วงกลม
วงกลม   เส้นรอบวงC   เส้นผ่านศูนย์กลางD   รัศมีR   ศูนย์กลางหรือจุดกำเนิดO
พิมพ์	ภาคตัดกรวย
กลุ่มสมมาตร	โอ(2)
พื้นที่	πR 2
ปริมณฑล	C = 2πR

วงกลมคือรูปทรงที่ประกอบด้วยจุด ทั้งหมด บนระนาบซึ่งอยู่ห่างจากจุดที่กำหนดจุดหนึ่ง เรียกว่าจุดศูนย์กลาง เป็นระยะทางที่กำหนดระยะห่างระหว่างจุดใดๆ บนวงกลมกับจุดศูนย์กลางเรียกว่ารัศมีความยาวของส่วนของเส้นตรงที่เชื่อมจุดสองจุดบนวงกลมและผ่านจุดศูนย์กลางเรียกว่าเส้นผ่านศูนย์กลางวงกลมล้อมรอบบริเวณบนระนาบที่เรียกว่า จาน

วงกลมเป็นที่รู้จักกันมาตั้งแต่ก่อนยุคประวัติศาสตร์ที่มีการบันทึกไว้ วงกลมในธรรมชาติพบได้ทั่วไป เช่นพระจันทร์เต็มดวงหรือ ชิ้นผลไม้ทรงกลม วงกลมเป็นพื้นฐานของล้อซึ่งเมื่อรวมกับสิ่งประดิษฐ์ที่เกี่ยวข้อง เช่นเฟือง ทำให้เครื่องจักรสมัยใหม่จำนวน มากเป็นไปได้ ในทางคณิตศาสตร์ การศึกษาเกี่ยวกับวงกลมได้ช่วยเป็นแรงบันดาลใจในการพัฒนาเรขาคณิตดาราศาสตร์และแคลคูลัส

• แอนนูลัส : วัตถุรูปวงแหวน บริเวณที่ล้อมรอบด้วยวงกลม สองวง ที่มีจุดศูนย์กลางร่วม กัน
• ส่วนโค้ง : ส่วนใดๆที่เชื่อมต่อกันของวงกลม การระบุจุดปลายสองจุดของส่วนโค้งและจุดศูนย์กลางจะทำให้สามารถสร้างส่วนโค้งสองส่วนที่ประกอบกันเป็นวงกลมได้
• จุดศูนย์กลาง : จุดที่อยู่ห่างจากทุกจุดบนวงกลมเท่ากัน
• คอร์ด : ส่วนของเส้นตรงที่มีจุดปลายอยู่บนวงกลม ซึ่งแบ่งวงกลมออกเป็นสองส่วน
• เส้นรอบวง : ความยาวของหนึ่งรอบตามแนววงกลม หรือระยะทางรอบวงกลม
• เส้นผ่านศูนย์กลาง : ส่วนของเส้นตรงที่มีจุดปลายอยู่บนวงกลมและผ่านจุดศูนย์กลาง หรือความยาวของส่วนของเส้นตรงดังกล่าว นี่คือระยะทางที่มากที่สุดระหว่างจุดสองจุดใดๆ บนวงกลม มันเป็นกรณีพิเศษของคอร์ด กล่าวคือ คอร์ดที่ยาวที่สุดสำหรับวงกลมที่กำหนด และความยาวของมันเป็นสองเท่าของความยาวของรัศมี
• ดิสก์ : บริเวณบนระนาบที่ล้อมรอบด้วยวงกลม ในทางคณิตศาสตร์อย่างเคร่งครัด วงกลมเป็นเพียงขอบเขตของดิสก์เท่านั้น ในขณะที่ในการใช้งานทั่วไป คำว่า "วงกลม" อาจหมายถึงดิสก์ด้วย
• เลนส์ : บริเวณที่เป็นส่วนร่วมของ (จุดตัดของ) แผ่นดิสก์สองแผ่นที่ซ้อนทับกัน
• รัศมี : ส่วนของเส้นตรงที่เชื่อมจุดศูนย์กลางของวงกลมกับจุดใดจุดหนึ่งบนวงกลม หรือความยาวของส่วนของเส้นตรงนั้น ซึ่งมีค่าเป็นครึ่งหนึ่งของเส้นผ่านศูนย์กลาง โดยปกติแล้ว รัศมีจะถูกกำหนดและต้องเป็นจำนวนบวก วงกลมที่มีรัศมีน้อยกว่า 1 ถือเป็นกรณีพิเศษที่ประกอบด้วยจุดเพียงจุดเดียว${\displaystyle r}$${\displaystyle r=0}$
• เซกเตอร์ (Sector) : บริเวณที่ล้อมรอบด้วยรัศมีสองเส้นที่มีความยาวเท่ากัน โดยมีจุดศูนย์กลางร่วมกัน และมีส่วนโค้งสองส่วนที่เป็นไปได้ ซึ่งกำหนดโดยจุดศูนย์กลางและจุดปลายของรัศมีทั้งสอง
• ส่วนของวงกลม (Segment ): บริเวณที่ถูกล้อมรอบด้วยคอร์ดและส่วนโค้งที่เชื่อมต่อจุดปลายของคอร์ดนั้น ความยาวของคอร์ดกำหนดขอบเขตล่างของเส้นผ่านศูนย์กลางของส่วนโค้งที่เป็นไปได้ บางครั้งคำว่าส่วน ของวงกลม จะใช้เฉพาะกับบริเวณที่ไม่ประกอบด้วยจุดศูนย์กลางของวงกลมที่ส่วนโค้งนั้นเป็นส่วนหนึ่งอยู่
• เส้นตัดเฉียง (Secant) : เส้นตรงที่ต่อขยายจากเส้นตรงเดิม เป็นเส้นตรงระนาบเดียวกันที่ตัดกับวงกลมในสองจุด
• ครึ่งวงกลม : หนึ่งในสองส่วนโค้งที่เป็นไปได้ซึ่งกำหนดโดยจุดปลายของเส้นผ่านศูนย์กลาง โดยใช้จุดกึ่งกลางเป็นจุดศูนย์กลาง ในการใช้งานทั่วไปที่ไม่ใช่เชิงเทคนิค อาจหมายถึงส่วนภายในของบริเวณสองมิติที่ล้อมรอบด้วยเส้นผ่านศูนย์กลางและส่วนโค้งหนึ่งส่วน ซึ่งในทางเทคนิคเรียกว่าครึ่งวงกลม ครึ่งวงกลมเป็นกรณีพิเศษของส่วนของเส้นตรง กล่าวคือ ส่วนของเส้นตรงที่ใหญ่ที่สุด
• เส้นสัมผัส : เส้นตรงที่อยู่ในระนาบเดียวกันกับวงกลมและมีจุดร่วมเพียงจุดเดียวกับวงกลม ("สัมผัสวงกลมที่จุดนี้")

พื้นที่ทั้งหมดที่ระบุไว้ อาจถือได้ว่าเป็นพื้นที่เปิด กล่าวคือ ไม่รวมขอบเขตของพื้นที่เหล่านั้น หรืออาจเป็น พื้นที่ ปิด กล่าวคือ รวมขอบเขตของพื้นที่เหล่านั้นไว้ด้วย

