ในทางคณิตศาสตร์กลุ่มออร์โธโกนอลที่ไม่แน่นอนคือกลุ่มลี ของ การแปลงเชิงเส้นทั้งหมดของปริภูมิเวกเตอร์จริงมิติ n ที่ทำให้รูปแบบทวิเชิงเส้นสมมาตรที่ไม่เสื่อม สภาพ ของลายเซ็น n ยังคงอยู่ โดยที่n = n นอกจากนี้ยังเรียกว่ากลุ่มออร์โธโกนอลเทียม^{[ 1 ]}หรือ กลุ่มออร์โธโกน อลทั่วไป^{[ 2 ]}มิติของกลุ่มคือn ${\displaystyle \operatorname {O} (p,q)}$${\displaystyle n}$${\displaystyle (p,q)}$${\displaystyle n=p+q}$${\displaystyle n(n-1)/2}$

กลุ่มออร์โทโกนอลพิเศษไม่แน่นอนคือกลุ่มย่อยของที่ประกอบด้วยสมาชิกทั้งหมดที่มีดีเทอร์มิแนนต์เท่ากับ ต่างจากกรณีที่แน่นอน กลุ่มนี้ ไม่เชื่อมต่อกัน – มี 2 ส่วนประกอบ – และยังมีกลุ่มย่อยที่มี ดัชนีจำกัดเพิ่มเติมอีกสองกลุ่ม ได้แก่ กลุ่มที่เชื่อมต่อกันและซึ่งมี 2 ส่วนประกอบ – ดู§ โทโพโลยีสำหรับคำจำกัดความและการอธิบาย ${\displaystyle \operatorname {SO} (p,q)}$${\displaystyle \operatorname {O} (p,q)}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle \operatorname {SO} (p,q)}$${\displaystyle \operatorname {SO} ^{+}(p,q)}$${\displaystyle \operatorname {O} ^{+}(p,q)}$

ลายเซ็นของฟอร์มจะกำหนดกลุ่มจนถึงไอโซมอร์ฟิซึม การสลับกับจะเท่ากับการแทนที่เมตริกด้วยค่าลบ ดังนั้นจึงให้กลุ่มเดียวกัน หากหรือ เท่ากับศูนย์ กลุ่มนั้นจะเป็นไอโซมอร์ฟิกกับ กลุ่มออร์โธโกนอลธรรมดาในส่วนต่อไปนี้ เราจะถือว่าทั้งและเป็นค่าบวก ${\displaystyle p}$${\displaystyle q}$${\displaystyle p}$${\displaystyle q}$${\displaystyle \operatorname {O} (n)}$${\displaystyle p}$${\displaystyle q}$

กลุ่มนี้ถูกนิยามขึ้นสำหรับปริภูมิเวกเตอร์เหนือจำนวนจริง ใน ปริภูมิ เชิงซ้อนรูปแบบทวิเชิงเส้นสมมาตรที่ไม่เสื่อมสภาพทั้งหมดจะเหมือนกันจนถึงการเปลี่ยนพิกัด อย่างไรก็ตาม เราสามารถนิยามกลุ่มเอกภาพไม่แน่นอนซึ่งรักษารูปแบบเซสควิเชิงเส้นของลายเซ็นไว้ได้ ${\displaystyle \operatorname {O} (p,q)}$${\displaystyle \operatorname {U} (p,q)}$${\displaystyle (p,q)}$

ในมิติคู่จะเรียกว่ากลุ่มออร์โธโกนอลแบบแยกส่วน (split orthogonal group ) ${\displaystyle n=2p}$${\displaystyle \operatorname {O} (p,p)}$

ตัวอย่างพื้นฐานคือ สควีซแมปปิ้ง (squeeze mappings ) ซึ่งเป็นกลุ่มของการแปลงเชิงเส้น (ส่วนประกอบเอกลักษณ์ของ) ที่รักษาไฮเปอร์โบลาหน่วยไว้ กล่าวคือเมทริกซ์ เหล่านี้ สามารถตีความได้ว่าเป็นการหมุนไฮเปอร์โบลาเช่นเดียวกับที่กลุ่มนี้สามารถตีความได้ว่าเป็นการหมุนแบบวงกลม${\displaystyle \operatorname {SO} ^{+}(1,1)}$${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}\cosh(\alpha )&\sinh(\alpha )\\\sinh(\alpha )&\cosh(\alpha )\end{smallmatrix}}\right],}$${\displaystyle \operatorname {SO} (2)}$

