ในทางคณิตศาสตร์โดยเฉพาะอย่างยิ่งในแคลคูลัสเวกเตอร์และโทโพโลยีเชิงอนุพันธ์รูปแบบปิด (closed form) คือรูปแบบเชิง อนุพันธ์ αที่ มี อนุพันธ์ภายนอกเป็นศูนย์ ( dα = 0 ) และรูปแบบที่แน่นอน (exact form) คือรูป แบบเชิงอนุพันธ์ αที่เป็นอนุพันธ์ภายนอกของรูปแบบเชิงอนุพันธ์อีกรูปแบบหนึ่งβ กล่าว คือα = dβดังนั้น รูปแบบ ที่แน่นอนจึงอยู่ในภาพของdและ รูปแบบ ปิดอยู่ในเคอร์เนล ของd (หรือที่เรียกว่าปริภูมิว่าง)

สำหรับรูปแบบที่แน่นอนαนั้นα = dβสำหรับรูปแบบเชิงอนุพันธ์β บาง รูปแบบที่มีดีกรีน้อยกว่าดีกรีของα อยู่หนึ่ง รูปแบบβเรียกว่า "รูปแบบศักยภาพ" หรือ "รูปแบบดั้งเดิม" สำหรับαเนื่องจากอนุพันธ์ภายนอกของรูปแบบปิดมีค่าเป็นศูนย์ ดังนั้นβจึงไม่เป็นเอกลักษณ์ แต่สามารถปรับเปลี่ยนได้โดยการเพิ่มรูปแบบปิดใดๆ ที่มีดีกรีน้อยกว่าดีกรีของα อยู่ หนึ่ง

เนื่องจากd² = 0ดังนั้นทุกรูปแบบที่แน่นอนจึงจำเป็นต้องปิด คำถามที่ว่าทุกรูปแบบปิดนั้นแน่นอนหรือไม่ขึ้นอยู่กับ^โทโพโลยีของโดเมนที่สนใจ ใน โดเมน ที่หดตัวได้ทุกรูปแบบปิดนั้นแน่นอนตามทฤษฎีบทของปวงกาเรคำถามทั่วไปในลักษณะนี้บนแมนิโฟลด์ที่สามารถหาอนุพันธ์ ได้โดยพลการ นั้นเป็นหัวข้อของโคฮอโมโลยีของเดอแรมซึ่งช่วยให้สามารถได้ ข้อมูล ทางโทโพโลยีล้วนๆ โดยใช้วิธีการเชิงอนุพันธ์

ตัวอย่างง่ายๆ ของรูปแบบที่ปิดแต่ไม่แม่นยำคือ 1-ฟอร์ม^{[หมายเหตุ 1 ]}ที่กำหนดโดยอนุพันธ์ของอาร์กิวเมนต์บนระนาบที่เจาะรูเนื่องจากไม่ใช่ฟังก์ชันจริงๆ (ดูย่อหน้าถัดไป) จึงไม่ใช่รูปแบบที่แม่นยำ อย่างไรก็ตามมีอนุพันธ์เป็นศูนย์และจึงเป็นรูปแบบปิด ${\displaystyle d\theta }$${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}\smallsetminus \{0\}}$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle d\theta }$${\displaystyle d\theta }$

โปรดทราบว่าค่าอาร์กิวเมนต์ถูกกำหนดไว้เฉพาะค่าที่เป็นจำนวนเต็มเท่าของเนื่องจากจุดเดียวสามารถกำหนดค่าอาร์กิวเมนต์ได้หลายค่า เช่น, ,เป็นต้น เราสามารถกำหนดค่าอาร์กิวเมนต์ในลักษณะที่สอดคล้องกันในระดับท้องถิ่นรอบๆ ได้แต่ไม่สามารถทำในลักษณะที่สอดคล้องกันในระดับสากลได้ เนื่องจากหากเราลากเส้นวนรอบจุดกำเนิดทวนเข็มนาฬิกาและกลับมายังจุดนั้นค่าอาร์กิวเมนต์จะเพิ่มขึ้นตามค่าโดยทั่วไปแล้ว ค่าอาร์กิวเมนต์จะเปลี่ยนแปลงไปตามค่า ${\displaystyle \theta }$${\displaystyle 2\pi }$${\displaystyle p}$${\displaystyle r}$${\displaystyle r+2\pi }$${\displaystyle p}$${\displaystyle p}$${\displaystyle p}$${\displaystyle 2\pi }$${\displaystyle \theta }$

