ในสาขาคณิตศาสตร์ที่เรียกว่าโทโพโลยีเชิงอนุพันธ์ ทรงกลมแปลกใหม่ ( exotic sphere)คือ แมนิโฟลด์ เชิงอนุพันธ์Mที่เป็นโฮมีโอเม อร์ฟิก แต่ไม่ใช่ ดิฟฟี โอเมอร์ฟิก กับ ทรงกลม ยูคลิด n มิติ มาตรฐานกล่าวคือMเป็นทรงกลมจากมุมมองของคุณสมบัติทางโทโพโลยีทั้งหมด แต่มีโครงสร้างเรียบที่ไม่คุ้นเคย (จึงเป็นที่มาของชื่อ "แปลกใหม่")

ทรงกลมแปลกใหม่ชุดแรกถูกสร้างขึ้นโดยJohn Milnor  ( 1956 ) ในมิติas - bundlesเหนือเขาแสดงให้เห็นว่ามีโครงสร้างที่หาอนุพันธ์ได้อย่างน้อย 7 แบบบนทรงกลม 7 มิติ ในมิติใดๆMilnor (1959) แสดงให้เห็นว่า คลาส diffeomorphism ของทรงกลมแปลกใหม่แบบมีทิศทางก่อตัวเป็นองค์ประกอบที่ไม่เป็นศูนย์ของโมโนอิดอาเบเลียนภายใต้ผลรวมที่เชื่อมต่อซึ่งเป็นกลุ่มอาเบเลียนจำกัดหากมิติไม่ใช่ 4 การจำแนกประเภทของทรงกลมแปลกใหม่โดยMichel Kervaireและ Milnor ( 1963 ) แสดงให้เห็นว่าทรง กลมแปลกใหม่ 7 มิติ แบบมีทิศทางเป็นองค์ประกอบที่ไม่เป็นศูนย์ของกลุ่มวัฏจักรอันดับ 28 ภายใต้การดำเนินการของผลรวมที่เชื่อมต่อกลุ่มเหล่านี้รู้จักกันในชื่อกลุ่ม Kervaire– Milnor ${\displaystyle n=7}$${\displaystyle S^{3}}$${\displaystyle S^{4}}$

โดยทั่วไปแล้ว ในมิติใดๆn ≠ 4จะมีกลุ่มอาเบเลียนจำกัดกลุ่มหนึ่ง ซึ่งสมาชิกของกลุ่มนั้นคือชั้นสมมูลของโครงสร้างเรียบบนS ⁿโดยที่โครงสร้างสองโครงสร้างจะถือว่าสมมูลกันหากมีการแปลงแบบดิฟเฟอเรนเชียลที่รักษาทิศทางไว้ซึ่งนำโครงสร้างหนึ่งไปยังอีกโครงสร้างหนึ่ง การดำเนินการของกลุ่มถูกกำหนดโดย[ x ] + [ y ] = [ x + y ]โดยที่xและyเป็นตัวแทนใดๆ ของชั้นสมมูล และx + yหมายถึงโครงสร้างเรียบบนS ⁿ ที่เรียบ ซึ่งเป็นผลรวมที่เชื่อมต่อกันของxและyจำเป็นต้องแสดงให้เห็นว่าคำจำกัดความดังกล่าวไม่ขึ้นอยู่กับการเลือกที่ทำขึ้น และสามารถแสดงให้เห็นได้จริง

