ในทางคณิตศาสตร์ คำ ว่า exotic หมายถึง แมนิโฟ ลด์ที่สามารถหาอนุพันธ์ได้ซึ่งมีลักษณะโฮมีโอเมอร์ฟิก (กล่าวคือ รักษาลักษณะรูปร่าง) แต่ไม่มีลักษณะดิฟฟีโอเม อร์ฟิก (กล่าวคือ ไม่เรียบ) กับปริภูมิยุคลิดตัวอย่างแรกๆ ถูกค้นพบในปี 1982 โดยMichael Freedmanและคนอื่นๆ โดยใช้ความแตกต่างระหว่างทฤษฎีบทของ Freedman เกี่ยวกับแมนิโฟลด์ 4 มิติเชิงทอพอโลยี และทฤษฎีบทของSimon Donaldson เกี่ยวกับแมนิโฟลด์ 4 มิติเรียบ ^{[ 1 ] [ 2 ]}มีโครงสร้างที่สามารถหาอนุพันธ์ได้ ซึ่งไม่มีลักษณะ ดิฟฟีโอเม อร์ฟิกอยู่ มากมาย ดังที่ Clifford Taubesได้แสดงให้เห็นเป็นครั้งแรก^{[ 3 ]}${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}.}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{4},}$

ก่อนการสร้างนี้โครงสร้างเรียบ ที่ไม่เป็นดิฟเฟโอเมอร์ ฟิกบนทรงกลม – ทรงกลมแปลกใหม่  – เป็นที่ทราบกันดีอยู่แล้วว่ามีอยู่จริง แม้ว่าคำถามเกี่ยวกับการมีอยู่ของโครงสร้างดังกล่าวสำหรับกรณีเฉพาะของทรงกลม 4 มิติยังคงเปิดอยู่จนถึงปี 2026 สำหรับจำนวนเต็มบวกn ใดๆ ที่ไม่ใช่ 4 จะไม่มีโครงสร้างเรียบแปลกใหม่กล่าวอีกนัยหนึ่งคือ ถ้าn ≠ 4 แล้วแมนิโฟลด์เรียบใดๆ ที่เป็นโฮมีโอเมอร์ฟิกกับ จะเป็นดิฟเฟโอเมอร์ฟิกกับ^{[ 4 ]}${\displaystyle \mathbb {R} ^{n};}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}$

เรียกว่าเซตแปลกใหม่ขนาดเล็กหากสามารถฝังตัวได้อย่างราบรื่นในฐานะเซตย่อยแบบเปิดของเซตมาตรฐาน${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}.}$

สามารถสร้าง สิ่งแปลกใหม่ขนาดเล็ก ได้โดยเริ่มต้นจาก h - cobordismเรียบ 5 มิติที่ไม่ธรรมดา(ซึ่งมีอยู่จริงตามการพิสูจน์ของ Donaldson ที่ว่าทฤษฎีบทh -cobordism ล้มเหลวในมิตินี้) และใช้ทฤษฎีบทของ Freedman ที่ว่าทฤษฎีบท h -cobordism ทางทอพอโลยีนั้นใช้ได้ในมิตินี้ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$

เซตแปลกใหม่จะถูกเรียกว่ามีขนาดใหญ่หากไม่สามารถฝังตัวได้อย่างราบรื่นในฐานะเซตย่อยแบบเปิดของเซตมาตรฐาน${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}.}$

ตัวอย่างของทรงสามมิติแปลกใหม่ขนาดใหญ่สามารถสร้างขึ้นได้โดยใช้ข้อเท็จจริงที่ว่า ทรงสามมิติขนาดกะทัดรัดมักจะสามารถแยกออกเป็นผลรวมเชิงโทโพโลยีได้ (ตามงานของฟรีดแมน) แต่ไม่สามารถแยกออกเป็นผลรวมแบบเรียบได้ (ตามงานของโดนัลด์สัน) ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$

Michael Hartley Freedman และ Laurence R. Taylor ( 1986 ) แสดงให้เห็นว่ามีเซตแปลกใหม่สูงสุดซึ่งเซตอื่นๆ ทั้งหมดสามารถฝังเข้าไปได้อย่างราบรื่นในฐานะเซตย่อยแบบเปิด ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4},}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$

แฮนด์เดิลแคสสันเป็นโฮมีโอเมอร์ฟิกกับตามทฤษฎีบทของฟรีดแมน (โดยที่คือจานหน่วยปิด) แต่จากทฤษฎีบทของโดนัลด์สัน สรุปได้ว่าแฮนด์เดิลแคสสันบางส่วนไม่ได้เป็นดิฟฟีโอเมอร์ฟิกกับกล่าวอีกนัยหนึ่ง แฮนด์เดิลแคสสันบางส่วนเป็นแฮนด์เดิลแปลกใหม่${\displaystyle \mathbb {D} ^{2}\times \mathbb {R} ^{2}}$${\displaystyle \mathbb {D} ^{2}}$${\displaystyle \mathbb {D} ^{2}\times \mathbb {R} ^{2}.}$${\displaystyle \mathbb {D} ^{2}\times \mathbb {R} ^{2}.}$

ณ ปี 2024 ยังไม่เป็นที่ทราบแน่ชัดว่ามีทรงกลม 4 มิติที่แปลกประหลาดอยู่หรือไม่ ทรงกลม 4 มิติที่แปลกประหลาดดังกล่าวจะเป็นตัวอย่างค้านต่อสมมติฐานปวงกาเรทั่วไป ที่เรียบ ในมิติ 4 ผู้สมัครที่เป็นไปได้บางส่วนได้มาจากGluck twists

• จุก Akbulut - เครื่องมือที่ใช้ในการสร้างสิ่งแปลกใหม่จากคลาสใน^{[ 5 ]}${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$${\displaystyle H^{3}(S^{3},\mathbb {R} )}$
• แผนที่แอตลาส (โทโพโลยี)