${\displaystyle \oint _{S^{1}}d\theta }$

ผ่านวงวน ที่หมุนทวนเข็มนาฬิกา${\displaystyle S^{1}}$

แม้ว่าอาร์กิวเมนต์จะไม่ใช่ฟังก์ชันในทางเทคนิค แต่คำจำกัดความ เฉพาะ ที่ของณ จุดหนึ่งจะแตกต่างกันด้วยค่าคงที่ เนื่องจากอนุพันธ์ที่จุดนั้นใช้ข้อมูลเฉพาะที่ และเนื่องจากฟังก์ชันที่แตกต่างกันด้วยค่าคงที่จะมีอนุพันธ์เดียวกัน อาร์กิวเมนต์จึงมีอนุพันธ์ที่กำหนดไว้อย่างดีในระดับสากล“ ” ^{[หมายเหตุ 2 ]}${\displaystyle \theta }$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle p}$${\displaystyle p}$${\displaystyle d\theta }$

ผลสรุปก็คือเป็นรูปแบบหนึ่งมิติบนซึ่งไม่ใช่ผลอนุพันธ์ของฟังก์ชันใดๆ ที่นิยามไว้อย่างชัดเจนเราจึงกล่าวว่าไม่แม่นยำกล่าวคือ กำหนดโดย: ${\displaystyle d\theta }$${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}\smallsetminus \{0\}}$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle d\theta }$${\displaystyle d\theta }$

${\displaystyle d\theta ={\frac {-y\,dx+x\,dy}{x^{2}+y^{2}}},}$

ซึ่งจากการตรวจสอบพบว่าอนุพันธ์เป็นศูนย์ สังเกตว่าถ้าเราจำกัดโดเมนไว้ที่ครึ่งระนาบด้านขวา เราสามารถเขียนได้ว่า แต่ฟังก์ชันมุมนั้นไม่เรียบและไม่ต่อเนื่องบน(เช่นเดียวกับฟังก์ชันมุมอื่นๆ ที่เลือกมา) เนื่องจากมีอนุพันธ์เป็นศูนย์ เราจึงกล่าวว่ามันเป็นเซต ปิด${\displaystyle d\theta =d\left(\tan ^{-1}(y/x)\right)}$${\displaystyle \theta =\tan ^{-1}(y/x)}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}\smallsetminus \{0\}}$${\displaystyle d\theta }$

ในทางกลับกัน สำหรับรูปแบบเดียว

${\displaystyle \alpha =-y\,dx+x\,dy,}$

${\displaystyle d\alpha \neq 0}$ดังนั้นมันจึงยังไม่ปิดสนิทด้วยซ้ำ ไม่ต้องพูดถึงความแม่นยำเลย ${\displaystyle \alpha }$

รูปแบบดังกล่าวสร้างกลุ่มโคฮอโมโลยีเดอแรมซึ่งหมายความว่ารูปแบบปิดใดๆ ก็ตามเป็นผลรวมของรูปแบบที่แน่นอนและผลคูณของ: โดยที่แสดงถึงปริพันธ์เส้นโค้งที่ไม่ธรรมดา รอบจุดกำเนิด ซึ่งเป็นอุปสรรคเพียงอย่างเดียวต่อรูปแบบปิดบนระนาบที่เจาะรู (อนุพันธ์ของฟังก์ชันศักย์ ในระดับท้องถิ่น ) ที่เป็นอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่กำหนดในระดับสากล ${\displaystyle d\theta }$${\displaystyle H_{dR}^{1}(\mathbb {R} ^{2}\smallsetminus \{0\})\cong \mathbb {R} ,}$${\displaystyle \omega }$${\displaystyle df}$${\displaystyle d\theta }$${\displaystyle \omega =df+k\ d\theta }$${\textstyle k={\frac {1}{2\pi }}\oint _{S^{1}}\omega }$