คำว่าcircleมาจากภาษากรีก κίρκος/κύκλος ( kirkos/kuklos ) ซึ่งเป็นการสลับตำแหน่งของคำในภาษากรีกโฮเมอร์ κρίκος ( krikos ) ที่แปลว่า "ห่วง" หรือ "วงแหวน" ^{[ 1 ]}ที่มาของคำว่าcircusและcircuitมีความสัมพันธ์กันอย่างใกล้ชิด

คนยุคก่อนประวัติศาสตร์สร้างวงกลมหินและวงกลมไม้และองค์ประกอบวงกลมพบได้ทั่วไปในภาพสลักหินและ ภาพ วาดในถ้ำ^{[ 2 ]}สิ่งประดิษฐ์ยุคก่อนประวัติศาสตร์รูปทรงจาน ได้แก่จานท้องฟ้าเนบราและจานหยกที่เรียกว่า บิ

ปาปิรัสรินด์ของอียิปต์ซึ่งมีอายุราว 1700 ปีก่อนคริสตกาล ได้ให้วิธีการหาพื้นที่ของวงกลม ผลลัพธ์ที่ได้คือ⁠256/81( 3.16049 ^... ) เป็นค่าโดยประมาณของπ [ ^{3 ]}

หนังสือเล่มที่ 3 ของตำรา คณิตศาสตร์พื้นฐาน ของยูคลิดกล่าวถึงคุณสมบัติของวงกลม นิยามของวงกลมโดยยูคลิดคือ:

วงกลมเป็นรูปทรงเรขาคณิตบนระนาบที่ล้อมรอบด้วยเส้นโค้งเส้นเดียว และเส้นตรงทุกเส้นที่ลากจากจุดใดจุดหนึ่งภายในวงกลมไปยังเส้นโค้งนั้นจะมีความยาวเท่ากัน เส้นโค้งนั้นเรียกว่าเส้นรอบวง และจุดนั้นเรียกว่าจุดศูนย์กลาง

ในจดหมายฉบับที่เจ็ดของเพลโตมีคำจำกัดความและคำอธิบายโดยละเอียดเกี่ยวกับวงกลม เพลโตอธิบายถึงวงกลมที่สมบูรณ์แบบ และความแตกต่างจากภาพวาด คำพูด คำจำกัดความ หรือคำอธิบายใดๆวิทยาศาสตร์ ยุคแรก โดยเฉพาะเรขาคณิตโหราศาสตร์และดาราศาสตร์เชื่อมโยงกับสิ่งศักดิ์สิทธิ์สำหรับนักวิชาการยุคกลาง ส่วนใหญ่ และหลายคนเชื่อว่ามีบางสิ่งที่เป็น "ศักดิ์สิทธิ์" หรือ "สมบูรณ์แบบ" โดยเนื้อแท้ที่สามารถพบได้ในวงกลม^{[ 5 ] [ 6 ]}

ในปี ค.ศ. 1880 เฟอร์ดินานด์ ฟอน ลินเดมันน์พิสูจน์ว่าπเป็นจำนวนอดิศัย ซึ่งพิสูจน์ว่าปัญหา การหาพื้นที่เท่าวงกลมที่มีมานานนับพันปีไม่สามารถทำได้ด้วยไม้บรรทัดและวงเวียน^{[ 7 ]}

ด้วยการถือกำเนิดของศิลปะนามธรรมในช่วงต้นศตวรรษที่ 20 วัตถุเรขาคณิตจึงกลายเป็นหัวข้อทางศิลปะในตัวของมันเอง โดยเฉพาะอย่างยิ่ง วาสซิลี คันดินสกีมักใช้รูปวงกลมเป็นองค์ประกอบในผลงานของเขา^{[ 8 ] [ 9 ]}

นับตั้งแต่อารยธรรมที่เก่าแก่ที่สุดเท่าที่เรารู้จัก เช่น ชาวอัสซีเรียและชาวอียิปต์โบราณ อารยธรรมในลุ่มแม่น้ำสินธุและตามแม่น้ำเหลืองในประเทศจีน และอารยธรรมตะวันตกอย่างกรีกและโรมันในยุคโบราณคลาสสิก วงกลมถูกนำมาใช้โดยตรงหรือโดยอ้อมในงานศิลปะเพื่อสื่อสารข้อความของศิลปินและเพื่อแสดงความคิดบางอย่าง อย่างไรก็ตาม ความแตกต่างในโลกทัศน์ (ความเชื่อและวัฒนธรรม) มีผลกระทบอย่างมากต่อการรับรู้ของศิลปิน บางคนเน้นที่เส้นรอบวงของวงกลมเพื่อแสดงถึงความเป็นประชาธิปไตย ในขณะที่บางคนเน้นที่จุดศูนย์กลางเพื่อเป็นสัญลักษณ์ของแนวคิดเรื่องความเป็นเอกภาพของจักรวาล ในหลักคำสอนลึกลับ วงกลมส่วนใหญ่เป็นสัญลักษณ์ของธรรมชาติที่ไม่มีที่สิ้นสุดและเป็นวัฏจักรของการดำรงอยู่ แต่ในประเพณีทางศาสนา วงกลมเป็นตัวแทนของดวงดาวและเทพเจ้า

วงกลมแสดงถึงแนวคิดศักดิ์สิทธิ์และจิตวิญญาณมากมาย รวมถึงความเป็นหนึ่งเดียว ความเป็นอนันต์ ความสมบูรณ์ จักรวาล เทพเจ้า ความสมดุล ความมั่นคง และความสมบูรณ์แบบ เป็นต้น แนวคิดเหล่านี้ได้รับการถ่ายทอดในวัฒนธรรมทั่วโลกผ่านการใช้สัญลักษณ์ เช่น เข็มทิศ รัศมี เวสิกาปิสซิสและอนุพันธ์ (ปลา ตา รัศมี แมนดอร์ลา ฯลฯ) โอโรโบรอสวงล้อธรรม รุ้งมัณฑลา หน้าต่างกุหลาบ และอื่นๆ^{[ 10 ]}วงกลมเวทมนตร์เป็นส่วนหนึ่งของประเพณีลึกลับตะวันตก บาง ประเพณี

อัตราส่วนของเส้นรอบวงของวงกลมต่อเส้นผ่านศูนย์กลางคือπ (พาย) ซึ่งเป็นค่าคงที่อตรรกยะที่มี ค่าประมาณ 3.141592654อัตราส่วนของเส้นรอบวงของวงกลมต่อรัศมีคือ2π [ ^{a ] ดังนั้น}เส้นรอบวงCจึงมีความสัมพันธ์กับรัศมีrและเส้นผ่านศูนย์กลางdดังนี้: $${\displaystyle C=2\pi r=\pi ง.}$$

ตามที่ อาร์คิมิดีสพิสูจน์ไว้ในการวัดวงกลมพื้นที่ที่ล้อมรอบด้วยวงกลมจะเท่ากับพื้นที่ของสามเหลี่ยมที่มีฐานยาวเท่ากับเส้นรอบวงของวงกลมและมีความสูงเท่ากับรัศมีของวงกลม^{[ 11 ]}ซึ่งก็คือπคูณด้วยรัศมีกำลังสอง: $${\displaystyle \mathrm {พื้นที่} =\pi r^{2}.}$$

หรือกล่าวอีกนัยหนึ่งคือ กำหนดให้เส้นผ่านศูนย์กลางเป็นdซึ่ง คิดเป็นประมาณ 79% ของ สี่เหลี่ยมจัตุรัส ที่ล้อมรอบ (ซึ่งมีด้านยาวd ) $${\displaystyle \mathrm {Area} ={\frac {\pi d^{2}}{4}}\approx 0.7854d^{2},}$$

