ในเรขาคณิตเชิงอนุพันธ์แมนิโฟลด์ควอเทอร์เนียนคืออะ นาล็อก ควอเท อร์เนียน ของแมนิโฟลด์เชิงซ้อนนิยามนี้ซับซ้อนและเป็นเชิงเทคนิคมากกว่านิยามของแมนิโฟลด์เชิงซ้อน ส่วนหนึ่งเป็นเพราะการไม่สลับที่กันของควอเทอร์เนียน และอีกส่วนหนึ่งเป็นเพราะขาดแคลคูลัสที่เหมาะสม สำหรับฟังก์ชัน โฮโลมอร์ฟิก ของ ควอเทอร์เนียน นิยามที่กระชับที่สุดใช้ภาษาของ โครงสร้าง Gบนแมนิโฟลด์โดยเฉพาะอย่างยิ่งแมนิโฟลด์ควอเทอร์เนียนn มิติ สามารถนิยามได้ว่าเป็นแมนิโฟลด์เรียบที่มีมิติจริง 4n พร้อมด้วยโครงสร้าง - ที่ปราศจากแรงบิด นิยามที่เรียบง่ายกว่าแต่ตรงไปตรงมา นำไปสู่การขาดแคลนตัวอย่าง และไม่รวมถึงปริภูมิเช่นปริภูมิเชิงโปรเจก ทีฟควอเทอร์เนียน ซึ่งควรพิจารณาว่าเป็นแมนิโฟลด์ควอเทอร์เนียนอย่างชัดเจน ${\displaystyle \operatorname {GL} (n,\mathbb {H} )\cdot \mathbb {H} ^{\times }}$

บทความของ Marcel Berger ในปี 1955 ^{[ 1 ]}เกี่ยวกับการจำแนกกลุ่มโฮโลโนมีแบบรีมันน์ได้หยิบยกประเด็นเรื่องการมีอยู่ของแมนิโฟลด์ที่ไม่สมมาตรที่มีโฮโลโนมี Sp( n )·Sp(1) ขึ้นมาเป็นครั้งแรก ผลลัพธ์ที่น่าสนใจได้รับการพิสูจน์ในช่วงกลางทศวรรษ 1960 ในงานบุกเบิกโดยEdmond Bonan ^{[ 2 ]}และ Kraines ^{[ 3 ]}ซึ่งได้พิสูจน์อย่างอิสระว่าแมนิโฟลด์ดังกล่าวใดๆ ก็ตามยอมรับรูปแบบ 4-ฟอร์มแบบขนานอนาล็อกที่รอคอยมานานของทฤษฎีบท Lefschetz ที่แข็งแกร่งได้รับการตีพิมพ์^{[ 4 ]}ในปี 1982: ${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle \Omega ^{nk}\wedge \bigwedge ^{2k}T^{*}M=\bigwedge ^{4n-2k}T^{*}M.}$

ถ้าเราพิจารณาปริภูมิเวกเตอร์ควอเทอร์เนียน เป็นโมดูลขวาเราสามารถระบุพีชคณิตของแผนที่เชิงเส้นขวา กับพีชคณิตของเมทริกซ์ควอเทอร์เนียนที่กระทำจากทางซ้ายบนได้ แผนที่เชิงเส้นขวาที่ผกผันได้จะก่อตัวเป็นกลุ่มย่อยของเราสามารถเสริมกลุ่มนี้ด้วยกลุ่มของควอเทอร์เนียนที่ไม่เป็นศูนย์ซึ่งกระทำโดยการคูณสเกลาร์จากทางขวาเนื่องจาก1การคูณสเกลาร์นี้เป็นเชิงเส้น (แต่ไม่ใช่เชิงเส้น) เราจึงมีการฝังตัวอีกแบบหนึ่งของลงในกลุ่มจึงถูกกำหนดให้เป็นผลคูณของกลุ่มย่อยเหล่านี้ในเนื่องจากจุดตัดของกลุ่มย่อยและในคือศูนย์กลางร่วมกัน(กลุ่มของเมทริกซ์สเกลาร์ที่มีสัมประสิทธิ์จริงที่ไม่เป็นศูนย์) เราจึงมีไอโซมอร์ฟิซึม ${\displaystyle \mathbb {H} ^{n}\cong \mathbb {R} ^{4n}}$${\displaystyle \mathbb {H} }$${\displaystyle \mathbb {H} }$${\displaystyle n\times n}$${\displaystyle \mathbb {H} ^{n}}$${\displaystyle \mathbb {H} }$${\displaystyle \operatorname {GL} (n,\mathbb {H} )}$${\displaystyle \operatorname {GL} (4n,\mathbb {R} )}$${\displaystyle \mathbb {H} ^{\times }}$${\displaystyle \mathbb {H} ^{n}}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {H} }$${\displaystyle \mathbb {H} ^{\times }}$${\displaystyle \operatorname {GL} (4n,\mathbb {R} )}$${\displaystyle \operatorname {GL} (n,\mathbb {H} )\cdot \mathbb {H} ^{\times }}$${\displaystyle \operatorname {GL} (4n,\mathbb {R} )}$${\displaystyle \operatorname {GL} (n,\mathbb {H} )}$${\displaystyle \mathbb {H} ^{\times }}$${\displaystyle \operatorname {GL} (4n,\mathbb {R} )}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{\times }}$

