ในทางคณิตศาสตร์กลุ่มพิน (pin group)เป็นกลุ่มย่อยกลุ่มหนึ่งของพีชคณิตคลิฟฟอร์ด (Clifford algebra)ที่เกี่ยวข้องกับปริภูมิกำลังสอง (quadratic space ) มันแปลงค่าจาก 2 ต่อ 1 ไปยัง กลุ่ม ออร์โธโกนอล (orthogonal group)เช่นเดียวกับที่กลุ่มสปิน (spin group)แปลงค่าจาก 2 ต่อ 1 ไปยังกลุ่มออร์โธโกนอลพิเศษ (special orthogonal group )

โดยทั่วไปแล้ว ฟังก์ชันที่ส่งจากกลุ่ม Pin ไปยังกลุ่มตั้งฉากจะไม่ใช่ฟังก์ชันทั่วถึงหรือปริภูมิปกคลุมสากลแต่ถ้าหากรูปแบบกำลังสองเป็นแบบแน่นอน (และมิติมากกว่า 2) ฟังก์ชันนั้นจะเป็นทั้งสองอย่าง

องค์ประกอบที่ไม่ใช่ค่าพื้นฐานของเคอร์เนลจะถูกกำหนดโดยซึ่งไม่ควรสับสนกับการแปลงเชิงตั้งฉากของการสะท้อนผ่านจุดกำเนิดซึ่งโดยทั่วไปกำหนดโดย${\displaystyle -1,}$${\displaystyle -I.}$

ให้เป็นปริภูมิเวกเตอร์ ที่มี รูปแบบกำลังสองที่ไม่เสื่อมสภาพกลุ่มพินคือเซตย่อยของพีชคณิตคลิฟฟอร์ดซึ่งประกอบด้วยองค์ประกอบในรูปแบบโดยที่เป็นเวกเตอร์ ที่ กลุ่มสปินถูกกำหนดในทำนองเดียวกัน แต่จำกัดให้เป็นจำนวนคู่ มันเป็นกลุ่มย่อยของกลุ่มพิน^{[ 1 ]}${\displaystyle V}$${\displaystyle Q}$${\displaystyle \operatorname {Pin} (V,Q)}$${\displaystyle \operatorname {Cl} (V,Q)}$${\displaystyle v_{1}v_{2}\cdots v_{k}}$${\displaystyle v_{i}}$${\displaystyle Q(v_{i})=\pm 1}$${\displaystyle \operatorname {Spin} (V,Q)}$${\displaystyle k}$

ในบทความนี้เป็นปริภูมิเวกเตอร์จริงเสมอ เมื่อมีเวกเตอร์ฐานที่สอดคล้องกับและ กลุ่มพินจะถูกแทนด้วย Pin( p , q ) ${\displaystyle V}$${\displaystyle V}$${\displaystyle e_{1},...,e_{p+q}}$${\displaystyle e_{1}^{2},...,e_{p}^{2}=1}$${\displaystyle e_{p+1}^{2},...,e_{p+q}^{2}=-1,}$

ในทางเรขาคณิต สำหรับเวกเตอร์ที่มีคือการสะท้อนของเวกเตอร์ข้ามระนาบไฮเปอร์ที่ตั้งฉากกับโดยทั่วไปแล้ว สมาชิกของกลุ่มพินจะกระทำต่อเวกเตอร์โดยการแปลงเป็นซึ่งเป็นการประกอบกันของ การสะท้อน kครั้ง เนื่องจากการแปลงเชิงตั้งฉากทุกรูปแบบสามารถแสดงได้เป็นการประกอบกันของการสะท้อน ( ทฤษฎีบทของคาร์ตัน-ดีเออโดเน ) จึงสรุปได้ว่าการแสดงแทนของกลุ่มพินนี้เป็นโฮโมมอร์ฟิซึมจากกลุ่มพินไปยังกลุ่มเชิงตั้งฉาก ซึ่งมักเรียกว่าการแสดงแทนแบบบิดเบี้ยว (twisted adjoint representation) สมาชิก ±1 ของกลุ่มพินคือสมาชิกที่แมปไปยังเอกลักษณ์และสมาชิกทุกตัวของสอดคล้องกับสมาชิกสองตัวของพอดี^{[ 2 ]}${\displaystyle v}$${\displaystyle Q(v)\neq 0}$${\displaystyle -vwv^{-1}}$${\displaystyle w}$${\displaystyle v}$${\displaystyle v_{1}v_{2}\cdots v_{k}}$${\displaystyle w}$${\displaystyle (-1)^{k}v_{1}v_{2}\cdots v_{k}w(v_{1}v_{2}\cdots v_{k})^{-1}}$${\displaystyle I\in O(p,q)}$${\displaystyle O(p,q)}$${\displaystyle \operatorname {Pin} (p,q)}$