ในวิชาฟิสิกส์กลุ่มลอเรนซ์ มีความสำคัญอย่างยิ่ง เนื่องจากเป็นพื้นฐานของแม่เหล็กไฟฟ้าและทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษ (ตำราบางเล่มใช้สำหรับกลุ่มลอเรนซ์ แต่ ใน ทฤษฎีสนามควอนตัมใช้ มากกว่าเพราะคุณสมบัติทางเรขาคณิตของสมการดิแรกนั้นเป็นธรรมชาติมากกว่าใน) ${\displaystyle \operatorname {O} (1,3)}$${\displaystyle \operatorname {O} (3,1)}$${\displaystyle \operatorname {O} (1,3)}$${\displaystyle \operatorname {O} (1,3)}$

เราสามารถกำหนดให้เป็นกลุ่มของเมทริกซ์ได้ เช่นเดียวกับกลุ่มเชิงตั้งฉาก แบบคลาสสิก พิจารณาเมทริกซ์แนวทแยงที่กำหนดโดย จากนั้นเราสามารถกำหนดรูปแบบทวิเชิงเส้นสมมาตรบนได้ด้วยสูตร โดยที่คือ ผล คูณ ภายใน มาตรฐาน บน${\displaystyle \operatorname {O} (p,q)}$${\displaystyle \operatorname {O} (n)}$${\displaystyle (p+q)\times (p+q)}$${\displaystyle g}$$${\displaystyle g=\mathrm {diag} (\underbrace {1,\ldots ,1} _{p},\underbrace {-1,\ldots ,-1} _{q}).}$$${\displaystyle [\cdot ,\cdot ]_{p,q}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{p+q}}$$${\displaystyle [x,y]_{p,q}=\langle x,gy\rangle =x_{1}y_{1}+\cdots +x_{p}y_{p}-x_{p+1}y_{p+1}-\cdots -x_{p+q}y_{p+q},}$$${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$${\displaystyle \mathbb {R} ^{p+q}}$

จากนั้นเรากำหนดให้เป็นกลุ่มของเมทริกซ์ที่รักษารูปแบบทวิเชิงเส้นนี้ไว้: ^{[ 3 ]}${\displaystyle \mathrm {O} (p,q)}$${\displaystyle (p+q)\times (p+q)}$$${\displaystyle \mathrm {O} (p,q)=\{A\in M_{p+q}(\mathbb {R} ):[Ax,Ay]_{p,q}=[x,y]_{p,q}\,\forall x,y\in \mathbb {R} ^{p+q}\}.}$$

กล่าวให้ชัดเจนยิ่งขึ้นประกอบด้วยเมทริกซ์ที่^{[ 4 ]} โดยที่คือทรานสโพส ของ${\displaystyle \mathrm {O} (p,q)}$${\displaystyle A}$$${\displaystyle gA^{T}g=A^{-1},}$$${\displaystyle A^{T}}$${\displaystyle A}$

จะได้กลุ่มไอโซมอร์ฟิก (หรือกลุ่มย่อยสังยุคของ) โดยการแทนที่ด้วยเมทริกซ์สมมาตร ใดๆ ที่มีค่าไอเกนเป็นบวกและค่าไอเกนเป็นลบ การหา เมทริกซ์ทแยงมุม ของเมทริกซ์นี้จะได้กลุ่มสังยุคของกลุ่มนี้กับกลุ่มมาตรฐาน ${\displaystyle \operatorname {GL} (p+q)}$${\displaystyle g}$${\displaystyle p}$${\displaystyle q}$${\displaystyle \operatorname {O} (p,q)}$

กลุ่มและกลุ่มย่อยที่เกี่ยวข้องของสามารถอธิบายได้ทางพีชคณิต แบ่งเมทริกซ์ใน ออกเป็นเมทริกซ์บล็อก : โดยที่, , , และคือ บล็อก , , , และตามลำดับ สามารถแสดงได้ว่าเซตของเมทริกซ์ ใน ที่ บล็อกบนซ้ายมีดีเทอร์มิแนนต์เป็นบวก เป็นกลุ่มย่อย หรือกล่าวอีกนัยหนึ่ง ถ้า อยู่ในแล้ว ${\displaystyle \operatorname {SO} ^{+}(p,q)}$${\displaystyle \operatorname {O} (p,q)}$${\displaystyle L}$${\displaystyle \operatorname {O} (p,q)}$$${\displaystyle L={\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}}}$$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle C}$${\displaystyle D}$${\displaystyle p\times p}$${\displaystyle p\times q}$${\displaystyle q\times p}$${\displaystyle q\times q}$${\displaystyle \operatorname {O} (p,q)}$${\displaystyle p\times p}$${\displaystyle A}$$${\displaystyle L={\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}}\;\mathrm {and} \;M={\begin{pmatrix}W&X\\Y&Z\end{pmatrix}}}$$${\displaystyle \operatorname {O} (p,q)}$$${\displaystyle (\operatorname {sgn} \det A)(\operatorname {sgn} \det W)=\operatorname {sgn} \det(AW+BY).}$$

