ในทางคณิตศาสตร์ปริภูมิเชิงฉายควอเทอร์เนียนเป็นการขยายแนวคิดของปริภูมิเชิงฉายจริงและปริภูมิเชิงฉายเชิงซ้อนไปสู่กรณีที่พิกัดอยู่ในวงแหวนของควอเทอร์เนียน ปริภูมิเชิงฉายควอเทอร์เนียนมิติnมักจะถูกแทนด้วย ${\displaystyle \mathbb {H} .}$

${\displaystyle \mathbb {HP} ^{n}}$

และเป็นแมนิโฟลด์ปิดที่มีมิติ (จริง) 4nเป็นปริภูมิเอกพันธุ์สำหรับการกระทำของกลุ่มลีในหลายแง่มุม เส้นตรงเชิงโปรเจกทีฟควอเทอร์เนียนเป็นโฮมีโอเมอร์ฟิกกับทรงกลม 4 มิติ ${\displaystyle \mathbb {HP} ^{1}}$

การสร้างโดยตรงนั้นเป็นกรณีพิเศษของปริภูมิเชิงโปรเจกทีฟเหนือพีชคณิตการหาร พิกัดเอกพันธุ์ของจุดสามารถเขียนได้ดังนี้

${\displaystyle [q_{0},q_{1},\ldots ,q_{n}]}$

โดยที่เป็นควอเทอร์เนียน ไม่ใช่ศูนย์ทั้งหมด พิกัดสองชุดแทนจุดเดียวกัน ถ้าพิกัดทั้งสองชุดเป็น 'สัดส่วน' กันโดยการคูณทางซ้ายด้วยควอเทอร์เนียนc ที่ไม่เป็นศูนย์ กล่าวคือ เราจะระบุพิกัดทั้งหมดของ ${\displaystyle q_{i}}$

${\displaystyle [cq_{0},cq_{1}\ldots ,cq_{n}]}$.

ในภาษาของการกระทำของกลุ่มคือปริภูมิวงโคจรของโดยการกระทำของ ซึ่งเป็นกลุ่มการคูณของควอเทอร์เนียนที่ไม่เป็นศูนย์ โดยการฉายภาพลงบนทรงกลมหน่วยภายในก่อนเราอาจมองว่า เป็นปริภูมิวงโคจรของโดยการกระทำของ ซึ่งเป็นกลุ่มของควอเทอร์เนียนหน่วยได้ เช่นกัน ^{[ 1 ]} จากนั้น ทรงกลมจะกลายเป็นบันเดิล Sp(1) หลักเหนือ: ${\displaystyle \mathbb {HP} ^{n}}$${\displaystyle \mathbb {H} ^{n+1}\setminus \{(0,\ldots ,0)\}}$${\displaystyle \mathbb {H} ^{\times }}$${\displaystyle \mathbb {H} ^{n+1}}$${\displaystyle \mathbb {HP} ^{n}}$${\displaystyle S^{4n+3}}$${\displaystyle {\text{Sp}}(1)}$${\displaystyle S^{4n+3}}$${\displaystyle \mathbb {HP} ^{n}}$

${\displaystyle \mathrm {Sp} (1)\to S^{4n+3}\to \mathbb {HP} ^{n}.}$

กลุ่มข้อมูลนี้บางครั้งเรียกว่า ฟิเบรชันฮอปฟ์ (แบบทั่วไป )

นอกจากนี้ยังมีการสร้างโดยใช้ปริภูมิย่อยเชิงซ้อนสองมิติของซึ่งหมายความว่าอยู่ภายใน กราส ส์ มัน เนียนเชิงซ้อน${\displaystyle \mathbb {HP} ^{n}}$${\displaystyle \mathbb {H} ^{2n}}$${\displaystyle \mathbb {HP} ^{n}}$

