ในพีชคณิตเชิงเส้นเมทริกซ์เชิงตั้งฉากหรือเมทริกซ์เชิงตั้งฉากปกติQคือเมทริกซ์จัตุรัสค่าจริงที่มีคอลัมน์และแถวเป็นเวกเตอร์เชิง ตั้งฉากปกติ

วิธีหนึ่งในการแสดงสิ่งนี้คือ โดยที่Q ^Tคือเมทริกซ์สลับตำแหน่งของQและIคือ เมท ริก ซ์เอกลักษณ์$${\displaystyle Q^{\mathrm {T} }Q=QQ^{\mathrm {T} }=I,}$$

ซึ่งนำไปสู่ลักษณะ เฉพาะที่เทียบเท่ากัน กล่าว คือเมทริกซ์Qเป็นเมทริกซ์ตั้งฉากก็ต่อเมื่อเมทริกซ์ทรานสโพสของมันเท่ากับเมทริกซ์ผกผัน ของมัน โดย ที่Q ⁻¹คือเมทริกซ์ผกผันของ Q$${\displaystyle Q^{\mathrm {T} }=Q^{-1},}$$

เมทริกซ์เชิงตั้งฉากQจะต้องสามารถหาเมทริกซ์ผกผันได้ (โดยที่เมทริกซ์ผกผันQ ⁻¹ = Q ^T ) เป็นเมทริกซ์เอกลักษณ์ ( Q ⁻¹ = Q ^∗ ) โดยที่Q ^∗คือเมทริกซ์ผกผันเฮอร์มิเชียน ( เมทริกซ์สลับเปลี่ยนเชิงสังยุค ) ของQและดังนั้นจึงเป็น เมทริกซ์ ปกติ ( Q ^∗ Q = QQ ^∗ ) เหนือจำนวนจริง ดี เทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์เชิงตั้งฉากใดๆ จะมีค่าเป็น +1 หรือ −1 เนื่องจากเป็นการแปลงเชิงเส้นเมทริกซ์เชิงตั้งฉากจึงรักษาผลคูณภายในของเวกเตอร์ ไว้ และดังนั้นจึงทำหน้าที่เป็นไอโซเมตรีของปริภูมิยุคลิดเช่นการหมุนการสะท้อนหรือการสะท้อนแบบหมุนกล่าวอีกนัยหนึ่งคือ เป็นการแปลง เอกลักษณ์

เซตของเมทริกซ์เชิงตั้งฉากขนาดn × n เมื่อ คูณกันจะได้กลุ่มO( n ) ซึ่ง เรียกว่ากลุ่มเชิงตั้งฉากกลุ่มย่อยSO( n )ที่ประกอบด้วยเมทริกซ์เชิงตั้งฉากที่มีดีเทอร์มิแนนต์ +1 เรียกว่ากลุ่มเชิงตั้งฉากพิเศษและแต่ละสมาชิกของกลุ่มย่อยนี้ก็คือเมทริกซ์เชิงตั้งฉากพิเศษ เมทริกซ์เชิงตั้งฉากพิเศษทุกตัวทำหน้าที่เป็นการแปลงเชิงเส้น โดยทำหน้าที่เป็นการหมุน

เมทริกซ์เชิงตั้งฉากคือ เมทริกซ์ เฉพาะจริงของเมทริกซ์เอกลักษณ์และดังนั้นจึงเป็นเมทริกซ์ปกติ เสมอ แม้ว่าเราจะพิจารณาเฉพาะเมทริกซ์จริงในที่นี้ แต่นิยามนี้สามารถใช้กับเมทริกซ์ที่มีสมาชิกจากฟิลด์ ใดก็ได้ อย่างไรก็ตาม เมทริกซ์เชิงตั้งฉากเกิดขึ้นตามธรรมชาติจากผลคูณจุดและสำหรับเมทริกซ์ของจำนวนเชิงซ้อนนั้นนำไปสู่ข้อกำหนดเอกลักษณ์แทน เมทริกซ์เชิงตั้งฉากรักษาผลคูณจุดไว้^{[ 1 ]}ดังนั้น สำหรับเวกเตอร์uและvในปริภูมิยุคลิดจริง n มิติโดยที่ Q เป็นเมทริกซ์เชิงตั้งฉาก เพื่อดู ความเชื่อมโยง ของผลคูณภายในให้พิจารณาเวกเตอร์vใน ปริภูมิยุคลิดจริง nมิติ เขียนโดยสัมพันธ์กับฐานเชิงตั้งฉากปกติความยาวกำลังสองของvคือv ^T vถ้าการแปลงเชิงเส้นในรูปแบบเมทริกซ์Q vรักษาความยาวเวกเตอร์ไว้ แล้ว $${\displaystyle {\mathbf {u} }\cdot {\mathbf {v} }=\left(Q{\mathbf {u} }\right)\cdot \left(Q{\mathbf {v} }\right)}$$$${\displaystyle {\mathbf {v} }^{\mathrm {T} }{\mathbf {v} }=(Q{\mathbf {v} })^{\mathrm {T} }(Q{\mathrm {v} })={\mathbf {v} }^{\mathrm {T} }Q^{\mathrm {T} }คำถาม{\คณิตศาสตร์ {v} }.}$$

ดังนั้นการแปลงเชิงเส้นแบบมิติจำกัดเช่นการหมุนการสะท้อนและการรวมกันของทั้งสอง จะสร้างเมทริกซ์เชิงตั้งฉาก และในทางกลับกันเมทริกซ์เชิงตั้งฉากก็หมายถึงการแปลงเชิงตั้งฉาก ด้วยเช่นกัน อย่างไรก็ตาม พีชคณิตเชิงเส้นนั้นรวมถึงการแปลงเชิงตั้งฉากระหว่างปริภูมิซึ่งอาจไม่ใช่ทั้งมิติจำกัดหรือมีมิติเท่ากัน และการแปลงเหล่านี้ไม่มีเมทริกซ์เชิงตั้งฉากที่เทียบเท่าได้