ผลลัพธ์ที่คล้ายกันสำหรับบล็อกด้านล่างขวาก็ใช้ได้เช่นกัน กลุ่มย่อยประกอบด้วยเมทริกซ์ที่และมีค่าเป็นบวกทั้งคู่^{[ 5 ] [ 6 ]}${\displaystyle q\times q}$${\displaystyle \operatorname {SO} ^{+}(p,q)}$${\displaystyle L}$${\displaystyle \det A}$${\displaystyle \det D}$

สำหรับเมทริกซ์ทั้งหมดในดีเทอร์มิแนนต์ของและมีคุณสมบัติว่าและว่า[ ^{7 ] โดย}เฉพาะอย่างยิ่ง กลุ่มย่อยประกอบด้วยเมทริกซ์ที่และมีเครื่องหมายเดียวกัน^{[ 5 ]}${\displaystyle L}$${\displaystyle \operatorname {O} (p,q)}$${\displaystyle A}$${\displaystyle D}$${\textstyle {\frac {\det A}{\det D}}=\det L}$${\displaystyle |{\det A}|=|{\det D}|\geq 1}$${\displaystyle \operatorname {SO} (p,q)}$${\displaystyle L}$${\displaystyle \det A}$${\displaystyle \det D}$

สมมติว่าทั้งและเป็นค่าบวก กลุ่มและ ไม่เชื่อมต่อกัน โดย มีและส่วนประกอบตามลำดับ คือกลุ่มสี่มิติของไคลน์โดยแต่ละปัจจัยคือว่าองค์ประกอบนั้นรักษาหรือกลับทิศทางการวางตัวบน ปริภูมิย่อยมิติ และที่รูปแบบนั้นกำหนดไว้หรือไม่ โปรดทราบว่าการกลับทิศทางการวางตัวบนปริภูมิย่อยเพียงหนึ่งในนั้นจะกลับทิศทางการวางตัวบนปริภูมิทั้งหมด กลุ่มตั้งฉากพิเศษ มีส่วนประกอบซึ่งแต่ละส่วนประกอบจะรักษาทิศทางการวางตัวทั้งสองแบบหรือกลับทิศทางการวางตัวทั้งสองแบบ ในทั้งสองกรณีจะรักษาทิศทางการวางตัวโดยรวมไว้ ${\displaystyle p}$${\displaystyle q}$${\displaystyle \operatorname {O} (p,q)}$${\displaystyle \operatorname {SO} (p,q)}$${\displaystyle 4}$${\displaystyle 2}$${\displaystyle \pi _{0}(\operatorname {O} (p,q))\cong C_{2}\times C_{2}}$${\displaystyle p}$${\displaystyle q}$${\displaystyle \pi _{0}(\operatorname {SO} (p,q))=\{(1,1),(-1,-1)\}}$

ส่วนประกอบเอกลักษณ์ของมักจะใช้สัญลักษณ์และสามารถระบุได้ด้วยเซตขององค์ประกอบในที่รักษาทิศทางทั้งสองไว้ สัญลักษณ์นี้เกี่ยวข้องกับสัญลักษณ์สำหรับกลุ่มลอเรนซ์แบบออร์โธโครนัสโดยที่หมายถึงการรักษาทิศทางในมิติแรก (มิติเวลา) ${\displaystyle \operatorname {O} (p,q)}$${\displaystyle \operatorname {SO} ^{+}(p,q)}$${\displaystyle \operatorname {SO} (p,q)}$${\displaystyle \operatorname {O} ^{+}(1,3)}$${\displaystyle +}$

กลุ่มนี้ไม่ใช่กลุ่มกระชับ (compact group) แต่ประกอบด้วยกลุ่มย่อยกระชับ (compact subgroups ) และกระทำบนปริภูมิย่อย (subspaces) ที่มีรูปแบบที่แน่นอน ในความเป็นจริงเป็นกลุ่มย่อยกระชับสูงสุดของในขณะที่เป็นกลุ่มย่อยกระชับสูงสุดของในทำนองเดียวกันเป็นกลุ่มย่อยกระชับสูงสุดของดังนั้น ปริภูมิเหล่านี้จึงสมมูลกันในเชิงโฮโมโทปีกับผลคูณของกลุ่มเชิงตั้งฉาก (orthogonal groups) (แบบพิเศษ) ซึ่งสามารถคำนวณค่าคงที่เชิงพีชคณิตและเชิงทอพอโลยีได้ (ดูกลุ่มย่อยกระชับสูงสุด ) ${\displaystyle \operatorname {O} (p,q)}$${\displaystyle \operatorname {O} (p)}$${\displaystyle \operatorname {O} (q)}$${\displaystyle \operatorname {O} (p)\times \operatorname {O} (q)}$${\displaystyle \operatorname {O} (p,q)}$${\displaystyle \operatorname {S} (\operatorname {O} (p)\times \operatorname {O} (q))}$${\displaystyle \operatorname {SO} (p,q)}$${\displaystyle \operatorname {SO} (p)\times \operatorname {SO} (q)}$${\displaystyle \operatorname {SO} ^{+}(p,q)}$

