ในโทโพโลยีเชิงอนุพันธ์ การ จัดกลุ่มเส้นใยของ ฮอปฟ์ (หรือที่รู้จักกันในชื่อมัดเส้นใยของฮอปฟ์หรือแผนที่ของฮอปฟ์ ) อธิบายทรงกลม 3 มิติ ( ไฮเปอร์สเฟียร์ในปริภูมิสี่มิติ ) ในแง่ของวงกลม และ ทรงกลมธรรมดาค้นพบโดยไฮนซ์ ฮอปฟ์ในปี 1931 เป็นตัวอย่างแรกๆ ที่มีอิทธิพลของมัดเส้นใย ในทางเทคนิค ฮอปฟ์พบ ฟังก์ชันต่อเนื่องแบบหลายต่อหนึ่ง(หรือ "แผนที่") จาก ทรงกลม 3มิติไปยังทรง กลม 2มิติ โดยที่แต่ละจุด ที่แตกต่างกัน ของ ทรงกลม 2มิติจะถูกแมปจากวงกลมใหญ่ ที่แตกต่างกัน ของ ทรงกลม 3มิติ ( ฮอปฟ์ 1931 ) ^{[ 1 ]}ดังนั้น ทรงกลม 3มิติจึงประกอบด้วยเส้นใย โดยแต่ละเส้นใยเป็นวงกลม — หนึ่งวงสำหรับแต่ละจุดของ ทรงกลม 2มิติ

โครงสร้างมัดเส้นใยนี้เรียกว่า

${\displaystyle S^{1}\hookrightarrow S^{3}{\xrightarrow {\ p\,}}S^{2},}$

หมายความว่าปริภูมิไฟเบอร์(วงกลม) ฝัง อยู่ ในปริภูมิทั้งหมด( ทรงกลม 3มิติ) และ(แผนที่ของฮอปฟ์) ฉายภาพลงบนปริภูมิฐาน (ทรงกลม 2 มิติ ธรรมดา) การสร้างไฟเบอร์ของฮอปฟ์ เช่นเดียวกับมัดไฟเบอร์ใดๆ มีคุณสมบัติที่สำคัญคือ เป็นปริภูมิผลคูณในระดับท้องถิ่นอย่างไรก็ตาม มันไม่ใช่มัดไฟเบอร์ที่ไม่สำคัญ กล่าวคือ ไม่ใช่ผลคูณโดยรวม ของ และถึงแม้ว่าในระดับท้องถิ่นจะแยกไม่ออกจากกันก็ตาม ${\displaystyle S^{1}}$${\displaystyle S^{3}}$${\displaystyle p:S^{3}\to S^{2}}$${\displaystyle S^{3}}$${\displaystyle S^{2}}$${\displaystyle S^{3}}$${\displaystyle S^{2}}$${\displaystyle S^{1}}$

สิ่งนี้มีนัยสำคัญหลายประการ ตัวอย่างเช่น การมีอยู่ของกลุ่มนี้แสดงให้เห็นว่ากลุ่มโฮโมโทปีระดับสูงของทรงกลมนั้นไม่ใช่กลุ่มที่ไม่สำคัญโดยทั่วไป นอกจากนี้ยังเป็นตัวอย่างพื้นฐานของกลุ่ม หลักโดยการระบุไฟเบอร์ให้เหมือนกับกลุ่มวงกลม

การฉายภาพสเตอริโอกราฟิกของ Hopf fibration ทำให้เกิดโครงสร้างที่น่าทึ่งบนซึ่งพื้นที่ 3 มิติทั้งหมด ยกเว้นแกน z จะถูกเติมเต็มด้วยทอรัส ที่ซ้อนกัน ซึ่งสร้างจากวงกลม Villarceau ที่เชื่อมต่อกัน ในที่นี้ ไฟเบอร์แต่ละเส้นจะฉายไปยังวงกลมในอวกาศ (ซึ่งหนึ่งในนั้นเป็นเส้นตรง เปรียบเสมือน "วงกลมผ่านอนันต์") ทอรัสแต่ละอันคือการฉายภาพสเตอริโอกราฟิกของภาพผกผันของวงกลมละติจูดของทรงกลม2มิติ (ในทางโทโพโลยี ทอรัสคือผลคูณของวงกลมสองวง) ทอรัสเหล่านี้แสดงอยู่ในภาพด้านขวา เมื่อถูกบีบอัดไปที่ขอบของทรงกลม โครงสร้างทางเรขาคณิตบางส่วนจะหายไป แม้ว่าโครงสร้างทางโทโพโลยีจะยังคงอยู่ (ดูโทโพโลยีและเรขาคณิต ) วงเหล่านี้มีลักษณะทางโทโพโลยีเหมือนกับวงกลม แม้ว่ามันจะไม่ใช่วงกลม ทางเรขาคณิต ก็ตาม ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

มีการสรุปทั่วไปมากมายของการจัดเรียงแบบ Hopf ทรงกลมหน่วยในปริภูมิพิกัดเชิงซ้อนจะจัดเรียงเป็น เส้นใยตามธรรมชาติเหนือปริภูมิเชิงโปรเจกทีฟเชิงซ้อนโดยใช้วงกลมเป็นเส้นใย และยังมี เวอร์ชัน จริงควอเทอร์เนียน^{[ 2 ]}และ อ็ อกโทเนียนของการจัดเรียงแบบเส้นใยเหล่านี้อีกด้วย โดยเฉพาะอย่างยิ่ง การจัดเรียงแบบ Hopf จัดอยู่ในตระกูลของมัดเส้นใยสี่มัดซึ่งปริภูมิทั้งหมด ปริภูมิฐาน และปริภูมิเส้นใยล้วนเป็นทรงกลม: ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n+1}}$${\displaystyle \mathbb {CP} ^{n}}$