กลุ่มพินของรูปแบบที่แน่นอนจะแมปไปยังกลุ่มออร์โธโกนอล และแต่ละส่วนประกอบจะเชื่อมต่อกันอย่างง่าย (ในมิติ 3 ขึ้นไป): มันครอบคลุมกลุ่มออร์โธโกนอลสองครั้ง กลุ่มพินสำหรับรูปแบบกำลังสองที่แน่นอนบวกQและสำหรับลบ − Q นั้นไม่เป็นไอโซมอร์ฟิกกัน แต่กลุ่มออร์โธโกนอลเป็นไอโซมอร์ฟิกกัน^{[หมายเหตุ 1 ]}

ในแง่ของรูปแบบมาตรฐาน O( n , 0) = O(0, n ) แต่ Pin( n , 0) และ Pin(0, n ) โดยทั่วไปแล้วจะไม่สมมาตรกัน โดยใช้สัญลักษณ์ "+" สำหรับพีชคณิตคลิฟฟอร์ด (โดยที่) จะเขียนได้ว่า ${\displaystyle v^{2}=Q(v)\in \mathrm {Cl} (V,Q)}$

${\displaystyle {\mbox{Pin}}_{+}(n):={\mbox{Pin}}(n,0)\qquad {\mbox{Pin}}_{-}(n):={\mbox{Pin}}(0,n)}$

และทั้งสองอย่างนี้จะถูกแมปไปยัง O( n ) = O( n , 0) = O(0, n )

ในทางตรงกันข้าม เรามีไอโซมอร์ฟิซึมตามธรรมชาติ^{[หมายเหตุ 2 ]} Spin( n , 0) ≅ Spin(0, n ) และทั้งสองเป็น (เอกลักษณ์) การปกคลุมคู่ที่ไม่ธรรมดาของกลุ่มออร์โธโกนอลพิเศษ SO( n ) ซึ่งเป็น (เอกลักษณ์) การปกคลุมสากลสำหรับn ≥ 3

ขึ้นอยู่กับวิธีการนับและค่าของqและpอาจมีชุดคลุมสองชั้นที่แตกต่างกันมากถึงสามสิบสองชุดของO( p , q )สำหรับp , q ≠ 0 มีเพียงสองชุดเท่านั้นที่เป็นกลุ่มพินมาตรฐาน ซึ่งเป็นกลุ่มที่อยู่ใน โครงสร้าง พีชคณิตคลิฟฟอร์ด มาตรฐาน เรียกว่า Pin( p , q ) และ Pin( q , p ) ตามลำดับ ไม่ใช่ทุกส่วนขยายเหล่านี้จะเป็น 'สปินอรัล' ตัวอย่างเช่น หนึ่งในชุดคลุมสองชั้นเหล่านี้คือส่วนขยายที่ไม่สำคัญ ซึ่งในทางโทโพโลยีเป็นเพียงสองสำเนาของ O( q , p )

เป็นที่น่าสังเกตว่าในกรณีที่ไม่แน่นอนนั้น แม้ว่ากลุ่ม (โดยเฉพาะอย่างยิ่งในที่นี้ ส่วนประกอบที่เชื่อมโยงกับเอกลักษณ์) Spin( p , q ) จะถูกนิยามว่าเป็น double cover ของกลุ่ม orthogonal พิเศษ SO( p , q ) แต่ double cover นี้จะมีเอกลักษณ์เฉพาะในกรณี compact และ Lorentzian SO( n ) และ SO( 1 , q ) โดยที่q >2 เท่านั้น สำหรับ SO( p , q ) เมื่อทั้งpและqมากกว่าสอง กลุ่มจะมี double cover ที่เชื่อมต่อกัน 3 แบบที่ไม่ซ้ำกัน (ซึ่งมีเพียงหนึ่งในนั้นที่เป็นกลุ่ม spin) cover สากลของมันไม่ใช่หนึ่งในนั้น และเป็นการขยายที่ไม่ธรรมดาของกลุ่ม orthogonal พิเศษโดยกลุ่ม Kleinดังนั้นจึงเป็น four-fold covering ของ SO( p , q ) กรณีที่pหรือqเป็น 2 นั้นซับซ้อน (แต่เข้าใจได้ดี) โดยกลุ่ม homotopy อนันต์ของSO(2 )