เมทริกซ์เชิงตั้งฉากมีความสำคัญด้วยเหตุผลหลายประการ ทั้งในเชิงทฤษฎีและเชิงปฏิบัติเมทริกซ์เชิงตั้งฉากขนาดn × n ก่อตัวเป็น กลุ่มภายใต้การคูณ เมทริกซ์ กลุ่มเชิงตั้งฉาก ซึ่ง แสดงด้วยO( n )ซึ่ง—พร้อมกับกลุ่มย่อย ของมัน —ถูกนำไปใช้อย่างกว้างขวางในคณิตศาสตร์และวิทยาศาสตร์กายภาพตัวอย่างเช่นกลุ่มจุดของโมเลกุลเป็นกลุ่มย่อยของ O(3) เนื่องจาก เมทริกซ์เชิงตั้งฉากในรูป แบบจุดลอยตัวมีคุณสมบัติที่เป็นประโยชน์ จึงเป็นกุญแจสำคัญสำหรับอัลกอริทึมหลายอย่างในพีชคณิตเชิงเส้นเชิงตัวเลขเช่นการแยกตัวประกอบQRอีกตัวอย่างหนึ่ง ด้วยการทำให้เป็นมาตรฐานที่เหมาะสมการแปลงโคไซน์แบบไม่ต่อเนื่อง (ที่ใช้ใน การบีบอัด MP3 ) จะถูกแทนด้วยเมทริกซ์เชิงตั้งฉาก

ด้านล่างนี้คือตัวอย่างบางส่วนของเมทริกซ์เชิงตั้งฉากขนาดเล็กและการตีความที่เป็นไปได้

• ${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0\\0&1\\\end{bmatrix}}}$ ( การแปลง อัตลักษณ์ )
• ${\displaystyle {\begin{bmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \\\end{bmatrix}}}$ ( การหมุนรอบจุดกำเนิด )
• ${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0\\0&-1\\\end{bmatrix}}}$ ( การสะท้อนตาม แกน x )
• ${\displaystyle {\begin{bmatrix}0&0&0&1\\0&0&1&0\\1&0&0&0\\0&1&0&0\end{bmatrix}}}$ ( การสลับตำแหน่งของแกนพิกัด )

เมทริกซ์เชิงตั้งฉากที่ง่ายที่สุดคือ เมทริกซ์ 1 × 1 [1] และ [−1] ซึ่งเราสามารถตีความได้ว่าเป็นเมทริกซ์เอกลักษณ์และเมทริกซ์สะท้อนของเส้นจำนวนจริงที่ผ่านจุด กำเนิด

เมท ริกซ์ 2 × 2มีรูปแบบ ที่ตรงตามข้อกำหนดความเป็นตั้งฉาก ซึ่งสอดคล้องกับสมการ ทั้งสาม$${\displaystyle {\begin{bmatrix}p&t\\q&u\end{bmatrix}},}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}1&=p^{2}+t^{2},\\1&=q^{2}+u^{2},\\0&=pq+tu.\end{aligned}}}$$

เมื่อพิจารณาสมการแรก โดยไม่เสียความเป็นทั่วไปให้p = cos θ , q = sin θ ; แล้วจะได้t = − q , u = pหรือt = q , u = − pเราสามารถตีความกรณีแรกเป็นการหมุนด้วยมุมθ (โดยที่θ = 0คือเอกลักษณ์) และกรณีที่สองเป็นการสะท้อนข้ามเส้นตรงด้วยมุม⁠θ/2⁠ .

$${\displaystyle {\begin{bmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \\\end{bmatrix}}{\text{ (การหมุน), }}\qquad {\begin{bmatrix}\cos \theta &\sin \theta \\\sin \theta &-\cos \theta \\\end{bmatrix}}{\text{ (เงาสะท้อน)}}}$$

กรณีพิเศษของเมทริกซ์การสะท้อนที่มีθ = 90°จะสร้างการสะท้อนเกี่ยวกับเส้นตรงที่ 45° ซึ่งกำหนดโดยy = xและดังนั้นจึงสลับxและy ; มันเป็นเมทริกซ์การเรียงสับเปลี่ยนโดยมีค่า 1 เพียงค่าเดียวในแต่ละคอลัมน์และแถว (และ 0 ในกรณีอื่น ๆ): $${\displaystyle {\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}}.}$$

เอกลักษณ์นี้ก็คือเมทริกซ์การเรียงสับเปลี่ยนเช่นกัน

การสะท้อนคือเมทริกซ์ผกผันของตัวเองซึ่งหมายความว่าเมทริกซ์สะท้อนเป็นเมทริกซ์สมมาตร (เท่ากับเมทริกซ์สลับตำแหน่ง ) และเป็นเมทริกซ์ตั้งฉาก ด้วย ผลคูณของเมทริกซ์หมุนสองเมทริกซ์คือเมทริกซ์หมุนและผลคูณของเมทริกซ์สะท้อนสองเมทริกซ์ก็คือเมทริกซ์หมุนเช่นกัน

ไม่ว่าจะมีมิติเท่าใด ก็สามารถจำแนกเมทริกซ์เชิงตั้งฉากได้ว่าเป็นเมทริกซ์หมุนอย่างเดียวหรือไม่ แต่สำหรับ เมทริกซ์ขนาด 3 × 3ขึ้นไป เมทริกซ์ที่ไม่หมุนอาจมีความซับซ้อนกว่าการสะท้อน ตัวอย่างเช่น $${\displaystyle {\begin{bmatrix}-1&0&0\\0&-1&0\\0&0&-1\end{bmatrix}}{\text{ and }}{\begin{bmatrix}0&-1&0\\1&0&0\\0&0&-1\end{bmatrix}}}$$

แสดงถึงการผกผันผ่านจุดกำเนิดและการหมุนผกผันรอบแกนzตาม ลำดับ

การหมุนจะซับซ้อนมากขึ้นในมิติที่สูงขึ้น ไม่สามารถอธิบายได้อย่างสมบูรณ์ด้วยมุม เพียงมุมเดียวอีกต่อไป และอาจส่งผลกระทบต่อ ระนาบย่อยมากกว่าหนึ่งระนาบ โดยทั่วไปแล้ว การอธิบาย เมทริกซ์การหมุนขนาด 3 × 3จะใช้แกนและมุมแต่ใช้ได้เฉพาะในสามมิติ เท่านั้น ในมิติ ที่สูงกว่าสามมิติ จำเป็นต้องใช้มุมสองมุมขึ้นไป โดยแต่ละมุมจะสัมพันธ์กับระนาบการหมุน

อย่างไรก็ตาม เรามีองค์ประกอบพื้นฐานสำหรับการเรียงสับเปลี่ยน การสะท้อน และการหมุน ซึ่งสามารถนำไปใช้ได้โดยทั่วไป

การเรียงสับเปลี่ยนขั้นพื้นฐานที่สุดคือการสลับแถวและคอลัมน์ซึ่งได้มาจากการสลับแถวสองแถวในเมทริกซ์เอกลักษณ์ เมทริก ซ์การเรียงสับเปลี่ยนขนาด n × n ใดๆ ก็สามารถสร้างขึ้นได้จากการ คูณ เมทริกซ์สลับ แถวและ คอลัมน์ไม่เกินn − 1 ครั้ง

