ในทฤษฎีจำนวนและเรขาคณิตเชิงพีชคณิตจุดตรรกยะของวาไรตีเชิงพีชคณิตคือจุดที่มีพิกัดอยู่ในฟิลด์ ที่กำหนดให้ หากไม่ได้ระบุฟิลด์ไว้ โดยทั่วไปจะหมายถึงฟิลด์ของจำนวนตรรกยะ แต่ถ้าฟิลด์นั้นเป็นฟิลด์ของจำนวนจริงจุดตรรกยะมักเรียกว่าจุดจริงมากกว่า

การทำความเข้าใจจุดตรรกยะเป็นเป้าหมายหลักของทฤษฎีจำนวนและเรขาคณิตไดโอแฟนไทน์ตัวอย่างเช่นทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์อาจกล่าวใหม่ได้ว่า สำหรับn > 2 เส้น โค้งแฟร์มาต์ของสมการนี้ไม่มีจุดตรรกยะอื่นใดนอกจาก(1, 0) , (0, 1)และถ้าnเป็นจำนวนคู่ ก็จะมี (–1, 0)และ(0, –1)ด้วย ${\displaystyle x^{n}+y^{n}=1}$

กำหนดให้ฟิลด์kและส่วนขยายปิดเชิงพีชคณิตKของkวาไรตี้เชิงเส้นXเหนือkคือเซตของศูนย์ ร่วม ในK ⁿของกลุ่มพหุนามที่มีสัมประสิทธิ์อยู่ในk :

${\displaystyle {\begin{aligned}&f_{1}(x_{1},\ldots ,x_{n})=0,\\&\qquad \quad \vdots \\&f_{r}(x_{1},\dots ,x_{n})=0.\end{aligned}}}$

จุดศูนย์ร่วมเหล่านี้เรียกว่า จุดของX

จุดk-ตรรกยะ (หรือจุดk ) ของXคือจุดของXที่อยู่ในk ⁿซึ่งก็คือลำดับของ สมาชิก nตัวของk โดยที่สำหรับทุกjเซตของจุดk-ตรรกยะของXมักจะใช้สัญลักษณ์X ( k )แทน ${\displaystyle (a_{1},\dots ,a_{n})}$${\displaystyle f_{j}(a_{1},\dots ,a_{n})=0}$

บางครั้ง เมื่อเข้าใจความ หมายของฟิลด์kหรือเมื่อkคือฟิลด์ของ${\displaystyle \mathbb {Q} }$จำนวนตรรกยะเราจะใช้คำว่า "จุดตรรกยะ" แทนที่จะใช้คำว่า " จุดตรรกยะ k "

ตัวอย่างเช่น จุดตรรกยะของวงกลมหน่วยของสมการ

${\displaystyle x^{2}+y^{2}=1}$

คือคู่ของจำนวนตรรกยะ

${\displaystyle \left({\frac {a}{c}},{\frac {b}{c}}\right),}$

โดยที่( a, b, c )คือสามเหลี่ยมพีทาโกเรียน

แนวคิดนี้ยังมีความหมายในบริบททั่วไปอีกด้วย วาไรตี้เชิงโปรเจกทีฟX ในปริภูมิเชิงโปรเจกทีฟเหนือฟิลด์ k สามารถกำหนดได้ด้วยชุดสมการพหุนามเอกพันธุ์ในตัวแปร จุด k ของ X ที่เขียนด้วยนั้นกำหนด${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$โดยลำดับของสมาชิก n + 1 ตัวของ k ซึ่งไม่ใช่ศูนย์ทั้งหมดโดยเข้าใจว่าการคูณสมาชิกทั้งหมดด้วยสมาชิกที่ไม่เป็นศูนย์ตัวเดียวกันของkจะได้จุดเดียวกันในปริภูมิเชิงโปรเจกทีฟ ดังนั้น จุด kของXจึงหมายถึงจุดk ของ ที่พหุนามที่กำหนดให้มีค่าเป็นศูนย์ ${\displaystyle x_{0},\dots ,x_{n}.}$${\displaystyle \mathbb {P} ^{n},}$${\displaystyle [a_{0},\dots ,a_{n}],}$${\displaystyle a_{0},\dots ,a_{n}}$${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$