ทรง กลมn มิติ หน่วยคือเซตของ ทูเปิล ( n +1)ของจำนวนจริงทั้งหมด ซึ่งผลรวม ตัวอย่างเช่นคือวงกลม ในขณะที่คือพื้นผิวของลูกบอลธรรมดาที่มีรัศมีหนึ่งใน 3 มิติ นักโทโพโลยีพิจารณาว่าปริภูมิXเป็น ทรงกลม n มิติหน่วย หากมีโฮมีโอเมอร์ฟิซึมระหว่างกัน กล่าวคือ ทุกจุดในXสามารถกำหนดให้กับจุดเพียงจุดเดียวใน ทรงกลม n มิติหน่วย ได้โดยการจับคู่แบบหนึ่งต่อหนึ่งต่อเนื่องที่มีตัวผกผันต่อเนื่อง ตัวอย่างเช่น จุดxบน ทรงกลม n มิติหน่วย ที่มีรัศมีrสามารถจับคู่แบบโฮมีโอเมอร์ฟิซึมกับจุดบนทรงกลม n มิติหน่วยได้โดยการคูณระยะห่างจากจุดกำเนิดด้วย ในทำนองเดียวกัน ลูกบาศก์ n มิติหน่วยที่มีรัศมีใดๆ ก็ตาม ก็เป็นโฮมีโอเมอร์ฟิซึมกับทรง กลม nมิติหน่วย เช่นกัน${\displaystyle S^{n}}$${\displaystyle (x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n+1})}$${\displaystyle x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{n+1}^{2}=1}$${\displaystyle S^{1}}$${\displaystyle S^{2}}$${\displaystyle 1/r}$

ในโทโพโลยีเชิงอนุพันธ์แมนิโฟลด์เรียบสองอันจะถือว่าสมมูลกันอย่างราบรื่นก็ต่อเมื่อมีดิฟฟีโอเมอร์ฟิซึมจากอันหนึ่งไปยังอีกอันหนึ่ง ซึ่งเป็นโฮมีโอเมอร์ฟิซึมระหว่างกัน โดยมีเงื่อนไขเพิ่มเติมว่าต้องเป็น แมนิโฟลด์ เรียบ — กล่าวคือ ต้องมีอนุพันธ์ทุกอันดับ ณ ทุกจุด — และโฮมีโอเมอร์ฟิซึมผกผันก็ต้องเรียบด้วยเช่นกัน ในการคำนวณอนุพันธ์ จำเป็นต้องมีระบบพิกัดท้องถิ่นที่กำหนดอย่างสอดคล้องกันในXนักคณิตศาสตร์ (รวมถึงมิลเนอร์เอง) ต่างประหลาดใจในปี 1956 เมื่อมิลเนอร์แสดงให้เห็นว่าระบบพิกัดท้องถิ่นที่สอดคล้องกันสามารถตั้งขึ้นบนทรงกลม 7 มิติได้สองวิธีที่แตกต่างกัน ซึ่งสมมูลกันในแง่ของความต่อเนื่อง แต่ไม่สมมูลกันในแง่ของอนุพันธ์ มิลเนอร์และคนอื่นๆ จึงเริ่มพยายามค้นหาว่าทรงกลมแปลกๆ ดังกล่าวมีอยู่ได้กี่แบบในแต่ละมิติ และทำความเข้าใจว่าทรงกลมเหล่านั้นมีความสัมพันธ์กันอย่างไร ไม่มีโครงสร้างแปลกๆ ใดๆ ที่เป็นไปได้บนทรงกลม 1, 2, 3, 5, 6, 12, 56 หรือ 61 มิติ^{[ 1 ]}ทรงกลมมิติสูงบางทรงกลมมีโครงสร้างที่สามารถหาอนุพันธ์ได้เพียงสองแบบเท่านั้น ในขณะที่บางทรงกลมมีหลายพันแบบ ทรงกลม 4 มิติที่แปลกประหลาดนั้นมีอยู่จริงหรือไม่ และถ้ามีอยู่จริงจะมีจำนวนเท่าใด ยังเป็นปัญหาที่ยังหาคำตอบไม่ได้