โดยเฉพาะอย่างยิ่งกลุ่มพื้นฐานของคือผลคูณของกลุ่มพื้นฐานของส่วนประกอบและ กำหนดโดย: ${\displaystyle \operatorname {SO} ^{+}(p,q)}$${\displaystyle \pi _{1}(\operatorname {SO} ^{+}(p,q))=\pi _{1}(\operatorname {SO} (p))\times \pi _{1}(\operatorname {SO} (q))}$

${\displaystyle \pi _{1}(\operatorname {SO} ^{+}(p,q))}$	${\displaystyle p=1}$	${\displaystyle p=2}$	${\displaystyle p\geq 3}$
${\displaystyle q=1}$	${\displaystyle C_{1}}$	${\displaystyle \mathbb {Z} }$	${\displaystyle C_{2}}$
${\displaystyle q=2}$	${\displaystyle \mathbb {Z} }$	${\displaystyle \mathbb {Z} \times \mathbb {Z} }$	${\displaystyle \mathbb {Z} \times C_{2}}$
${\displaystyle q\geq 3}$	${\displaystyle C_{2}}$	${\displaystyle C_{2}\times \mathbb {Z} }$	${\displaystyle C_{2}\times C_{2}}$

ในมิติคู่ กลุ่มตรงกลางเรียกว่ากลุ่มตั้งฉากแบบแยกส่วน (split orthogonal group ) และมีความน่าสนใจเป็นพิเศษ เนื่องจากปรากฏเป็นกลุ่มของ การแปลง T-dualityในทฤษฎีสตริงเป็นต้น มันคือกลุ่ม Lie แบบแยกส่วน ที่สอดคล้องกับ พีชคณิต Lieเชิงซ้อน(กลุ่ม Lie ของรูปแบบจริงแบบแยกส่วนของพีชคณิต Lie) กล่าวให้แม่นยำยิ่งขึ้นส่วนประกอบเอกลักษณ์คือกลุ่ม Lie แบบแยกส่วน เนื่องจากส่วนประกอบที่ไม่ใช่เอกลักษณ์ไม่สามารถสร้างขึ้นใหม่จากพีชคณิต Lie ได้ ในแง่นี้ มันจึงตรงกันข้ามกับกลุ่มตั้งฉากแบบแน่นอน (definite orthogonal group) ซึ่งเป็น รูปแบบจริงแบบ กระชับ (compact real form)ของพีชคณิต Lie เชิงซ้อน${\displaystyle \operatorname {O} (n,n)}$${\displaystyle {\mathfrak {so}}_{2n}}$${\displaystyle \operatorname {O} (n):=\operatorname {O} (n,0)=\operatorname {O} (0,n)}$

กลุ่มนี้สามารถระบุได้ว่าเป็น กลุ่ม ไฮเปอร์โบลาหน่วยซึ่งเป็นกลุ่มย่อยของกลุ่มหน่วยในจำนวนเชิงซ้อนแบบแยกส่วน ${\displaystyle \operatorname {SO} (1,1)}$

ในแง่ของการเป็นกลุ่มประเภท Lieกล่าวคือ การสร้างกลุ่มพีชคณิตจากพีชคณิต Lie กลุ่มตั้งฉากแบบแยกส่วน (split orthogonal groups) จะเรียกว่ากลุ่ม Chevalley ในขณะที่กลุ่มตั้งฉากแบบไม่แยกส่วน (non-split orthogonal groups ) ต้องใช้การสร้างที่ซับซ้อนกว่าเล็กน้อย และเรียกว่ากลุ่ม Steinberg

กลุ่มออร์โธโกนอลแบบแยกส่วนใช้ในการสร้างวาไรตี้ธงทั่วไปเหนือฟิลด์ที่ไม่ปิดเชิงพีชคณิต

• กลุ่มออร์โธโกนอล
• กลุ่มลอเรนซ์
• กลุ่มปวงกาเร
• รูปแบบทวิเชิงเส้นสมมาตร