วงกลมคือเส้นโค้งระนาบที่ล้อมรอบพื้นที่สูงสุดสำหรับความยาวส่วนโค้งที่กำหนด ซึ่งเชื่อมโยงวงกลมกับปัญหาในแคลคูลัสของการแปรผัน นั่นคืออสมการไอโซเปริเมตริก

ถ้าวงกลมรัศมีrมีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุดยอดของมุม θและมุม θ นั้นตัดกับส่วนโค้งของวงกลมที่มีความยาวส่วนโค้ง s แล้ว ค่ามุม θ ในหน่วย เรเดียนจะเป็นอัตราส่วนของความยาวส่วนโค้งต่อรัศมี $${\displaystyle \theta ={\frac {s}{r}}.}$$

ส่วนโค้งวงกลมนั้นกล่าวกันว่ารองรับมุมที่จุดศูนย์กลางของวงกลม ซึ่ง เรียกว่า มุมศูนย์กลาง 1 เรเดียน คือขนาดของมุมศูนย์กลางที่รองรับส่วนโค้งวงกลมที่มีความยาวเท่ากับรัศมี มุมที่รองรับวงกลมสมบูรณ์ที่จุดศูนย์กลางเรียกว่า มุมสมบูรณ์ซึ่งมีขนาด2π เรเดียนหรือ 360 องศาหรือหนึ่ง รอบ

เมื่อใช้หน่วยเรเดียน สูตรสำหรับความยาวส่วนโค้งsของส่วนโค้งวงกลมที่มีรัศมีrและรองรับมุมศูนย์กลางที่มีขนาด 𝜃 คือ $${\displaystyle s=\theta r,}$$

และสูตรสำหรับพื้นที่Aของส่วนวงกลมที่มีรัศมีrและมุมศูนย์กลางขนาด 𝜃 คือ $${\displaystyle A={\frac {1}{2}}\theta r^{2}.}$$

ในกรณีพิเศษที่𝜃 = 2 πสูตรเหล่านี้จะให้ค่าเส้นรอบวงของวงกลมสมบูรณ์และพื้นที่ของวงกลมสมบูรณ์ตามลำดับ

ในระบบพิกัดคาร์ทีเซียนx – y วงกลมที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่พิกัด ( a , b ) และรัศมีrคือเซตของจุดทั้งหมด ( x , y ) ที่มีคุณสมบัติว่า $${\displaystyle (xa)^{2}+(yb)^{2}=r^{2}.}$$

สมการนี้ซึ่งรู้จักกันในชื่อสมการของวงกลมได้มาจากทฤษฎีบทพีทาโกรัสที่ใช้กับจุดใดๆ บนวงกลม ดังแสดงในแผนภาพด้านข้าง รัศมีคือด้านตรงข้ามมุมฉากของสามเหลี่ยมมุมฉากที่มีด้านอีกด้านยาว | x − a | และ | y − b | ถ้าวงกลมมีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุดกำเนิด (0, 0) สมการจะลดรูปเหลือเพียง $${\displaystyle x^{2}+y^{2}=r^{2}.}$$

วงกลมรัศมี⁠ ⁠${\displaystyle r}$ที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่⁠ ⁠${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$ใน ระนาบ ⁠ ⁠${\displaystyle x}$ – ⁠ ⁠${\displaystyle y}$สามารถแบ่งออกเป็นสองครึ่งวงกลม ซึ่งแต่ละครึ่งวงกลมเป็นกราฟของฟังก์ชัน , ⁠ ⁠${\displaystyle y_{+}(x)}$และ⁠ ⁠${\displaystyle y_{-}(x)}$ตามลำดับ: สำหรับค่าของ⁠ ⁠ ที่อยู่ใน ช่วง ตั้งแต่⁠ ⁠ถึง⁠ ⁠$${\displaystyle {\begin{aligned}y_{+}(x)=y_{0}+{\sqrt {r^{2}-(x-x_{0})^{2}}},\\[5mu]y_{-}(x)=y_{0}-{\sqrt {r^{2}-(x-x_{0})^{2}}},\end{aligned}}}$$${\displaystyle x}$${\displaystyle x_{0}-r}$${\displaystyle x_{0}+r}$

สมการสามารถเขียนในรูปแบบพาราเมตริกโดยใช้ฟังก์ชันตรีโกณมิติไซน์และโคไซน์ได้ดังนี้ โดย ที่tเป็นตัวแปรพาราเมตริกในช่วง 0 ถึง 2π ซึ่งตีความในเชิงเรขาคณิตได้ว่าเป็นมุมที่รังสีจาก ( a ,  b ) ไปยัง ( x ,  y ) ทำกับ แกน x  บวก $${\displaystyle {\begin{aligned}x&=a+r\,\cos t,\\y&=b+r\,\sin t,\end{aligned}}}$$

การกำหนดพารามิเตอร์ทางเลือกของวงกลมคือ $${\displaystyle {\begin{aligned}x&=a+r{\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}},\\y&=b+r{\frac {2t}{1+t^{2}}}.\end{aligned}}}$$

ในการกำหนดพารามิเตอร์นี้ อัตราส่วนของtต่อrสามารถตีความในเชิงเรขาคณิตได้ว่าเป็นภาพฉายสามมิติของเส้นที่ผ่านจุดศูนย์กลางขนานกับ แกน x  (ดูการแทนที่ครึ่งมุมสัมผัส ) อย่างไรก็ตาม การกำหนดพารามิเตอร์นี้ใช้ได้เฉพาะในกรณีที่tมีค่าครอบคลุมไม่เพียงแต่จำนวนจริงทั้งหมดเท่านั้น แต่ยังรวมถึงจุดที่อนันต์ด้วย มิฉะนั้น จุดซ้ายสุดของวงกลมจะถูกละเว้น

สมการของวงกลมที่กำหนดโดยจุดสามจุดที่ไม่อยู่บนเส้นตรงเดียวกัน ได้มาจากการแปลงสมการวงกลมในรูปแบบสามจุด : ${\displaystyle (x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2}),(x_{3},y_{3})}$$${\displaystyle {\frac {({\color {green}x}-x_{1})({\color {green}x}-x_{2})+({\color {red}y}-y_{1})({\color {red}y}-y_{2})}{({\color {red}y}-y_{1})({\color {green}x}-x_{2})-({\color {red}y}-y_{2})({\color {green}x}-x_{1})}}={\frac {(x_{3}-x_{1})(x_{3}-x_{2})+(y_{3}-y_{1})(y_{3}-y_{2})}{(y_{3}-y_{1})(x_{3}-x_{2})-(y_{3}-y_{2})(x_{3}-x_{1})}}}.}$$

ในระบบพิกัดเอกพันธุ์ภาคตัดกรวยแต่ละ ภาค ที่มีสมการเป็นวงกลมจะมีรูปแบบดังนี้ $${\displaystyle x^{2}+y^{2}-2axz-2byz+cz^{2}=0.}$$

สามารถพิสูจน์ได้ว่าภาคตัดกรวยเป็นวงกลมก็ต่อเมื่อมันประกอบด้วยจุดI (1: i : 0) และJ (1: − i : 0) (เมื่อขยายไปยัง ระนาบเชิงซ้อน ) จุดเหล่านี้เรียกว่าจุดวงกลมที่อนันต์