โมโนอิดของโครงสร้างเรียบบน ทรงกลม nมิติ คือกลุ่มของแมนิโฟลด์เรียบn มิติแบบมีทิศทาง ซึ่งสมมาตรกับ ทรงกลม nมิติ โดยพิจารณาถึงการแปลงแบบดิฟเฟอเรนเชียลที่รักษาทิศทางไว้ การดำเนินการของโมโนอิดคือผลรวมที่เชื่อมต่อกันโดยมีเงื่อนไขว่า โมโนอิดนี้เป็นกลุ่มและสมมาตรกับกลุ่ม ของ ชั้น h-โคบอร์ดิ ซึม ของทรงกลมnมิติ แบบ โฮโมโทปีที่มีทิศทาง ซึ่งเป็นกลุ่มจำกัดและอาเบเลียน ในมิติ 4 แทบไม่มีอะไรเป็นที่รู้จักเกี่ยวกับโมโนอิดของทรงกลมเรียบ นอกเหนือจากข้อเท็จจริงที่ว่ามันเป็นกลุ่มจำกัดหรืออนันต์นับได้ และอาเบเลียน แม้ว่าจะสงสัยว่ามันเป็นอนันต์ก็ตาม ดูส่วนเกี่ยวกับกลักทวิสต์ ทรงกลมโฮโมโทปี n มิติ ทั้งหมดเป็นโฮมีโอเมอร์ฟิกกับ ทรงกลม nมิติ ตามสมมติฐานปวงกาเรแบบทั่วไปซึ่งพิสูจน์โดยสตีเฟน สเมลในมิติที่ใหญ่กว่า 4 ไมเคิล ฟรีดแมนในมิติ 4 และกริกอรี เพเรลแมนในมิติ 3 ในมิติ 3 เอ็ดวิน อี. มอยส์ พิสูจน์ว่า แมนิโฟลด์เชิงทอพอโลยีทุกตัวมีโครงสร้างเรียบที่ไม่ซ้ำกันโดยพื้นฐาน (ดูทฤษฎีบทของมอยส์ ) ดังนั้นโมโนอิดของโครงสร้างเรียบบนทรงกลม 3 มิติจึงเป็นโมโนอิดที่ไม่สำคัญ ${\displaystyle n\neq 4}$${\displaystyle \Theta _{n}}$

กลุ่มนี้ มีกลุ่มย่อยแบบวัฏจักร ${\displaystyle \Theta _{n}}$

${\displaystyle bP_{n+1}}$

แสดงโดย ทรงกลม nทรงกลมที่ล้อมรอบแมนิโฟลด์ที่ขนานกันได้โครงสร้างของและผลหาร ${\displaystyle bP_{n+1}}$

${\displaystyle \Theta _{n}/bP_{n+1}}$

มีการอธิบายแยกกันในเอกสาร ( Kervaire & Milnor  1963 ) ซึ่งมีอิทธิพลต่อการพัฒนาทฤษฎีการผ่าตัดอันที่จริง การคำนวณเหล่านี้สามารถกำหนดเป็นสูตรในภาษาที่ทันสมัยได้ในแง่ของลำดับการผ่าตัดที่แน่นอนดังที่ระบุไว้ที่นี่

กลุ่มนี้เป็นกลุ่มวัฏจักร และเป็นกลุ่มที่ไม่สำคัญหรือมีอันดับ 2 ยกเว้นในกรณีซึ่งในกรณีนี้กลุ่มอาจมีขนาดใหญ่ โดยอันดับของกลุ่มมีความสัมพันธ์กับจำนวนเบอร์นูลลีกลุ่มนี้ไม่สำคัญถ้าnเป็นจำนวนคู่ ถ้าnเป็น 1 mod 4 กลุ่มจะมีอันดับ 1 หรือ 2 โดยเฉพาะอย่างยิ่งจะมีอันดับ 1 ถ้าnเป็น 1, 5, 13, 29 หรือ 61 และWilliam Browder  ( 1969 ) พิสูจน์แล้วว่ากลุ่มมีอันดับ 2 ถ้าmod 4 ไม่อยู่ในรูปแบบ จากปัญหา ตัวแปร Kervaire ที่ ได้รับการแก้ไขเกือบสมบูรณ์แล้วในปัจจุบัน ส่งผลให้กลุ่มมีอันดับ 2 สำหรับnที่มากกว่า 126 กรณีนี้ยังคงเปิดอยู่ อันดับของสำหรับคือ ${\displaystyle bP_{n+1}}$${\displaystyle n=4k+3}$${\displaystyle n=1}$${\displaystyle 2^{k}-3}$${\displaystyle n=126}$${\displaystyle bP_{4k}}$${\displaystyle k\geq 2}$

