนี้ ${\displaystyle T_{\mu \nu }}$$${\displaystyle T_{\mu \nu }={\frac {\partial {\bar {x}}^{\kappa }}{\partial {x}^{\mu }}}{\bar {T}}_{\kappa \lambda }{\frac {\partial {\bar {x}}^{\lambda }}{\partial {x}^{\nu }}}\,,}$$

โดยที่ด้านขวาสามารถมองได้ว่าเป็นผลคูณของเมทริกซ์สามตัว การหาดีเทอร์มิแนนต์ของทั้งสองข้างของสมการ (โดยใช้ว่าดีเทอร์มิแนนต์ของผลคูณเมทริกซ์คือผลคูณของดีเทอร์มิแนนต์) การหารทั้งสองข้างด้วยและการหาค่ารากที่สองจะได้ ${\displaystyle \det \left({\bar {T}}_{\kappa \lambda }\right),}$$${\displaystyle \left\vert \det {\left[{\frac {\partial {\bar {x}}^{\iota }}{\partial {x}^{\gamma }}}\right]}\right\vert ={\sqrt {\frac {\det({T}_{\mu \nu })}{\det \left({\bar {T}}_{\kappa \lambda }\right)}}}\,.}$$

เมื่อเทนเซอร์คือเทนเซอร์เมตริกและเป็นระบบพิกัดเฉื่อยเฉพาะที่ซึ่งdiag(−1,+1,+1,+1) คือเมตริกมินคอฟสกีแล้ว−1 และอื่นๆ ${\displaystyle T}$${\displaystyle {g}_{\kappa \lambda },}$${\displaystyle {\bar {x}}^{\iota }}$${\displaystyle {\bar {g}}_{\kappa \lambda }=\eta _{\kappa \lambda }=}$ ${\displaystyle \det \left({\bar {g}}_{\kappa \lambda }\right)=\det(\eta _{\kappa \lambda })=}$ $${\displaystyle \left\vert \det {\left[{\frac {\partial {\bar {x}}^{\iota }}{\partial {x}^{\gamma }}}\right]}\right\vert ={\sqrt {-{g}}}\,,}$$

ดีเทอร์มิแนนต์ของเมตริกเทนเซอร์อยู่ที่ไหน${\displaystyle {g}=\det \left({g}_{\mu \nu }\right)}$${\displaystyle {g}_{\mu \nu }.}$

ด้วยเหตุนี้ ความหนาแน่นเทนเซอร์คู่ที่มีน้ำหนักจึงสามารถเขียนได้ในรูปแบบ ${\displaystyle {\mathfrak {T}}_{\nu \dots }^{\mu \dots },}$${\displaystyle W}$$${\displaystyle {\mathfrak {T}}_{\nu \dots }^{\mu \dots }={\sqrt {-g}}\;^{W}T_{\nu \dots }^{\mu \dots }\,,}$$

โดยที่เป็นเทนเซอร์ธรรมดา ในระบบพิกัดเฉื่อยเฉพาะที่ซึ่งและจะถูกแทนด้วยตัวเลขเดียวกัน ${\displaystyle T_{\nu \dots }^{\mu \dots }\,}$${\displaystyle g_{\kappa \lambda }=\eta _{\kappa \lambda },}$${\displaystyle {\mathfrak {T}}_{\nu \dots }^{\mu \dots }}$${\displaystyle T_{\nu \dots }^{\mu \dots }\,}$

เมื่อใช้การเชื่อมต่อเมตริก ( การเชื่อมต่อ Levi-Civita ) อนุพันธ์ร่วมแปรของความหนาแน่นเทนเซอร์คู่จะถูกกำหนดดังนี้ $${\displaystyle {\mathfrak {T}}_{\nu \dots ;\alpha }^{\mu \dots }={\sqrt {-g}}\;^{W}T_{\nu \dots ;\alpha }^{\mu \dots }={\sqrt {-g}}\;^{W}\left({\sqrt {-g}}\;^{-W}{\mathfrak {T}}_{\nu \dots }^{\mu \dots }\right)_{;\alpha }\,.}$$