การสะท้อนของ Householderถูกสร้างขึ้นจากเวกเตอร์ที่ไม่เป็นศูนย์vดังนี้ $${\displaystyle Q=I-2{\frac {{\mathbf {v} }{\mathbf {v} }^{\mathrm {T} }}{{\mathbf {v} }^{\mathrm {T} }{\mathbf {v} }}}.}$$

ในที่นี้ ตัวเศษเป็นเมทริกซ์สมมาตรในขณะที่ตัวส่วนเป็นตัวเลข ซึ่งก็คือค่ากำลัง สองของขนาด ของvนี่คือการสะท้อนในระนาบที่ตั้งฉากกับv (โดยการลบส่วนประกอบเวกเตอร์ใดๆที่ขนานกับv ) ถ้าvเป็นเวกเตอร์หน่วยQ = I − 2 vv ^Tก็เพียงพอแล้ว การสะท้อนแบบ Householder มักใช้เพื่อทำให้ส่วนล่างของคอลัมน์เป็นศูนย์พร้อมกัน เมทริกซ์เชิงตั้งฉากใดๆ ที่มีขนาดn × nสามารถสร้างขึ้นได้จากการคูณของการสะท้อนดังกล่าว อย่างมากที่สุด n ครั้ง

การหมุนแบบ Givensกระทำบน ระนาบ สองมิติ (ระนาบ) ที่เกิดจากแกนพิกัดสองแกน โดยหมุนด้วยมุมที่เลือกไว้ โดยทั่วไปจะใช้เพื่อทำให้ค่า ในแนว ทแยงมุมย่อยค่า เดียวเป็นศูนย์ เมทริกซ์การหมุนขนาด n × nใดๆสามารถสร้างได้จากการคูณเมทริกซ์ไม่เกิน⁠n ( n − 1)/2การหมุน ดังกล่าว ในกรณีของ เมทริกซ์ 3 × 3การหมุนดังกล่าวสามครั้งก็เพียงพอแล้ว และโดยการกำหนดลำดับเราจึงสามารถอธิบาย เมทริกซ์การหมุน 3 × 3 ทั้งหมด (แม้จะไม่เฉพาะเจาะจง ) ในแง่ของมุมทั้งสามที่ใช้ ซึ่งมักเรียกว่ามุมออยเลอร์

การหมุนแบบจาโคบีมีรูปแบบเดียวกับการหมุนแบบกิฟเวนส์ แต่ใช้เพื่อทำให้ค่าทั้งสองนอกแนวทแยงของเมทริกซ์ย่อยสมมาตรขนาด2 × 2เป็น ศูนย์

เมทริกซ์จัตุรัสจริงจะเป็นเมทริกซ์ตั้งฉากก็ต่อเมื่อคอลัมน์ของเมทริกซ์นั้นประกอบกันเป็นฐานตั้งฉากปกติของปริภูมิยุคลิดR ⁿโดยมีผลคูณดอทแบบ ยุคลิดปกติ ซึ่งจะเป็นเช่นนั้นก็ต่อเมื่อแถวของเมทริกซ์นั้นประกอบกันเป็นฐานตั้งฉากปกติของR ⁿอาจดูน่าสนใจที่จะคิดว่าเมทริกซ์ที่มีคอลัมน์ตั้งฉากกัน (ไม่ใช่ตั้งฉากปกติ) จะเรียกว่าเมทริกซ์ตั้งฉาก แต่เมทริกซ์ดังกล่าวไม่มีความสำคัญพิเศษและไม่มีชื่อเรียกเฉพาะ เมทริกซ์เหล่านั้นเพียงแค่เป็นไปตามเงื่อนไขM T ^M = D โดยที่Dเป็นเมทริกซ์ทแยงมุม

ดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์เชิงตั้งฉากใดๆ จะมีค่าเป็น +1 หรือ −1 ซึ่งเป็นผลมาจากข้อเท็จจริงพื้นฐานเกี่ยวกับดีเทอร์มิแนนต์ ดังนี้: $${\displaystyle 1=\det(I)=\det \left(Q^{\mathrm {T} }Q\right)=\det \left(Q^{\mathrm {T} }\right)\det(Q)={\bigl (}\det(Q){\bigr )}^{2}.}$$

ในทางกลับกันนั้นไม่เป็นความจริง การมีค่าดีเทอร์มิแนนต์เท่ากับ ±1 ไม่ได้เป็นการรับประกันว่าเมทริกซ์จะตั้งฉากกันเสมอไป แม้ว่าคอลัมน์จะตั้งฉากกันก็ตาม ดังตัวอย่างค้านต่อไปนี้ $${\displaystyle {\begin{bmatrix}2&0\\0&{\frac {1}{2}}\end{bmatrix}}}$$

สำหรับเมทริกซ์การเรียงสับเปลี่ยน ค่าดีเทอร์มิแนนต์จะตรงกับลายเซ็นโดยจะเป็น +1 หรือ −1 ขึ้นอยู่กับว่าความคู่หรือคี่ของการเรียงสับเปลี่ยนนั้นเป็นเลขคู่หรือเลขคี่ เนื่องจากดีเทอร์มิแนนต์เป็นฟังก์ชันสลับของแถว

ข้อจำกัดที่เข้มงวดกว่าข้อจำกัดของดีเทอร์มิแนนต์คือข้อเท็จจริงที่ว่าเมทริกซ์เชิงตั้งฉากสามารถทำให้เป็นเมทริกซ์ทแยงมุม ได้เสมอ เมื่อใช้จำนวนเชิงซ้อนเพื่อแสดงชุดค่าลักษณะเฉพาะ ที่สมบูรณ์ ซึ่งค่าลักษณะเฉพาะทั้งหมดจะต้องมีโมดูลัส ( เชิงซ้อน )  เท่ากับ 1

เมทริกซ์ผกผันของเมทริกซ์เชิงตั้งฉากทุกเมทริกซ์ก็จะเป็นเมทริกซ์เชิงตั้งฉากเช่นกัน รวมถึงผลคูณเมทริกซ์ของเมทริกซ์เชิงตั้งฉากสองเมทริกซ์ด้วย ที่จริงแล้ว เซตของ เมทริกซ์เชิงตั้งฉากขนาด n × n ทั้งหมดนั้น สอดคล้องกับสัจพจน์ ทั้งหมด ของกลุ่มมันเป็น กลุ่มลี แบบกระชับ (compact Lie group)ที่มีมิติ⁠n ( n − 1)/2เรียกว่ากลุ่มเชิงตั้งฉากและ ใช้สัญลักษณ์ O( n )