${\displaystyle \operatorname {GL} (n,\mathbb {H} )\cdot \mathbb {H} ^{\times }\cong (\operatorname {GL} (n,\mathbb {H} )\times \mathbb {H} ^{\times })/\mathbb {R} ^{\times }.}$

โครงสร้างเกือบควอเทอร์เนียนบนแมนิโฟลด์เรียบนั้นก็คือโครงสร้าง -structure บน แมนิโฟลด์ นั้นนั่นเอง หรืออาจนิยามได้ว่าเป็นกลุ่มย่อยของกลุ่มเอนโดมอร์ฟิ ซึม โดยที่แต่ละไฟเบอร์นั้นสมมูลกัน (ในฐานะพีชคณิตจริง ) กับพีชคณิตควอเทอร์เนียนกลุ่มย่อยนี้เรียกว่ากลุ่มโครงสร้างเกือบควอเทอร์เนียนแมนิโฟลด์ที่มีโครงสร้างเกือบควอเทอร์เนียนเรียกว่าแมนิโฟลด์เกือบควอเทอร์เนียน ${\displaystyle M}$${\displaystyle \operatorname {GL} (n,\mathbb {H} )\cdot \mathbb {H} ^{\times }}$${\displaystyle M}$${\displaystyle H}$${\displaystyle \operatorname {End} (TM)}$${\displaystyle H_{x}}$${\displaystyle \mathbb {H} }$${\displaystyle H}$

โครงสร้างบันเดิลควอเทอร์เนียนยอมรับเมตริกบันเดิลที่มาจากโครงสร้างพีชคณิตควอเทอร์เนียนโดยธรรมชาติ และด้วยเมตริกนี้จะแยกออกเป็นผลรวมโดยตรง เชิง ตั้งฉากของบัน เดิลเวกเตอร์ โดยที่คือบันเดิลเส้นตรงที่ไม่สำคัญผ่านตัวดำเนินการเอกลักษณ์ และคือบันเดิลเวกเตอร์อันดับ 3 ที่สอดคล้องกับควอเทอร์เนียนจินตนาการบริสุทธิ์ บันเดิลหรือ ไม่ จำเป็นต้องไม่สำคัญเสมอไป ${\displaystyle H}$${\displaystyle H}$${\displaystyle H=L\oplus E}$${\displaystyle L}$${\displaystyle E}$${\displaystyle H}$${\displaystyle E}$

บันเดิลทรงกลมหน่วย ภายในสอดคล้องกับควอเทอร์เนียนจินตนาการหน่วยบริสุทธิ์ ควอเทอร์เนียนเหล่านี้เป็นเอนโดมอร์ฟิซึมของปริภูมิสัมผัสที่ยกกำลังสองแล้วได้ −1 บันเดิลนี้เรียกว่า ปริภูมิ ทวิสเตอร์ของแมนิโฟลด์และคุณสมบัติของมันจะอธิบายรายละเอียดเพิ่มเติมด้านล่างส่วนตัดเฉพาะ ที่ของ คือ โครงสร้างเกือบเชิงซ้อน (ที่กำหนดเฉพาะที่) มีบริเวณใกล้เคียงของทุกจุดในแมนิโฟลด์เกือบควอเทอร์เนียน ที่มี ทรงกลม 2 มิติทั้งหมดของโครงสร้างเกือบเชิงซ้อนที่กำหนดบน เราสามารถหา ได้เสมอเช่นนั้น ${\displaystyle Z=S(E)}$${\displaystyle E}$${\displaystyle Z}$${\displaystyle M}$${\displaystyle Z}$${\displaystyle U}$${\displaystyle x}$${\displaystyle M}$${\displaystyle U}$${\displaystyle I,J,K\in \Gamma (Z|_{U})}$

${\displaystyle I^{2}=J^{2}=K^{2}=IJK=-1}$

อย่างไรก็ตาม โปรดทราบว่าตัวดำเนินการเหล่านี้อาจไม่สามารถขยายไปยังทั้งหมดของ ได้นั่นคือ กลุ่มอาจไม่มี ส่วนตัด ทั่วโลก (เช่น กรณีนี้เกิดขึ้นกับปริภูมิเชิงฉายควอเทอร์เนียน ) ซึ่งแตกต่างอย่างมากจากสถานการณ์สำหรับแมนิโฟลด์เชิงซ้อน ซึ่งมักมีโครงสร้างเกือบเชิงซ้อนที่กำหนดไว้ทั่วโลกเสมอ ${\displaystyle M}$${\displaystyle Z}$${\displaystyle \mathbb {HP} ^{n}}$