กลุ่มโทโพโลยีที่เชื่อมต่อกัน ทุกกลุ่มจะมีปริภูมิโทโพโลยีแบบครอบคลุมสากลที่ไม่ซ้ำกัน ซึ่งมีโครงสร้างกลุ่มที่ไม่ซ้ำกันเช่นกันในฐานะส่วนขยายศูนย์กลางโดยกลุ่มพื้นฐาน สำหรับกลุ่มโทโพโลยีที่ไม่เชื่อมต่อกัน จะมีปริภูมิโทโพโลยีแบบครอบคลุมสากลที่ไม่ซ้ำกันของส่วนประกอบเอกลักษณ์ของกลุ่ม และสามารถใช้ปริภูมิโทโพโลยีแบบครอบคลุมเดียวกันนี้เป็นปริภูมิโทโพโลยีบนส่วนประกอบอื่นๆ (ซึ่งเป็น ปริภูมิเอก พันธุ์หลักสำหรับส่วนประกอบเอกลักษณ์) แต่โครงสร้างกลุ่มบนส่วนประกอบอื่นๆ นั้นโดยทั่วไปแล้วจะไม่ถูกกำหนดอย่างไม่ซ้ำกัน

กลุ่มพินและกลุ่มสปินเป็น กลุ่มทางทอพอโลยี เฉพาะที่เกี่ยวข้องกับกลุ่มออร์โธโกนอลและกลุ่มออร์โธโกนอลพิเศษ ซึ่งได้มาจากพีชคณิตคลิฟฟอร์ด: มีกลุ่มที่คล้ายกันอื่นๆ ที่สอดคล้องกับการปกคลุมสองชั้นอื่นๆ หรือโครงสร้างกลุ่มอื่นๆ บนส่วนประกอบอื่นๆ แต่กลุ่มเหล่านั้นไม่ได้ถูกเรียกว่ากลุ่มพินหรือกลุ่มสปิน และไม่ได้รับการศึกษามากนัก

ในปี 2001 Andrzej Trautman ^{[หมายเหตุ 3 ]}ได้ค้นพบเซตของการปกคลุมคู่ที่ไม่เท่ากันทั้งหมด 32 เซตของ O( p ) x O( q ) กลุ่มย่อยกระชับสูงสุดของ O( p , q ) และการสร้างการปกคลุมคู่ 8 เซตที่ชัดเจนของกลุ่มเดียวกัน O( p , q )

กลุ่มหมุดทั้งสองกลุ่มนั้นสอดคล้องกับส่วนขยายตรงกลางทั้งสองส่วน

${\displaystyle 1\to \{\pm 1\}\to {\mbox{Pin}__{\pm }(V)\to \mathrm {O} (V)\to 1.}$

โครงสร้างกลุ่มบน Spin( V ) (ส่วนประกอบที่เชื่อมต่อของดีเทอร์มิแนนต์ 1) ได้รับการกำหนดแล้ว โครงสร้างกลุ่มบนส่วนประกอบอื่นได้รับการกำหนดจนถึงจุดศูนย์กลาง ดังนั้นจึงมีความกำกวม ±1

ส่วนขยายทั้งสองแตกต่างกันตรงที่ภาพสะท้อนยกกำลังสองได้ค่า ±1 ∈ Ker (Spin( V ) → SO( V )) หรือไม่ และกลุ่มพินทั้งสองกลุ่มได้รับการตั้งชื่อตามนั้น โดยเฉพาะอย่างยิ่ง การสะท้อนมีอันดับ 2 ใน O( V ), r ² = 1 ดังนั้นกำลังสองของภาพสะท้อน (ซึ่งมีดีเทอร์มิแนนต์เท่ากับ 1) จะต้องอยู่ในเคอร์เนลของ Spin _± ( V ) → SO( V ) ดังนั้นและการเลือกแบบใดแบบหนึ่งจะกำหนดกลุ่มพิน (เนื่องจากการสะท้อนทั้งหมดเป็นคู่กันโดยองค์ประกอบของ SO( V ) ซึ่งเชื่อมต่อกัน การสะท้อนทั้งหมดจะต้องยกกำลังสองได้ค่าเดียวกัน) ${\displaystyle {\tilde {r}}^{2}=\pm 1}$

