ในทางคณิตศาสตร์โดยเฉพาะในทฤษฎีกลุ่ม วลี " กลุ่มแบบลี"มักหมายถึงกลุ่มจำกัดที่เกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิดกับกลุ่มจุดตรรกยะของกลุ่มพีชคณิตเชิงเส้นแบบลด รูป ที่มีค่าอยู่ในฟิลด์จำกัด กลุ่ม ง่ายจำกัด แบบลี ที่สำคัญจำนวนมากประกอบขึ้นเป็นกลุ่มส่วนใหญ่ในการ จำแนกประเภทของกลุ่ม ง่าย จำกัด

ชื่อ "กลุ่มประเภทลี" มาจากความสัมพันธ์ที่ใกล้ชิดกับกลุ่มลี (อนันต์) เนื่องจากกลุ่มลีแบบกระชับสามารถมองได้ว่าเป็นจุดตรรกยะของกลุ่มพีชคณิตเชิงเส้นแบบลดรูปเหนือฟิลด์ของจำนวนจริงDieudonné (1971)และCarter (1989)เป็นแหล่งอ้างอิงมาตรฐานสำหรับกลุ่มประเภทลี

แนวทางเบื้องต้นในการตอบคำถามนี้คือ การกำหนดและศึกษากลุ่มคลาสสิกบนฟิลด์จำกัดและฟิลด์ อื่นๆ อย่างละเอียด โดยจอร์แดน (1870)กลุ่มเหล่านี้ได้รับการศึกษาโดยแอล.อี. ดิกสันและฌอง ดิเออโดเน่ เอมิล อาร์ตินได้ทำการวิจัยเกี่ยวกับลำดับของกลุ่มดังกล่าว โดยมีจุดประสงค์เพื่อจำแนกกรณีของการตรงกัน

โดยคร่าวๆ แล้ว กลุ่มคลาสสิกคือกลุ่มเชิงเส้นพิเศษ กลุ่มตั้งฉาก กลุ่มซิมเพล็กติกหรือกลุ่มเอกภาพมีการแบ่งย่อยเล็กน้อยหลายแบบโดยใช้กลุ่มย่อยอนุพันธ์หรือผลหารกลาง ซึ่งอย่างหลังจะให้กลุ่มเชิงเส้นเชิงโปรเจกทีฟสามารถสร้างกลุ่มคลาสสิกได้บนฟิลด์จำกัด (หรือฟิลด์อื่นๆ) ในลักษณะเดียวกับการสร้างบนจำนวนจริง กลุ่มคลาสสิกสอดคล้องกับอนุกรม A _n , B _n , C _n , D _n , ² A _n , ² D _nของกลุ่มเชวาลลีย์และกลุ่มสไตน์เบิร์ก

กลุ่มเชอวาลเลย์ (Chevalley groups) อาจมองได้ว่าเป็นกลุ่มลี (Lie groups) บนฟิลด์จำกัด ทฤษฎีนี้ได้รับการอธิบายให้กระจ่างโดยทฤษฎีกลุ่มพีชคณิตและงานของเชอวาล เลย์ (Chevalley)  ( 1955 ) เกี่ยวกับพีชคณิตลี (Lie algebras ) ซึ่งทำให้สามารถแยกแนวคิด กลุ่มเชอวาลเลย์ออกมาได้ เชอวาลเลย์สร้างฐานเชอวาลเลย์ (Chevalley basis ) (ซึ่งเป็นรูปแบบปริพันธ์ชนิดหนึ่งแต่เหนือฟิลด์จำกัด) สำหรับพีชคณิตลีเชิงซ้อนแบบง่าย ทั้งหมด (หรือ พีชคณิตห่อหุ้มสากลของพวกมัน) ซึ่งสามารถใช้กำหนดกลุ่มพีชคณิตที่สอดคล้องกันเหนือจำนวนเต็มได้ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง เขาสามารถเลือกจุดที่มีค่าอยู่ในฟิลด์จำกัดใดๆ ก็ได้ สำหรับพีชคณิตลี A _n , B _n , C _n , D _nนั้น ทำให้ได้กลุ่มคลาสสิกที่เป็นที่รู้จักกันดี แต่การสร้างของเขายังให้กลุ่มที่เกี่ยวข้องกับพีชคณิตลีพิเศษ E ₆ , E ₇ , E ₈ , F ₄และ G ₂ อีก ด้วย อาคารประเภท G ₂ (บางครั้งเรียกว่ากลุ่มดิกสัน ) นั้นถูกสร้างขึ้นโดยดิกสัน (1905) แล้ว และอาคารประเภท E ₆ ก็ถูกสร้าง ขึ้นโดยดิกสัน (1901) เช่น กัน