${\displaystyle S^{0}\hookrightarrow S^{1}\to S^{1},}$

${\displaystyle S^{1}\hookrightarrow S^{3}\to S^{2},}$

${\displaystyle S^{3}\hookrightarrow S^{7}\to S^{4},}$

${\displaystyle S^{7}\hookrightarrow S^{15}\to S^{8}.}$

ตามทฤษฎีของอดัมส์การเกิดไฟเบอร์ในลักษณะนี้จะเกิดขึ้นได้เฉพาะในมิติเหล่านี้เท่านั้น

สำหรับจำนวนธรรมชาติn ใดๆ ทรง กลม nมิติ หรือทรงกลม n มิติสามารถนิยามได้ว่าเป็นเซตของจุดในปริภูมิ n มิติ ซึ่งอยู่ห่างจาก จุดศูนย์กลางเป็นระยะทางคงที่เพื่อความชัดเจน จุดศูนย์กลางอาจเป็นจุดกำเนิดและระยะห่างของจุดบนทรงกลมจากจุดกำเนิดนี้สามารถสมมติให้เป็นหน่วยความยาวได้ ตามข้อตกลงนี้ ทรง กลม nมิติประกอบด้วยจุดในโดยที่ตัวอย่างเช่น ทรงกลม 3มิติ ประกอบด้วยจุดในโดยที่ ${\displaystyle (n+1)}$${\displaystyle S^{n}}$${\displaystyle (x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n+1})}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n+1}}$${\displaystyle x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\ldots +x_{n+1}^{2}=1}$${\displaystyle (x_{1},x_{2},x_{3},x_{4})}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$${\displaystyle x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+x_{4}^{2}=1}$

การจัดเรียงแบบ Hopf ของ ทรงกลม 3มิติเหนือทรง กลม 2มิติ สามารถนิยามได้หลายวิธี ${\displaystyle p:S^{3}\to S^{2}}$

ระบุด้วย(โดยที่แทนจำนวนเชิงซ้อน ) โดยเขียนดังนี้: ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$${\displaystyle \mathbb {C} }$

${\displaystyle (x_{1},x_{2},x_{3},x_{4})\leftrightarrow (z_{0},z_{1})=(x_{1}+ix_{2},\,x_{3}+ix_{4}),}$

และระบุตัวตนด้วยการเขียน ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$${\displaystyle \mathbb {C} \times \mathbb {R} }$

${\displaystyle (x_{1},x_{2},x_{3})\leftrightarrow (z,x)=(x_{1}+ix_{2},\,x_{3}).}$

ดังนั้น จึงระบุได้ด้วยเซตย่อยของทั้งหมดในที่และระบุได้ด้วยเซตย่อยของทั้งหมดในที่(ในที่นี้ สำหรับจำนวนเชิงซ้อนค่าสัมบูรณ์ยกกำลังสองของมันคือโดยที่เครื่องหมายดอกจันหมายถึงสังยุคเชิงซ้อน ) จากนั้น การจัดกลุ่มแบบ Hopf fibration จะถูกกำหนดโดย ${\displaystyle S^{3}}$${\displaystyle (z_{0},z_{1})}$${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$${\displaystyle |z_{0}|^{2}+|z_{1}|^{2}=1}$${\displaystyle S^{2}}$${\displaystyle (z,x)}$${\displaystyle \mathbb {C} \times \mathbb {R} }$${\displaystyle |z|^{2}+x^{2}=1}$${\displaystyle z=a+ib}$${\displaystyle |z|^{2}=zz^{*}=a^{2}+b^{2}}$${\displaystyle p}$

${\displaystyle p(z_{0},z_{1})=(2z_{0}z_{1}^{\ast },\left|z_{0}\right|^{2}-\left|z_{1}\right|^{2}).}$

ส่วนประกอบแรกเป็นจำนวนเชิงซ้อน ในขณะที่ส่วนประกอบที่สองเป็นจำนวนจริง จุดใดๆ บนทรง กลม 3มิติ จะต้องมีคุณสมบัติว่าถ้าเป็นเช่นนั้น จุดนั้นจะอยู่บนทรงกลม2มิติ หน่วย ในซึ่งสามารถแสดงได้โดยการบวกกำลังสองของค่าสัมบูรณ์ของส่วนประกอบเชิงซ้อนและส่วนประกอบจริงของ: ${\displaystyle |z_{0}|^{2}+|z_{1}|^{2}=1}$${\displaystyle p(z_{0},z_{1})}$${\displaystyle \mathbb {C} \times \mathbb {R} }$${\displaystyle p}$

${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}2z_{0}z_{1}^{\ast }\cdot 2z_{0}^{\ast }z_{1}+\left(\left|z_{0}\right|^{2}-\left|z_{1}\right|^{2}\right)^{2}&=4\left|z_{0}\right|^{2}\left|z_{1}\right|^{2}+\left|z_{0}\right|^{4}-2\left|z_{0}\right|^{2}\left|z_{1}\right|^{2}+\left|z_{1}\right|^{4}\\&=\left(\left|z_{0}\right|^{2}+\left|z_{1}\right|^{2}\right)^{2}=1\end{alignedat}}}$

นอกจากนี้ ถ้าจุดสองจุดบนทรงกลม 3 มิติ เชื่อมโยงไปยังจุดเดียวกันบนทรงกลม 2 มิติ กล่าวคือ ถ้าแล้วจะต้องเท่ากับสำหรับจำนวนเชิงซ้อนบางตัวที่มี ในทางกลับ กันก็เป็นจริงเช่นกัน จุดสองจุดใดๆ บน ทรงกลม 3มิติ ที่แตกต่างกันด้วยตัวประกอบเชิงซ้อนร่วมกันจะเชื่อมโยงไปยังจุดเดียวกันบน ทรงกลม 2มิติ ข้อสรุปเหล่านี้เป็นผลมาจากการที่ตัวประกอบเชิงซ้อนตัดกับตัวประกอบเชิงซ้อนสังยุคในทั้งสองส่วนของ: ในส่วนเชิงซ้อนและในส่วนจริง${\displaystyle p(z_{0},z_{1})=p(w_{0},w_{1})}$${\displaystyle (w_{0},w_{1})}$${\displaystyle (\lambda z_{0},\lambda z_{1})}$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle |\lambda |^{2}=1}$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle \lambda ^{*}}$${\displaystyle p}$${\displaystyle 2z_{0}z_{1}^{*}}$${\displaystyle |z_{0}|^{2}-|z_{1}|^{2}}$