กล่าวโดยเฉพาะเจาะจง ใน Pin ₊มีอันดับ 2 และภาพผกผันของกลุ่มย่อย {1, r } คือ C ₂ × C ₂ : ถ้าทำซ้ำการสะท้อน แบบเดียวกัน สองครั้ง จะได้เอกลักษณ์ ${\displaystyle {\tilde {r}}}$

ใน Pin ₋มีอันดับ 4 และภาพผกผันของกลุ่มย่อย {1, r } คือ C ₄ : ถ้าทำซ้ำการสะท้อนแบบเดียวกันสองครั้ง จะได้ " การหมุนด้วย 2π" — องค์ประกอบที่ไม่เป็นศูนย์ของ Spin( V ) → SO( V ) สามารถตีความได้ว่าเป็น "การหมุนด้วย 2π" (แกนทุกแกนให้องค์ประกอบเดียวกัน) ${\displaystyle {\tilde {r}}}$

ในมิติที่ 1 กลุ่มพินจะสอดคล้องกับกลุ่มไดเฮดรัลและไดไซคลิกกลุ่มแรก:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mbox{Pin}}_{+}(1)&\cong \mathrm {C} _{2}\times \mathrm {C} _{2}={\mbox{Dih}}_{1}\\{\mbox{Pin}}_{-}(1)&\cong \mathrm {C} _{4}={\mbox{Dic}}_{1}.\end{aligned}}}$

ใน 2 มิติ ความแตกต่างระหว่าง Pin ₊และ Pin ₋สะท้อนให้เห็นถึงความแตกต่างระหว่างกลุ่ม ไดเฮดรัลของรูป 2n เหลี่ยมและกลุ่มไดไซคลิกของกลุ่มไซคลิก C _{2 n}

ใน Pin ₊พรีอิมเมจของกลุ่มไดเฮดรัลของรูปnเหลี่ยม ซึ่งถือเป็นซับกรุ๊ป Dih _n < O(2) คือกลุ่มไดเฮดรัลของรูป 2 nเหลี่ยม Dih _{2 n} < Pin ₊ (2) ในขณะที่ใน Pin ₋พรีอิมเมจของกลุ่มไดเฮดรัลคือกลุ่มไดไซคลิก Dic _n < Pin ₋ (2)

สี่เหลี่ยมจัตุรัสสลับตำแหน่งของกลุ่มย่อยสำหรับ Spin(2), Pin ₊ (2), SO(2), O(2) – ได้แก่ C _{2 n} , Dih _{2 n} , C _n , Dih _n – ยังได้มาจากการใช้กลุ่มเชิงตั้งฉากแบบโปรเจคทีฟ (ลงมาจาก O ด้วยผลหาร 2 เท่า แทนที่จะขึ้นด้วยตัวครอบ 2 เท่า) ในสี่เหลี่ยมจัตุรัส SO(2), O(2), PSO(2), PO(2) แม้ว่าในกรณีนี้จะเกิดขึ้นในเชิงเรขาคณิตเช่นกัน เนื่องจาก "การทำให้เป็นรูปโปรเจคทีฟของรูป 2 nเหลี่ยมในวงกลมคือรูปnเหลี่ยมในเส้นโปรเจคทีฟ"

ใน 3 มิติ สถานการณ์เป็นดังนี้ พีชคณิตคลิฟฟอร์ดที่สร้างขึ้นโดยรากที่สองของ +1 ที่สลับกัน 3 ตัว คือพีชคณิตของเมทริกซ์เชิงซ้อน 2×2 และ Pin ₊ (3) เป็นไอโซมอร์ฟิกกับ[ ^{3 ] พีชคณิต}คลิฟฟอร์ดที่สร้างขึ้นโดยรากที่สองของ -1 ที่สลับกัน 3 ตัว คือพีชคณิตและ Pin ₋ (3) เป็นไอโซมอร์ฟิกกับ SU(2) × C ₂กลุ่มเหล่านี้ไม่เป็นไอโซมอร์ฟิกกัน เนื่องจากศูนย์กลางของ Pin ₊ (3) คือ C ₄ในขณะที่ศูนย์กลางของ Pin ₋ (3) คือ C ₂ × C ₂${\displaystyle \{A\in U(2):\det A=\pm 1\}}$${\displaystyle \mathbb {H} \oplus \mathbb {H} }$