การสร้างของ Chevalley ไม่ได้ให้กลุ่มคลาสสิกที่รู้จักทั้งหมด: มันละเว้นกลุ่มเอกภาพและกลุ่มตั้งฉากที่ไม่แยกออก Steinberg (1959)พบการดัดแปลงการสร้างของ Chevalley ซึ่งให้กลุ่มเหล่านี้และอีกสองตระกูลใหม่³ D ₄ , ² E ₆ซึ่งตระกูลที่สองถูกค้นพบในเวลาเดียวกันจากมุมมองที่แตกต่างกันโดยTits (1958)การสร้างนี้เป็นการขยายการสร้างกลุ่มเอกภาพตามปกติจากกลุ่มเชิงเส้นทั่วไป

กลุ่มเอกภาพเกิดขึ้นดังนี้: กลุ่มเชิงเส้นทั่วไปเหนือจำนวนเชิงซ้อนมีออโตมอร์ฟิซึมแผนภาพที่กำหนดโดยการกลับแผนภาพไดน์กิน A _n (ซึ่งสอดคล้องกับการหาตัวผกผันทรานสโพส) และออโตมอร์ฟิซึมฟิลด์ที่กำหนดโดยการหาการสังยุคเชิงซ้อนซึ่งสลับที่ได้ กลุ่มเอกภาพคือกลุ่มของจุดตรึงของผลคูณของออโตมอร์ฟิซึมทั้งสองนี้

ในทำนองเดียวกัน กลุ่ม Chevalley จำนวนมากมีออโตมอร์ฟิซึมของไดอะแกรมที่เกิดจากออโตมอร์ฟิซึมของไดอะแกรม Dynkinและออโตมอร์ฟิซึมของฟิลด์ที่เกิดจากออโตมอร์ฟิซึมของฟิลด์จำกัด ในทำนองเดียวกันกับกรณีเอกภาพ Steinberg สร้างตระกูลของกลุ่มโดยการหาจุดตรึงของผลคูณของไดอะแกรมและออโตมอร์ฟิซึมของฟิลด์

สิ่งเหล่านี้ให้ผลลัพธ์ดังนี้:

• กลุ่มเอกภาพ² A _nจากออโตมอร์ฟิซึมอันดับ 2 ของ A _n ;
• กลุ่มออร์โธโกนอล เพิ่มเติม² D _nจากออโตมอร์ฟิซึมอันดับ 2 ของ D _n ;
• อนุกรมใหม่² E ₆จากออโตมอร์ฟิซึมลำดับที่ 2 ของ E ₆ ;
• อนุกรมใหม่³ D ₄จากออโตมอร์ฟิซึมลำดับ 3 ของD ₄

กลุ่มประเภท³ D ₄ไม่มีกลุ่มเทียบเคียงบนจำนวนจริง เนื่องจากจำนวนเชิงซ้อนไม่มีออโตมอร์ฟิซึมอันดับ 3 สมมาตรของแผนภาพ D ₄ยังก่อให้เกิดไตรภาวะ อีก ด้วย

ซูซูกิ  ( 1960 ) ค้นพบอนุกรมอนันต์ของกลุ่มใหม่ที่ดูเหมือนจะไม่เกี่ยวข้องกับกลุ่มพีชคณิตที่รู้จักกันในตอนแรกรี  ( 1960 , 1961 ) ทราบว่ากลุ่มพีชคณิต B2 _มีออโตมอร์ฟิซึม "พิเศษ" ในลักษณะเฉพาะ 2 ซึ่งกำลังสองของมันคือออโตมอร์ฟิซึมโฟรเบนิอุส เขาพบว่าถ้าฟิลด์จำกัดที่มีลักษณะเฉพาะ 2 มีออโตมอร์ฟิซึมซึ่งกำลังสองของมันคือแผนที่โฟรเบนิอุส การสร้างแบบอนาล็อกของสไตน์เบิร์กจะให้กลุ่มซูซูกิ ฟิลด์ที่มีออโตมอร์ฟิซึมดังกล่าวคือฟิลด์อันดับ 2n ^{+ 1และ}กลุ่มที่สอดคล้องกันคือกลุ่มซูซูกิ

² B ₂ (2 ^{2 n +1} ) = ซูซ(2 ^{2 n +1} ).