${\displaystyle 2^{2k-2}(2^{2k-1}-1)B,}$

โดยที่Bคือตัวเศษของและเป็นจำนวนเบอร์นูลลี (สูตรในเอกสารทางทฤษฎีโทโพโลยีจะแตกต่างกันเล็กน้อย เนื่องจากนักโทโพโลยีใช้ธรรมเนียมการตั้งชื่อจำนวนเบอร์นูลลีที่แตกต่างกัน บทความนี้ใช้ธรรมเนียมของนักทฤษฎีจำนวน) ${\displaystyle 4B_{2k}/k}$${\displaystyle B_{2k}}$

กลุ่มผลหารมีคำอธิบายในแง่ของกลุ่มโฮโมโทปีเสถียรของทรงกลมโมดูลัสภาพของโฮโมมอร์ฟิซึม Jโดยจะเท่ากับผลหารหรือดัชนี 2 กล่าวโดยละเอียดคือมีแผนที่แบบหนึ่งต่อหนึ่ง ${\displaystyle \Theta _{n}/bP_{n+1}}$

${\displaystyle \Theta _{n}/bP_{n+1}\to \pi _{n}^{S}/J,}$

โดยที่nคือกลุ่มโฮโมโทปีเสถียรของทรงกลม และJคือภาพของ โฮโมมอร์ฟิซึม Jเช่นเดียวกับภาพของJเป็นกลุ่มวัฏจักร และเป็นกลุ่มที่ไม่สำคัญหรือมีอันดับ 2 ยกเว้นในกรณีซึ่งในกรณีนี้อาจมีขนาดใหญ่ โดยมีอันดับที่เกี่ยวข้องกับจำนวนเบอร์นูลลีกลุ่มผลหารเป็นส่วนที่ "ยาก" ของกลุ่มโฮโมโทปีเสถียรของทรงกลม และด้วยเหตุนี้จึงเป็นส่วนที่ยากของทรงกลมแปลกใหม่ แต่เกือบจะลดลงเหลือเพียงการคำนวณกลุ่มโฮโมโทปีของทรงกลม แผนที่ เป็นได้ทั้งไอโซมอร์ฟิซึม (ภาพคือกลุ่มทั้งหมด) หรือแผนที่แบบฉีดที่มีดัชนี 2 กรณีหลังนี้เกิดขึ้นก็ต่อเมื่อมี แมนิโฟลด์แบบมีกรอบ nมิติที่มีค่าคงที่เคอร์แวร์ 1 ซึ่งเรียกว่าปัญหาค่าคงที่เคอร์แวร์ดังนั้นปัจจัย 2 ในการจำแนกทรงกลมแปลกใหม่จึงขึ้นอยู่กับปัญหาค่าคงที่เคอร์แวร์ ${\displaystyle \pi _{n}^{S}}$${\displaystyle bP_{n+1}}$${\displaystyle n=4k+3}$${\displaystyle \pi _{n}^{S}/J}$${\displaystyle \Theta _{n}/bP_{n+1}}$

ปัญหาของ Kervaire invariant ได้รับการแก้ไขเกือบสมบูรณ์แล้ว เหลือเพียงกรณีที่ยังไม่ได้รับการแก้ไขเท่านั้น แม้ว่า Zhouli Xu (ร่วมกับ Weinan Lin และ Guozhen Wang) จะประกาศในระหว่างการสัมมนาที่มหาวิทยาลัยพรินซ์ตัน เมื่อวันที่ 30 พฤษภาคม 2024 ว่ากรณีสุดท้ายของมิติ 126 ได้รับการแก้ไขแล้ว และมีแมนิโฟลด์ที่มี Kervaire invariant เท่ากับ 1 ในมิติ 126 ^{[ 2 ]}งานก่อนหน้านี้ของBrowder (1969)พิสูจน์ว่าแมนิโฟลด์ดังกล่าวมีอยู่เฉพาะในมิติและHill, Hopkins & Ravenel (2016)ซึ่งพิสูจน์ว่าไม่มีแมนิโฟลด์ดังกล่าวสำหรับมิติและสูงกว่านั้น แมนิโฟลด์ที่มี Kervaire invariant เท่ากับ 1 ได้ถูกสร้างขึ้นในมิติ 2, 6, 14, 30 ในขณะที่ทราบว่ามีแมนิโฟลด์ที่มี Kervaire invariant เท่ากับ 1 ในมิติ 62 แต่ยังไม่มีการสร้างแมนิโฟลด์ดังกล่าวขึ้นมา ในทำนองเดียวกันสำหรับมิติที่ 126 ${\displaystyle n=126}$${\displaystyle n=2^{j}-2}$${\displaystyle 254=2^{8}-2}$