รูปแบบเชิงอนุพันธ์ในและเป็นที่รู้จักกันดีในฟิสิกส์เชิงคณิตศาสตร์ในศตวรรษที่สิบเก้า ในระนาบ 0-ฟอร์มเป็นเพียงฟังก์ชัน และ 2-ฟอร์มเป็นฟังก์ชันคูณด้วยองค์ประกอบพื้นที่พื้นฐานดังนั้นจึงเป็น 1-ฟอร์ม ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$${\displaystyle dx\wedge dy}$

${\displaystyle \alpha =f(x,y)\,dx+g(x,y)\,dy}$

ซึ่งเป็นสิ่งที่น่าสนใจอย่างแท้จริง สูตรสำหรับอนุพันธ์ภายนอก ในที่นี้คือ ${\displaystyle d}$

${\displaystyle d\alpha =(g_{x}-f_{y})\,dx\wedge dy}$

โดยที่ตัวห้อยแสดงถึงอนุพันธ์ย่อยดังนั้นเงื่อนไขที่ทำให้เซตปิดคือ ${\displaystyle \alpha }$

${\displaystyle f_{y}=g_{x}.}$

ในกรณีนี้ ถ้าเป็นฟังก์ชันแล้ว ${\displaystyle h(x,y)}$

${\displaystyle dh=h_{x}\,dx+h_{y}\,dy.}$

ความ หมาย โดยนัยจาก 'แม่นยำ' ไปสู่ ​​'ปิด' จึงเป็นผลมาจากสมมาตรของอนุพันธ์อันดับสองเทียบกับและ${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$

ทฤษฎีบทเกรเดียนต์กล่าวว่า 1-ฟอร์มจะเป็นฟอร์มที่แม่นยำก็ต่อเมื่อปริพันธ์ตามเส้นของฟอร์มนั้นขึ้นอยู่กับจุดปลายของเส้นโค้งเท่านั้น หรือกล่าวอีกนัยหนึ่งคือ ถ้าปริพันธ์รอบเส้นโค้งปิดเรียบใดๆ มีค่าเป็นศูนย์

บนแมนิโฟลด์แบบรีมันน์หรือโดยทั่วไปแล้วบนแมนิโฟลด์แบบซูโดรีมันน์รูป แบบ kจะสอดคล้องกับ สนามเวกเตอร์ k (โดยความเป็นคู่ผ่านเมตริก ) ดังนั้นจึงมีแนวคิดเกี่ยวกับสนามเวกเตอร์ที่สอดคล้องกับรูปแบบปิดหรือรูปแบบที่แน่นอน

ใน 3 มิติ สนามเวกเตอร์ที่แม่นยำ (ซึ่งคิดว่าเป็น 1-ฟอร์ม) เรียกว่าสนามเวกเตอร์อนุรักษ์หมายความว่ามันคืออนุพันธ์ ( เกรเดียนต์ ) ของ 0-ฟอร์ม (สนามสเกลาร์เรียบ) ซึ่งเรียกว่าศักย์สเกลาร์สนามเวกเตอร์ปิด (ซึ่งคิดว่าเป็น 1-ฟอร์ม) คือสนามที่มีอนุพันธ์ ( เคิร์ล ) เป็นศูนย์ และเรียกว่าสนามเวกเตอร์ไร้การหมุน

หากมองสนามเวกเตอร์ในรูปแบบของ 2-ฟอร์ม สนามเวกเตอร์ปิดคือสนามที่มีอนุพันธ์ ( ไดเวอร์เจนซ์ ) เป็นศูนย์ และเรียกว่าการไหลที่ไม่สามารถอัดได้ (บางครั้ง เรียกว่า สนามเวกเตอร์โซเลนอยด์ ) คำว่าไม่สามารถอัดได้ถูกใช้เพราะไดเวอร์เจนซ์ที่ไม่เป็นศูนย์สอดคล้องกับการมีอยู่ของแหล่งกำเนิดและตัวดูดในลักษณะเดียวกับของไหล