เมทริกซ์เชิงตั้งฉากที่มีดีเทอร์มิแนนต์เป็น +1 ก่อให้เกิดกลุ่มย่อยปกติที่เชื่อมต่อเส้นทาง ของO( n )ที่มีดัชนี 2 ซึ่งก็คือกลุ่มเชิงตั้งฉากพิเศษSO( n )ของการหมุนกลุ่มผลหารO( n )/SO( n )มีสมมาตรกับO(1)โดย แผนที่ การฉายภาพจะเลือก [+1] หรือ [−1] ตามดีเทอร์มิแนนต์ เมทริกซ์เชิงตั้งฉากที่มีดีเทอร์มิแนนต์ −1 ไม่รวมเมทริก ซ์เอกลักษณ์ ดังนั้นจึงไม่ก่อให้เกิดกลุ่มย่อยแต่เป็นเพียงโคเซต เท่านั้น และยังเชื่อมต่อกัน (แยกต่างหาก) ด้วย ดังนั้นแต่ละกลุ่มเชิงตั้งฉากจึงแบ่งออกเป็นสองส่วน และเนื่องจากแผนที่การฉายภาพแยกออก O ( n )จึงเป็นผลคูณกึ่งตรงของSO( n )โดยO(1 ) ในทางปฏิบัติ ข้อความที่เทียบเคียงได้คือ เมทริกซ์เชิงตั้งฉากใดๆ ก็สามารถสร้างขึ้นได้โดยการนำเมทริกซ์การหมุนมาและอาจทำการกลับเครื่องหมายของคอลัมน์ใดคอลัมน์หนึ่ง ดังที่เราได้เห็นในกรณีของ เมทริก ซ์ 2 × 2ถ้าnเป็นจำนวนคี่ ผลคูณกึ่งตรง (semidirect product) ก็คือผลคูณตรง (direct product) นั่นเอง และเมทริกซ์เชิงตั้งฉากใดๆ ก็สามารถสร้างขึ้นได้โดยการนำเมทริกซ์การหมุนมาและอาจทำการกลับเครื่องหมายของทุกคอลัมน์ สิ่งนี้เป็นผลมาจากคุณสมบัติของดีเทอร์มิแนนต์ที่ว่า การกลับเครื่องหมายของคอลัมน์จะทำให้ดีเทอร์มิแนนต์เป็นลบด้วย ดังนั้นการกลับเครื่องหมายของจำนวนคอลัมน์ที่เป็นเลขคี่ (แต่ไม่ใช่เลขคู่) จะทำให้ดีเทอร์มิแนนต์เป็นลบ

ทีนี้ลองพิจารณา เมทริกซ์เชิงตั้งฉากขนาด ( n + 1) × ( n + 1)เมทริกซ์ โดยที่สมาชิกด้านล่างขวาเท่ากับ 1 เศษเหลือของคอลัมน์สุดท้าย (และแถวสุดท้าย) ต้องเป็นศูนย์ และผลคูณของเมทริกซ์ดังกล่าวสองเมทริกซ์ใดๆ ก็จะมีรูปแบบเดียวกัน ส่วนที่เหลือของเมทริกซ์จะเป็น เมทริกซ์เชิงตั้งฉากขนาด n × nดังนั้นO( n ) จึง เป็นกลุ่มย่อยของO( n + 1) (และของกลุ่มที่สูงกว่าทั้งหมด)

$${\displaystyle {\begin{bmatrix}&&&0\\&\mathrm {O} (n)&&\vdots \\&&&0\\0&\cdots &0&1\end{bmatrix}}}$$

เนื่องจากการสะท้อนขั้นพื้นฐานในรูปแบบของเมทริกซ์ Householderสามารถลดเมทริกซ์เชิงตั้งฉากใดๆ ให้เป็นรูปแบบที่ถูกจำกัดนี้ได้ ดังนั้นชุดของการสะท้อนดังกล่าวจึงสามารถนำเมทริกซ์เชิงตั้งฉากใดๆ ไปสู่เมทริกซ์เอกลักษณ์ได้ ด้วยเหตุนี้ กลุ่มเชิงตั้งฉากจึงเป็นกลุ่มการสะท้อนคอลัมน์สุดท้ายสามารถกำหนดให้เป็นเวกเตอร์หน่วย ใดๆ ก็ได้ และแต่ละตัวเลือกจะให้สำเนาที่แตกต่างกันของO( n )ในO( n + 1)ด้วยวิธีนี้O( n + 1)จึงเป็นบันเดิลเหนือทรงกลมหน่วยSn ^ที่มีไฟเบอร์O ( n )

ในทำนองเดียวกันSO( n )เป็นกลุ่มย่อยของSO( n + 1)และเมทริกซ์เชิงตั้งฉากพิเศษใดๆ ก็สามารถสร้างขึ้นได้โดยการหมุนระนาบ Givensโดยใช้ขั้นตอนที่คล้ายคลึงกัน โครงสร้างบันเดิลยังคงอยู่การหมุนเพียงครั้งเดียวสามารถสร้างค่าศูนย์ในแถวแรกของคอลัมน์สุดท้าย และการ หมุน n − 1 ครั้ง จะทำให้ทุกแถวยกเว้นแถวสุดท้ายของคอลัมน์สุดท้ายของ เมทริกซ์การหมุน n × n เป็นศูนย์ เนื่องจากระนาบถูกตรึงไว้ การหมุนแต่ละครั้งจึงมีองศาอิสระ เพียงหนึ่งเดียว คือ มุมของมันโดยการอุปมานSO( n )จึงมี องศาอิสระ และO( n )ก็ เช่นกัน${\displaystyle \mathrm {SO} (n)\hookrightarrow \mathrm {SO} (n+1)\to S^{n}}$$${\displaystyle (n-1)+(n-2)+\cdots +1={\frac {n(n-1)}{2}}}$$

เมทริกซ์การเรียงสับเปลี่ยนนั้นเรียบง่ายกว่ามาก พวกมันไม่ได้ก่อตัวเป็นกลุ่มลีแต่เป็นเพียงกลุ่มจำกัด คือ กลุ่มสมมาตรอันดับn ! S _nด้วยเหตุผลเดียวกันS _nเป็นกลุ่มย่อยของS _{n + 1}การเรียงสับเปลี่ยนแบบคู่สร้างกลุ่มย่อยของเมทริกซ์การเรียงสับเปลี่ยนที่มีดีเทอร์มิแนนต์ +1 อันดับ⁠n !/2กลุ่มสลับ กัน