ในระบบพิกัดเชิงขั้ว สมการของวงกลมคือ $${\displaystyle r^{2}-2rr_{0}\cos(\theta -\phi )+r_{0}^{2}=a^{2},}$$

โดยที่aคือรัศมีของวงกลมคือพิกัดเชิงขั้วของจุดใดๆ บนวงกลม และคือพิกัดเชิงขั้วของจุดศูนย์กลางของวงกลม (กล่าวคือr₀คือระยะห่างจากจุดกำเนิดถึงจุดศูนย์กลางของวงกลม และ_φคือมุมทวนเข็มนาฬิกาจากแกน x บวกไปยัง  เส้นที่เชื่อมจุดกำเนิดกับจุดศูนย์กลางของวงกลม) สำหรับวงกลมที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุดกำเนิด กล่าวคือ_r₀ = 0สมการนี้จะลดลงเหลือr = aเมื่อr₀ ₌ aหรือเมื่อจุดกำเนิดอยู่บนวงกลม สมการจะกลายเป็น ${\displaystyle (r,\theta )}$${\displaystyle (r_{0},\phi )}$$${\displaystyle r=2a\cos(\theta -\phi ).}$$

โดยทั่วไปแล้ว สมการสามารถแก้หาค่าr ได้ ซึ่งจะ ได้ผลลัพธ์ดังนี้ หากไม่มีเครื่องหมาย ± สมการในบางกรณีจะอธิบายได้เพียงครึ่งวงกลมเท่านั้น $${\displaystyle r=r_{0}\cos(\theta -\phi )\pm {\sqrt {a^{2}-r_{0}^{2}\sin ^{2}(\theta -\phi )}}.}$$

ในระนาบเชิงซ้อนวงกลมที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่cและรัศมีrจะมีสมการดังนี้ $${\displaystyle |zc|=r.}$$

ในรูปแบบพาราเมตริก สามารถเขียนได้ดังนี้ $${\displaystyle z=re^{it}+c.}$$

สมการทั่วไปเล็กน้อย $${\displaystyle pz{\overline {z}}+gz+{\overline {gz}}=q}$$

สำหรับจำนวนจริงp , qและจำนวนเชิงซ้อนgบางครั้งเรียกว่าวงกลมทั่วไปซึ่งจะกลายเป็นสมการข้างต้นสำหรับวงกลมที่มีเนื่องจากไม่ใช่ว่าวงกลมทั่วไปทั้งหมดจะเป็นวงกลมจริง ๆ วงกลมทั่วไปจะเป็นวงกลม (จริง) หรือเส้นตรงก็ได้ ${\displaystyle p=1,\ g=-{\overline {c}},\ q=r^{2}-|c|^{2}}$${\displaystyle |zc|^{2}=z{\overline {z}}-{\overline {c}}zc{\overline {z}}+c{\overline {c}}}$

เส้นสัมผัสที่ลากผ่านจุดPบนวงกลมจะตั้งฉากกับเส้นผ่านศูนย์กลางที่ผ่านจุดPถ้าP = ( x ₁ , y ₁ )และวงกลมมีจุดศูนย์กลางอยู่ที่ ( a , b ) และรัศมีrแล้ว เส้นสัมผัสจะตั้งฉากกับเส้นตรงจาก ( a , b ) ไปยัง ( x ₁ , y ₁ ) ดังนั้นจึงมีรูปแบบเป็น( x ₁ − a ) x + ( y ₁ − b ) y = c การหาค่าของ cที่จุด ( x ₁ , y ₁ ) จะได้สมการของเส้นสัมผัสเป็น หรือ $${\displaystyle (x_{1}-a)x+(y_{1}-b)y=(x_{1}-a)x_{1}+(y_{1}-b)y_{1},}$$$${\displaystyle (x_{1}-a)(xa)+(y_{1}-b)(yb)=r^{2}.}$$

ถ้าy ₁ ≠ bแล้ว ความชันของเส้นตรงนี้คือ $${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=-{\frac {x_{1}-a}{y_{1}-b}}.}$$

นอกจากนี้ยังสามารถหาค่านี้ได้โดยใช้ การหาอนุพันธ์ โดย ปริยาย

เมื่อจุดศูนย์กลางของวงกลมอยู่ที่จุดกำเนิด สมการของเส้นสัมผัสจะเป็น และความชันของเส้นสัมผัสคือ $${\displaystyle x_{1}x+y_{1}y=r^{2},}$$$${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=-{\frac {x_{1}}{y_{1}}}.}$$

• วงกลมเป็นรูปทรงที่มีพื้นที่มากที่สุดสำหรับความยาวเส้นรอบวงที่กำหนด (ดูอสมการไอโซเพอริเมตริก )
• วงกลมเป็นรูปทรงที่มีสมมาตรสูงมาก: ทุกเส้นที่ลากผ่านจุดศูนย์กลางจะก่อให้เกิดเส้นสมมาตรสะท้อนและมีสมมาตรการหมุนรอบจุดศูนย์กลางสำหรับทุกมุมกลุ่มสมมาตร ของวงกลม คือกลุ่มตั้งฉาก O(2, R ) กลุ่มการหมุนเพียงอย่างเดียวคือกลุ่มวงกลมT
• วงกลมทั้งหมดมีความคล้ายคลึงกัน^{[ 12 ]}
  • เส้นรอบวงและรัศมีของวงกลมมีความสัมพันธ์กันแบบแปรผันตรง
  • พื้นที่ที่ล้อมรอบและกำลังสองของรัศมีมีความสัมพันธ์กัน
  • ค่าคงที่สัดส่วนคือ 2π และ π ตามลำดับ
• วงกลมที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุดกำเนิดและรัศมีเท่ากับ 1 เรียกว่าวงกลม หน่วย
  • เมื่อมองว่าเป็นวงกลมใหญ่ของทรงกลมหน่วยมันจะกลายเป็นวงกลมรีมันน์
• วงกลมหนึ่งวงสามารถลากผ่านจุดสามจุดใดๆ ก็ได้ โดยไม่จำเป็นต้องอยู่บนเส้นตรงเดียวกัน ในระบบพิกัดคาร์ทีเซียน เราสามารถกำหนดสูตรที่ชัดเจนสำหรับพิกัดของจุดศูนย์กลางและรัศมีของวงกลมได้ โดยใช้พิกัดของจุดทั้งสามที่กำหนดให้ ดูที่ วงกลมล้อมรอบ (circumcircle )