แนวคิดของสนามเวกเตอร์อนุรักษ์และสนามเวกเตอร์อัดไม่ได้สามารถขยายไปสู่มิติn ได้ เนื่องจากเกรเดียนต์และไดเวอร์เจนซ์สามารถขยายไปสู่มิติ n ได้ ในขณะที่เคิร์ลนั้นถูกนิยามไว้เฉพาะในสามมิติเท่านั้น ดังนั้นแนวคิดของสนามเวกเตอร์ไร้การหมุนจึงไม่สามารถขยายไปในลักษณะนี้ได้

ทฤษฎีบทปวงกาเรกล่าวว่า ถ้าBเป็นลูกบอลเปิดในR ^{n รูป}แบบpปิดω ใดๆ ที่กำหนดบนBจะเป็นแบบแม่นยำ สำหรับจำนวนเต็มp ใดๆ ที่1 ≤ p ≤ n ^{[ 1} ]

โดยทั่วไปแล้ว บทพิสูจน์ระบุว่าบนเซตย่อยเปิดที่หดตัวได้ของแมนิโฟลด์ (เช่น ) รูปแบบpปิดp > 0 นั้นมีความแม่นยำ^{[ 2 ]}${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

เมื่อผลต่างของฟอร์มปิดสองฟอร์มเป็นฟอร์มที่แน่นอน เราจะกล่าวได้ว่าฟอร์มทั้งสองนั้นเป็นโคโฮโมล็อกกัน นั่นคือ ถ้าζและηเป็นฟอร์มปิด และสามารถหาค่าβ บางค่า ได้เช่นนั้น

${\displaystyle \zeta -\eta =d\beta }$

จากนั้นจึงกล่าวว่าζและηเป็นโคโฮโมล็อกซึ่งกันและกัน บางครั้งรูปแบบที่แน่นอนก็ถูกกล่าวว่าเป็นโคโฮโมล็อกกับศูนย์เซตของรูปแบบทั้งหมดที่เป็นโคโฮโมล็อกกับรูปแบบที่กำหนด (และดังนั้นจึงเป็นโคโฮโมล็อกซึ่งกันและกัน) เรียกว่า ชั้น โคโฮโมโลยีของเดอแรมการศึกษาทั่วไปของชั้นดังกล่าวเรียกว่าโคโฮโมโลยีการถามว่ารูปแบบ 0 (ฟังก์ชันเรียบ) เป็นจำนวนที่แน่นอนหรือไม่นั้นไม่มีความหมายที่แท้จริง เนื่องจากdเพิ่มดีกรีขึ้น 1 แต่เบาะแสจากโทโพโลยีชี้ให้เห็นว่ามีเพียงฟังก์ชันศูนย์เท่านั้นที่ควรเรียกว่า "จำนวนที่แน่นอน" ชั้นโคโฮโมโลยีถูกระบุว่าเป็นฟังก์ชัน คงที่เฉพาะที่

การใช้โฮโมโทปีแบบหดตัวที่คล้ายกับที่ใช้ในการพิสูจน์เลมมาของปวงกาเร สามารถแสดงได้ว่าโคฮอโมโลยีของเดอแรมเป็นแบบโฮโมโทปีคงที่^{[ 3 ]}

พิจารณาระบบทางเทอร์โมไดนามิกที่มีสถานะสมดุลระบุโดยตัวแปรทางเทอร์โมไดนามิกกฎข้อแรกของเทอร์โมไดนามิกสามารถกล่าวได้ดังนี้: ในกระบวนการใดๆ ที่ส่งผลให้เกิดการเปลี่ยนแปลงสถานะเพียงเล็กน้อย โดยที่พลังงานภายในของระบบเปลี่ยนแปลงไปเป็นปริมาณและมีการทำงานกระทำต่อระบบเป็นปริมาณหนึ่ง จะต้องมีการป้อนความร้อนปริมาณหนึ่งเข้าไปด้วย ${\displaystyle n}$${\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}}$${\displaystyle dU(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}),}$${\displaystyle dW(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})}$