โดยทั่วไปแล้ว ผลของเมทริกซ์เชิงตั้งฉากใดๆ จะแยกออกเป็นการกระทำอิสระบนปริภูมิย่อยสองมิติ เชิงตั้งฉาก กล่าวคือ ถ้าQ เป็นเมทริกซ์เชิงตั้งฉากพิเศษแล้ว เราสามารถหาเมทริกซ์เชิงตั้งฉาก P ซึ่ง เป็นการเปลี่ยนฐาน (แบบหมุน) ที่ทำให้Qอยู่ในรูปแบบ เมทริกซ์บล็อกแนวทแยงได้เสมอ

$${\displaystyle P^{\mathrm {T} }QP={\begin{bmatrix}R_{1}&&\\&\ddots &\\&&R_{k}\end{bmatrix}}\ (n{\text{ even}}),\ P^{\mathrm {T} }QP={\begin{bmatrix}R_{1}&&&\\&\ddots &&\\&&R_{k}&\\&&&1\end{bmatrix}}\ (n{\text{ odd}}).}$$

โดยที่เมทริกซ์R 1 , ..., R k เป็นเมทริกซ์การหมุน 2 × 2 และรายการที่เหลือเป็นศูนย์ ยกเว้น บล็อกการหมุนอาจเป็นแนวทแยง ± I _{ดังนั้น}หากจำเป็น_ให้กลับค่าคอลัมน์ หนึ่งและสังเกตว่าการสะท้อน2 × 2 จะทำให้เป็นแนวทแยงเป็น +1 และ −1 เมทริกซ์เชิงตั้งฉากใดๆ ก็สามารถนำมาอยู่ในรูปแบบ^{[ 2 ] [ 3 ]}$${\displaystyle P^{\mathrm {T} }QP={\begin{bmatrix}{\begin{matrix}R_{1}&&\\&\ddots &\\&&R_{k}\end{matrix}}&0\\0&{\begin{matrix}\pm 1&&\\&\ddots &\\&&\pm 1\end{matrix}}\\\end{bmatrix}},}$$

เมทริกซ์R ₁ , ..., R _kให้คู่ค่าลักษณะเฉพาะที่เป็น คู่สังยุค ซึ่งอยู่บนวงกลมหน่วยในระนาบเชิงซ้อนดังนั้นการแยกส่วน นี้ จึงยืนยันว่าค่าลักษณะเฉพาะทั้งหมดมีค่าสัมบูรณ์ เท่ากับ 1 ถ้าnเป็นจำนวนคี่ จะมี ค่าลักษณะเฉพาะที่ เป็นจำนวนจริง อย่างน้อยหนึ่ง ค่า คือ +1 หรือ −1 สำหรับ การหมุนแบบ 3 × 3เวกเตอร์ลักษณะเฉพาะที่เกี่ยวข้องกับ +1 จะเป็นแกนการหมุน

สมมติว่าสมาชิกของQเป็นฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้ของtและt = 0ทำให้Q = I การ หา อนุพันธ์ของเงื่อนไขความเป็นตั้งฉากจะ ได้$${\displaystyle Q^{\mathrm {T} }Q=I}$$$${\displaystyle {\dot {Q}}^{\mathrm {T} }Q+Q^{\mathrm {T} }{\dot {Q}}=0}$$

การประเมินค่าที่t = 0 ( Q = I ) จึงหมายความว่า $${\displaystyle {\dot {Q}}^{\mathrm {T} }=-{\dot {Q}}.}$$

ใน แง่ของ กลุ่มลี (Lie group ) หมายความว่าพีชคณิตลีของกลุ่ม เมทริกซ์เชิงตั้งฉาก ประกอบด้วยเมทริกซ์สมมาตรเฉียง (skew-symmetric matrices ) ในทางกลับกันเมทริกซ์เอกซ์โพเนนเชียลของเมทริกซ์สมมาตรเฉียง ใดๆ ก็ เป็นเมทริกซ์เชิงตั้งฉาก (อันที่จริงเป็นเมทริกซ์เชิงตั้งฉากแบบพิเศษ)

ตัวอย่างเช่นฟิสิกส์ของวัตถุสามมิติ ที่เรียกว่า ความเร็วเชิงมุมคือการหมุนเชิงอนุพันธ์ดังนั้นจึงเป็นเวกเตอร์ในพีชคณิต Lie ที่สัมผัสกับSO(3)กำหนดให้ω = ( xθ , yθ , zθ )โดยที่v = ( x , y , z )เป็นเวกเตอร์หน่วย รูปแบบเมทริกซ์แบบเฉียงสมมาตรที่ถูกต้องของωคือ ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3)}$$${\displaystyle \Omega ={\begin{bmatrix}0&-z\theta &y\theta \\z\theta &0&-x\theta \\-y\theta &x\theta &0\end{bmatrix}}.}$$

ค่าเลขชี้กำลังของสิ่งนี้คือเมทริกซ์เชิงตั้งฉากสำหรับการหมุนรอบแกนvด้วยมุมθ โดย กำหนดให้c = cos ⁠θ/2s = sin​​θ/2⁠ , $${\displaystyle \exp(\Omega )={\begin{bmatrix}1-2s^{2}+2x^{2}s^{2}&2xys^{2}-2zsc&2xzs^{2}+2ysc\\2xys^{2}+2zsc&1-2s^{2}+2y^{2}s^{2}&2yzs^{2}-2xsc\\2xzs^{2}-2ysc&2yzs^{2}+2xsc&1-2s^{2}+2z^{2}s^{2}\end{bmatrix}}.}$$