เนื่องจากเซตของจำนวนเชิงซ้อนที่มีก่อตัวเป็นวงกลมหน่วยในระนาบเชิงซ้อน ดังนั้นสำหรับแต่ละจุดในภาพผกผันจะเป็นวงกลม นั่นคือดังนั้น ทรงกลม 3มิติ จึงเกิดขึ้นจากการรวมกันแบบไม่ทับซ้อนกันของเส้นใยวงกลมเหล่านี้ ${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle |\lambda |^{2}=1}$${\displaystyle m}$${\displaystyle S^{2}}$${\displaystyle p^{-1}(m)}$${\displaystyle p^{-1}(m)\cong S^{1}}$

การกำหนดพารามิเตอร์โดยตรงของทรง กลม 3มิติโดยใช้แผนที่ Hopf มีดังต่อไปนี้^{[ 3 ]}

${\displaystyle z_{0}=e^{i\,{\frac {\xi _{1}+\xi _{2}}{2}}}\sin \eta }$

${\displaystyle z_{1}=e^{i\,{\frac {\xi _{2}-\xi _{1}}{2}}}\cos \eta .}$

หรือในเชิงยุคลิด${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$

${\displaystyle x_{1}=\cos \left({\frac {\xi _{1}+\xi _{2}}{2}}\right)\sin \eta }$

${\displaystyle x_{2}=\sin \left({\frac {\xi _{1}+\xi _{2}}{2}}\right)\sin \eta }$

${\displaystyle x_{3}=\cos \left({\frac {\xi _{2}-\xi _{1}}{2}}\right)\cos \eta }$

${\displaystyle x_{4}=\sin \left({\frac {\xi _{2}-\xi _{1}}{2}}\right)\cos \eta }$

โดยที่ครอบคลุมช่วงตั้งแต่ถึงครอบคลุมช่วงตั้งแต่ถึงและสามารถรับค่าใดก็ได้ตั้งแต่ถึงทุกค่าของยกเว้นและซึ่งระบุวงกลม จะระบุทอรัสแบน แยกต่างหาก ใน ทรงกลม 3มิติ และการเดินทางไปกลับหนึ่งรอบ ( ถึง) ของหรือจะทำให้คุณสร้างวงกลมเต็มวงหนึ่งรอบของแขนทั้งสองข้างของทอรัส ${\displaystyle \eta }$${\displaystyle 0}$${\displaystyle \pi /2}$${\displaystyle \xi _{1}}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle 2\pi }$${\displaystyle \xi _{2}}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle 4\pi }$${\displaystyle \eta }$${\displaystyle 0}$${\displaystyle \pi /2}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle 4\pi }$${\displaystyle \xi _{1}}$${\displaystyle \xi _{2}}$

การแมปการกำหนดพารามิเตอร์ข้างต้นไปยังทรง กลม 2มิติ มีดังนี้ โดยจุดบนวงกลมจะถูกกำหนดพารามิเตอร์ด้วย ${\displaystyle \xi _{2}}$

${\displaystyle z=\cos(2\eta )}$

${\displaystyle x=\sin(2\eta )\cos \xi _{1}}$

${\displaystyle y=\sin(2\eta )\sin \xi _{1}}$

การตีความเชิงเรขาคณิตของไฟเบอร์เรชันอาจได้มาจากการใช้เส้นเชิงซ้อนเชิงโปรเจกทีฟ , , ซึ่งกำหนดให้เป็นเซตของปริภูมิย่อย หนึ่งมิติเชิงซ้อนทั้งหมด ของหรือกล่าวอีกนัยหนึ่งคือผลหารของโดยความสัมพันธ์สมมูลซึ่งระบุกับสำหรับจำนวนเชิงซ้อนที่ไม่เป็นศูนย์ใดๆบนเส้นเชิงซ้อน ใดๆ ในจะมีวงกลมที่มีขนาดหนึ่งหน่วย ดังนั้นการจำกัดของแผนที่ผลหารไปยังจุดที่มีขนาดหนึ่งหน่วยจึงเป็นไฟเบอร์เรชันของ เหนือ${\displaystyle \mathbb {CP} ^{1}}$${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$${\displaystyle \mathbb {CP} ^{1}}$${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}\setminus \{0\}}$${\displaystyle (z_{0},z_{1})}$${\displaystyle (\lambda z_{0},\lambda z_{1})}$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$${\displaystyle S^{3}}$${\displaystyle \mathbb {CP} ^{1}}$

${\displaystyle \mathbb {CP} ^{1}}$มีสมบัติเชิงอนุพันธ์กับทรง กลม 2มิติ: ที่จริงแล้วสามารถระบุได้ว่าเป็นทรงกลมรีมันน์ ซึ่งเป็นการทำให้เป็นปริภูมิกระชับแบบจุดเดียวของ(ได้มาจากการเพิ่มจุดที่อนันต์ ) สูตรที่ให้ไว้ข้างต้นกำหนดสมบัติเชิงอนุพันธ์ที่ชัดเจนระหว่างเส้นตรงเชิงโปรเจกทีฟเชิงซ้อนและ ทรงกลม 2 มิติธรรมดา ใน ปริภูมิ 3มิติ หรืออีกทางหนึ่ง จุดสามารถถูกแมปไปยังอัตราส่วนในทรงกลมรีมันน์ได้ ${\displaystyle \mathbb {C} _{\infty }=\mathbb {C} \cup \{\infty \}}$${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle p}$${\displaystyle (z_{0},z_{1})}$${\displaystyle z_{1}/z_{0}}$${\displaystyle \mathbb {C} _{\infty }}$