${\displaystyle dU-dW.}$

กฎข้อที่สองของเทอร์โมไดนามิกส์เป็นกฎเชิงประจักษ์ของธรรมชาติที่กล่าวว่าไม่มีระบบเทอร์โมไดนามิกส์ใดที่ในทุกสถานการณ์ หรือในทางคณิตศาสตร์ รูปแบบเชิงอนุพันธ์จะไม่ปิด ทฤษฎีบทของ Caratheodory ^{[ 4 ]}ยังระบุเพิ่มเติมว่ามีตัวส่วนอินทิเกรตอยู่เช่นนั้น ${\displaystyle dU=dW}$${\displaystyle dU-dW}$${\displaystyle T}$

${\displaystyle dS\equiv {\frac {dU-dW}{T}}}$

เป็นรูปแบบ 1-ฟอร์มแบบปิด ตัวหารในการอินทิเกรตคืออุณหภูมิ และฟังก์ชันสถานะคือเอนโทรปีสมดุล ${\displaystyle T}$${\displaystyle S(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})}$

ในพลศาสตร์ไฟฟ้า กรณีของสนามแม่เหล็กที่เกิดจากกระแสไฟฟ้าคงที่นั้นมีความสำคัญ ในกรณีนี้เราจะพิจารณาศักย์เวกเตอร์ของสนามนี้ กรณีนี้สอดคล้องกับk = 2และบริเวณที่กำหนดคือทั้งหมดเวกเตอร์ความหนาแน่นกระแสคือซึ่งสอดคล้องกับรูปแบบสองมิติของกระแส ${\displaystyle {\vec {B}}(\mathbf {r} )}$${\displaystyle {\vec {A}}(\mathbf {r} )}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$${\displaystyle {\vec {j}}}$

${\displaystyle \mathbf {I} :=j_{1}(x_{1},x_{2},x_{3})\,{\rm {d}}x_{2}\wedge {\rm {d}}x_{3}+j_{2}(x_{1},x_{2},x_{3})\,{\rm {d}}x_{3}\wedge {\rm {d}}x_{1}+j_{3}(x_{1},x_{2},x_{3})\,{\rm {d}}x_{1}\wedge {\rm {d}}x_{2}.}$

สำหรับสนามแม่เหล็ก ก็จะได้ผลลัพธ์ที่คล้ายคลึงกัน กล่าวคือ มันสอดคล้องกับรูปแบบสองมิติของการเหนี่ยวนำและสามารถหาได้จากศักย์เวกเตอร์หรือรูปแบบหนึ่งมิติที่สอดคล้องกัน ${\displaystyle {\vec {B}}}$${\displaystyle \Phi _{B}:=B_{1}{\rm {d}}x_{2}\wedge {\rm {d}}x_{3}+\cdots }$${\displaystyle {\vec {A}}}$${\displaystyle \mathbf {A} }$

${\displaystyle {\vec {B}}=\operatorname {curl} {\vec {A}}=\left\{{\frac {\partial A_{3}}{\partial x_{2}}}-{\frac {\partial A_{2}}{\partial x_{3}}},{\frac {\partial A_{1}}{\partial x_{3}}}-{\frac {\partial A_{3}}{\partial x_{1}}},{\frac {\partial A_{2}}{\partial x_{1}}}-{\frac {\partial A_{1}}{\partial x_{2}}}\right\},{\text{ or }}\Phi _{B}={\rm {d}}\mathbf {A} .}$

ด้วยเหตุนี้ ศักยภาพเวกเตอร์จึงสอดคล้องกับศักยภาพหนึ่งฟอร์ม ${\displaystyle {\vec {A}}}$

${\displaystyle \mathbf {A} :=A_{1}\,{\rm {d}}x_{1}+A_{2}\,{\rm {d}}x_{2}+A_{3}\,{\rm {d}}x_{3}.}$

ความปิดของรูปแบบสองมิติของการเหนี่ยวนำแม่เหล็กสอดคล้องกับคุณสมบัติของสนามแม่เหล็กที่ไม่มีแหล่งกำเนิด กล่าวคือ ไม่มีโมโนโพลแม่เหล็ก${\displaystyle \operatorname {div} {\vec {B}}\equiv 0}$