การวิเคราะห์เชิงตัวเลขใช้ประโยชน์จากคุณสมบัติหลายประการของเมทริกซ์เชิงตั้งฉากสำหรับพีชคณิตเชิงเส้นเชิงตัวเลขและคุณสมบัติเหล่านี้เกิดขึ้นเองตามธรรมชาติ ตัวอย่างเช่น มักเป็นที่ต้องการที่จะคำนวณฐานเชิงตั้ง ฉากปกติ สำหรับปริภูมิ หรือการเปลี่ยนฐาน เชิงตั้งฉาก ซึ่งทั้งสองอย่างอยู่ในรูปของเมทริกซ์เชิงตั้งฉาก การที่ดีเทอร์มิแนนต์ ±1 และค่าลักษณะเฉพาะทั้งหมดมีขนาด 1 เป็นประโยชน์อย่างมากต่อเสถียรภาพเชิง ตัวเลข ผล ที่ตามมาอย่างหนึ่งคือค่าสภาพ (condition number)เท่ากับ 1 (ซึ่งเป็นค่าต่ำสุด) ดังนั้นข้อผิดพลาดจะไม่ถูกขยายใหญ่ขึ้นเมื่อคูณกับเมทริกซ์เชิงตั้งฉาก อัลกอริทึมหลายอย่างใช้เมทริกซ์เชิงตั้งฉาก เช่นการสะท้อนของ Householderและการหมุนของ Givensด้วยเหตุผลนี้ นอกจากนี้ยังเป็นประโยชน์ที่เมทริกซ์เชิงตั้งฉากไม่เพียงแต่สามารถผกผันได้ เท่านั้น แต่ยังสามารถหาค่าผกผันได้โดยพื้นฐานแล้วโดยการแลกเปลี่ยนดัชนี

การเรียงสับเปลี่ยนมีความสำคัญต่อความสำเร็จของอัลกอริทึม หลายอย่าง รวมถึงอัลกอริทึมการกำจัดแบบ เกาส์เซียน ที่มีการสลับแถวบางส่วน (ซึ่งการเรียงสับเปลี่ยนทำหน้าที่สลับแถว) อย่างไรก็ตาม การเรียงสับเปลี่ยนมักไม่ปรากฏในรูปเมทริกซ์โดยตรง รูปแบบพิเศษของมันช่วยให้สามารถแสดงผลได้ อย่างมีประสิทธิภาพมากขึ้น เช่น รายการ ดัชนี nตัว

ในทำนองเดียวกัน อัลกอริทึมที่ใช้เมทริกซ์ Householder และ Givens มักใช้วิธีการคูณและการจัดเก็บแบบพิเศษ ตัวอย่างเช่น การหมุน Givens จะส่งผลต่อเพียงสองแถวของเมทริกซ์ที่คูณเท่านั้น เปลี่ยนการคูณแบบเต็ม^{ลำดับ} n³ให้เป็น ลำดับ nที่มีประสิทธิภาพมากขึ้นเมื่อการใช้การสะท้อนและการหมุนเหล่านี้ทำให้เกิดศูนย์ในเมทริกซ์ พื้นที่ที่ว่างลงจะเพียงพอที่จะจัดเก็บข้อมูลที่เพียงพอสำหรับการสร้างการแปลงขึ้นใหม่ และทำเช่นนั้นได้อย่างแข็งแกร่ง (ตาม GW Stewart แห่งUMD [ ^{4 ]}เราไม่ ได้ จัดเก็บมุมการหมุน ซึ่งมีราคาแพงและมีพฤติกรรมที่ไม่ ^ดี )

การแยกส่วนประกอบเมทริกซ์ที่สำคัญหลายอย่างเกี่ยวข้องกับเมทริกซ์เชิงตั้งฉาก โดยเฉพาะอย่างยิ่ง:

การแยกส่วนQR

M = QR , Qตั้งฉาก, R สามเหลี่ยมบน ^{[ 5 ]}

การแยกส่วนค่าเอกลักษณ์

M = U Σ V ^T , Uและ Vตั้งฉากกัน, Σ เป็นเมทริกซ์แนวทแยง^{[ 6 ]}

การแยกส่วนประกอบค่าลักษณะเฉพาะของเมทริกซ์สมมาตร (การแยกส่วนประกอบตามทฤษฎีสเปกตรัม )

S = Q Λ Q ^T , S สมมาตร , Qตั้งฉาก , Λแนวทแยง

การสลายตัวแบบโพลาร์

M = QS , Qตั้งฉาก, Sสมมาตรบวกกึ่งกำหนด^{[ 7 ]}

พิจารณาระบบสมการเชิงเส้นที่มีตัวแปรเกินจำนวนที่กำหนด ดังเช่นที่อาจเกิดขึ้นกับการวัดปรากฏการณ์ทางกายภาพ ซ้ำๆ เพื่อชดเชยข้อผิดพลาดจากการทดลองเขียนA x = bโดยที่Aคือm × nและm > n การแยก ตัวประกอบ QRจะลดAให้เหลือเมทริกซ์สามเหลี่ยมบนRตัวอย่างเช่น ถ้าAคือ5 × 3แล้วRจะมีรูปแบบดังนี้ $${\displaystyle R={\begin{bmatrix}\cdot &\cdot &\cdot \\0&\cdot &\cdot \\0&0&\cdot \\0&0&0\\0&0&0\end{bmatrix}}.}$$

ปัญหาการหา ค่ากำลังสองน้อยที่สุดเชิงเส้นคือการหาค่าxที่ทำให้‖ A x − b ‖ มีค่าน้อยที่สุด ซึ่งเทียบเท่ากับการฉายภาพbไปยังปริภูมิย่อยที่เกิดจากคอลัมน์ของAโดยสมมติว่าคอลัมน์ของA (และดังนั้นR ) เป็นอิสระต่อกันคำตอบของการฉายภาพจะพบได้จากA ^T A x = A ^T bตอนนี้A ^T Aเป็นเมทริกซ์จัตุรัส ( n × n ) และผกผันได้และยังเท่ากับR ^T Rด้วย แต่แถวล่างของศูนย์ในR นั้นเกินความจำเป็นในผลคูณ ซึ่งอยู่ในรูป ตัวประกอบสามเหลี่ยมล่างสามเหลี่ยมบนอยู่แล้วเช่นเดียวกับการกำจัดแบบเกาส์เซียน ( การแยกตัวประกอบแบบโคลสกี ) ในที่นี้ความเป็นตั้งฉากมีความสำคัญไม่เพียงแต่สำหรับการลดA ^T A = ( R ^T Q ^T ) QRไปเป็นR ^T R เท่านั้น แต่ยังช่วยให้สามารถหาคำตอบได้โดยไม่ต้องขยายปัญหาเชิงตัวเลขด้วย

ในกรณีของระบบเชิงเส้นที่ไม่สามารถหาคำตอบได้ทั้งหมดหรือเมทริกซ์ที่ไม่สามารถหา เมทริก ซ์ ผกผันได้ การแยกส่วนค่าเอกลักษณ์ (SVD) ก็มีประโยชน์เช่นกัน โดยที่Aแยกตัวประกอบเป็นU Σ V ^Tวิธีแก้ปัญหาที่น่าพอใจจะใช้ เมทริกซ์ ผกผันเทียมของมัวร์-เพนโรส V Σ + ^U T ^โดยที่Σ ⁺เพียงแค่แทนที่ค่าที่ไม่เป็นศูนย์ในแนวทแยงมุมด้วยค่าผกผัน ของมัน กำหนดให้xเป็นV Σ ⁺ U ^T b