(โดยเคร่งครัดแล้ว กลุ่ม Suz(2) ไม่นับรวมเป็นกลุ่ม Suzuki เนื่องจากไม่ใช่กลุ่มที่เรียบง่าย: มันคือกลุ่ม Frobeniusอันดับ 20) รีสามารถค้นพบตระกูลที่คล้ายกันใหม่สองตระกูล

² F ₄ (2 ^{2 n +1} )

และ

² G ₂ (3 ^{2 n +1} )

กลุ่มง่าย ๆ โดยใช้ข้อเท็จจริงที่ว่า F ₄และ G ₂มีออโตมอร์ฟิซึมพิเศษในลักษณะเฉพาะ 2 และ 3 (โดยคร่าว ๆ แล้ว ในลักษณะเฉพาะpอนุญาตให้ละเว้นลูกศรบนพันธะที่มีมัลติพลิซิตี้pในแผนภาพ Dynkin เมื่อทำการออโตมอร์ฟิซึมของแผนภาพ) กลุ่มที่เล็กที่สุด² F ₄ (2) ของประเภท² F ₄ไม่ใช่กลุ่มง่าย แต่มีกลุ่มย่อยง่ายที่มีดัชนี 2 เรียกว่ากลุ่ม Tits (ตั้งชื่อตามนักคณิตศาสตร์Jacques Tits ) กลุ่มที่เล็กที่สุด² G ₂ (3) ของประเภท² G ₂ไม่ใช่กลุ่มง่าย แต่มีกลุ่มย่อยปกติง่ายที่มีดัชนี 3 ซึ่งสมมาตรกับ A ₁ (8) ในการจำแนกกลุ่มง่ายจำกัดกลุ่ม Ree

² G ₂ (3 ^{2 n +1} )

กลุ่มเหล่านี้เป็นกลุ่มที่มีโครงสร้างที่ระบุได้ยากที่สุด กลุ่มเหล่านี้ยังมีบทบาทในการค้นพบกลุ่มสปอราดิกสมัยใหม่กลุ่มแรก พวกมันมีตัวกลางผกผันในรูปแบบZ /2 Z × PSL(2, q ) สำหรับq = 3 ⁿและโดยการตรวจสอบกลุ่มที่มีตัวกลางผกผันในรูปแบบที่คล้ายกันZ /2 Z × PSL(2, 5) Janko ได้ค้นพบกลุ่มสปอรา  ดิก J ₁

กลุ่มซูซูกิเป็นกลุ่มเชิงเส้นจำกัดที่ไม่สลับที่เพียงกลุ่มเดียวที่มีอันดับไม่หารด้วย 3 ลงตัว โดยมีอันดับ 2 ^{2(2 n +1)} (2 ^{2(2 n +1)} + 1)(2 ^{(2 n +1)} − 1)