ลำดับของกลุ่มแสดงอยู่ในตารางนี้ (ลำดับA001676ในOEIS ) จาก ( Kervaire & Milnor 1963 ) (ยกเว้นว่ารายการสำหรับผิดพลาดไป 2 เท่าในบทความของพวกเขา ดูการแก้ไขในเล่มที่ III หน้า 97 ของผลงานรวมของ Milnor) ${\displaystyle \Theta _{n}}$${\displaystyle n=19}$

ดิม เอ็น	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
คำสั่ง${\displaystyle \Theta _{n}}$	1	1	1	1	1	1	28	2	8	6	992	1	3	2	16256	2	16	16	523264	24
${\displaystyle bP_{n+1}}$	1	1	1	1	1	1	28	1	2	1	992	1	1	1	8128	1	2	1	261632	1
${\displaystyle \Theta _{n}/bP_{n+1}}$	1	1	1	1	1	1	1	2	2×2	6	1	1	3	2	2	2	2×2×2	8×2	2	24
${\displaystyle \pi _{n}^{S}/J}$	1	2	1	1	1	2	1	2	2×2	6	1	1	3	2×2	2	2	2×2×2	8×2	2	24
ดัชนี	–	2	–	–	–	2	–	–	–	–	–	–	–	2	–	–	–	–	–	–

โปรดทราบว่าสำหรับ dim แล้วจะเป็น, , , และค่าอื่นๆ ในตารางนี้สามารถคำนวณได้จากข้อมูลข้างต้นร่วมกับตารางกลุ่มโฮโมโทปีเสถียรของทรงกลม ${\displaystyle n=4k-1}$${\displaystyle \theta _{n}}$${\displaystyle 28=2^{2}(2^{3}-1)}$${\displaystyle 992=2^{5}(2^{5}-1)}$${\displaystyle 16256=2^{7}(2^{7}-1)}$${\displaystyle 523264=2^{10}(2^{9}-1)}$

จากการคำนวณกลุ่มโฮโมโทปีเสถียรของทรงกลมWang & Xu (2017)พิสูจน์ว่าทรงกลมS ⁶¹มีโครงสร้างเรียบที่เป็นเอกลักษณ์ และเป็นทรงกลมมิติคี่สุดท้ายที่มีคุณสมบัตินี้ โดยมีเพียงS ¹ , S ³ , S ⁵และS ⁶¹ เท่านั้น ที่ มีคุณสมบัตินี้

หนึ่งในตัวอย่างแรกของทรงกลมแปลกใหม่ที่พบโดยMilnor (1956 , ส่วนที่ 3) ในช่วงกลางทศวรรษ 1950 John Milnor ^{[ 3 ]หน้า 14}พยายามทำความเข้าใจโครงสร้างของแมนิโฟลด์ที่เชื่อมต่อกันของมิติ(เนื่องจาก แมนิโฟลด์ ที่เชื่อมต่อกันมีลักษณะโฮโมมอ ร์ฟิก กับทรงกลม นี่จึงเป็นกรณีแรกที่ไม่ใช่กรณีธรรมดา) และพบตัวอย่างของปริภูมิที่สมมูลกันทางโฮโมโทปีกับทรงกลม แต่ไม่มีลักษณะดิฟ เฟโอเมอร์ฟิกอย่างชัดเจน เขาทำเช่นนี้โดยการพิจารณาบันเดิลเวกเตอร์จริงเหนือทรงกลมและศึกษาคุณสมบัติของบันเดิลดิสก์ที่เกี่ยวข้อง ปรากฏว่าขอบเขตของบันเดิลนี้สมมูลกันทางโฮโมโทปีกับทรงกลมแต่ในบางกรณีมันไม่มีลักษณะดิฟเฟโอเมอร์ฟิก การขาดลักษณะดิฟเฟโอเมอร์ฟิกนี้มาจากการศึกษาโคบอร์ ดิสมมติ ระหว่างขอบเขตนี้กับทรงกลม และการแสดงให้เห็นว่าโคบอร์ดิสมมตินี้ทำให้คุณสมบัติบางอย่างของทฤษฎีบทลายเซ็นของ Hirzebruch เป็น โมฆะ ${\displaystyle (n-1)}$${\displaystyle 2n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle 2n}$${\displaystyle V\to S^{n}}$${\displaystyle S^{2n-1}}$

