ในทางคณิตศาสตร์และโดยเฉพาะอย่างยิ่งในพีชคณิตเชิงสลับและเรขาคณิตเชิงพีชคณิตสเปกตรัมเฉพาะ (หรือเรียกง่ายๆ ว่าสเปกตรัม ) ของวงแหวนเชิงสลับ คือเซตของอุดมคติเฉพาะ ทั้งหมด ที่มาพร้อมกับโทโพโลยีที่เรียกว่าโทโพโลยีซาริสกิสเปกตรัมของวงแหวนเชิงสลับนั้นมีชีฟของวงแหวนเชิงสลับตามธรรมชาติ เรียกว่าชีฟโครงสร้างซึ่งทำให้มันเป็นปริภูมิวงแหวนกล่าวคือ วงแหวนเชิงสลับเกี่ยวข้องกับทุกจุดและทุกเซตเปิด ซึ่งเป็นไปตามเงื่อนไขความเข้ากันได้บางประการ^[ 1 ^{]โครงสร้างที่}เกิดจากสเปกตรัมของวงแหวนเชิงสลับและปริภูมิวงแหวนที่เกี่ยวข้องเรียกว่าโครงร่างแอฟฟินสเปกตรัมของวงแหวน และโครง ^ร่างแอฟฟินที่เกี่ยวข้องต่างก็แสดงด้วยหรือ[ 2 ^]${\displaystyle R}$${\displaystyle R,}$${\displaystyle R}$${\displaystyle \operatorname {Spec} {R}}$${\displaystyle \operatorname {Spec} (R)}$

โครงร่างเชิงอัฟฟินเป็นเครื่องมือพื้นฐานของเรขาคณิตเชิงพีชคณิต สมัยใหม่ โดยเฉพาะอย่างยิ่งในทฤษฎีโครงร่างแท้จริงแล้ว โครงร่างถูกสร้างขึ้นโดยการ "เชื่อมต่อ" โครงร่างเชิงอัฟฟินเข้าด้วยกันในลักษณะที่คล้ายคลึงกับการสร้างแมนิโฟลด์โดยการเชื่อมต่อเซตย่อยเปิดของปริภูมิยุคลิดที่มาพร้อมกับวงแหวนของฟังก์ชันต่อเนื่องเหนือเซตเหล่านั้น คำว่า "เชิงอัฟฟิน" ในวลี "โครงร่างเชิงอัฟฟิน" มาจากข้อเท็จจริงที่ว่า วาไรตี้เชิงพีชคณิตเชิง อัฟฟิน สามารถระบุได้ว่าเป็นโครงร่างเชิงอัฟฟินที่สร้างขึ้นเหนือวงแหวน ของฟังก์ชันปกติ

แนวคิดเรื่องสเปกตรัมของริงได้รับการนำเสนอภายใต้ชื่อนั้นโดยอเล็กซานเดอร์ โกรเทนดีค มันได้รวบรวมแนวคิดทางประวัติศาสตร์หลายแง่มุมเข้าด้วยกัน แง่มุมหนึ่งซึ่งเป็นแรงบันดาลใจให้ใช้คำว่า "สเปกตรัม" มาจากพีชคณิตเชิงเส้น และ การวิเคราะห์เชิงฟังก์ชันทั่วไปซึ่งสเปกตรัมถูกใช้เพื่อแสดงค่าลักษณะเฉพาะของการแปลงเชิงเส้น อีกแง่มุมหนึ่งมาจากพีชคณิตเชิงสลับเปลี่ยนซึ่งปริภูมิเชิงทอพอโลยี (ทอพอโลยีซาริสกี) ถูกนำมาใช้เพื่ออธิบายโครงสร้างของอุดมคติเฉพาะ การสังเคราะห์ขั้นสุดท้ายคือการเพิ่มชีฟโครงสร้างซึ่งเข้ารหัสข้อมูลทางเรขาคณิตเฉพาะที่ใกล้กับอุดมคติเฉพาะแต่ละตัว