การจัดเรียง แบบ Hopf fibration กำหนดกลุ่มไฟเบอร์ที่มีการฉายภาพแบบกลุ่มไฟเบอร์ซึ่งหมายความว่ามันมี "โครงสร้างผลคูณเฉพาะที่" ในแง่ที่ว่าทุกจุดบนทรง กลม 2 มิติจะมี บริเวณใกล้เคียงบาง บริเวณ ซึ่งภาพผกผันในทรง กลม 3มิติสามารถระบุได้ด้วยผลคูณของและวงกลม: การจัดเรียงแบบ fibration ดังกล่าวเรียกว่าเป็นแบบไม่สำคัญเฉพาะที่ ${\displaystyle p}$${\displaystyle U}$${\displaystyle U}$${\displaystyle p^{-1}(U)\cong U\times S^{1}}$

สำหรับการสร้างไฟเบอร์แบบฮอปฟ์นั้น เพียงแค่ลบจุดm จุดเดียว ออกจากและวงกลมที่สอดคล้องกันออกจาก ก็เพียงพอแล้ว ดังนั้นจึงสามารถเลือกและจุดใดๆ ใน ก็จะมีบริเวณใกล้เคียงในรูปแบบนี้ ${\displaystyle S^{2}}$${\displaystyle p^{-1}(m)}$${\displaystyle S^{3}}$${\displaystyle U=S^{2}\setminus \{m\}}$${\displaystyle S^{2}}$

การตีความเชิงเรขาคณิตอีกแบบหนึ่งของ Hopf fibration สามารถหาได้จากการพิจารณาการหมุนของ ทรงกลม 2มิติใน ปริภูมิ 3มิติ ธรรมดา กลุ่มการหมุน SO(3)มีการปกคลุมสองชั้นคือกลุ่มสปินSpin(3)ซึ่งมีลักษณะสมมาตรกับทรง กลม 3มิติ กลุ่มสปินกระทำการ ทรานซิทีฟ ต่อการหมุนตัวรักษาเสถียรภาพของจุดหนึ่งมีลักษณะสมมาตรกับกลุ่มวงกลมองค์ประกอบของมันคือมุมการหมุนที่ทำให้จุดที่กำหนดไม่เคลื่อนที่ โดยทั้งหมดมีแกนร่วมกันที่เชื่อมต่อจุดนั้นกับจุดศูนย์กลางของทรงกลม ดังนั้นจึงสรุปได้ง่ายว่าทรง กลม 3มิติเป็นมัดวงกลมหลักเหนือทรง กลม 2มิติ และนี่คือ Hopf fibration ${\displaystyle S^{2}}$

เพื่อให้ชัดเจนยิ่งขึ้น มีสองแนวทาง: กลุ่มSpin(3)สามารถระบุได้กับกลุ่มSp(1)ของควอเทอร์เนียนหน่วยหรือกับกลุ่มเอกภาพพิเศษSU(2 )

ในแนวทางแรก เวกเตอร์ในจะถูกตีความว่าเป็นควอเทอร์เนียนโดยการเขียน ${\displaystyle (x_{1},x_{2},x_{3},x_{4})}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$${\displaystyle q\in \mathbb {H} }$

${\displaystyle q=x_{1}+\mathbf {i} x_{2}+\mathbf {j} x_{3}+\mathbf {k} x_{4}.\,\!}$

จากนั้น ทรง กลม 3มิติจะถูกระบุด้วยเวอร์เซอร์ซึ่งเป็นควอเทอร์เนียนที่มีบรรทัดฐานเป็นหนึ่ง โดยที่ซึ่งเท่ากับ สำหรับดังที่กล่าวมาข้างต้น ${\displaystyle q\in \mathbb {H} }$${\displaystyle |q|^{2}=1}$${\displaystyle |q|^{2}=qq^{*}}$${\displaystyle x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+x_{4}^{2}}$${\displaystyle q}$

ในทางกลับกัน เวกเตอร์ในสามารถตีความได้ว่าเป็นควอเทอร์เนียนบริสุทธิ์ ${\displaystyle (y_{1},y_{2},y_{3})}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

${\displaystyle p=\mathbf {i} y_{1}+\mathbf {j} y_{2}+\mathbf {k} y_{3}.\,\!}$

จากนั้น ดังที่ทราบกันดีมาตั้งแต่สมัยเคย์ลีย์ (1845)การทำแผนที่

${\displaystyle p\mapsto qpq^{*}\,\!}$

เป็นการหมุนใน: อันที่จริงแล้วมันเป็นสมมาตร อย่างชัดเจน เนื่องจากและไม่ยากที่จะตรวจสอบว่ามันรักษาทิศทางไว้ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$${\displaystyle |qpq^{*}|^{2}=qpq^{*}\,qp^{*}q^{*}=qpp^{*}q^{*}=|p|^{2}}$

อันที่จริงแล้ว สิ่งนี้ระบุกลุ่มของเวอร์เซอร์กับกลุ่มของการหมุนของโดยพิจารณาจากข้อเท็จจริงที่ว่าเวอร์เซอร์และกำหนดการหมุนเดียวกัน ดังที่กล่าวไว้ข้างต้น การหมุนกระทำแบบทรานซิทีฟบนและเซตของเวอร์เซอร์ที่ตรึงเวอร์เซอร์ขวาที่กำหนดจะมีรูปแบบโดยที่และเป็นจำนวนจริงที่มีนี่คือกลุ่มย่อยวงกลม เพื่อความชัดเจน เราสามารถเลือกและจากนั้นสามารถกำหนด Hopf fibration เป็นแผนที่ที่ส่งเวอร์เซอร์ไปยัง ควอเท อร์เนียนทั้งหมดโดยที่เป็นหนึ่งในวงกลมของเวอร์เซอร์ที่ตรึง จะถูกแมปไปยังสิ่งเดียวกัน (ซึ่งบังเอิญเป็นหนึ่งในการหมุน 180°สองครั้งที่หมุนไปยังตำแหน่งเดียวกันกับ) ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$${\displaystyle q}$${\displaystyle -q}$${\displaystyle S^{2}}$${\displaystyle q}$${\displaystyle p}$${\displaystyle q=u+vp}$${\displaystyle u}$${\displaystyle v}$${\displaystyle u^{2}+v^{2}=1}$${\displaystyle p=\mathbf {k} }$${\displaystyle \omega }$${\displaystyle \omega \mathbf {k} \omega ^{*}}$${\displaystyle \omega q}$${\displaystyle q}$${\displaystyle \mathbf {k} }$${\displaystyle \mathbf {k} }$${\displaystyle \omega }$