ในเกจพิเศษนี้ หมายความว่าสำหรับi = 1, 2, 3${\displaystyle \operatorname {div} {\vec {A}}{~{\stackrel {!}{=}}~}0}$

${\displaystyle A_{i}({\vec {r}})=\int {\frac {\mu _{0}j_{i}\left({\vec {r}}'\right)\,\,dx_{1}'\,dx_{2}'\,dx_{3}'}{4\pi |{\vec {r}}-{\vec {r}}'|}}\,.}$

(นี่คือค่าคงที่แม่เหล็ก ) ${\displaystyle \mu _{0}}$

สมการนี้น่าทึ่งมาก เพราะมันสอดคล้องอย่างสมบูรณ์กับสูตรที่รู้จักกันดีสำหรับสนามไฟฟ้านั่นคือศักย์คูลอมบ์ไฟฟ้าสถิตของความหนาแน่นประจุณ จุดนี้ เราสามารถเดาได้แล้วว่า ${\displaystyle {\vec {E}}}$${\displaystyle \varphi (x_{1},x_{2},x_{3})}$${\displaystyle \rho (x_{1},x_{2},x_{3})}$

• ${\displaystyle {\vec {E}}}$และ${\displaystyle {\vec {B}},}$
• ${\displaystyle \rho }$และ${\displaystyle {\vec {j}},}$
• ${\displaystyle \varphi }$และ${\displaystyle {\vec {A}}}$

สามารถรวมเข้ากับปริมาณที่มีส่วนประกอบที่ไม่เป็นศูนย์หกส่วนหรือสี่ส่วน ซึ่งเป็นพื้นฐานของความไม่แปรเปลี่ยนเชิงสัมพัทธภาพของสมการแม็กซ์เวลล์

หากเงื่อนไขของความนิ่งยังคงอยู่ ทางด้านซ้ายของสมการที่กล่าวถึงข้างต้น จะต้องเพิ่มเวลาt เป็นตัวแปรที่สี่ในสมการ สำหรับ พิกัดเชิงพื้นที่ทั้งสาม ในขณะที่ทางด้านขวา ในสมการจะ ต้องใช้ สิ่งที่เรียกว่า "เวลาหน่วง" ซึ่งก็คือการเพิ่มเข้าไปในอาร์กิวเมนต์ของความหนาแน่นกระแส สุดท้ายเช่นเดียวกับก่อนหน้านี้ จะทำการอินทิเกรตเหนือพิกัดเชิงพื้นที่ทั้งสาม (ตามปกติcคือความเร็วแสงในสุญญากาศ) ${\displaystyle A_{i}}$${\displaystyle j_{i}'}$${\displaystyle t':=t-{\frac {|{\vec {r}}-{\vec {r}}'|}{c}}}$

• Chandrasekhar, S. (1939). บทนำสู่การศึกษาโครงสร้างดาวฤกษ์ . โดเวอร์.
• ฟลานเดอร์ส, ฮาร์ลีย์ (1989) [1963]. รูปแบบเชิงอนุพันธ์พร้อมการประยุกต์ใช้ในวิทยาศาสตร์กายภาพนิวยอร์ก: สำนักพิมพ์โดเวอร์ ISBN 978-0-486-66169-8..
• ลี, จอห์น เอ็ม. (2013). บทนำสู่แมนิโฟลด์เรียบ (ฉบับพิมพ์ครั้งที่สอง). สปริงเกอร์.
• Warner, Frank W. (1983), พื้นฐานของแมนิโฟลด์เชิงอนุพันธ์และกลุ่มลี , ตำราระดับบัณฑิตศึกษาทางคณิตศาสตร์, เล่มที่ 94, Springer, ISBN 0-387-90894-3
• Napier, Terrence; Ramachandran, Mohan (2011), บทนำเกี่ยวกับพื้นผิวรีมันน์ , Birkhäuser, ISBN 978-0-8176-4693-6
• Singer, IM ; Thorpe, JA (1976), Lecture Notes on Elementary Topology and Geometry , University of Bangalore Press, ISBN 0721114784