ในเรขาคณิตเชิงอนุพันธ์รูปแบบหนึ่ง (หรือฟิลด์โคเวกเตอร์ ) บนแมนิโฟลด์ที่สามารถหาอนุพันธ์ได้คือรูปแบบเชิงอนุพันธ์ดีกรีหนึ่ง นั่นคือส่วนเรียบ ของบันเดิลโคแทนเจนต์ [ ^{1 ] หรือ}เทียบเท่ากับรูปแบบหนึ่งบนแมนิโฟลด์คือการแมปแบบเรียบของปริภูมิทั้งหมดของบันเดิลแทนเจนต์ของซึ่งการจำกัดบนไฟเบอร์แต่ละไฟเบอร์เป็นฟังก์ชันเชิงเส้นบนปริภูมิแทนเจนต์^{[ 2 ]}ให้เป็นเซตย่อยเปิดของและแล้ว กำหนดรูปแบบหนึ่งเป็นโคเวกเตอร์ ${\displaystyle M}$${\displaystyle M}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle U}$${\displaystyle M}$${\displaystyle p\in U}$$${\displaystyle {\begin{aligned}\omega :U&\rightarrow \bigcup _{p\in U}T_{p}^{*}(M)\\p&\mapsto \omega _{p}\in T_{p}^{*}(M)\end{aligned}}}$$${\displaystyle \omega }$${\displaystyle \omega _{p}}$

โดยทั่วไปแล้ว วันฟอร์มจะถูกอธิบายในระดับท้องถิ่น โดยเฉพาะอย่างยิ่งใน ระบบพิกัด ท้องถิ่นในระบบพิกัดท้องถิ่น วันฟอร์มคือการรวมเชิงเส้นของอนุพันธ์ของพิกัด โดยที่เป็นฟังก์ชันเรียบ จากมุมมองนี้ วันฟอร์มมี กฎการแปลง แบบโคแวเรียนต์เมื่อเปลี่ยนจากระบบพิกัดหนึ่งไปยังอีกระบบหนึ่ง ดังนั้น วันฟอร์มจึงเป็นสนามเทนเซอร์โคแวเรียนต์ อันดับ 1$${\displaystyle \alpha _{x}=f_{1}(x)\,dx_{1}+f_{2}(x)\,dx_{2}+\cdots +f_{n}(x)\,dx_{n},}$$${\displaystyle f_{i}}$

รูปแบบอนุพันธ์หนึ่งมิติพื้นฐานที่ไม่ธรรมดาที่สุดคือรูปแบบ "การเปลี่ยนแปลงของมุม" ซึ่งนิยามว่าเป็นอนุพันธ์ของ "ฟังก์ชัน" มุม(ซึ่งนิยามได้เฉพาะค่าคงที่บวกเท่านั้น) ซึ่งสามารถนิยามได้อย่างชัดเจนในรูปของ ฟังก์ชัน atan²การหาอนุพันธ์จะได้สูตรต่อไปนี้สำหรับอนุพันธ์รวม : ในขณะที่ "ฟังก์ชัน" มุมไม่สามารถนิยามได้อย่างต่อเนื่อง – ฟังก์ชัน atan² ไม่ต่อเนื่องตามแกนลบ– ซึ่งสะท้อนให้เห็นว่ามุมไม่สามารถนิยามได้อย่างต่อเนื่อง อนุพันธ์นี้สามารถนิยามได้อย่างต่อเนื่องยกเว้นที่จุดกำเนิด ซึ่งสะท้อนให้เห็นว่าการเปลี่ยนแปลงของมุมที่เล็กน้อย (และเฉพาะที่) สามารถนิยามได้ทุกที่ยกเว้นที่จุดกำเนิด การอินทิเกรตอนุพันธ์นี้ตามเส้นทางจะให้การเปลี่ยนแปลงของมุมทั้งหมดตามเส้นทาง และการอินทิเกรตบนวงปิดจะให้ จำนวน รอบคูณด้วย${\displaystyle d\theta .}$${\displaystyle \theta (x,y)}$$${\displaystyle {\begin{aligned}d\theta &=\partial _{x}\left(\operatorname {atan2} (y,x)\right)dx+\partial _{y}\left(\operatorname {atan2} (y,x)\right)dy\\&=-{\frac {y}{x^{2}+y^{2}}}dx+{\frac {x}{x^{2}+y^{2}}}dy\end{aligned}}}$$${\displaystyle y}$${\displaystyle 2\pi .}$

ในภาษาของเรขาคณิตเชิงอนุพันธ์อนุพันธ์นี้คือฟอร์มหนึ่งบนระนาบที่มีรูพรุนมันเป็นฟอร์มปิด ( อนุพันธ์ภายนอกเป็นศูนย์) แต่ไม่แม่นยำหมายความว่ามันไม่ใช่อนุพันธ์ของฟอร์มศูนย์ (นั่นคือ ฟังก์ชัน): มุม ไม่ใช่ฟังก์ชันเรียบที่กำหนดทั่วโลกบนระนาบที่มีรูพรุนทั้งหมด อันที่จริง ฟอร์มนี้สร้าง โคฮอโมโลยีเดอแรมแรกของระนาบที่มีรูพรุน นี่เป็นตัวอย่างพื้นฐานที่สุดของฟอร์มดังกล่าว และมันเป็นพื้นฐานในเรขาคณิตเชิงอนุพันธ์ ${\displaystyle \theta }$

ให้เป็นเซตเปิด (เช่น ช่วง) และพิจารณาฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้โดยมีอนุพันธ์ อนุพันธ์จะกำหนดแผนที่เชิงเส้นจากปริภูมิสัมผัสไปยังจำนวนจริงให้กับแต่ละจุด ในกรณีนี้ ปริภูมิสัมผัสแต่ละแห่งสามารถระบุได้อย่างเป็นธรรมชาติด้วยเส้นจำนวนจริง และแผนที่เชิงเส้นดังกล่าวได้มาจากการปรับสเกลด้วยนี่คือตัวอย่างที่ง่ายที่สุดของรูปแบบ (หนึ่ง) อนุพันธ์ ${\displaystyle U\subseteq \mathbb {R} }$${\displaystyle (a,b)}$${\displaystyle f:U\to \mathbb {R} ,}$${\displaystyle f'.}$${\displaystyle df}$${\displaystyle x_{0}\in U}$${\displaystyle T_{x_{0}}U}$${\displaystyle \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$${\displaystyle f'(x_{0}).}$

• รูปแบบที่แตกต่างกัน  – การแสดงออกที่อาจรวมเข้าด้วยกันได้ในภูมิภาคหนึ่ง
• ผลคูณภายใน  – ปริภูมิเวกเตอร์ที่มีผลคูณดอทแบบทั่วไปหน้าเว็บที่แสดงคำอธิบายสั้น ๆ ของเป้าหมายการเปลี่ยนเส้นทาง
• แลตติซผกผัน  – การแปลงฟูริเยร์ของแลตติซในปริภูมิจริง ซึ่งมีความสำคัญในฟิสิกส์ของของแข็ง
• เทนเซอร์  – วัตถุเชิงพีชคณิตที่มีการประยุกต์ใช้ทางเรขาคณิต