สำหรับการเชื่อมต่อใดๆ อนุพันธ์โคแวเรียนต์จะถูกกำหนดโดยการเพิ่มพจน์พิเศษ เข้าไปในนิพจน์ที่เหมาะสมสำหรับอนุพันธ์โคแวเรียนต์ของเทนเซอร์ทั่วไป $${\displaystyle -W\,\Gamma _{~\delta \alpha }^{\delta }\,{\mathfrak {T}}_{\nu \dots }^{\mu \dots }}$$

ในทำนองเดียวกัน กฎการคูณก็ได้รับการปฏิบัติตาม $${\displaystyle \left({\mathfrak {T}}_{\nu \dots }^{\mu \dots }{\mathfrak {S}}_{\tau \dots }^{\sigma \dots }\right)_{;\alpha }=\left({\mathfrak {T}}_{\nu \dots ;\alpha }^{\mu \dots }\right){\mathfrak {S}}_{\tau \dots }^{\sigma \dots }+{\mathfrak {T}}_{\nu \dots }^{\mu \dots }\left({\mathfrak {S}}_{\tau \dots ;\alpha }^{\sigma \dots }\right)\,,}$$

โดยที่สำหรับการเชื่อมต่อแบบเมตริก อนุพันธ์ร่วมแปรของฟังก์ชันใดๆ ของจะเป็นศูนย์เสมอ ${\displaystyle g_{\kappa \lambda }}$$${\displaystyle {\begin{aligned}g_{\kappa \lambda ;\alpha }&=0\\\left({\sqrt {-g}}\;^{W}\right)_{;\alpha }&=\left({\sqrt {-g}}\;^{W}\right)_{,\alpha }-W\Gamma _{~\delta \alpha }^{\delta }{\sqrt {-g}}\;^{W}={\frac {W}{2}}g^{\kappa \lambda }g_{\kappa \lambda ,\alpha }{\sqrt {-g}}\;^{W}-W\Gamma _{~\delta \alpha }^{\delta }{\sqrt {-g}}\;^{W}=0\,.\end{aligned}}}$$

นิพจน์นี้เป็นความหนาแน่นเชิงสเกลาร์ ตามข้อกำหนดของบทความนี้จึงมีน้ำหนักเท่ากับ +1 ${\displaystyle {\sqrt {-g}}}$

ความหนาแน่นของกระแสไฟฟ้า(ตัวอย่างเช่นคือปริมาณประจุไฟฟ้าที่ไหลผ่านองค์ประกอบปริมาตร 3 มิติหารด้วยองค์ประกอบนั้น — ไม่ต้องใช้เมตริกในการคำนวณนี้) คือความหนาแน่นเวกเตอร์แบบคอนทราแวเรียนต์ที่มีน้ำหนัก +1 มักเขียนในรูปหรือโดยที่และรูปแบบเชิงอนุพันธ์คือเทนเซอร์สัมบูรณ์ และ โดยที่คือสัญลักษณ์ Levi-Civita ; ดูด้านล่าง ${\displaystyle {\mathfrak {J}}^{\mu }}$${\displaystyle {\mathfrak {J}}^{2}}$${\displaystyle dx^{3}\,dx^{4}\,dx^{1}}$${\displaystyle {\mathfrak {J}}^{\mu }=J^{\mu }{\sqrt {-g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {J}}^{\mu }=\varepsilon ^{\mu \alpha \beta \gamma }{\mathcal {J}}_{\alpha \beta \gamma }/3!,}$${\displaystyle J^{\mu }\,}$${\displaystyle {\mathcal {J}}_{\alpha \beta \gamma }}$${\displaystyle \varepsilon ^{\mu \alpha \beta \gamma }}$