อีกวิธีหนึ่งในการมองไฟเบอร์นี้คือ เวอร์เซอร์แต่ละตัวจะย้ายระนาบที่เกิดจากไปยังระนาบใหม่ที่เกิดจาก ควอเทอร์เนียนใดๆ ก็ตามโดยที่คือหนึ่งในวงกลมของเวอร์เซอร์ที่ตรึงจะมีผลเช่นเดียวกัน เราใส่สิ่งเหล่านี้ทั้งหมดลงในไฟเบอร์เดียว และไฟเบอร์เหล่านี้สามารถแมปแบบหนึ่งต่อหนึ่งไปยังทรง กลม 2มิติของ การหมุน 180°ซึ่งเป็นช่วงของ ${\displaystyle \omega }$${\displaystyle \{1,\mathbf {k} \}}$${\displaystyle \{\omega ,\omega \mathbf {k} \}}$${\displaystyle \omega q}$${\displaystyle q}$${\displaystyle \mathbf {k} }$${\displaystyle \omega \mathbf {k} \omega ^{*}}$

แนวทางนี้เกี่ยวข้องกับการสร้างโดยตรงโดยการระบุควอเทอร์เนียนด้วย เมทริกซ์ 2×2 : ${\displaystyle q=x_{1}+\mathbf {i} x_{2}+\mathbf {j} x_{3}+\mathbf {k} x_{4}}$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}x_{1}+\mathbf {i} x_{2}&x_{3}+\mathbf {i} x_{4}\\-x_{3}+\mathbf {i} x_{4}&x_{1}-\mathbf {i} x_{2}\end{bmatrix}}.\,\!}$

สิ่งนี้ระบุกลุ่มของเวอร์เซอร์ด้วยSU(2)และควอเทอร์เนียนจินตนาการด้วยเมทริกซ์2×2เฉียงเฮอร์มิเชียน (สมมาตรกับ) ${\displaystyle \mathbb {C} \times \mathbb {R} }$

การหมุนที่เกิดจากควอเทอร์เนียนหน่วยนั้นแสดงออกมาอย่างชัดเจนโดยเมทริกซ์เชิงตั้งฉาก${\displaystyle q=w+\mathbf {i} x+\mathbf {j} y+\mathbf {k} z}$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1-2(y^{2}+z^{2})&2(xy-wz)&2(xz+wy)\\2(xy+wz)&1-2(x^{2}+z^{2})&2(yz-wx)\\2(xz-wy)&2(yz+wx)&1-2(x^{2}+y^{2})\end{bmatrix}}.}$

ในที่นี้เราพบสูตรจริงที่ชัดเจนสำหรับการฉายภาพแบบบันเดิล โดยสังเกตว่าเวกเตอร์หน่วย คงที่ ตามแกนจะหมุนไปเป็นเวกเตอร์หน่วยอื่น ${\displaystyle z}$${\displaystyle (0,0,1)}$

${\displaystyle {\Big (}2(xz+wy),2(yz-wx),1-2(x^{2}+y^{2}){\Big )},\,\!}$

ซึ่งเป็นฟังก์ชันต่อเนื่องของนั่นคือ ภาพของคือจุดบนทรง กลม 2มิติ ที่ส่งเวกเตอร์หน่วยไปตามแกน ไฟเบอร์สำหรับจุดที่กำหนดบนประกอบด้วยควอเทอร์เนียนหน่วยทั้งหมดที่ส่งเวกเตอร์หน่วยไปยังจุดนั้น ${\displaystyle (w,x,y,z)}$${\displaystyle q}$${\displaystyle z}$${\displaystyle S^{2}}$

เราสามารถเขียนสูตรที่ชัดเจนสำหรับไฟเบอร์เหนือจุดใน ได้เช่นกัน การคูณควอเทอร์เนียนหน่วยทำให้เกิดการประกอบของการหมุน และ ${\displaystyle (a,b,c)}$${\displaystyle S^{2}}$

${\displaystyle q_{\theta }=\cos \theta +\mathbf {k} \sin \theta }$

เป็นการหมุนรอบแกน เมื่อค่า เปลี่ยนแปลงไป การหมุนนี้จะกวาดเป็นวงกลมใหญ่ของซึ่งเป็นเส้นใยต้นแบบของเรา ตราบใดที่จุดฐานไม่ใช่จุดตรงข้ามควอเทอร์เนียน ${\displaystyle 2\theta }$${\displaystyle z}$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle S^{3}}$${\displaystyle (a,b,c)}$${\displaystyle (0,0,-1)}$

${\displaystyle q_{(a,b,c)}={\frac {1}{\sqrt {2(1+c)}}}(1+c-\mathbf {i} b+\mathbf {j} a)}$

จะส่งไปยังดังนั้นไฟเบอร์ของจึงกำหนดโดยควอเทอร์เนียนในรูปแบบซึ่งเป็นจุดต่างๆ ${\displaystyle (0,0,1)}$${\displaystyle (a,b,c)}$${\displaystyle (a,b,c)}$${\displaystyle q_{(a,b,c)}q_{\theta }}$${\displaystyle S^{3}}$

${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2(1+c)}}}{\Big (}(1+c)\cos(\theta ),a\sin(\theta )-b\cos(\theta ),a\cos(\theta )+b\sin(\theta ),(1+c)\sin(\theta ){\Big )}.\,\!}$

เนื่องจากการคูณด้วยทำหน้าที่เป็นการหมุนของปริภูมิควอเทอร์เนียน ดังนั้นไฟเบอร์จึงไม่ใช่เพียงวงกลมเชิงทอพอโลยีเท่านั้น แต่ยังเป็นวงกลมเชิงเรขาคณิตอีกด้วย ${\displaystyle q_{(a,b,c)}}$