• เส้นคอร์ดจะอยู่ห่างจากจุดศูนย์กลางของวงกลมเท่ากันก็ต่อเมื่อเส้นคอร์ดเหล่านั้นมีความยาวเท่ากันเท่านั้น
• เส้นแบ่งครึ่งตั้งฉากของคอร์ดจะผ่านจุดศูนย์กลางของวงกลม ข้อความที่เทียบเท่ากันซึ่งเกิดจากความเป็นเอกลักษณ์ของเส้นแบ่งครึ่งตั้งฉาก ได้แก่:
  • เส้นตั้งฉากจากจุดศูนย์กลางของวงกลมจะแบ่งครึ่งคอร์ด
  • ส่วนของเส้นตรงที่ลากผ่านจุดกึ่งกลางและแบ่งครึ่งคอร์ดนั้น จะตั้งฉากกับคอร์ด
• ถ้ามุมศูนย์กลางและมุมภายในวงกลมรองรับด้วยคอร์ดเดียวกันและอยู่ด้านเดียวกันของคอร์ด มุมศูนย์กลางจะมีขนาดเป็นสองเท่าของมุมภายในวงกลม
• ถ้ามุมสองมุมอยู่บนคอร์ดเดียวกันและอยู่ด้านเดียวกันของคอร์ด มุมทั้งสองนั้นจะเท่ากัน
• ถ้ามุมสองมุมอยู่บนคอร์ดเดียวกันและอยู่คนละด้านของคอร์ด มุมทั้งสองนั้นจะเป็นมุมเสริมกัน
  • สำหรับรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่อยู่ภายในวงกลม มุมภายนอกจะมีค่าเท่ากับมุมภายในตรงข้าม
• มุมภายในวงกลมที่รองรับด้วยเส้นผ่านศูนย์กลางจะเป็นมุมฉาก (ดูทฤษฎีบทของทาเลส )
• เส้นผ่านศูนย์กลางคือคอร์ดที่ยาวที่สุดของวงกลม
  • ในบรรดาวงกลมทั้งหมดที่มีคอร์ด AB ร่วมกัน วงกลมที่มีรัศมีน้อยที่สุดคือวงกลมที่มีเส้นผ่านศูนย์กลาง AB
• ถ้าจุดตัดของคอร์ดสองเส้นใดๆแบ่งคอร์ดเส้นหนึ่งออกเป็นความยาวa และ b และแบ่งคอร์ดอีกเส้นหนึ่งออกเป็นความยาวcและdแล้วab = cd
• ถ้าจุดตัดของคอร์ดตั้งฉากสองคอร์ดใดๆ แบ่งคอร์ดหนึ่งออกเป็นความยาวaและbและแบ่งคอร์ดอีกคอร์ดหนึ่งออกเป็นความยาวcและdแล้วa² ⁺ b² + ^c² + ^{d² จะเท่ากับกำลัง สอง}ของเส้นผ่านศูนย์กลาง^{[ 13 ]}
• ผลรวมของกำลังสองของความยาวของคอร์ดสองเส้นใดๆ ที่ตัดกันเป็นมุมฉาก ณ จุดที่กำหนด จะเท่ากับผลรวมของกำลังสองของคอร์ดตั้งฉากสองเส้นอื่นๆ ที่ตัดกัน ณ จุดเดียวกัน และกำหนดโดย 8 r ² − 4 p ²โดยที่rคือรัศมีของวงกลม และpคือระยะห่างจากจุดศูนย์กลางถึงจุดตัด^{[ 14 ]}
• ระยะทางจากจุดบนวงกลมไปยังคอร์ดที่กำหนดคูณด้วยเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลมจะเท่ากับผลคูณของระยะทางจากจุดไปยังปลายคอร์ด^{[ 15 ] : หน้า 71}

• เส้นตรงที่ลากตั้งฉากกับรัศมี โดยผ่านจุดปลายของรัศมีซึ่งอยู่บนวงกลม เรียกว่า เส้นสัมผัสวงกลม
• เส้นตรงที่ลากตั้งฉากกับเส้นสัมผัสที่ลากผ่านจุดสัมผัสกับวงกลม จะผ่านจุดศูนย์กลางของวงกลม
• เราสามารถลากเส้นสัมผัสสองเส้นจากจุดใดๆ ที่อยู่นอกวงกลมไปยังวงกลมได้เสมอ และเส้นสัมผัสทั้งสองนี้มีความยาวเท่ากัน
• ถ้าเส้นสัมผัสที่จุดAและเส้นสัมผัสที่จุดBตัดกันที่จุดภายนอกPโดยกำหนดให้จุดศูนย์กลางคือOมุม ∠BOA และ ∠BPA จะรวมกันได้ 180 องศา
• ถ้าADเป็นเส้นสัมผัสวงกลมที่จุดAและถ้าAQเป็นคอร์ดของวงกลม แล้ว∠ DAQ = ⁠1/2arc ( AQ ) .

• ทฤษฎีคอร์ดกล่าวว่า ถ้าคอร์ดสองเส้นCDและEBตัดกันที่จุดAแล้วAC × AD = AB × AE
• ถ้าเส้นตัดสองเส้นAEและADตัดวงกลมที่จุด BและCตามลำดับ แล้วAC × AD = AB × AE (บทสรุปของทฤษฎีบทคอร์ด)
• เส้นสัมผัสสามารถพิจารณาได้ว่าเป็นกรณีจำกัดของเส้นตัดที่มีปลายทั้งสองข้างทับกัน ถ้าเส้นสัมผัสจากจุดภายนอกAตัดวงกลมที่จุด Fและเส้นตัดจากจุดภายนอกAตัดวงกลมที่จุด CและDตามลำดับ แล้วAF² = ^AC × AD (ทฤษฎีบทเส้นสัมผัส-เส้นตัด)
• มุมระหว่างคอร์ดกับเส้นสัมผัสที่จุดปลายด้านใดด้านหนึ่งของคอร์ดนั้น มีค่าเท่ากับครึ่งหนึ่งของมุมที่รองรับจุดศูนย์กลางของวงกลม ซึ่งอยู่ด้านตรงข้ามของคอร์ด (มุมระหว่างเส้นสัมผัสกับคอร์ด)
• ถ้ามุมที่คอร์ดทำกับจุดศูนย์กลางคือ 90 °แล้วℓ = r √2โดยที่ℓคือความยาวของคอร์ด และrคือรัศมีของวงกลม
• ถ้าลากเส้นตัดสองเส้นภายในวงกลมดังแสดงในรูปด้านขวา ขนาดของมุมAจะเท่ากับครึ่งหนึ่งของผลต่างของขนาดของส่วนโค้งที่ล้อมรอบ ( และ) นั่นคือโดยที่Oคือจุดศูนย์กลางของวงกลม (ทฤษฎีบทเส้นตัด-เส้นตัด)${\displaystyle {\overset {\ขมวดคิ้ว }{DE}}}$${\displaystyle {\overset {\ขมวดคิ้ว }{BC}}}$${\displaystyle 2\angle {CAB}=\angle {DOE}-\angle {BOC}}$

มุมภายในวงกลม (ตัวอย่างเช่น มุมสีน้ำเงินและสีเขียวในรูป) จะมีขนาดเป็นครึ่งหนึ่งของมุมศูนย์กลาง ที่สอดคล้องกัน (สีแดง) ดังนั้น มุมภายในวงกลมทั้งหมดที่รองรับส่วนโค้งเดียวกัน (สีชมพู) จึงมีขนาดเท่ากัน มุมภายในวงกลมบนส่วนโค้ง (สีน้ำตาล) จะมีผลรวมเท่ากับ 180 องศา โดยเฉพาะอย่างยิ่ง มุมภายในวงกลมทุกมุมที่รองรับเส้นผ่านศูนย์กลางจะเป็นมุมฉาก (เนื่องจากมุมศูนย์กลางมีขนาด 180 องศา)

เส้นศักิตตา (หรือที่เรียกว่า เส้นเวอร์ไซน์ ) คือส่วนของเส้นตรงที่ลากตั้งฉากกับคอร์ด ระหว่างจุดกึ่งกลางของคอร์ดนั้นกับส่วนโค้งของวงกลม

เมื่อทราบความยาวyของคอร์ดและความยาวxของเส้นโค้งซากิตตาแล้ว เราสามารถใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัสในการคำนวณรัศมีของวงกลมเพียงวงเดียวที่จะโอบรอบเส้นตรงทั้งสองได้: $${\displaystyle r={\frac {y^{2}}{8x}}+{\frac {x}{2}}.}$$