โครงสร้างควอเทอร์เนียนบนแมนิโฟลด์เรียบคือโครงสร้างควอเทอร์เนียนเกือบสมบูรณ์ที่ยอมรับการเชื่อมต่อเชิงเส้นตรงแบบปราศจากแรงบิดที่รักษาคุณสมบัติไว้การเชื่อมต่อดังกล่าวจะไม่เป็นเอกลักษณ์ และไม่ถือว่าเป็นส่วนหนึ่งของโครงสร้างควอเทอร์เนียนแมนิโฟลด์ควอเทอร์เนียนคือแมนิโฟลด์เรียบพร้อมกับโครงสร้างควอเทอร์เนียนบนนั้น ${\displaystyle M}$${\displaystyle Q}$${\displaystyle \nabla }$${\displaystyle Q}$${\displaystyle M}$${\displaystyle M}$

แมนิโฟลด์ไฮเปอร์คอมเพล็กซ์คือแมนิโฟลด์ ควอ เทอร์เนียนที่มีโครงสร้าง -ปราศจากทอร์ชั่น การลดกลุ่มโครงสร้างเป็นจะเป็นไปได้ก็ต่อเมื่อบันเดิลโครงสร้างควอเทอร์เนียนเกือบสมบูรณ์เป็นแบบไม่สำคัญ (กล่าวคือ สมมาตรกับ) โครงสร้างไฮเปอร์คอมเพล็กซ์เกือบสมบูรณ์สอดคล้องกับเฟรมทั่วโลก ของ หรือเทียบเท่ากับโครงสร้างคอมเพล็กซ์เกือบสมบูรณ์สามตัว, และเช่นนั้น ${\displaystyle \operatorname {GL} (n,\mathbb {H} )}$${\displaystyle \operatorname {GL} (n,\mathbb {H} )}$${\displaystyle H\subset \operatorname {End} (TM)}$${\displaystyle M\times \mathbb {H} }$${\displaystyle H}$${\displaystyle I,J}$${\displaystyle K}$

${\displaystyle I^{2}=J^{2}=K^{2}=IJK=-1}$

โครงสร้างไฮเปอร์คอมเพล็กซ์ คือโครงสร้างที่เกือบจะเป็นไฮเปอร์คอมเพล็กซ์ โดยที่แต่ละ, และสามารถหาปริพันธ์ได้ ${\displaystyle I,J}$${\displaystyle K}$

แมนิโฟลด์คาห์เลอร์แบบควอเทอร์เนียน คือ แมนิโฟลด์แบบควอเทอร์เนียนที่มี โครงสร้างแบบ ปราศจากแรงบิด${\displaystyle \operatorname {Sp} (n)\cdot \operatorname {Sp} (1)}$

แมนิโฟลด์ไฮเปอร์เคห์เลอร์เป็นแมนิโฟลด์ควอเทอร์เนียนที่มีโครงสร้างแบบไร้แรงบิดแมนิโฟลด์ไฮเปอร์เคห์เลอร์เป็นทั้งแมนิโฟลด์ไฮเปอร์คอมเพล็กซ์และแมนิโฟลด์เคห์เลอร์ควอเทอร์เนียนในเวลาเดียวกัน ${\displaystyle \operatorname {Sp} (n)}$

เมื่อกำหนดแมนิโฟลด์ ควอเทอร์เนียน ซับบันเดิล ทรงกลม 2 มิติหน่วยที่สอดคล้องกับควอเทอร์เนียนจินตนาการหน่วยบริสุทธิ์ (หรือโครงสร้างเกือบเชิงซ้อน) เรียกว่าปริภูมิทวิสเตอร์ของปรากฏว่า เมื่อ จะมีโครงสร้างเชิงซ้อน ตามธรรมชาติ บนซึ่งไฟเบอร์ของการฉายภาพนั้นเป็นไอโซมอร์ฟิกกับเมื่อปริภูมิยอมรับโครงสร้างเกือบเชิงซ้อน ตามธรรมชาติ แต่โครงสร้างนี้สามารถอินทิเกรตได้ก็ต่อเมื่อแมนิโฟลด์เป็นแบบคู่ตัวเอง เท่านั้น ปรากฏว่าเรขาคณิตควอเทอร์เนียนบนสามารถสร้างขึ้นใหม่ได้ทั้งหมดจากข้อมูลโฮโลมอร์ฟิกบน ${\displaystyle n}$${\displaystyle M}$${\displaystyle Z=S(E)}$${\displaystyle M}$${\displaystyle n\geq 2}$${\displaystyle Z}$${\displaystyle Z\to M}$${\displaystyle \mathbb {CP} ^{1}}$${\displaystyle n=1}$${\displaystyle Z}$${\displaystyle M}$${\displaystyle Z}$

ทฤษฎีปริภูมิทวิสเตอร์นำเสนอวิธีการแปลงปัญหาบนแมนิโฟลด์ควอเทอร์เนียนไปเป็นปัญหาบนแมนิโฟลด์เชิงซ้อน ซึ่งเข้าใจได้ง่ายกว่ามาก และเหมาะสมกับวิธีการจากเรขาคณิตเชิงพีชคณิตอย่างไรก็ตาม ปริภูมิทวิสเตอร์ของแมนิโฟลด์ควอเทอร์เนียนอาจมีความซับซ้อนมาก แม้แต่สำหรับปริภูมิที่เรียบง่ายอย่างเช่นก็ตาม ${\displaystyle \mathbb {H} ^{n}}$