เส้นใยสุดท้ายสำหรับสามารถกำหนดได้โดยการกำหนดให้ เท่ากับ ซึ่งจะได้ผลลัพธ์เป็น ${\displaystyle (0,0,-1)}$${\displaystyle q_{(0,0,-1)}}$${\displaystyle \mathbf {i} }$

${\displaystyle {\Big (}0,\cos(\theta ),-\sin(\theta ),0{\Big )},}$

ซึ่งทำให้กลุ่มสมบูรณ์ แต่โปรดสังเกตว่าการจับคู่แบบหนึ่งต่อหนึ่งระหว่างและ นี้ ไม่ต่อเนื่องบนวงกลมนี้ ซึ่งสะท้อนให้เห็นว่าไม่สมมูลทางโทโพโลยีกับ ${\displaystyle S^{3}}$${\displaystyle S^{2}\times S^{1}}$${\displaystyle S^{3}}$${\displaystyle S^{2}\times S^{1}}$

ดังนั้น วิธีง่ายๆ ในการแสดงภาพการจัดเรียงแบบฮอปฟ์ (Hopf fibration) คือดังนี้ จุดใดๆ บนทรง กลม 3มิติ เทียบเท่ากับควอเทอร์เนียนซึ่งเทียบเท่ากับการหมุนเฉพาะของกรอบพิกัดคาร์ทีเซียนในสามมิติ เซตของควอเทอร์เนียนที่เป็นไปได้ทั้งหมดสร้างเซตของการหมุนที่เป็นไปได้ทั้งหมด ซึ่งจะเคลื่อนปลายของเวกเตอร์หน่วยหนึ่งในกรอบพิกัดดังกล่าว (เช่นเวกเตอร์ ) ไปยังจุดที่เป็นไปได้ทั้งหมดบนทรงกลม2มิติ อย่างไรก็ตาม การตรึงปลายของเวกเตอร์ไม่ได้ระบุการหมุนอย่างสมบูรณ์ การหมุนเพิ่มเติมรอบแกนยังคงเป็นไปได้ ดังนั้น ทรง กลม 3มิติ จึงถูกแมปไปยังทรง กลม 2มิติ บวกกับการหมุนอีกหนึ่งครั้ง ${\displaystyle z}$${\displaystyle z}$${\displaystyle z}$

การหมุนสามารถแสดงได้โดยใช้มุมออยเลอร์ , , และการแมปฮอปฟ์จะแมปการหมุนไปยังจุดบนทรงกลม 2 มิติที่กำหนดโดยและและวงกลมที่เกี่ยวข้องจะถูกกำหนดพารามิเตอร์โดยโปรดทราบว่าเมื่อมุมออยเลอร์และไม่ได้ถูกกำหนดไว้อย่างดีเป็นรายบุคคล ดังนั้นเราจึงไม่มีการแมปแบบหนึ่งต่อหนึ่ง (หรือการแมปแบบหนึ่งต่อสอง) ระหว่างทอรัส 3 มิติของและ${\displaystyle \theta }$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle \psi }$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle \psi }$${\displaystyle \theta =\pi }$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle \psi }$${\displaystyle (\theta ,\varphi ,\psi )}$${\displaystyle S^{3}}$

หากพิจารณา Hopf fibration เป็นสนามเวกเตอร์ในปริภูมิ 3 มิติ จะมีคำตอบสำหรับสมการ Navier–Stokes (แบบอัดได้ ไม่หนืด) ของพลศาสตร์ของไหลซึ่งของไหลไหลไปตามวงกลมของการฉายภาพของ Hopf fibration ในปริภูมิ 3 มิติ ขนาดของความเร็ว ความหนาแน่น และความดันสามารถเลือกได้ในแต่ละจุดเพื่อให้สอดคล้องกับสมการ ปริมาณทั้งหมดเหล่านี้จะลดลงเป็นศูนย์เมื่อห่างจากจุดศูนย์กลาง หาก a คือระยะห่างจากวงแหวนด้านใน สนามความเร็ว ความดัน และความหนาแน่นจะกำหนดโดย:

${\displaystyle \mathbf {v} (x,y,z)=A\left(a^{2}+x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{-2}\left(2(-ay+xz),2(ax+yz),a^{2}-x^{2}-y^{2}+z^{2}\right)}$

${\displaystyle p(x,y,z)=-A^{2}B\left(a^{2}+x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{-3},}$

${\displaystyle \rho (x,y,z)=3B\left(a^{2}+x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{-1}}$

สำหรับค่าคงที่และ ที่กำหนดโดยพล การ รูปแบบของสนามที่คล้ายกันนี้พบได้เป็นโซลูชันโซลิตอนของแม่เหล็กไฟฟ้าพลศาสตร์ : ^{[ 4 ]}${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$

การสร้างแบบฮอปฟ์ เมื่อมองในฐานะกลุ่มไฟเบอร์ยอมรับการวางนัยทั่วไปหลายประการ ซึ่งมักเรียกว่า ฮอปฟ์ไฟเบรชัน ประการแรก เราสามารถแทนที่เส้นตรงเชิงโปรเจกทีฟด้วยปริภูมิเชิงโปร เจกทีฟ nมิติประการที่สอง เราสามารถแทนที่จำนวนเชิงซ้อนด้วยพีชคณิตการหาร (จำนวนจริง) ใดๆ ก็ได้ รวมถึง (สำหรับn = 1) อ็อกโทเนียนด้วย ${\displaystyle p:S^{3}\to \mathbb {CP} ^{1}}$

เวอร์ชันจริงของ Hopf fibration ได้มาจากการพิจารณาวงกลมเป็นเซตย่อยของในลักษณะปกติ และโดยการระบุจุดตรงข้ามกัน ซึ่งจะได้มัดไฟเบอร์เหนือเส้นตรงเชิงโปรเจกทีฟจริงที่มีไฟเบอร์ เช่นเดียวกับ ที่ มีลักษณะสมมาตรเชิงอนุพันธ์กับทรงกลม ก็ มีลักษณะสมมาตรเชิงอนุพันธ์กับวงกลม เช่นกัน${\displaystyle S^{1}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$${\displaystyle S^{1}\to \mathbb {RP} ^{1}}$${\displaystyle S^{0}=\{1,-1\}}$${\displaystyle \mathbb {CP} ^{1}}$${\displaystyle \mathbb {RP} ^{1}}$