อีกหนึ่งวิธีพิสูจน์ผลลัพธ์นี้ ซึ่งอาศัยเพียงคุณสมบัติของคอร์ดสองข้อที่กล่าวมาข้างต้น มีดังนี้ กำหนดให้คอร์ดมีความยาวyและเส้นโค้งซากิตตา (sagitta) มีความยาวx เนื่องจากเส้นโค้งซากิตตาตัดกับจุดกึ่งกลางของคอร์ด เราจึงทราบว่าเส้นโค้งซากิต ตาเป็นส่วนหนึ่งของเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลม เนื่องจากเส้นผ่านศูนย์กลางเป็นสองเท่าของรัศมี ส่วนที่ "หายไป" ของเส้นผ่านศูนย์กลางจึงมีความยาว ( 2r − x ) โดยใช้ข้อเท็จจริงที่ว่าส่วนหนึ่งของคอร์ดหนึ่งคูณกับอีกส่วนหนึ่งเท่ากับผลคูณเดียวกันที่ลากตามคอร์ดที่ตัดกับคอร์ดแรก เราจึงได้ว่า ( 2r − x ) x = ( y /2) ²เมื่อแก้สมการหาค่าr เรา ก็จะได้ผลลัพธ์ที่ต้องการ

มีหลายวิธีที่ใช้เข็มทิศและไม้บรรทัดในการสร้างวงกลม

วิธีที่ง่ายที่สุดและพื้นฐานที่สุดคือการสร้างวงกลมโดยกำหนดจุดศูนย์กลางของวงกลมและจุดหนึ่งบนวงกลม วางขาคงที่ของวงเวียนไว้ที่จุดศูนย์กลาง วางขาที่เคลื่อนที่ได้ไว้ที่จุดบนวงกลม แล้วหมุนวงเวียน

• สร้างจุดกึ่งกลางMของเส้นผ่านศูนย์กลาง
• สร้างวงกลมที่มีจุดศูนย์กลางMผ่านจุดปลายด้านหนึ่งของเส้นผ่านศูนย์กลาง (ซึ่งจะผ่านจุดปลายอีกด้านหนึ่งด้วย)

• ตั้งชื่อจุดเหล่านั้นว่าP , QและR
• สร้างเส้นแบ่งครึ่งตั้งฉากของส่วนของเส้นตรงPQ
• สร้างเส้นแบ่งครึ่งตั้งฉากของส่วนของเส้นตรงPR
• ระบุจุดตัดของเส้นแบ่งครึ่งตั้งฉากสองเส้นนี้ว่าM (เส้นทั้งสองตัดกันเพราะจุดทั้งสองไม่ได้อยู่บนเส้นตรงเดียวกัน )
• สร้างวงกลมที่มีจุดศูนย์กลางMผ่านจุดP , QหรือR จุดใดจุดหนึ่ง (วงกลมนี้จะผ่านจุดอีกสองจุดที่เหลือด้วย)

อพอลโลนิอุสแห่งเปอร์กาแสดงให้เห็นว่าวงกลมอาจนิยามได้ว่าเป็นเซตของจุดในระนาบที่มีอัตราส่วน คงที่ (นอกเหนือจาก 1) ของระยะทางไปยังจุดโฟกัสคงที่สองจุดAและB [ ^{16 ] [ 17 ] (}เซตของจุดที่ระยะทางเท่ากันคือเส้นแบ่งครึ่งตั้งฉากของส่วนของเส้น ตรง AB ) บางครั้งกล่าวกันว่าวงกลมนั้นถูกวาดขึ้นรอบจุดสองจุด

การพิสูจน์แบ่งออกเป็นสองส่วน ส่วนแรก ต้องพิสูจน์ว่า เมื่อกำหนดจุดโฟกัสAและB สอง จุด และอัตราส่วนของระยะทาง จุดP ใดๆ ที่สอดคล้องกับอัตราส่วนของระยะทางนั้น จะต้องอยู่บนวงกลมเฉพาะวงหนึ่ง ให้Cเป็นอีกจุดหนึ่ง ซึ่งสอดคล้องกับอัตราส่วนนั้นเช่นกัน และอยู่บนส่วนของเส้นตรงABโดยทฤษฎีบทการแบ่งครึ่งมุมส่วนของเส้นตรงPCจะแบ่งครึ่งมุมภายในAPBเนื่องจากส่วนของเส้นตรงทั้งสองคล้ายกัน: $${\displaystyle {\frac {AP}{BP}}={\frac {AC}{BC}}.}$$

ในทำนองเดียวกัน ส่วนของเส้นตรงPDที่ลากผ่านจุดDบน เส้น ABที่ต่อออกไป จะแบ่งครึ่งมุมภายนอกBPQ ที่สอดคล้องกัน โดยที่Qอยู่บนเส้น APที่ต่อออกไป เนื่องจากผลรวมของมุมภายในและมุมภายนอกเท่ากับ 180 องศา ดังนั้นมุมCPDจึงเท่ากับ 90 องศา หรือก็คือมุมฉาก เซตของจุดPที่ทำให้มุมCPDเป็นมุมฉาก จะก่อให้เกิดวงกลม โดยที่CDเป็นเส้นผ่านศูนย์กลาง

ประการที่สอง ดู^{[ 18 ] : 15} สำหรับการพิสูจน์ว่าทุกจุดบนวงกลมที่ระบุเป็นไปตามอัตราส่วนที่กำหนด

คุณสมบัติที่เกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิดกับวงกลมนั้นเกี่ยวข้องกับเรขาคณิตของอัตราส่วนไขว้ของจุดในระนาบเชิงซ้อน ถ้าA , BและCเป็นดังที่กล่าวมาข้างต้น วงกลมของอพอลโลเนียสสำหรับจุดทั้งสามนี้คือกลุ่มของจุดPซึ่งค่าสัมบูรณ์ของอัตราส่วนไขว้เท่ากับหนึ่ง: $${\displaystyle {\bigl |}[A,B;C,P]{\bigr |}=1.}$$

กล่าวอีกนัยหนึ่งPเป็นจุดบนวงกลมของอพอลโลเนียสก็ต่อเมื่ออัตราส่วนไขว้[ A , B ; C , P ]อยู่บนวงกลมหน่วยในระนาบเชิงซ้อน

ถ้าCเป็นจุดกึ่งกลางของส่วนของเส้นตรงABแล้ว กลุ่มจุดPที่สอดคล้องกับเงื่อนไขของอพอลโลเนียส จะไม่ใช่วงกลม แต่เป็นเส้นตรง $${\displaystyle {\frac {|AP|}{|BP|}}={\frac {|AC|}{|BC|}}}$$

ดังนั้น ถ้า กำหนดให้ A , BและCเป็นจุดที่แตกต่างกันในระนาบแล้วตำแหน่งของจุดPที่สอดคล้องกับสมการข้างต้นเรียกว่า "วงกลมทั่วไป" ซึ่งอาจเป็นวงกลมจริงหรือเส้นตรงก็ได้ ในแง่นี้ เส้นตรงคือวงกลมทั่วไปที่มีรัศมีอนันต์