โดยทั่วไปแล้ว ให้Xเป็นสกีมเหนือฟิลด์kนั่นหมายความว่ามีมอร์ฟิซึมของสกีมf : X → Spec ( k )กำหนดไว้ ดังนั้น จุด kของXหมายถึงส่วนตัดของมอร์ฟิซึมนี้ นั่นคือ มอร์ฟิซึมa : Spec( k ) → Xที่การประกอบfaเป็นเอกลักษณ์บนSpec( k )ซึ่งสอดคล้องกับคำจำกัดความก่อนหน้านี้เมื่อXเป็นวาไรตี้เชิงเส้นหรือเชิงโปรเจกทีฟ (มองว่าเป็นสกีมเหนือk )

เมื่อXเป็นวาไรตี้เหนือฟิลด์ปิดเชิงพีชคณิตkโครงสร้างส่วนใหญ่ของXจะถูกกำหนดโดยเซตX ( k )ของ จุด k- ตรรกยะ อย่างไรก็ตามสำหรับฟิลด์ทั่วไปk นั้น X ( k )ให้ข้อมูลเพียงบางส่วนเกี่ยวกับX เท่านั้น โดยเฉพาะอย่างยิ่ง สำหรับวาไรตี้Xเหนือฟิลด์kและส่วนขยายฟิลด์E ใดๆ ของkนั้นXยังกำหนดเซตX ( E )ของจุดE- ตรรก ยะของX ด้วย ซึ่งหมายถึงเซตของคำตอบของสมการที่กำหนดXที่ มีค่าอยู่ในE

ตัวอย่าง: ให้Xเป็นเส้น โค้งรูป กรวยในระนาบเชิงเส้นA²เหนือจำนวนจริง^⁠ ⁠แล้วเซตของจุดจริง⁠ ⁠ ว่างเปล่า เพราะกำลังสองของจำนวนจริงใดๆ ก็ตามมี ค่าไม่เป็นลบ ในทางกลับกัน ในศัพท์ทางเรขาคณิตเชิงพีชคณิต วาไรตี้เชิงพีชคณิตXเหนือ⁠ ⁠ไม่ว่างเปล่า เพราะเซตของจุดเชิงซ้อน⁠ ⁠ไม่ว่างเปล่า ${\displaystyle x^{2}+y^{2}=-1}$${\displaystyle \mathbb {R} .}$${\displaystyle X(\mathbb {R} )}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle X(\mathbb {C} )}$

โดยทั่วไปแล้ว สำหรับโครงร่างXบนวงแหวนสลับที่Rและพีชคณิต สลับ ที่R ใดๆ SเซตX ( S )ของจุดS ของ Xหมายถึงเซตของมอร์ฟิซึมSpec( S ) → XบนSpec( R )โครงร่างXถูกกำหนดขึ้นจนถึงไอโซมอร์ฟิซึมโดยฟังก์ชันS ↦ X ( S )นี่คือปรัชญาของการระบุโครงร่างด้วยฟังก์ชันของจุดอีกรูปแบบหนึ่งคือ โครงร่างXบนRกำหนดโครงร่าง_XSบน S โดยการเปลี่ยนฐานและ จุด SของX (บนR ) สามารถระบุได้ด้วย จุด SของXS (บน_S )

ทฤษฎีสมการไดโอแฟนไทน์ตามประเพณีแล้วหมายถึงการศึกษาจุดจำนวนเต็มซึ่งหมายถึงคำตอบของสมการพหุนามในจำนวนเต็มแทนที่จะเป็น จำนวนตรรกยะสำหรับสมการพหุนามเอกพันธุ์ เช่น สมการทั้งสองนี้ ปัญหาทั้งสองนั้นโดยพื้นฐานแล้วเทียบเท่ากัน เนื่องจากจุดตรรกยะทุกจุดสามารถปรับขนาดให้กลายเป็นจุดจำนวนเต็ม ได้${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle \mathbb {Q} .}$${\displaystyle x^{3}+y^{3}=z^{3},}$

ทฤษฎีจำนวนส่วนใหญ่สามารถมองได้ว่าเป็นการศึกษาจุดตรรกยะของวาไรตี้เชิงพีชคณิต โดยที่วาไรตี้เชิงโปรเจกทีฟเรียบเป็น ฉากหลังที่สะดวก สำหรับ เส้นโค้ง เชิงโปรเจกที ฟเรียบ พฤติกรรมของจุดตรรกยะขึ้นอยู่กับจีนัสของเส้นโค้ง อย่างมาก