โดยทั่วไปแล้ว เส้นใยทรง กลมnเหนือปริภูมิเชิงฉายจริงที่ มีเส้นใย${\displaystyle S^{n}}$${\displaystyle \mathbb {RP} ^{n}}$${\displaystyle S^{0}}$

การสร้างแบบ Hopf ทำให้เกิดกลุ่มวงกลมเหนือปริภูมิเชิงซ้อนแบบโปรเจคทีฟซึ่งแท้จริงแล้วคือการจำกัดกลุ่มเส้นตรงแบบสัจนิรันดร์เหนือทรงกลมหน่วยในปริภูมิเชิงซ้อน ${\displaystyle p:S^{2n+1}\to \mathbb {CP} ^{n}}$${\displaystyle \mathbb {CP} ^{n}}$${\displaystyle \mathbb {C} ^{n+1}}$

ในทำนองเดียวกัน เราสามารถมองว่าอยู่ใน( ปริภูมิควอเทอร์เนียนnมิติ) และแยกตัวประกอบโดยการคูณควอเทอร์เนียนหน่วย (= ) เพื่อให้ได้ปริภูมิเชิงโปรเจกทีฟควอเทอร์เนียนโดยเฉพาะอย่างยิ่ง เนื่องจากมีบันเดิลที่มีไฟเบอร์${\displaystyle S^{4n+3}}$${\displaystyle \mathbb {H} ^{n+1}}$${\displaystyle S^{3}}$${\displaystyle \mathbb {HP} ^{n}}$${\displaystyle S^{4}=\mathbb {HP} ^{1}}$${\displaystyle S^{7}\to S^{4}}$${\displaystyle S^{3}}$

การสร้างที่คล้ายกันกับอ็อกโทเนียนทำให้เกิดมัดที่มีไฟเบอร์แต่ทรงกลมไม่มีไฟเบอร์เหนือด้วยไฟเบอร์เราสามารถพิจารณาให้เป็นเส้นตรงเชิงฉายอ็อกโทเนียนได้ แม้ว่าเราจะสามารถกำหนดระนาบเชิงฉายอ็อกโทเนียน ได้เช่นกัน แต่ทรงกลมไม่มีไฟเบอร์เหนือด้วยไฟเบอร์^{[ 5 ] [ 6 ]}${\displaystyle S^{15}\to S^{8}}$${\displaystyle S^{7}}$${\displaystyle S^{31}}$${\displaystyle S^{16}}$${\displaystyle S^{15}}$${\displaystyle S^{8}}$${\displaystyle \mathbb {OP} ^{1}}$${\displaystyle \mathbb {OP} ^{2}}$${\displaystyle S^{23}}$${\displaystyle \mathbb {OP} ^{2}}$${\displaystyle S^{7}}$

บางครั้ง คำว่า "Hopf fibration" จะถูกจำกัดไว้เฉพาะการเกิด fibration ระหว่างทรงกลมที่ได้ข้างต้น ซึ่งก็คือ

• S ¹ → S ¹พร้อมไฟเบอร์S ⁰
• S ³ → S ²พร้อมเส้นใยS ¹
• S ⁷ → S ⁴พร้อมไฟเบอร์S ³
• S ¹⁵ → S ⁸พร้อมไฟเบอร์S ⁷

ผลสืบเนื่องมาจากทฤษฎีบทของอดัมส์ไฟเบอร์บันเดิลที่มีทรงกลมเป็นปริภูมิทั้งหมด ปริภูมิฐาน และไฟเบอร์ จะเกิดขึ้นได้เฉพาะในมิติเหล่านี้เท่านั้น ไฟเบอร์บันเดิลที่มีคุณสมบัติคล้ายกัน แต่แตกต่างจากไฟเบอร์เรชันของฮอปฟ์ ถูกนำมาใช้โดยจอห์น มิลเนอร์เพื่อสร้างทรงกลมแปลกใหม่

นอกจากนี้ยังมีไฟเบอร์ของเหนือที่รู้จักกันในบางวงการว่าเป็นไฟเบอร์ทวิสเตอร์^{[ 7 ]}ไฟเบอร์คือที่นี่เกิดขึ้นเป็นผลหารของโดยฟิลด์ย่อยสลับตำแหน่งสูงสุดของควอเทอร์เนียน ${\displaystyle \mathbb {CP} ^{2n+1}}$${\displaystyle \mathbb {HP} ^{n}}$${\displaystyle \mathbb {CP} ^{1}}$${\displaystyle \mathbb {CP} ^{2n+1}}$${\displaystyle \mathbb {H} ^{n+1}}$

โดยทั่วไปแล้วRobert Bryantได้ระบุไฟเบอร์แบบเอกพันธุ์ทั้งหมดเหนือปริภูมิสมมาตรแบบรีมันน์ซึ่งปริภูมิทั้งหมดเป็นแมนิโฟลด์เชิงซ้อนซึ่งเขาเรียกว่าปริภูมิทวิสเตอร์^{[ 8 ]}กรณีที่อธิบายไว้ในที่นี้คือไฟเบอร์ของเหนือ${\displaystyle \operatorname {Sp} (n+1)/U(1)\times \operatorname {Sp} (n)}$${\displaystyle \operatorname {Sp} (n+1)/\operatorname {Sp} (1)\times \operatorname {Sp} (n).}$

โดยทั่วไป เมื่อใดก็ตามที่มีหอคอยของกลุ่มย่อย Lie (แบบปิด) ก็จะมีไฟเบอร์เรชันของเหนือสำหรับไฟเบอร์เรชัน Hopf แบบคลาสสิก, , และ${\displaystyle K\subset H\subset G}$${\displaystyle G/K}$${\displaystyle G/H}$${\displaystyle G=U(n+1)}$${\displaystyle K=U(n)}$${\displaystyle H=U(1)\times U(n)}$