กลุ่มจำกัดประเภทลี (Lie type) เป็นหนึ่งในกลุ่มแรกๆ ที่ได้รับการพิจารณาในทางคณิตศาสตร์ ต่อจาก กลุ่ม วัฏจักรกลุ่มสมมาตรและ กลุ่ม สลับโดยกลุ่มเชิงเส้นพิเศษเชิงโปรเจกทีฟเหนือฟิลด์จำกัดเฉพาะ PSL(2, p ) ถูกสร้างขึ้นโดยÉvariste Galoisในช่วงทศวรรษ 1830 การสำรวจกลุ่มจำกัดประเภทลีอย่างเป็นระบบเริ่มต้นด้วยทฤษฎีบทของCamille Jordan ที่ว่า กลุ่มเชิงเส้นพิเศษเชิงโปรเจกทีฟ PSL(2, q ) เป็นกลุ่มง่ายสำหรับq ≠ 2, 3 ทฤษฎีบทนี้สามารถขยายไปสู่กลุ่มเชิงโปรเจกทีฟที่มีมิติสูงกว่า และให้ตระกูลอนันต์ที่สำคัญ PSL( n , q ) ของกลุ่มง่ายจำกัดกลุ่มคลาสสิกอื่นๆ ได้รับการศึกษาโดยLeonard Dicksonในช่วงต้นศตวรรษที่ 20 ในช่วงทศวรรษ 1950 โคลด เชอวาลเลย์ตระหนักว่าหลังจากปรับปรุงสูตรอย่างเหมาะสมแล้ว ทฤษฎีบทหลายข้อเกี่ยวกับกลุ่มลีแบบกึ่งง่าย (semisimple Lie groups)สามารถนำไปใช้กับกลุ่มพีชคณิต (algebraic groups) บนฟิลด์k ใดๆ ได้ ซึ่งนำไปสู่การสร้างกลุ่มที่ปัจจุบันเรียกว่ากลุ่มเชอวาลเลย์ (Chevalley groups ) ยิ่งไปกว่านั้น เช่นเดียวกับกรณีของกลุ่มลีแบบง่ายขนาดกะทัดรัด (compact simple Lie groups) กลุ่มที่สอดคล้องกันกลับกลายเป็นกลุ่มที่เรียบง่ายเกือบเท่ากับกลุ่มนามธรรม ( ทฤษฎีบทความเรียบง่ายของทิตส์ ) แม้ว่าจะทราบกันมาตั้งแต่ศตวรรษที่ 19 แล้วว่ามีกลุ่มเรียบง่ายจำกัดอื่นๆ อยู่ (เช่นกลุ่มมาธิเยอ (Mathieu groups )) แต่ความเชื่อที่ค่อยๆ ก่อตัวขึ้นก็คือ กลุ่มเรียบง่ายจำกัดเกือบทั้งหมดสามารถอธิบายได้ด้วยการขยายการสร้างของเชอวาลเลย์อย่างเหมาะสม ร่วมกับกลุ่มวัฏจักร (cyclic groups) และกลุ่มสลับ (alternating groups) ยิ่งไปกว่านั้นกลุ่มที่เป็นข้อยกเว้น คือ กลุ่มสปอราดิก (sporadic groups ) มีคุณสมบัติหลายอย่างร่วมกับกลุ่มจำกัดประเภทลี (Lie type) และโดยเฉพาะอย่างยิ่ง สามารถสร้างและกำหนดลักษณะเฉพาะได้จากเรขาคณิตในความหมายของทิตส์ (Tits)

ความเชื่อดังกล่าวได้กลายเป็นทฤษฎีบทแล้ว นั่นคือ การจำแนกกลุ่มง่ายจำกัดการตรวจสอบรายชื่อกลุ่มง่ายจำกัดแสดงให้เห็นว่า กลุ่มประเภท Lie บนฟิลด์จำกัดนั้นรวมถึงกลุ่มง่ายจำกัดทั้งหมด ยกเว้นกลุ่มวัฏจักร กลุ่มสลับกลุ่ม Tits และ กลุ่มง่ายแบบสปอราดิก 26 กลุ่ม

โดยทั่วไป กลุ่มจำกัดที่เกี่ยวข้องกับเอนโดมอร์ฟิซึมของกลุ่มพีชคณิตเชิงเดี่ยวที่เชื่อมต่อกันอย่างง่ายนั้น จะเป็นส่วนขยายศูนย์กลางสากลของกลุ่มเชิงเดี่ยว ดังนั้นจึงเป็นกลุ่มสมบูรณ์และมีตัวคูณชูร์ เป็นศูนย์ อย่างไรก็ตาม กลุ่มที่เล็กที่สุดบางกลุ่มในตระกูลข้างต้นนั้น อาจไม่ใช่กลุ่มสมบูรณ์ หรือมีตัวคูณชูร์ที่มากกว่าที่ "คาดไว้"