เส้นโค้งโปรเจคทีฟเรียบ Xทุกเส้นที่มีจีนัสเป็นศูนย์เหนือฟิลด์kนั้นเป็นไอโซมอร์ฟิกกับเส้นโค้งรูปกรวย (ดีกรี 2) ใน⁠ ⁠${\displaystyle \mathbb {P} ^{2}.}$ถ้าXมี จุด k-ตรรกยะแล้ว มันจะไอโซมอร์ฟิกกับ⁠ ⁠${\displaystyle \mathbb {P} ^{1}}$เหนือkดังนั้น จุด k-ตรรกยะของมันจึงเข้าใจได้อย่างสมบูรณ์^{[ 1 ]}ถ้าkเป็นฟิลด์⁠ ⁠${\displaystyle \mathbb {Q} }$ของจำนวนตรรกยะ (หรือโดยทั่วไปคือฟิลด์จำนวน ) จะมีอัลกอริทึมเพื่อตรวจสอบว่าเส้นโค้งรูปกรวยที่กำหนดมีจุดตรรกยะหรือไม่ โดยอาศัยหลักการของ Hasse : เส้นโค้งรูปกรวยเหนือ⁠ ⁠${\displaystyle \mathbb {Q} }$มีจุดตรรกยะก็ต่อเมื่อมันมีจุดเหนือการเติมเต็มทั้งหมดของ⁠ ⁠${\displaystyle \mathbb {Q} ,}$นั่นคือ เหนือ⁠ ⁠ และ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ฟิลด์p -adic ทั้งหมด⁠ ⁠${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}.}$

เป็นการยากที่จะระบุว่าเส้นโค้งที่มีจีนัส 1 มีจุดตรรกยะหรือไม่ หลักการของ Hasse ล้มเหลวในกรณีนี้ ตัวอย่างเช่น โดยErnst Selmerเส้นโค้งลูกบาศก์ใน⁠ ⁠มีจุดเหนือการเติมเต็มทั้งหมดของ⁠ ⁠แต่ไม่มีจุดตรรกยะ^{[ 2 ]}ความล้มเหลวของหลักการของ Hasse สำหรับเส้นโค้งที่มีจีนัส 1 วัดโดยกลุ่ม Tate–Shafarevich${\displaystyle 3x^{3}+4y^{3}+5z^{3}=0}$${\displaystyle \mathbb {P} ^{2}}$${\displaystyle \mathbb {Q} ,}$

ถ้าXเป็นเส้นโค้งที่มีจีนัส 1 ที่มีจุดk- ตรรกยะ p ₀แล้วXเรียกว่าเส้นโค้งวงรีเหนือkในกรณีนี้Xมีโครงสร้างของกลุ่มพีชคณิต สลับที่ (โดยมีp ₀เป็นองค์ประกอบศูนย์) ดังนั้นเซตX ( k )ของ จุด k-ตรรกยะจึงเป็นกลุ่มอาเบลทฤษฎีบท Mordell–Weilกล่าวว่าสำหรับเส้นโค้งวงรี (หรือโดยทั่วไปแล้ว วาไรตี้อาเบล ) Xเหนือฟิลด์จำนวนkกลุ่มอาเบลX ( k )ถูกสร้างขึ้นอย่างจำกัดโปรแกรมพีชคณิตคอมพิวเตอร์สามารถกำหนดกลุ่ม Mordell–Weil X ( k ) ได้ ในหลายตัวอย่าง แต่ไม่ทราบว่ามีอัลกอริทึมใดที่ประสบความสำเร็จในการคำนวณกลุ่มนี้เสมอหรือไม่ นั่นจะเป็นผลมาจากการคาดการณ์ว่ากลุ่ม Tate–Shafarevich เป็นกลุ่มจำกัด หรือจากการคาดการณ์ Birch–Swinnerton-Dyerที่ เกี่ยวข้อง ^{[ 3 ]}

ทฤษฎีบทของ Faltings (เดิมคือสมมติฐานของ Mordell) กล่าวว่าสำหรับเส้นโค้งX ใดๆ ที่มีจีนัสอย่างน้อย 2 เหนือฟิลด์จำนวนkเซตX ( k )จะเป็นเซตจำกัด^{[ 4 ]}