กรณีของเมทริกซ์จัตุรัสที่ผกผันได้ก็มีความน่าสนใจเช่นกัน สมมติว่าAเป็นเมทริกซ์การหมุนขนาด3 × 3 ซึ่งคำนวณมาจากการประกอบกันของการบิดและการหมุนหลายครั้งตัวเลขทศนิยมไม่ตรงกับอุดมคติทางคณิตศาสตร์ของจำนวนจริงดังนั้นAจึงค่อยๆ สูญเสียความเป็นตั้งฉากที่แท้จริงไปกระบวนการ Gram–Schmidtสามารถ ทำให้คอลัมน์ เป็นตั้ง ฉากได้ แต่ไม่ใช่เป็นวิธีที่น่าเชื่อถือที่สุด มีประสิทธิภาพที่สุด หรือไม่เปลี่ยนแปลงที่สุด การแยกตัวประกอบเชิงขั้ว จะแยก เมทริกซ์ออกเป็นคู่ โดยคู่หนึ่งเป็น เมทริกซ์ตั้งฉาก ที่ใกล้ที่สุด เพียงหนึ่งเดียว ของเมทริกซ์ที่กำหนด หรือเป็นหนึ่งในเมทริกซ์ที่ใกล้ที่สุดหากเมทริกซ์ที่กำหนดเป็นเมทริกซ์เอกฐาน (ความใกล้เคียงสามารถวัดได้ด้วยค่ามาตรฐานเมทริกซ์ ใดๆ ที่ไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้การเปลี่ยนฐานแบบตั้งฉาก เช่นค่ามาตรฐานสเปกตรัมหรือค่ามาตรฐานโฟรเบนิอุส ) สำหรับเมทริกซ์ที่ใกล้เคียงกับเมทริกซ์ตั้งฉาก การลู่เข้าอย่างรวดเร็วไปยังตัวประกอบตั้งฉากสามารถทำได้โดยวิธี " วิธีของนิวตัน " ตามที่นิโคลัส ไฮแฮมแห่งแมนเชสเตอร์^{[ 8 ] [ 9 ]} เสนอ โดยการ หาค่าเฉลี่ย ของเมทริกซ์ ซ้ำๆกับเมทริกซ์ผกผันและเมทริกซ์สลับตำแหน่ง ออกัสติน เอ. ดูบรุลล์แห่งORNLได้ตีพิมพ์วิธีการเร่งความเร็วพร้อมการทดสอบการลู่เข้า ที่สะดวก ^{[ 10 ]}

ตัวอย่างเช่น พิจารณาเมทริกซ์ที่ไม่ตั้งฉากกัน ซึ่งอัลกอริทึมการ หาค่าเฉลี่ยแบบง่าย ใช้เจ็ดขั้นตอน ในขณะที่การเร่งความเร็วช่วยลดเหลือเพียงสองขั้นตอน (โดยที่γ = 0.353553, 0.565685) $${\displaystyle {\begin{bmatrix}3&1\\7&5\end{bmatrix}}\rightarrow {\begin{bmatrix}1.8125&0.0625\\3.4375&2.6875\end{bmatrix}}\rightarrow \cdots \rightarrow {\begin{bmatrix}0.8&-0.6\\0.6&0.8\end{bmatrix}}}$$

$${\displaystyle {\begin{bmatrix}3&1\\7&5\end{bmatrix}}\rightarrow {\begin{bmatrix}1.41421&-1.06066\\1.06066&1.41421\end{bmatrix}}\rightarrow {\begin{bmatrix}0.8&-0.6\\0.6&0.8\end{bmatrix}}}$$

วิธี Gram-Schmidt ให้ผลลัพธ์ที่ด้อยกว่า โดยแสดงให้เห็นจากระยะทาง Frobenius ที่ 8.28659 แทนที่จะเป็นค่าต่ำสุดที่ 8.12404

$${\displaystyle {\begin{bmatrix}3&1\\7&5\end{bmatrix}}\rightarrow {\begin{bmatrix}0.393919&-0.919145\\0.919145&0.393919\end{bmatrix}}}$$

แอปพลิเคชันเชิงตัวเลขบางอย่าง เช่นวิธี Monte Carloและการสำรวจ พื้นที่ ข้อมูลมิติสูงจำเป็นต้องสร้างเมทริกซ์ตั้งฉากแบบสุ่มที่มีการกระจายอย่างสม่ำเสมอ ในบริบทนี้ "สม่ำเสมอ" ถูกกำหนดในแง่ของ การวัด Haarซึ่งโดยพื้นฐานแล้วกำหนดให้การกระจายไม่เปลี่ยนแปลงหากคูณด้วยเมทริกซ์ตั้งฉากที่เลือกได้อย่างอิสระ การทำให้เมทริกซ์ที่มีรายการสุ่มที่มีการกระจายอย่างสม่ำเสมอเป็นอิสระเป็นเมทริกซ์ตั้งฉากจะไม่ส่งผลให้เกิดเมทริกซ์ตั้งฉากที่มีการกระจายอย่างสม่ำเสมอ แต่การแยกส่วนQRของ รายการสุ่มที่มี การกระจายแบบปกติที่ เป็นอิสระ จะทำเช่นนั้น ตราบใดที่แนวทแยงของRมีเฉพาะรายการที่เป็นบวกเท่านั้น^{[ 11 ]} GW Stewart จากUMD ^{[ 12 ]}ได้แทนที่สิ่งนี้ด้วยแนวคิดที่มีประสิทธิภาพมากขึ้นซึ่งPersi DiaconisจากStanfordและ Mehrdad Shahshahani จากJPLได้ขยายความในภายหลังเป็น " อัลกอริทึม กลุ่มย่อย " (ซึ่งในรูปแบบนี้ใช้งานได้ดีเช่นเดียวกันสำหรับการเรียงสับเปลี่ยนและการหมุน ) เพื่อสร้างเมทริกซ์ออร์โธโกนอลขนาด( n + 1) × ( n + 1) ให้ใช้เมทริกซ์ขนาด n × nและเวกเตอร์หน่วย ที่มีการกระจายอย่างสม่ำเสมอ ขนาดn + 1สร้างการสะท้อน Householderจากเวกเตอร์ จากนั้นนำไปใช้กับเมทริกซ์ขนาดเล็กกว่า (ฝังอยู่ในเมทริกซ์ขนาดใหญ่กว่าโดยมีเลข 1 อยู่ที่มุมล่างขวา) ^{[ 13 ]}