ให้เป็นทรงกลมหน่วยในและให้เป็นขอบเขต ของมัน ซึ่งเป็นทรงกลม 3 มิติที่เราระบุว่าเป็นกลุ่มของควอเทอร์เนียน หน่วย ทีนี้ ให้นำ มาเป็นสองสำเนาแต่ละสำเนามีขอบเขตและเชื่อมต่อเข้าด้วยกันโดยระบุในขอบเขตแรก กับในขอบเขตที่สอง แมนิโฟลด์ที่ได้ ( ทรงกลมของมิลเนอร์ ) มีโครงสร้างเรียบตามธรรมชาติและเป็นโฮมีโอเมอร์ฟิกกับแต่ไม่เป็นดิฟฟีโอเมอร์ฟิกกับ มิลเนอร์แสดงให้เห็นว่ามันไม่ใช่ขอบเขตของแมนิโฟลด์ 8 มิติเรียบใดๆ ที่มีจำนวนเบตติที่ 4 เป็นศูนย์ และไม่มีดิฟฟีโอเมอร์ฟิซึมแบบกลับทิศทางกับตัวมันเอง คุณสมบัติใดๆ เหล่านี้บ่งชี้ว่ามันไม่ใช่ทรงกลม 7 มิติมาตรฐาน มิลเนอร์แสดงให้เห็นว่าแมนิโฟลด์นี้มีฟังก์ชันมอร์ส ที่มี จุดวิกฤตเพียงสอง จุด ซึ่ง ทั้งสองจุดไม่เสื่อมสภาพ ซึ่งหมายความว่าในทางโทโพโลยีแล้วมันเป็นทรงกลม ${\displaystyle B^{4}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$${\displaystyle S^{3}}$${\displaystyle B^{4}\times S^{3}}$${\displaystyle S^{3}\times S^{3}}$${\displaystyle (a,b)}$${\displaystyle (a,a^{2}ba^{-1})}$${\displaystyle S^{7}}$${\displaystyle S^{7}}$

ดังที่แสดงโดยEgbert Brieskorn  ( 1966 , 1966b ) (ดูเพิ่มเติมที่ ( Hirzebruch & Mayer 1968 )) จุดตัดของแมนิโฟลด์เชิงซ้อนของจุดที่สอดคล้องกับ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{5}}$

${\displaystyle a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{3}+e^{6k-1}=0\ }$

โดยมีทรงกลมขนาดเล็กอยู่รอบจุดกำเนิด จะได้โครงสร้างเรียบที่เป็นไปได้ทั้งหมด 28 แบบบนทรงกลม 7 มิติแบบมีทิศทาง แมนิโฟลด์ที่คล้ายกันนี้เรียกว่าทรงกลมบรีสคอร์น ${\displaystyle k=1,2,\ldots ,28}$

เมื่อกำหนดดิฟฟีโอเมอร์ฟิซึม (ที่รักษาทิศทาง) แล้วการเชื่อมขอบของดิสก์มาตรฐานสองชุดเข้าด้วยกันโดยใช้fจะได้แมนิโฟลด์ที่เรียกว่าทรงกลมบิด (ที่มีการบิดf ) มันสมมูลเชิงโฮโมโทปีกับ ทรงกลม nมิติมาตรฐาน เพราะแผนที่การเชื่อมนั้นสมมูลเชิงโฮโมโทปีกับเอกลักษณ์ (เนื่องจากเป็นดิฟฟีโอเมอร์ฟิซึมที่รักษาทิศทาง ดังนั้นจึงมีดีกรี 1) แต่โดยทั่วไปแล้วจะไม่สมมูลเชิงดิฟฟีโอเมอร์ฟิกกับทรงกลมมาตรฐาน ( Milnor 1959b ) เมื่อกำหนดให้เป็นกลุ่มของทรงกลมnมิติบิด (ภายใต้ผลรวมเชื่อมต่อ) จะได้ลำดับที่แน่นอน ${\displaystyle f:S^{n-1}\to S^{n-1}}$${\displaystyle D^{n}}$${\displaystyle \Gamma _{n}}$