ในทุกรูปสามเหลี่ยม สามารถวาด วงกลมที่ไม่ซ้ำกันได้ เรียกว่าวงกลมแนบใน โดยให้วงกลมแนบในสัมผัสกับด้านทั้งสามของรูปสามเหลี่ยม^{[ 19 ]}

วงกลมที่ไม่ซ้ำกันเรียกว่าวงกลมล้อมรอบสามเหลี่ยมแต่ละวง โดยวงกลมล้อมรอบจะผ่านจุดยอด ทั้งสาม ของ สามเหลี่ยม ^{[ 20 ]}

รูปหลายเหลี่ยมสัมผัสเช่นรูปสี่เหลี่ยมสัมผัสคือรูปหลายเหลี่ยมนูน ใดๆ ที่สามารถบรรจุวงกลมที่สัมผัสกับแต่ละด้านของรูปหลายเหลี่ยมได้^{[ 21 ]}รูปหลายเหลี่ยมปกติทุก รูป และรูปสามเหลี่ยมทุกรูปเป็นรูปหลายเหลี่ยมสัมผัส

รูปหลายเหลี่ยมวงกลมคือ รูปหลายเหลี่ยมนูนใดๆ ที่สามารถล้อมรอบวงกลมได้ โดยวงกลมนั้นต้องผ่านจุดยอดแต่ละจุด ตัวอย่างที่ได้รับการศึกษาอย่างดีคือ รูปสี่เหลี่ยมวงกลม รูปหลายเหลี่ยมปกติทุกรูปและรูปสามเหลี่ยมทุกรูป ล้วนเป็นรูปหลายเหลี่ยมวงกลม รูปหลายเหลี่ยมที่เป็นทั้งวงกลมและสัมผัส เรียกว่ารูปหลายเหลี่ยมสองจุดศูนย์กลาง

ไฮโปไซคลอยด์คือเส้นโค้งที่ถูกสร้างขึ้นภายในวงกลมที่กำหนด โดยการลากเส้นตามจุดคงที่บนวงกลมขนาดเล็กกว่า ซึ่งกลิ้งอยู่ภายในและสัมผัสกับวงกลมที่กำหนด

วงกลมสามารถมองได้ว่าเป็นกรณีจำกัดของรูปทรงอื่นๆ อีกหลายรูป:

• ลำดับของรูปหลายเหลี่ยมด้านเท่าที่มีnด้าน จะมีวงกลมเป็นลิมิตเมื่อn เข้าใกล้ค่า อนันต์ อาร์คิมิดีสได้นำข้อเท็จจริงนี้มาใช้ในการประมาณค่า π
• รูปวงรีคาร์ทีเซียนคือเซตของจุดที่ผลรวมถ่วงน้ำหนักของระยะทางจากจุดใดๆ ในเซตนั้นไปยังจุดคงที่สองจุด (จุดโฟกัส) มีค่าคงที่วงรีคือกรณีที่น้ำหนักเท่ากัน วงกลมคือวงรีที่มีค่าความเยื้องศูนย์เป็นศูนย์ หมายความว่าจุดโฟกัสทั้งสองจุดตรงกันที่จุดศูนย์กลางของวงกลม วงกลมยังเป็นกรณีพิเศษอีกแบบหนึ่งของรูปวงรีคาร์ทีเซียนซึ่งน้ำหนักจุดหนึ่งเป็นศูนย์
• ซูเปอร์อิลิปส์มีสมการในรูปแบบสำหรับค่าบวกa , b และ n ซูเปอร์เซอร์เคิลมีb = aวงกลมเป็นกรณีพิเศษของซูเปอร์เซอร์เคิลซึ่งn = 2${\displaystyle \left|{\frac {x}{a}}\right|^{n}\!+\left|{\frac {y}{b}}\right|^{n}\!=1}$
• วงรีแคสสินีคือเซตของจุดที่ผลคูณของระยะทางจากจุดใดๆ ในวงรีนั้นไปยังจุดคงที่สองจุดมีค่าคงที่ เมื่อจุดคงที่ทั้งสองจุดนั้นทับกัน จะได้เป็นวงกลม
• เส้นโค้งที่มีความกว้างคงที่คือ รูปทรงที่มีความกว้าง ซึ่งกำหนดโดยระยะตั้งฉากระหว่างเส้นขนานสองเส้นที่ตัดกับขอบของเส้นโค้ง ณ จุดเดียว โดยความกว้างของเส้นโค้งจะเท่ากันไม่ว่าทิศทางของเส้นขนานทั้งสองจะเป็นอย่างไรก็ตาม วงกลมเป็นตัวอย่างที่ง่ายที่สุดของรูปทรงประเภทนี้

พิจารณาเซตของจุดจำนวนจำกัดในระนาบ โลคัสของจุดที่ผลรวมของกำลังสองของระยะทางไปยังจุดที่กำหนดมีค่าคงที่คือวงกลม ซึ่งมีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุดศูนย์กลางมวลของจุดที่กำหนด^{[ 22 ]} การวางนัยทั่วไปสำหรับกำลังที่สูงกว่าของระยะทางจะได้รับหากแทนที่จะใช้จุด เราใช้จุดยอดของรูปหลายเหลี่ยมปกติ^{[ 23 ]}โลคัสของจุดที่ผลรวมของกำลังที่ ของระยะทางไปยังจุดยอดของรูปหลายเหลี่ยมปกติที่กำหนดซึ่งมีรัศมีวงกลมล้อมรอบมีค่าคงที่คือวงกลม ถ้า จุดศูนย์กลางอยู่ที่จุดศูนย์กลางมวลของ ${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle P_{n}}$${\displaystyle 2m}$${\displaystyle d_{i}}$${\displaystyle R}$$${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}d_{i}^{2m}>nR^{2m},\quad {\text{ where }}~m=1,2,\dots ,n-1;}$$${\displaystyle P_{n}}$

ในกรณีของสามเหลี่ยมด้านเท่าตำแหน่งของผลรวมคงที่ของกำลังสองและกำลังสี่จะเป็นวงกลม ในขณะที่สำหรับสี่เหลี่ยมจัตุรัส ตำแหน่งของผลรวมคงที่ของกำลังสอง กำลังสี่ และกำลังหกจะเป็นวงกลม สำหรับรูปห้าเหลี่ยมด้านเท่า ผลรวมคงที่ของกำลังแปดของระยะทางจะถูกบวกเข้าด้วยกัน และเป็นเช่นนี้เรื่อยไป

การสร้างสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีพื้นที่เท่ากับวงกลมที่กำหนดให้ โดยใช้เพียงจำนวนขั้นตอนที่จำกัดด้วยวงเวียนและไม้บรรทัดเป็น ปัญหาที่นักเรขาคณิตโบราณ เสนอขึ้นมา

ในปี ค.ศ. 1882 งานนี้ได้รับการพิสูจน์แล้วว่าเป็นไปไม่ได้ อันเป็นผลมาจากทฤษฎีบทลินเดมันน์-ไวเออร์สตรัสซึ่งพิสูจน์ว่าค่าพาย ( π ) เป็นจำนวนอดิศัยไม่ใช่จำนวนอตรรกยะเชิงพีชคณิตกล่าวคือ มันไม่ใช่รากของพหุนาม ใดๆ ที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนตรรกยะ แม้จะเป็นไปไม่ได้ แต่หัวข้อนี้ก็ยังคงเป็นที่สนใจของผู้ที่ชื่นชอบ คณิตศาสตร์เทียม อยู่