กรณีที่กลุ่มไม่สมบูรณ์แบบ ได้แก่

• A ₁ (2) = SL(2, 2) แก้ได้อันดับ 6 (กลุ่มสมมาตรบน 3 จุด)
• A ₁ (3) = PSL(2, 3) แก้ได้อันดับ 12 (กลุ่มสลับบน 4 จุด)
• ² A ₂ (4) แก้ได้
• B ₂ (2) ไม่สมบูรณ์แบบ แต่มีความสมมาตรกับกลุ่มสมมาตรบนจุด 6 จุด ดังนั้นกลุ่มย่อยที่ได้มาจึงมีดัชนี 2 และเป็นกลุ่มเดี่ยวที่มีอันดับ 360
• ² B ₂ (2) = Suz(2) แก้ได้อันดับ 20 (กลุ่ม Frobenius)
• ² F ₄ (2) ไม่สมบูรณ์แบบ แต่กลุ่มที่ได้มามีดัชนี 2 และเป็นกลุ่ม Tits ที่ เรียบ ง่าย
• G ₂ (2) ไม่สมบูรณ์แบบ แต่กลุ่มที่ได้มามีดัชนี 2 และเป็นกลุ่มที่เรียบง่ายอันดับ 6048
• ² G ₂ (3) ไม่สมบูรณ์แบบ แต่กลุ่มที่ได้มามีดัชนี 3 และเป็นกลุ่มง่ายที่มีอันดับ 504

บางกรณีที่กลุ่มสมบูรณ์แบบแต่มีตัวคูณ Schur ที่มากกว่าที่คาดไว้ ได้แก่:

• A _{1 (4) ตัวคูณ Schur มี} Z /2 Zเพิ่มเติมดังนั้นตัวคูณ Schur ของกลุ่มง่ายจึงมีอันดับ 2 แทนที่จะเป็น 1
• A _{1 (9) ตัวคูณ Schur มี} Z /3 Zเพิ่มเติมดังนั้นตัวคูณ Schur ของกลุ่มง่ายจึงมีอันดับ 6 แทนที่จะเป็น 2
• A _{2 (2) ตัวคูณ Schur มี} Z /2 Zเพิ่มเติมดังนั้นตัวคูณ Schur ของกลุ่มง่ายจึงมีอันดับ 2 แทนที่จะเป็น 1
• A _{2 (4) ตัวคูณ Schur มี} Z /4 Z × Z /4 Zเพิ่มเติมดังนั้นตัวคูณ Schur ของกลุ่มง่ายจึงมีอันดับ 48 แทนที่จะเป็น 3
• A _{3 (2) ตัวคูณ Schur มี} Z /2 Zเพิ่มเติมดังนั้นตัวคูณ Schur ของกลุ่มง่ายจึงมีอันดับ 2 แทนที่จะเป็น 1
• B ₃ (2) = C _{3 (2) ตัวคูณ Schur มี} Z /2 Zเพิ่มเติมดังนั้นตัวคูณ Schur ของกลุ่มง่ายจึงมีอันดับ 2 แทนที่จะเป็น 1
• B _{3 (3) ตัวคูณ Schur มี} Z /3 Zเพิ่มเติมดังนั้นตัวคูณ Schur ของกลุ่มง่ายจึงมีอันดับ 6 แทนที่จะเป็น 2
• D _{4 (2) ตัวคูณ Schur มี} Z /2 Z × Z /2 Zเพิ่มเติมดังนั้นตัวคูณ Schur ของกลุ่มง่ายจึงมีอันดับ 4 แทนที่จะเป็น 1
• F _{4 (2) ตัวคูณ Schur มี} Z /2 Zเพิ่มเติมดังนั้นตัวคูณ Schur ของกลุ่มง่ายจึงมีอันดับ 2 แทนที่จะเป็น 1
• G _{2 (3) ตัวคูณ Schur มี} Z /3 Zเพิ่มเติมดังนั้นตัวคูณ Schur ของกลุ่มง่ายจึงมีอันดับ 3 แทนที่จะเป็น 1
• G _{2 (4) ตัวคูณ Schur มี} Z /2 Zเพิ่มเติมดังนั้นตัวคูณ Schur ของกลุ่มง่ายจึงมีอันดับ 2 แทนที่จะเป็น 1
• ² A _{3 (4) ตัวคูณ Schur มี} Z /2 Zเพิ่มเติมดังนั้นตัวคูณ Schur ของกลุ่มง่ายจึงมีอันดับ 2 แทนที่จะเป็น 1
• ² A _{3 (9) ตัวคูณ Schur มี} Z /3 Z × Z /3 Zเพิ่มเติมดังนั้นตัวคูณ Schur ของกลุ่มง่ายจึงมีอันดับ 36 แทนที่จะเป็น 4
• ² A _{5 (4) ตัวคูณ Schur มี} Z /2 Z × Z /2 Zเพิ่มเติมดังนั้นตัวคูณ Schur ของกลุ่มง่ายจึงมีอันดับ 12 แทนที่จะเป็น 3
• ² E _{6 (4) ตัวคูณ Schur มี} Z /2 Z × Z /2 Zเพิ่มเติมดังนั้นตัวคูณ Schur ของกลุ่มง่ายจึงมีอันดับ 12 แทนที่จะเป็น 3
• ² B _{2 (8) ตัวคูณ Schur มี} Z /2 Z × Z /2 Zเพิ่มเติมดังนั้นตัวคูณ Schur ของกลุ่มง่ายจึงมีอันดับ 4 แทนที่จะเป็น 1