การจัดเรียงเส้นใย ฮอปฟ์มีนัยสำคัญหลายประการ บางประการน่าสนใจอย่างยิ่ง บางประการลึกซึ้งกว่านั้น ตัวอย่างเช่นการฉายภาพแบบสเตอริโอกราฟิก ทำให้เกิดโครงสร้างที่น่าทึ่งในซึ่งในทางกลับกันก็ทำให้เข้าใจโทโพโลยีของกลุ่มเส้นใยได้ดีขึ้น ( Lyons 2003 ) การฉายภาพแบบสเตอริโอกราฟิกจะรักษาความเป็นวงกลมและแมปเส้นใยฮอปฟ์ไปยังวงกลมที่สมบูรณ์แบบทางเรขาคณิตซึ่งเติมเต็มพื้นที่ มีข้อยกเว้นหนึ่งประการคือ วงกลมฮอปฟ์ที่บรรจุจุดฉายภาพจะถูกแมปไปยังเส้นตรงใน— เป็น "วงกลมผ่านอนันต์" ${\displaystyle S^{3}\to \mathbb {R} ^{3}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

เส้นใยที่ลากผ่านวงกลมละติจูดบนก่อให้เกิดทอรัสใน(ในทางทอพอโลยี ทอรัสเป็นผลคูณของวงกลมสองวง) และทอรัสเหล่านี้จะฉายภาพไปยังทอรัสที่ ซ้อนกัน ซึ่งเติมเต็มพื้นที่เช่นกัน เส้นใยแต่ละเส้นจะแมปไปยังวงกลมวิลลาร์โซ ที่เชื่อมโยงกัน บนทอรัสเหล่านี้ ยกเว้นวงกลมที่ผ่านจุดฉายภาพและวงกลมที่ผ่านจุดตรงข้าม : วงกลมแรกแมปไปยังเส้นตรง วงกลมหลังแมปไปยังวงกลมหน่วยที่ตั้งฉากและมีจุดศูนย์กลางอยู่ที่เส้นตรงนี้ ซึ่งอาจมองได้ว่าเป็นทอรัสที่เสื่อมสภาพซึ่งรัศมีเล็กสุดหดตัวลงเป็นศูนย์ ภาพของเส้นใยอื่นๆ ทุกเส้นจะล้อมรอบเส้นตรงเช่นกัน ดังนั้นโดยสมมาตร วงกลมแต่ละวงจึงเชื่อมโยงกันผ่านวงกลมทุกวง ทั้งในและในวงกลมเชื่อมโยงสองวงดังกล่าวก่อให้เกิดการเชื่อมโยงฮอปฟ์ใน${\displaystyle S^{2}}$${\displaystyle S^{3}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$${\displaystyle S^{3}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

ฮอปฟ์เองได้พิสูจน์แล้วว่าแผนที่ฮอปฟ์มีค่าคงที่ฮอปฟ์เท่ากับ 1 และด้วยเหตุนี้จึงไม่ใช่โฮโมโทปิก ศูนย์ ในความเป็นจริง มันสร้างกลุ่มโฮโมโทปี π ₃ ( S ² ) และมีอันดับอนันต์

ในกลศาสตร์ควอนตัมทรงกลมรีมันน์เรียกว่าทรงกลมบล็อกและการจัดเรียงแบบฮอปฟ์ (Hopf fibration) อธิบายโครงสร้างทางทอพอโลยีของระบบสองระดับหรือคิวบิต ในกลศาสตร์ควอนตัม ในทำนองเดียวกัน ทอพอโลยีของระบบสองระดับที่พันกันสองระบบก็กำหนดโดยการจัดเรียงแบบฮอปฟ์เช่นกัน

${\displaystyle S^{3}\hookrightarrow S^{7}\to S^{4}.}$

( Mosseri & Dandoloff 2001 ) ยิ่งไปกว่านั้น Hopf fibration เทียบเท่ากับโครงสร้างมัดเส้นใยของDirac monopole ^{[ 9 ]}

การจัดเรียงแบบ Hopf fibration ยังพบการประยุกต์ใช้ในด้านหุ่นยนต์โดยใช้เพื่อสร้างตัวอย่างที่สม่ำเสมอบนSO(3)สำหรับ อัลกอริทึม แผนที่เส้นทางความน่าจะเป็นในการวางแผนการเคลื่อนที่ [ ^{10 ] นอกจาก}นี้ยังพบการประยุกต์ใช้ในการควบคุมอัตโนมัติของควอดโรเตอร์^{[ 11 ] [ 12 ]}

• วงเวียนวิลลาร์โซ

• "Hopf fibration" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press , 2001 [1994]
• โรว์แลนด์, ท็อดด์. "Hopf fibration" . MathWorld .
• บทที่ 7 และ 8 ของหนังสือ Dimensions Mathอธิบายการสร้างไฟเบอร์แบบ Hopf ด้วยภาพกราฟิกคอมพิวเตอร์แบบเคลื่อนไหว
• บทนำเบื้องต้นเกี่ยวกับ Hopf Fibrationโดย David W. Lyons ( PDF )
• แอนิเมชั่นบน YouTube แสดงการแมปแบบไดนามิกของจุดบนทรงกลม 2 มิติไปยังวงกลมในทรงกลม 3 มิติ โดยศาสตราจารย์ไนลส์ จอห์นสัน
• แอนิเมชั่นบน YouTube โดย Gian Marco Todesco แสดงการสร้างเซลล์ 120 เซลล์ และ แสดงการสร้างเส้นใยฮอปฟ์ (Hopf fibration) ของเซลล์ 120 เซลล์
• วิดีโอแสดงวงแหวน 30 เซลล์หนึ่งวงจาก ทั้งหมด600 เซลล์จากhttp://page.math.tu-berlin.de/~gunn/
• การแสดงภาพแบบโต้ตอบของการแมปจุดบนทรงกลม 2 มิติไปยังวงกลมในทรงกลม 3 มิติ