ปริภูมิซึ่งนิยามว่าเป็นการรวมกันของเซตจำกัดทั้งหมดภายใต้การรวม คือปริภูมิจำแนกBS ³กลุ่มโฮโมโทปีของกำหนดโดยกลุ่มเหล่านี้เป็นที่ทราบกันดีว่ามีความซับซ้อนมาก และโดยเฉพาะอย่างยิ่งจะมีค่าไม่เป็นศูนย์สำหรับค่าอนันต์ของอย่างไรก็ตาม เรามีว่า ${\displaystyle \mathbb {HP} ^{\infty }}$${\displaystyle \mathbb {HP} ^{n}}$${\displaystyle \mathbb {HP} ^{\infty }}$${\displaystyle \pi _{i}(\mathbb {HP} ^{\infty })=\pi _{i}(BS^{3})\cong \pi _{i-1}(S^{3}).}$${\displaystyle i}$

${\displaystyle \pi _{i}(\mathbb {HP} ^{\infty })\otimes \mathbb {Q} \cong {\begin{cases}\mathbb {Q} &i=4\\0&i\neq 4\end{cases}}}$

ดังนั้นโดยหลักการแล้ว หลังจากกำหนดตำแหน่งของปริภูมิแล้วปริภูมิดังกล่าวจะเป็นปริภูมิ Eilenberg–Maclaneนั่นคือ(ดูตัวอย่างK(Z,2) ) ดูทฤษฎีโฮโมโทปีเชิงตรรกะ ${\displaystyle \mathbb {HP} ^{\infty }}$${\displaystyle K(\mathbb {Q} ,4)}$${\displaystyle \mathbb {HP} _{\mathbb {Q} }^{\infty }\simeq K(\mathbb {Z} ,4)_{\mathbb {Q} }.}$

โดยทั่วไปแล้วมีโครงสร้างเซลล์ที่มีเซลล์หนึ่งเซลล์ในแต่ละมิติซึ่งเป็นพหุคูณของ 4 จนถึงดังนั้น วงแหวนโคฮอโมโลยีของมันคือโดยที่เป็นตัวสร้าง 4 มิติ ซึ่งคล้ายคลึงกับปริภูมิเชิงโปรเจกทีฟเชิงซ้อน นอกจากนี้ยังเป็นผลมาจากทฤษฎีโฮโมโทปีเชิงตรรกะว่ามีกลุ่มโฮโมโทปีอนันต์เฉพาะในมิติ 4 และเท่านั้น ${\displaystyle \mathbb {HP} ^{n}}$${\displaystyle 4n}$${\displaystyle \mathbb {Z} [v]/v^{n+1}}$${\displaystyle v}$${\displaystyle \mathbb {HP} ^{n}}$${\displaystyle 4n+3}$

${\displaystyle \mathbb {HP} ^{n}}$มีเมตริกแบบรีมันน์ตาม ธรรมชาติ ที่คล้ายคลึงกับเมตริกฟูบินี-สตูดีบนซึ่งเมื่อเทียบกับเมตริกนี้แล้ว จะเป็นปริภูมิสมมาตรควอเทอร์เนียน-เคห์เลอร์ ขนาดกะทัดรัด ที่มีความโค้งเป็นบวก ${\displaystyle \mathbb {CP} ^{n}}$

ปริภูมิเชิงฉายควอเทอร์เนียนสามารถแสดงได้ในรูปของปริภูมิโคเซต

${\displaystyle \mathbb {HP} ^{n}=\operatorname {Sp} (n+1)/\operatorname {Sp} (n)\times \operatorname {Sp} (1)}$

กลุ่มซิมเพล็กติกขนาด กะทัดรัดอยู่ที่ไหน${\displaystyle \operatorname {Sp} (n)}$

เนื่องจากบันเดิลสัมผัสของมันจึงเป็นบันเดิลที่เสถียรและไม่สำคัญ บันเดิลสัมผัสของส่วนที่เหลือมี คลาส Stiefel–WhitneyและPontryagin ที่ไม่สำคัญ คลาสทั้งหมดกำหนดโดยสูตรต่อไปนี้: ${\displaystyle \mathbb {HP} ^{1}=S^{4}}$