เมื่อนิยามวงกลมว่าเป็นเซตของจุดที่อยู่ห่างจากจุดหนึ่งเป็นระยะทางคงที่ รูปทรงต่างๆ สามารถถือว่าเป็นวงกลมได้ภายใต้นิยามระยะทางที่แตกต่างกัน ในนอร์มpระยะทางจะถูกกำหนดโดย ในเรขาคณิตแบบยุคลิดp = 2 ซึ่งให้ผลลัพธ์ที่คุ้นเคย $${\displaystyle \left\|x\right\|_{p}=\left(\left|x_{1}\right|^{p}+\left|x_{2}\right|^{p}+\dotsb +\left|x_{n}\right|^{p}\right)^{1/p}.}$$$${\displaystyle \left\|x\right\|_{2}={\sqrt {\left|x_{1}\right|^{2}+\left|x_{2}\right|^{2}+\dotsb +\left|x_{n}\right|^{2}}}.}$$

ในเรขาคณิตแท็กซี่ p = 1 วงกลมแท็กซี่เป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีด้านทำมุม 45° กับแกนพิกัด ในขณะที่แต่ละด้านจะมีขนาดความยาวตามเมตริกแบบยุคลิดโดยที่rคือรัศมีของวงกลม แต่ความยาวในเรขาคณิตแท็กซี่คือ 2r ดังนั้นเส้นรอบวงของวงกลมคือ 8r ดังนั้นค่าของตัวแปรทางเรขาคณิตที่เทียบเท่ากับคือ 4 ในเรขาคณิตนี้ สูตรสำหรับวงกลมหน่วยในเรขาคณิตแท็กซี่คือในพิกัดคาร์ทีเซียน และ ในพิกัดเชิงขั้ว ${\displaystyle {\sqrt {2}}r}$${\displaystyle \pi }$${\displaystyle |x|+|y|=1}$$${\displaystyle r={\frac {1}{\left|\sin \theta \right|+\left|\cos \theta \right|}}}$$

วงกลมที่มีรัศมี 1 (โดยใช้ระยะทางนี้) คือบริเวณใกล้เคียงแบบฟอน นอยมันน์ของจุดศูนย์กลางของวงกลมนั้น

วงกลมรัศมีrสำหรับระยะทางเชบิเชฟ ( เมตริกL _∞ ) บนระนาบ ยังเป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีความยาวด้าน 2r ขนานกับแกนพิกัด ดังนั้นระยะทางเชบิเชฟบนระนาบจึงสามารถมองได้ว่าเทียบเท่ากับระยะทางแท็กซี่บนระนาบโดยการหมุนและการปรับขนาด อย่างไรก็ตาม ความเท่าเทียมกันระหว่าง เมตริก L ₁และL _∞ นี้ ไม่สามารถขยายไปสู่มิติที่สูงกว่าได้

วงกลมคือไฮเปอร์สเฟียร์หนึ่งมิติ (ทรงกลม 1 มิติ)

ในทางโทโพโลยีวงกลมไม่ได้จำกัดอยู่แค่แนวคิดทางเรขาคณิตเท่านั้น แต่ยังรวมถึงโฮมีโอเมอร์ฟิซึม ทั้งหมด ด้วย วงกลมโทโพโลยีสองวงจะเทียบเท่ากันได้ก็ต่อเมื่อวงหนึ่งสามารถแปลงเป็นอีกวงหนึ่งได้โดยการเปลี่ยนรูปของR ³บนตัวมันเอง (เรียกว่าไอโซโทปีแอมเบียนต์ ) ^{[ 24 ]}

วงกลมที่มีทิศทางคือ วงกลมธรรมดาที่มีทิศทางแสดงด้วยค่าไบนารี ซึ่งคือ 0 หรือ1 ข้อยกเว้นเพียงอย่างเดียวคือ วงกลมที่มีรัศมีเป็นศูนย์ ซึ่งมีทิศทางเท่ากับ 0 จุดหนึ่งเทียบเท่ากับวงกลมที่มีทิศทางรัศมีเป็นศูนย์ ถ้าวงกลมที่มีทิศทางมีทิศทางเท่ากับ 0 วงกลมนั้นจะเรียกว่ามีทิศทาง " ทวนเข็มนาฬิกา " ถ้ามีทิศทางเท่ากับ1 วงกลมนั้นจะมีทิศทาง " ตามเข็ม นาฬิกา " รัศมี (มีเครื่องหมาย) ของวงกลมที่มีทิศทางถูกกำหนดให้เป็นรัศมีของวงกลมที่ไม่มีทิศทางคูณด้วยทิศทาง ทิศทางของวงกลมนั้นถือว่ามีอยู่ในการวัดมุม ที่มีเครื่องหมาย${\displaystyle 1}$${\displaystyle -1}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle -1}$${\displaystyle r}$

• ทรงกลมเชิงเส้น  – แนวคิดทางคณิตศาสตร์
• อะพีโรกอน  – รูปหลายเหลี่ยมที่มีจำนวนด้านอนันต์
• การสร้างเส้นโค้งที่เหมาะสมที่สุดกับชุดข้อมูล  – กระบวนการสร้างเส้นโค้งที่เหมาะสมที่สุดกับชุดข้อมูลเหล่านั้นPages displaying short descriptions of redirect targets
• ระยะทาง  – ระยะห่างระหว่างจุดสองจุด
• ปัญหาของวงกลมเกาส์  – มีจุดแลตติซที่เป็นจำนวนเต็มกี่จุดในวงกลม
• การผกผันในวงกลม  – การศึกษาเกี่ยวกับการแปลงที่รักษาองศาPages displaying short descriptions of redirect targets
• จุดตัดระหว่างเส้นตรงและวงกลม  – ปัญหาทางเรขาคณิตPages displaying short descriptions of redirect targets
• รายการหัวข้อวงกลม
• ทรงกลม  – เซตของจุดที่อยู่ห่างจากจุดศูนย์กลางเท่ากัน
• จุดสามจุดใช้กำหนดวงกลม  – จำนวนจุดที่จำเป็นในการกำหนดเส้นโค้งพีชคณิตPages displaying short descriptions of redirect targets
• การเลื่อนแกน  – การแปลงพิกัดที่ย้ายจุดกำเนิด

• เพโด, แดน (1988). เรขาคณิต: หลักสูตรที่ครอบคลุม . โดเวอร์. ISBN 9780486658124.

วิกิมีเดียคอมมอนส์มีสื่อที่เกี่ยวข้องกับ: วงกลม ( หมวดหมู่ )

Wikiquote มีคำคมที่เกี่ยวข้องกับวงกลม

วิกิซอร์ซมีเนื้อหาจาก บทความ สารานุกรมบริแทนนิกา ค.ศ. 1911เรื่อง " Circle "

• "วงกลม" . สารานุกรมคณิตศาสตร์ . สำนักพิมพ์ EMS . 2001 [1994].
• วงกลมที่PlanetMath​
• ไวส์สไตน์, เอริค ดับเบิลยู. "วงกลม" . แมธเวิลด์ .
• "แอ ปเพล็ต Java แบบโต้ตอบ" สำหรับศึกษาคุณสมบัติและการสร้างพื้นฐานเกี่ยวกับวงกลม
• "สมการวงกลมรูปแบบมาตรฐานแบบโต้ตอบ"คลิกและลากจุดเพื่อดูสมการรูปแบบมาตรฐานที่ใช้งานได้จริง
• "กินวงกลม" . ตัดปม .