ความสำเร็จที่ยิ่งใหญ่บางส่วนของทฤษฎีจำนวนนั้นเกี่ยวข้องกับการหาจุดตรรกยะบนเส้นโค้งเฉพาะ ตัวอย่างเช่นทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์ (พิสูจน์โดยริชาร์ด เทย์เลอร์และแอนดรูว์ ไวลส์ ) เทียบเท่ากับข้อความที่ว่า สำหรับจำนวนเต็มnอย่างน้อย 3 จุดตรรกยะเพียงจุดเดียวของเส้นโค้งใน⁠ ⁠เหนือ⁠ ⁠คือจุดที่เห็นได้ชัด ได้แก่[0,1,1]และ[1,0,1] ; [0,1,−1]และ[1,0,−1]สำหรับnคู่; และ[1,−1,0]สำหรับnคี่ เส้นโค้งX (เช่นเดียวกับเส้นโค้งเรียบใดๆ ที่มีดีกรีnใน⁠ ⁠ ) มีจีนัส${\displaystyle x^{n}+y^{n}=z^{n}}$${\displaystyle \mathbb {P} ^{2}}$${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle \mathbb {P} ^{2}}$${\displaystyle {\tfrac {(n-1)(n-2)}{2}}.}$

ไม่ทราบว่ามีอัลกอริทึมใดที่จะค้นหาจุดตรรกยะทั้งหมดบนเส้นโค้งใดๆ ที่มีจีนัสอย่างน้อย 2 บนฟิลด์จำนวนหรือไม่ มีอัลกอริทึมที่ใช้งานได้ในบางกรณี การสิ้นสุดโดยทั่วไปจะเป็นผลมาจากการคาดการณ์ว่ากลุ่ม Tate–Shafarevich ของวาไรตี้อาเบลเหนือฟิลด์จำนวนนั้นมีจำนวนจำกัด และอุปสรรค Brauer–Maninเป็นอุปสรรคเพียงอย่างเดียวต่อหลักการ Hasse ในกรณีของเส้นโค้ง^{[ 5 ]}

ในมิติที่สูงกว่า เป้าหมายที่เป็นเอกภาพประการหนึ่งคือสมมติฐาน ของ Bombieri – Langที่ว่า สำหรับวาไรตี้X ใดๆ ที่เป็นประเภททั่วไปเหนือฟิลด์จำนวนkเซตของ จุด k -rational ของXจะไม่หนาแน่นแบบ ZariskiในX (นั่นคือ จุด k -rational อยู่ในยูเนียนจำกัดของวาไรตี้ย่อยมิติที่ต่ำกว่าของX ) ในมิติ 1 นี่คือทฤษฎีบทของ Faltings อย่างแท้จริง เนื่องจากเส้นโค้งเป็นประเภททั่วไปก็ต่อเมื่อมีจีนัสอย่างน้อย 2 Lang ยังตั้งสมมติฐานที่ละเอียดกว่าเกี่ยวกับการเชื่อมโยงความจำกัดของจุด rational กับ ไฮเปอร์โบลิซิตี้ ของKobayashi ^{[ 6 ]}

ตัวอย่างเช่น สมมติฐาน Bombieri–Lang ทำนายว่าพื้นผิว เรียบ ที่มีดีกรีdในปริภูมิเชิงโปรเจกทีฟเหนือ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$ฟิลด์จำนวนจะไม่มีจุดตรรกยะหนาแน่นแบบ Zariski ถ้าd ≥ n + 2ไม่ค่อยมีใครรู้เกี่ยวกับกรณีนั้นมากนัก ผลลัพธ์ที่แข็งแกร่งที่สุดที่ทราบเกี่ยวกับสมมติฐาน Bombieri–Lang คือทฤษฎีบทของ Faltings เกี่ยวกับส่วนย่อยของวาไรตี้อาเบล (ซึ่งเป็นการขยายกรณีของเส้นโค้ง) กล่าวคือ ถ้าXเป็นส่วนย่อยของวาไรตี้อาเบลAเหนือฟิลด์จำนวนkแล้วจุดตรรกยะk ทั้งหมดของ Xจะอยู่ในยูเนียนจำกัดของการแปลของส่วนย่อยอาเบลที่อยู่ในX ^{[ 7 ]} (ดังนั้นถ้าXไม่มีส่วนย่อยอาเบลที่แปลแล้วที่มีมิติเป็นบวกX ( k )ก็จะเป็นจำนวนจำกัด)