ปัญหาของการหาเมทริกซ์เชิงตั้งฉากQที่ใกล้ที่สุดกับเมทริกซ์M ที่กำหนด ให้เกี่ยวข้องกับปัญหา Procrustes เชิงตั้งฉากมีหลายวิธีในการหา คำตอบ ที่ไม่ซ้ำกันวิธีที่ง่ายที่สุดคือการใช้การแยกส่วนค่าเอกลักษณ์ของMและแทนที่ค่าเอกลักษณ์ด้วยหนึ่ง อีกวิธีหนึ่งแสดงR อย่างชัดเจนแต่ต้องใช้รากที่สองของเมทริกซ์ : ^{[ 14 ]}$${\displaystyle Q=M\left(M^{\mathrm {T} }M\right)^{-{\frac {1}{2}}}}$$

วิธีนี้อาจใช้ร่วมกับวิธีการแบบบาบิโลน ในการหา ค่า รากที่สองของเมทริกซ์ เพื่อให้ได้ความสัมพันธ์เวียนเกิดที่ลู่เข้าสู่เมทริกซ์เชิงตั้งฉากแบบกำลังสองโดย ที่Q ₀ = M$${\displaystyle Q_{n+1}=2M\left(Q_{n}^{-1}M+M^{\mathrm {T} }Q_{n}\right)^{-1}}$$

การวนซ้ำเหล่านี้มีเสถียรภาพตราบใดที่ค่าสภาพของMน้อยกว่าสาม^{[ 15 ]}

การใช้ การประมาณค่า ผกผันอันดับแรก และ การกำหนดค่าเริ่มต้นแบบ เดียวกัน จะส่งผลให้ได้การวนซ้ำที่แก้ไขแล้ว:

$${\displaystyle N_{n}=Q_{n}^{\mathrm {T} }Q_{n}}$$$${\displaystyle P_{n}={\frac {1}{2}}Q_{n}N_{n}}$$$${\displaystyle Q_{n+1}=2Q_{n}+P_{n}N_{n}-3P_{n}}$$

ปัญหาทางเทคนิคที่แฝงอยู่เล็กน้อยส่งผลกระทบต่อการใช้งานเมทริกซ์เชิงตั้งฉากบางอย่าง ไม่เพียงแต่ส่วนประกอบของกลุ่มที่มีดีเทอร์มิแนนต์ +1 และ −1 จะไม่เชื่อมต่อกันเท่านั้น แม้แต่ส่วนประกอบ +1 อย่างSO( n )ก็ยังไม่เชื่อมต่อกันอย่างง่าย (ยกเว้น SO(1) ซึ่งเป็นกลุ่มย่อย) ดังนั้นบางครั้งจึงเป็นประโยชน์ หรือแม้แต่จำเป็นที่จะต้องทำงานกับกลุ่มปกคลุมของ SO( n ) ซึ่งก็ คือ กลุ่มสปิน Spin ( n )ในทำนองเดียวกันO( n )ก็มีกลุ่มปกคลุม ซึ่งก็คือกลุ่มพิน Pin( n ) สำหรับn > 2นั้นSpin( n )จะเชื่อมต่อกันอย่างง่าย และดังนั้นจึงเป็นกลุ่มปกคลุมสากลสำหรับSO( n )ตัวอย่างที่โด่งดังที่สุดของกลุ่มสปินคือSpin(3)ซึ่งก็คือSU(2)หรือกลุ่มของควอเทอร์เนียน หน่วย นั่นเอง

กลุ่มพินและกลุ่มสปินพบได้ในพีชคณิตคลิฟฟอร์ดซึ่งสามารถสร้างขึ้นจากเมทริกซ์เชิงตั้งฉากได้

ถ้าQไม่ใช่เมทริกซ์จัตุรัสเงื่อนไขQ ^T Q = IและQQ ^T = Iจะไม่เท่ากัน เงื่อนไขQ ^T Q = Iหมายความว่าคอลัมน์ของQเป็นออร์โทนอร์มอลซึ่งจะเกิดขึ้นได้ก็ต่อเมื่อQเป็น เมทริกซ์ขนาด m × nโดยที่n ≤ m (เนื่องจากการพึ่งพาเชิงเส้น ) ในทำนองเดียวกันQQ ^T = Iหมายความว่าแถวของQเป็นออร์โทนอร์มอล ซึ่งต้องมี n ≥ m

ไม่มีคำศัพท์ มาตรฐาน สำหรับเมทริกซ์เหล่านี้ จึงมีการเรียกชื่อต่างๆ กันไป เช่น " เมทริกซ์กึ่งตั้งฉาก " "เมทริกซ์ตั้งฉากปกติ" "เมทริกซ์ตั้งฉาก" และบางครั้งก็เรียกง่ายๆ ว่า "เมทริกซ์ที่มีแถว/คอลัมน์ตั้งฉากปกติ"

สำหรับกรณีn ≤ mเมทริกซ์ที่มีคอลัมน์ตั้งฉากกันอาจเรียกว่าk-เฟรม ตั้งฉาก และเป็นองค์ประกอบของแมนิโฟลด์สติเฟล

เมทริกซ์ที่มีแถวตั้งฉากกันแสดงถึงแผนที่เชิงเส้นที่อธิบายการฉายภาพแบบออร์โธกราฟิกตัวอย่างเฉพาะสองตัวอย่างสามารถพบได้ในบทความเรื่องAxonometry (ตัวอย่างที่ 3 และ 4 ในส่วนการคำนวณพิกัด ) ${\displaystyle A\in \mathbb {R} ^{2\times 3}}$${\displaystyle f\colon \,\mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} ^{2},}$

• ระบบไบโอออร์โธโกนอล

Wikiversity นำเสนอเมทริกซ์เชิงตั้งฉาก (orthogonal matrix )

• "เมทริกซ์เชิงตั้งฉาก"สารานุกรมคณิตศาสตร์ 7 มิถุนายน 2020 เก็บถาวรจากต้นฉบับเมื่อ 11 ธันวาคม 2024"บทความนี้ดัดแปลงมาจากบทความต้นฉบับโดย DA Suprunenko (ผู้เขียนต้นฉบับ) ซึ่งตีพิมพ์ในสารานุกรมคณิตศาสตร์ - ISBN 1402006098ดูบทความต้นฉบับ

• โปรแกรมสอนและโต้ตอบเกี่ยวกับเมทริกซ์เชิงตั้งฉาก โดย Kardi Teknomo