มีไอโซมอร์ฟิซึมแบบ "บังเอิญ" จำนวนมากที่น่าประหลาดใจระหว่างกลุ่มเล็ก ๆ ประเภท Lie ต่าง ๆ (และกลุ่มสลับ) ตัวอย่างเช่น กลุ่ม SL(2, 4), PSL(2, 5) และกลุ่มสลับบน 5 จุด ล้วนเป็นไอโซมอร์ฟิซึมกัน

สำหรับรายชื่อข้อยกเว้นทั้งหมด โปรดดูที่รายชื่อกลุ่มง่ายจำกัดคุณสมบัติพิเศษเหล่านี้หลายอย่างเกี่ยวข้องกับกลุ่มง่ายแบบสปอร์าดิกบางกลุ่ม

กลุ่มสลับบางครั้งมีพฤติกรรมราวกับเป็นกลุ่มประเภท Lie บนฟิลด์ที่มีสมาชิกเพียงตัวเดียวกลุ่มสลับขนาดเล็กบางกลุ่มก็มีคุณสมบัติพิเศษเช่นกัน โดยทั่วไปแล้ว กลุ่มสลับจะมีกลุ่มออโตมอร์ฟิซึมภายนอกอันดับ 2 แต่กลุ่มสลับบนจุด 6 จุดจะมีกลุ่มออโตมอร์ฟิซึมภายนอกอันดับ 4กลุ่มสลับโดยทั่วไปจะมีตัวคูณ Schur อันดับ 2 แต่กลุ่มสลับบนจุด 6 หรือ 7 จุดจะมีตัวคูณ Schur อันดับ 6

ไม่มีสัญลักษณ์มาตรฐานสำหรับกลุ่มจำกัดประเภทลี และในเอกสารทางวิชาการมีระบบสัญลักษณ์ที่ไม่เข้ากันและสร้างความสับสนมากมายหลายสิบระบบสำหรับกลุ่มเหล่านี้