สำหรับกลุ่ม Pin กระชับจริง (ตรงข้ามกับกลุ่ม Pin กระชับเชิงซ้อน) จุดศูนย์กลางจะขึ้นอยู่กับมิติของปริภูมิเวกเตอร์ที่เกี่ยวข้อง โดยพิจารณาโมดูลัสสี่ ถ้าเป็นจำนวนคู่ พีชคณิตคลิฟฟอร์ดจะเป็นพีชคณิตศูนย์กลางแบบง่าย และด้วยเหตุนี้ จุดศูนย์กลางของกลุ่มใดกลุ่มหนึ่งจึงเป็นได้เพียงเมื่อ จุดศูนย์กลางของคือและจุดศูนย์กลางของคือเมื่อจุดศูนย์กลางของคือและจุดศูนย์กลางของคือ${\displaystyle n}$${\displaystyle n=2k}$${\displaystyle \mathrm {พิน} }$${\displaystyle \mathrm {C} _{2}}$${\displaystyle n=4k+1}$${\displaystyle \mathrm {พิน} _{+}(4k+1)}$${\displaystyle \mathrm {C} _{2}\times \mathrm {C} _{2}}$${\displaystyle \mathrm {พิน} _{-}(4k+1)}$${\displaystyle \mathrm {C} _{4}}$${\displaystyle n=4k+3}$${\displaystyle \mathrm {พิน} _{+}(4k+3)}$${\displaystyle \mathrm {C} _{4}}$${\displaystyle \mathrm {พิน} _{-}(4k+3)}$${\displaystyle \mathrm {C} _{2}\times \mathrm {C} _{2}}$

ในกรณีที่ไม่แน่นอนสำหรับที่ จะมีสถานการณ์เดียวกัน แต่ถูกกำหนดโดยแทนกรณีมิติคู่เป็นเช่นเดียวกับก่อนหน้านี้: เมื่อพีชคณิตเป็นแบบศูนย์กลางอย่างง่าย ดังนั้นกลุ่ม Pin จึงมีศูนย์กลางที่เมื่อศูนย์กลางคือเมื่อศูนย์กลางคือกรณีของลายเซ็นตรงข้ามกันนั้นทำได้ง่ายๆ โดยการสลับpและqแล้วทำซ้ำขั้นตอนข้างต้น ในกรณีมิติคี่ ถ้าลายเซ็นหนึ่งมีศูนย์กลางลายเซ็นอีกอันจะมีศูนย์กลางและในทางกลับกัน ${\displaystyle \mathrm {พิน} (p,q)}$${\displaystyle n=p+q}$${\displaystyle (pq)\operatorname {mod} 8}$${\displaystyle (pq)\operatorname {mod} 2=0}$${\displaystyle \mathrm {C} _{2}}$${\displaystyle pq\ชื่อผู้ดำเนินการ {mod} 8=4k+1}$${\displaystyle \mathrm {C} _{2}\times \mathrm {C} _{2}}$${\displaystyle pq\ชื่อผู้ดำเนินการ {mod} 8=4k+3}$${\displaystyle \mathrm {C} _{4}}$${\displaystyle \mathrm {C} _{4}}$${\displaystyle \mathrm {C} _{2}\times \mathrm {C} _{2}}$

ถึงแม้ว่าอาจดูเหมือนว่าจุดศูนย์กลางควรมีอันดับสี่เสมอ เนื่องจากกลุ่มออร์โธโกนอลมีจุดศูนย์กลางอันดับสองเสมอ แต่สมาชิกของกลุ่มพินที่ถูกแมปไปยังจุดศูนย์กลางของกลุ่มออร์โธโกนอลนั้น เพียงแค่ต้องสลับที่กันได้กับทุกอย่างโดยเว้นเครื่องหมายไว้เท่านั้น เพราะกลุ่มพินทำหน้าที่เป็นตัวแทนเชิงโปรเจกทีฟของกลุ่มออร์โธโกนอล กล่าวคือ ภาพต้นแบบของจุดศูนย์กลางของกลุ่มออร์โธโกนอลนั้น เพียงแค่ต้องสลับที่กันได้หรือสลับที่กันไม่ได้กับทุกสมาชิกของกลุ่มพินเท่านั้น

ชื่อนี้ถูกนำเสนอใน ( Atiyah, Bott & Shapiro 1964 , หน้า 3, บรรทัดที่ 17) โดยระบุว่า "มุกตลกนี้มาจากJP. Serre " มันเป็นการสร้างคำย้อนกลับจาก Spin: "Pin เปรียบเสมือน O( n ) เช่นเดียวกับ Spin เปรียบเสมือน SO( n )" ดังนั้นการตัด "S" ออกจาก "Spin" จึงได้ "Pin"