${\displaystyle w(\mathbb {HP} ^{n})=(1+u)^{n+1}}$

${\displaystyle p(\mathbb {HP} ^{n})=(1+v)^{2n+2}(1+4v)^{-1}}$

โดยที่ตัวสร้างของและการลดทอน mod 2 ของมัน^{[ 2 ]}${\displaystyle v}$${\displaystyle H^{4}(\mathbb {HP} ^{n};\mathbb {Z} )}$${\displaystyle u}$

ปริภูมิเชิงโปรเจกทีฟหนึ่งมิติเหนือเรียกว่า "เส้นโปรเจกทีฟ" ซึ่งเป็นการวางนัยทั่วไปของเส้นโปรเจกทีฟเชิงซ้อนตัวอย่างเช่น พี.จี. กอร์มลีย์ ใช้ (โดยปริยาย) ในปี 1947 เพื่อขยายกลุ่มโมเบียสไปสู่บริบทควอเทอร์เนียนด้วยการแปลงเศษส่วนเชิงเส้น สำหรับการแปลงเศษส่วนเชิงเส้นของ วงแหวนแบบเชื่อมโยงที่มี 1 โปรดดูเส้นโปรเจกทีฟเหนือวงแหวนและกลุ่มโฮโมกราฟี GL(2, A ) ${\displaystyle \mathbb {H} }$

จากมุมมองทางทอพอโลยี เส้นโปรเจกทีฟควอเทอร์เนียนคือทรงกลม 4 มิติ และในความเป็นจริงแล้วสิ่งเหล่านี้คือ แมนิโฟลด์ที่มีลักษณะ สมมาตรกัน การจัดเรียงแบบ ไฟเบอร์ที่กล่าวถึงก่อนหน้านี้มาจากทรงกลม 7 มิติ และเป็นตัวอย่างหนึ่งของ การจัดเรียงแบบ ไฟเบอร์ ฮอปฟ์

สูตรที่แสดงพิกัดของทรงกลม 4 มิติอย่างชัดเจน สามารถพบได้ในบทความเกี่ยวกับเมตริกฟูบินี-สตูดี

มิติ 8 มีการกระทำแบบวงกลมโดยกลุ่มของสเกลาร์เชิงซ้อนที่มีค่าสัมบูรณ์เท่ากับ 1 กระทำที่อีกด้านหนึ่ง (ดังนั้นจึงอยู่ทางด้านขวา ตามธรรมเนียมสำหรับการกระทำของcข้างต้นที่อยู่ทางด้านซ้าย) ดังนั้นแมนิโฟลด์ผลหาร${\displaystyle \mathbb {HP} ^{2}}$

${\displaystyle \mathbb {HP} ^{2}/\mathrm {U} (1)}$

อาจใช้การเขียนU(1)สำหรับกลุ่มวงกลมได้ มีการแสดงให้เห็นว่าผลหารนี้คือทรงกลม 7 ซึ่งเป็นผลลัพธ์ของVladimir Arnoldในปี 1996 และต่อมาได้รับการค้นพบใหม่โดยEdward WittenและMichael Atiyah

• Arnol'd, VI (1999). "ความสัมพันธ์ของผลหารของระนาบเชิงซ้อนเชิงโปรเจกทีฟโดยการผันเชิงซ้อน" . Tr. Mat. Inst. Steklova . 224 : 56– 6. CiteSeerX  10.1.1.50.6421 .กล่าวถึงผลลัพธ์ที่คล้ายคลึงกับผลลัพธ์ที่กล่าวถึงสำหรับปริภูมิเชิงฉายควอเทอร์เนียนและทรงกลม 13 มิติ
• Gormley, PG (1947), "การฉายภาพสามมิติและกลุ่มเศษส่วนเชิงเส้นของการแปลงควอเทอร์เนียน", Proceedings of the Royal Irish Academy, Section A , 51 : 67– 85, JSTOR  20488472