• กลุ่มง่าย PSL( n , q ) โดยทั่วไปแล้วจะไม่เหมือนกับกลุ่ม PSL( n , F _q ) ของ จุดที่มีค่าเป็น F _qของกลุ่มพีชคณิต PSL( n ) ปัญหาคือ แผนที่ทั่วถึงของกลุ่มพีชคณิต เช่น SL( n ) → PSL( n ) ไม่จำเป็นต้องเหนี่ยวนำให้เกิดแผนที่ทั่วถึงของกลุ่มที่สอดคล้องกันซึ่งมีค่าอยู่ในฟิลด์บางฟิลด์ (ที่ไม่ใช่ฟิลด์ปิดเชิงพีชคณิต) ปัญหาที่คล้ายกันนี้เกิดขึ้นกับจุดของกลุ่มพีชคณิตอื่นๆ ที่มีค่าอยู่ในฟิลด์จำกัดด้วย
• กลุ่มประเภท A _{n −1}บางครั้งจะถูกแทนด้วย PSL( n , q ) (กลุ่มเชิงเส้นพิเศษเชิงโปรเจคทีฟ) หรือL ( n , q )
• กลุ่มประเภท C _nบางครั้งจะถูกแทนด้วย Sp(2 n , q ) (กลุ่มซิมเพล็กติก) หรือ (ซึ่งอาจทำให้สับสน) ด้วย Sp( n , q )
• สัญลักษณ์สำหรับกลุ่มประเภท D _n ("กลุ่มตั้งฉาก") นั้นค่อนข้างสับสน สัญลักษณ์บางอย่างที่ใช้คือ O( n , q ), O ⁻ ( n , q ), PSO( n , q ), Ω _n ( q ) แต่มีข้อตกลงมากมายจนไม่สามารถระบุได้อย่างแน่ชัดว่ากลุ่มเหล่านี้สอดคล้องกับกลุ่มใดโดยไม่ต้องระบุอย่างชัดเจน แหล่งที่มาของปัญหาคือกลุ่มง่ายไม่ใช่กลุ่มตั้งฉาก O หรือกลุ่มตั้งฉากพิเศษเชิงโปรเจกทีฟ PSO แต่เป็นกลุ่มย่อยของ PSO ^{[ 1 ]}ซึ่งจึงไม่มีสัญลักษณ์แบบคลาสสิก กับดักที่ร้ายกาจเป็นพิเศษคือผู้เขียนบางคน เช่นATLASใช้ O( n , q ) สำหรับกลุ่มที่ไม่ใช่กลุ่มตั้งฉาก แต่เป็นกลุ่มง่ายที่สอดคล้องกัน สัญลักษณ์ Ω, PΩ ได้รับการแนะนำโดยJean Dieudonnéแม้ว่าคำจำกัดความของเขาจะไม่เรียบง่ายสำหรับn ≤ 4 และด้วยเหตุนี้จึงสามารถใช้สัญลักษณ์เดียวกันสำหรับกลุ่มที่แตกต่างกันเล็กน้อย ซึ่งสอดคล้องกันในn ≥ 5 แต่ไม่สอดคล้องกันในมิติที่ต่ำกว่า^{[ 1 ]}
• สำหรับกลุ่มสไตน์เบิร์ก ผู้เขียนบางคนเขียน² A _n ( q ² ) (และอื่นๆ) สำหรับกลุ่มที่ผู้เขียนคนอื่นๆ ใช้สัญลักษณ์² A _n ( q ) ปัญหาคือมีฟิลด์สองฟิลด์ที่เกี่ยวข้อง ฟิลด์หนึ่งมีอันดับq ²และอีกฟิลด์หนึ่งเป็นฟิลด์คงที่ที่มีอันดับqและผู้คนมีความคิดเห็นที่แตกต่างกันว่าควรจะรวมฟิลด์ใดไว้ในสัญลักษณ์ การใช้สัญลักษณ์ " ² A _n ( q ² )" นั้นดูสมเหตุสมผลและสอดคล้องกันมากกว่า แต่การใช้สัญลักษณ์ " ² A _n ( q )" นั้นพบได้บ่อยกว่ามากและใกล้เคียงกับสัญลักษณ์ที่ใช้กับกลุ่มพีชคณิต มากกว่า
• ผู้เขียนมีความเห็นแตกต่างกันว่ากลุ่มเช่น A _n ( q ) เป็นกลุ่มของจุดที่มีค่าอยู่ในกลุ่มพีชคณิตแบบง่ายหรือแบบเชื่อมต่ออย่างง่ายหรือไม่ ตัวอย่างเช่น A _n ( q ) อาจหมายถึงกลุ่มเชิงเส้นพิเศษ SL( n +1, q ) หรือกลุ่มเชิงเส้นพิเศษเชิงโปรเจกทีฟ PSL( n +1, q ) ดังนั้น² A ₂ (4) อาจเป็นหนึ่งใน 4 กลุ่มที่แตกต่างกัน ขึ้นอยู่กับผู้เขียน

• ทฤษฎี Deligne–Lusztig ( ทฤษฎีการแทนกลุ่มจำกัดประเภท Lie)
• พีชคณิตลีแบบโมดูลาร์