ในทางกลับกัน วาไรตี้Xบนฟิลด์จำนวนkกล่าวได้ว่ามี จุดตรรกยะ ที่หนาแน่นได้หากมีฟิลด์ส่วนขยายจำกัดEของkซึ่ง จุดตรรกยะ EของXมีความหนาแน่นแบบ Zariski ในX Frédéric Campana ตั้งข้อสันนิษฐานว่าวาไรตี้มีความหนาแน่นได้ก็ต่อเมื่อไม่มีการจัดเรียงแบบตรรกยะเหนือออร์บิ โฟลด์มิติ บวกของประเภททั่วไป^{[ 8 ]}กรณีที่ทราบคือพื้นผิวลูกบาศก์ทุกพื้นผิวใน⁠ ⁠${\displaystyle \mathbb {P} ^{3}}$บนฟิลด์จำนวนkมีจุดตรรกยะที่หนาแน่นได้ เนื่องจาก (อย่างเข้มแข็งกว่า) มันกลายเป็นตรรกยะเหนือส่วนขยายจำกัดบางอย่างของk (เว้นแต่จะเป็นกรวยเหนือเส้นโค้งลูกบาศก์ระนาบ) ข้อสันนิษฐานของ Campana ยังบ่งชี้ว่าพื้นผิว K3 X (เช่น พื้นผิวควอติกเรียบใน⁠ ⁠${\displaystyle \mathbb {P} ^{3}}$ ) บนฟิลด์จำนวนมีจุดตรรกยะที่หนาแน่นได้ ซึ่งทราบเฉพาะในกรณีพิเศษ เช่น ถ้าXมีการจัดเรียงแบบวงรี^{[ 9 ]}

อาจมีคนถามว่าเมื่อใดที่ความหลากหลายมีจุดตรรกยะโดยไม่ต้องขยายฟิลด์ฐาน ในกรณีของไฮเปอร์เซอร์เฟซXที่มีดีกรีdใน⁠ ⁠${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$เหนือฟิลด์จำนวน จะมีผลลัพธ์ที่ดีเมื่อdเล็กกว่าn มาก ซึ่งมักจะอิงตามวิธีการวงกลมของ Hardy–Littlewoodตัวอย่างเช่นทฤษฎีบท Hasse–Minkowskiกล่าวว่าหลักการของ Hasse ใช้ได้กับไฮเปอร์เซอร์เฟซควอดริกเหนือฟิลด์จำนวน (กรณีd = 2 ) Christopher Hooleyพิสูจน์หลักการของ Hasse สำหรับไฮเปอร์เซอร์เฟซลูกบาศก์เรียบใน⁠ ⁠${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$เหนือ⁠ ⁠${\displaystyle \mathbb {Q} }$เมื่อn ≥ 8 [ ^{10 ] ใน}มิติที่สูงกว่านั้น ยิ่งกว่านั้นก็เป็นจริง: ลูกบาศก์เรียบทุกตัวใน⁠ ⁠${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$เหนือ⁠ ⁠${\displaystyle \mathbb {Q} }$มีจุดตรรกยะเมื่อn ≥ 9โดยRoger Heath- Brown ^{[ 11 ]}โดยทั่วไปแล้วทฤษฎีบทของ Birch กล่าวว่าสำหรับจำนวนเต็มบวกคี่ dใดๆจะมีจำนวนเต็มNเช่นนั้นสำหรับทุกn ≥ Nทุกไฮเปอร์เซอร์เฟซที่มีดีกรีdใน⁠ ⁠${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$เหนือ⁠ ⁠${\displaystyle \mathbb {Q} }$จะมีจุดตรรกยะ

สำหรับพื้นผิวไฮเปอร์ที่มีมิติเล็กกว่า (ในแง่ของดีกรี) สิ่งต่างๆ อาจซับซ้อนมากขึ้น ตัวอย่างเช่น หลักการของ Hasse ล้มเหลวสำหรับพื้นผิวลูกบาศก์เรียบใน⁠ ⁠เหนือ⁠ ⁠โดยIan Casselsและ Richard Guy ^{[ 12 ]} Jean-Louis Colliot-Thélèneได้ตั้งข้อสันนิษฐานว่าอุปสรรคของ Brauer–Manin เป็นอุปสรรคเพียงอย่างเดียวต่อหลักการของ Hasse สำหรับพื้นผิวลูกบาศก์ โดยทั่วไปแล้ว สิ่งนี้ควรใช้ได้กับวาไรตี้ที่เชื่อมต่อกันอย่างมีเหตุผล ทุกตัว เหนือฟิลด์จำนวน^{[ 13 ]}${\displaystyle 5x^{3}+9y^{3}+10z^{3}+12w^{3}=0}$${\displaystyle \mathbb {P} ^{3}}$${\displaystyle \mathbb {Q} ,}$