${\displaystyle \pi _{0}\operatorname {Diff} ^{+}(D^{n})\to \pi _{0}\operatorname {Diff} ^{+}(S^{n-1})\to \Gamma _{n}\to 0.}$

สำหรับn -sphere แปลกใหม่ทุกอันจะมีสมบัติเชิงอนุพันธ์เหมือนกับ sphere บิดเบี้ยว ซึ่งเป็นผลลัพธ์ที่พิสูจน์โดยStephen Smaleและสามารถมองได้ว่าเป็นผลสืบเนื่องมาจาก ทฤษฎีบท h -cobordism (ในทางตรงกันข้าม ใน การตั้งค่า เชิงเส้นแบบแบ่งส่วนแผนที่ซ้ายสุดจะเป็นแบบทั่วถึงผ่านการขยายรัศมี : sphere บิดเบี้ยวเชิงเส้นแบบแบ่งส่วนทุกอันเป็นมาตรฐาน) กลุ่มของ sphere บิดเบี้ยวจะมีสมบัติเชิงไอโซมอร์ฟิกกับกลุ่ม เสมอสัญลักษณ์แตกต่างกันเนื่องจากในตอนแรกไม่ทราบว่าสัญลักษณ์เหล่านั้นเหมือนกันสำหรับหรือ 4 ตัวอย่างเช่น กรณีเทียบเท่ากับข้อสันนิษฐานของ Poincaré ${\displaystyle n>5}$${\displaystyle \Gamma _{n}}$${\displaystyle \Theta _{n}}$${\displaystyle n=3}$${\displaystyle n=3}$

ในปี 1970 ฌอง เซอร์ฟได้พิสูจน์ทฤษฎีบทไอโซโทปีเทียมซึ่งหมายความว่าเป็นกลุ่มที่ไม่สำคัญก็ต่อเมื่อและเป็นเช่นนั้นก็ต่อเมื่อ ${\displaystyle \pi _{0}\operatorname {Diff} ^{+}(D^{n})}$${\displaystyle n\geq 6}$${\displaystyle \Gamma _{n}\simeq \pi _{0}\operatorname {Diff} ^{+}(S^{n-1})}$${\displaystyle n\geq 6}$

ถ้าMเป็นแมนิโฟลด์เชิงเส้นแบบแบ่งส่วน ปัญหาของการค้นหาโครงสร้างเรียบที่เข้ากันได้บนMขึ้นอยู่กับความรู้เกี่ยวกับกลุ่มΓ _k = Θ _kกล่าวคือ อุปสรรคต่อการมีอยู่ของโครงสร้างเรียบใดๆ อยู่ที่กลุ่มH _{k +1} ( M , Γ _k )สำหรับค่าk ต่างๆ ในขณะที่ถ้ามีโครงสร้างเรียบดังกล่าวอยู่ โครงสร้างเรียบทั้งหมดสามารถจำแนกได้โดยใช้กลุ่มH _k ( M , Γ _k )โดยเฉพาะอย่างยิ่ง กลุ่ม Γ _kจะเป็นศูนย์ถ้าk < 7ดังนั้นแมนิโฟลด์เชิงเส้นแบบแบ่งส่วนทั้งหมดที่มีมิติไม่เกิน 7 จะมีโครงสร้างเรียบ ซึ่งโดยพื้นฐานแล้วเป็นเอกลักษณ์ถ้าแมนิโฟลด์มีมิติไม่เกิน 6

กลุ่มอาเบเลียนจำกัดต่อไปนี้โดยพื้นฐานแล้วเหมือนกัน:

• กลุ่ม Θ _nของคลาส h-cobordism ของทรงกลมโฮโมโทปีเชิงทิศทางn
• กลุ่มของคลาส h-cobordism ของทรง กลม n ที่มีทิศทาง
• กลุ่ม Γ _nของทรงกลมn มิติที่บิดเบี้ยวและ มีทิศทาง
• กลุ่มโฮโมโทปีπ _n (PL/DIFF)
• ถ้าn ≠ 3กลุ่มโฮโมโทปีπ _n (TOP/DIFF) (ถ้าn = 3กลุ่มนี้จะมีอันดับ 2 ดูค่าคงที่ของ Kirby–Siebenmann )
• กลุ่มโครงสร้างเรียบของทรงกลม PL n ที่มีทิศทาง
• ถ้าn ≠ 4กลุ่มของโครงสร้างเรียบของทรงกลมโทโพโลยีnมิติ แบบมีทิศทาง
• ถ้าn ≠ 5กลุ่มของส่วนประกอบของกลุ่มของการแปลงแบบดิฟเฟอเรนเชียลที่รักษาทิศทางทั้งหมดของS ^{n −1}

ใน 4 มิติ ยังไม่เป็นที่ทราบแน่ชัดว่ามีโครงสร้างเรียบแปลกตาใด ๆ บนทรงกลม 4 มิติหรือไม่ ข้อความที่กล่าวว่าโครงสร้างเหล่านั้นไม่มีอยู่จริงนั้นเรียกว่า "สมมติฐานปวงกาเรเรียบ" ซึ่งได้รับการกล่าวถึงโดยไมเคิล ฟรีดแมนโรเบิร์ต กอมฟ์และสก็อตต์ มอร์ริสัน และคณะ ( 2010 ) ที่กล่าวว่าเชื่อกันว่าสมมติฐานนี้เป็นเท็จ

ทรงกลม 4 มิติแปลกใหม่ที่เสนอโดยผู้สมัครบางราย ได้แก่ ทรงกลม Cappell–Shaneson ( Sylvain CappellและJulius Shaneson  ( 1976 )) และทรงกลมที่ได้มาจากการบิดของ Gluck ( Gluck 1962 ) ทรงกลมบิดของ Gluck สร้างขึ้นโดยการตัดส่วนใกล้เคียงที่เป็นทรงกระบอกของทรงกลม 2 มิติSในS ⁴ ออก แล้วเชื่อมต่อกลับเข้าไปใหม่โดยใช้การแปลงแบบดิฟเฟอเรนเชียลของขอบเขตS ² × S ¹ผลลัพธ์ที่ได้จะเป็นโฮมีโอเมอร์ฟิกกับS ⁴ เสมอ ตลอด หลายปีที่ผ่านมา มีหลายกรณีที่ถูกตัดออกไปในฐานะตัวอย่างค้านที่เป็นไปได้สำหรับสมมติฐาน Poincaré แบบเรียบ 4 มิติ ตัวอย่างเช่นCameron Gordon  ( 1976 ), José Montesinos ( 1983 ), Steven P. Plotnick ( 1984 ), Gompf (1991) , Habiro, Marumoto & Yamada (2000) , Selman Akbulut  ( 2010 ), Gompf (2010) , Kim & Yamada (2017 )

• ทรงกลม Gromoll–Meyer ทรงกลม Milnor พิเศษ
• แผนที่แอตลาส (โทโพโลยี)
• โครงสร้างคลัตช์
• เอ็กโซติกอาร์⁴
• ทฤษฎีเซอร์ฟ
• พื้นที่เจ็ดมิติ
• โคบอร์ดิซึมแบบมีทิศทาง

• ทรงกลมแปลกประหลาดบน Manifold Atlas
• หน้าหลักเกี่ยวกับทรงกลมแปลกใหม่บนเว็บไซต์ของแอนดรูว์ รานิคกี้ แหล่งข้อมูลหลากหลายที่เกี่ยวข้องกับทรงกลมแปลกใหม่
• ภาพเคลื่อนไหวของทรงกลม 7 ลูกที่แปลกใหม่วิดีโอจากงานนำเสนอของไนลส์ จอห์นสันในการประชุมอาเบลครั้งที่สองเพื่อเป็นเกียรติแก่จอห์น มิลเนอร์
• โครงสร้างของ Gluckบน Manifold Atlas