ความหนาแน่นของแรงลอเรนซ์ (นั่นคือ โมเมนตัมเชิงเส้นที่ถ่ายโอนจากสนามแม่เหล็กไฟฟ้าไปยังสสารภายในองค์ประกอบปริมาตร 4 หารด้วยองค์ประกอบนั้น — ไม่ต้องใช้เมตริกในการคำนวณนี้) คือความหนาแน่นเวกเตอร์โคแวเรียนต์ที่มีน้ำหนัก +1 ${\displaystyle {\mathfrak {f}}_{\mu }}$${\displaystyle dx^{1}\,dx^{2}\,dx^{3}\,dx^{4}}$

ในปริภูมิ-เวลา n มิติสัญลักษณ์ Levi-Civitaอาจถือได้ว่าเป็นความหนาแน่นเทนเซอร์แท้แบบ rank- contravariant (คี่) ที่มีน้ำหนัก +1 ( )หรือความหนาแน่นเทนเซอร์แท้แบบ rank-covariant (คี่) ที่มีน้ำหนัก −1 ( ) : โปรดสังเกตว่าสัญลักษณ์ Levi-Civita (ที่ถือเช่นนี้) ไม่เป็นไปตามธรรมเนียมปกติสำหรับการยกหรือลดดัชนีด้วยเทนเซอร์เมตริก นั่นคือ จริงอยู่ที่ แต่ในทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไป ซึ่งมีค่าเป็นลบเสมอ ค่านี้จึงไม่เท่ากับ${\displaystyle N}$${\displaystyle N}$${\displaystyle \epsilon ^{\alpha _{1}\cdots \epsilon _{\alpha _{N}}}}$${\displaystyle N}$${\displaystyle \epsilon _{\alpha _{1}\cdots \epsilon _{\alpha _{N}}}}$$${\displaystyle \epsilon ^{\alpha _{1}\cdots \epsilon _{\alpha _{N}}}={\bar {\epsilon }}^{\beta _{1}\cdots \epsilon _{\beta _{N}}}{\frac {\partial x^{\alpha _{1}}}{\partial {\bar {x}}^{\beta _{1}}}}\cdots {\frac {\partial x^{\alpha _{N}}}{\partial {\bar {x}}^{\beta _{N}}}}\left(\det \left[{\frac {\partial {\bar {x}}^{\beta }}{\partial x^{\alpha }}}\right]\right)^{+1}}$$$${\displaystyle \epsilon _{\alpha _{1}\cdots \epsilon _{\alpha _{N}}}={\bar {\epsilon }}_{\beta _{1}\cdots \epsilon _{\beta _{N}}}{\frac {\partial {\bar {x}}^{\beta _{1}}}{\partial x^{\alpha _{1}}}}\cdots {\frac {\partial {\bar {x}}^{\beta _{N}}}{\partial x^{\alpha _{N}}}}\left(\det \left[{\frac {\partial {\bar {x}}^{\beta }}{\partial x^{\alpha }}}\right]\right)^{-1}\,.}$$$${\displaystyle \varepsilon ^{\alpha \beta \gamma \delta }\,g_{\alpha \kappa }\,g_{\beta \lambda }\,g_{\gamma \mu }g_{\delta \nu }\,=\,\varepsilon _{\kappa \lambda \mu \nu }\,g\,,}$$${\displaystyle g=\det \left(g_{\rho \sigma }\right)}$${\displaystyle \varepsilon _{\kappa \lambda \mu \nu }.}$

ดีเทอร์มิแนนต์ของเมตริกเทนเซอร์ คือความหนาแน่นสเกลาร์แท้ (คู่) ที่มีน้ำหนัก +2 ซึ่งเป็นผลรวมของการคูณความหนาแน่นเทนเซอร์แท้ (คี่) 2 ตัว ที่มีน้ำหนัก +1 กับความหนาแน่นเทนเซอร์แท้ (คู่) 4 ตัว ที่มีน้ำหนัก 0 $${\displaystyle g=\det \left(g_{\rho \sigma }\right)={\frac {1}{4!}}\varepsilon ^{\alpha \beta \gamma \delta }\varepsilon ^{\kappa \lambda \mu \nu }g_{\alpha \kappa }g_{\beta \lambda }g_{\gamma \mu }g_{\delta \nu }\,,}$$