ในบางกรณี เป็นที่ทราบกันว่าXมีจุดตรรกยะ "มากมาย" เมื่อใดก็ตามที่มีจุดตรรกยะเพียงจุดเดียว ตัวอย่างเช่นJános Kollár ได้ขยายงานของ Beniamino SegreและYuri Maninโดยแสดงให้เห็นว่า สำหรับไฮเปอร์เซอร์เฟซลูกบาศก์Xที่มีมิติอย่างน้อย 2 เหนือฟิลด์สมบูรณ์kโดยที่Xไม่ใช่กรวยXจะเป็นยูนิราชัน นัล เหนือkหากมีจุดตรรกยะk จุด ^{[ 14 ]} (โดยเฉพาะอย่างยิ่ง สำหรับkที่เป็นอนันต์ ยูนิราชันนัลลิตี้หมายความว่าเซตของ จุดตรรกยะ kจุดนั้นมีความหนาแน่นแบบ Zariski ในX ) ข้อ สันนิษฐานของ Maninเป็นข้อความที่แม่นยำกว่าซึ่งจะอธิบายลักษณะเชิงอะซิมโทติกของจำนวนจุดตรรกยะที่มีความสูง จำกัด บน วาไร ตี้ Fano

วาไรตี้Xบนฟิลด์จำกัดk มี จุดk -rational เพียงจำนวนจำกัดเท่านั้นข้อสันนิษฐานของ Weilซึ่งพิสูจน์โดยAndré Weilในมิติ 1 และโดยPierre Deligneในมิติใดๆ ก็ตาม ให้การประมาณค่าที่แม่นยำสำหรับจำนวน จุด k -rational ในรูปของจำนวน BettiของXตัวอย่างเช่น ถ้าXเป็นเส้นโค้งเชิงโปรเจกทีฟเรียบที่มีจีนัสgบนฟิลด์kที่มีอันดับq (กำลังของจำนวนเฉพาะ) แล้ว

${\displaystyle {\big |}|X(k)|-(q+1){\big |}\leq 2g{\sqrt {q}}.}$

สำหรับพื้นผิวเรียบXที่มีดีกรีdใน⁠ ⁠${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$เหนือฟิลด์kที่มีอันดับqทฤษฎีบทของ Deligne ให้ขอบเขตดังนี้: ^{[ 15 ]}

${\displaystyle {\big |}|X(k)|-(q^{n-1}+\cdots +q+1){\big |}\leq {\bigg (}{\frac {(d-1)^{n+1}+(-1)^{n+1}(d-1)}{d}}{\bigg )}q^{(n-1)/2}.}$

นอกจากนี้ยังมีผลลัพธ์ที่สำคัญเกี่ยวกับเมื่อใดที่วาไรตี้เชิงโปรเจกทีฟเหนือฟิลด์จำกัดk มีจุด k -rational อย่างน้อยหนึ่งจุด ตัวอย่างเช่นทฤษฎีบท Chevalley–Warningบ่งชี้ว่าไฮเปอร์เซอร์เฟ ซ X ใดๆ ที่มีดีกรีdใน⁠ ⁠${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$เหนือฟิลด์จำกัดkมี จุด k -rational ถ้าd ≤ nสำหรับX ที่เรียบ สิ่งนี้ยังเป็นผลมาจากทฤษฎีบทของHélène Esnault ที่ว่าวาไรตี้เชิงโปร เจกทีฟที่เชื่อมต่อกันด้วยโซ่แบบตรรกะเรียบทุกตัว เช่น วาไรตี้ Fano ทุกตัว เหนือฟิลด์จำกัดkมี จุด k -rational ^{[ 16 ]}

• พลศาสตร์เชิงเลขคณิต
• เรขาคณิตแบบไบราชันนัล
• ฟังก์ชันที่แสดงโดยโครงร่าง

• Colliot-Thélène, Jean-Louis (2015), หลักการระดับท้องถิ่นและระดับโลกสำหรับจุดตรรกยะและวงจรศูนย์ (PDF)