แรงจูงใจแรกมาจากพีชคณิตเชิงเส้นเอนโดมอร์ฟิซึมของ ปริภูมิ ${\displaystyle T}$เวกเตอร์ เชิงซ้อนมิติจำกัดสร้างซับริงของริงของเอนโดมอร์ฟิซึมของริง นี้เป็นริ งสลับที่ได้ และมีโฮโมมอร์ฟิซึมริงแบบแคนอนิกแบบทั่วถึงที่แมป ไปยัง โดยที่ คือริงพหุนามเอกตัวแปรเคอร์เนลของโฮโมมอร์ฟิซึมนี้คืออุดมคติหลักที่สร้างขึ้นโดยพหุนามขั้นต่ำของพหุนาม นี้ แยกตัวประกอบเป็นตัวประกอบเฉพาะในรูปแบบโดยที่คือค่าลักษณะเฉพาะของสิ่งนี้สร้างความสัมพันธ์แบบหนึ่งต่อหนึ่งระหว่างค่าลักษณะเฉพาะของและอุดมคติเฉพาะของซึ่งทำให้สามารถระบุสเปกตรัมของเอนโดมอร์ฟิซึมกับสเปกตรัมของริงเฉพาะได้ ${\displaystyle V}$${\displaystyle \mathbb {C} [T]}$${\displaystyle V}$${\displaystyle \mathbb {C} [x]\to \mathbb {C} [T]}$${\displaystyle x}$${\displaystyle T}$${\displaystyle \mathbb {C} [x]}$${\displaystyle m_{T}(x)}$${\displaystyle T.}$${\displaystyle m_{T}(x)}$${\displaystyle (x-\lambda _{i})}$${\displaystyle \lambda _{i}}$${\displaystyle T.}$${\displaystyle T}$${\displaystyle \mathbb {C} [T].}$

ส่วนประกอบที่ขาดหายไปอย่างหนึ่งในแนวคิดของสเปกตรัมคือ มันไม่ได้แยกแยะความซ้ำซ้อนของค่าลักษณะเฉพาะต่างๆ ดังนั้น นิยามของสเปกตรัมของวงแหวนจึงไม่เพียงแต่รวมถึงเซตของอุดมคติเฉพาะเท่านั้น แต่ยังรวมถึงข้อมูลเชิงโครงสร้างที่วงแหวนนั้นมีอยู่ซึ่งช่วยให้สามารถกำหนดความซ้ำซ้อน (และคุณสมบัติทางเรขาคณิตประเภทอื่นๆ) ได้ ตัวอย่างเช่น ตัวดำเนินการนิลโพเทนต์ที่ไม่เป็นศูนย์จะ${\displaystyle \mathbb {C} [T]}$มีค่าลักษณะเฉพาะเพียงศูนย์ และพหุนามขั้นต่ำสุดที่แต่สเปกตรัมในฐานะเซตของจุดคือเซตเอกฐานซึ่งเป็นอุดมคติเฉพาะที่มีโดยไม่ขึ้นอยู่กับดีกรีของนิลโพเทนต์ ${\displaystyle m_{T}(x)=x^{k}}$${\displaystyle k>1}$${\displaystyle \{(x)\}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle k}$

แนวคิดสมัยใหม่ของสเปกตรัมจึงรวมถึงชีฟโครงสร้าง ซึ่งประกอบด้วยข้อกำหนดของฟังก์ชันที่อยู่เหนืออุดมคติเฉพาะแต่ละตัว ในกรณีของเซตจุดของสเปกตรัมคือเซตที่มีสมาชิกเดียวแต่ระดับนิลโพเทนต์ถูกเข้ารหัสโดยริงโครงสร้าง ${\displaystyle \mathbb {C} [x]/(x^{k})}$${\displaystyle \{(x)\}}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{(x)}=\mathbb {C} [x]/(x^{k})}$

แนวคิดเรื่องสเปกตรัมในพีชคณิตเชิงเส้นนี้ถูกนำมาใช้กันอย่างแพร่หลายในทฤษฎีสเปกตรัมในวงกว้าง ในพีชคณิตBanach เชิงซ้อนเอกลักษณ์ Aแนวคิดนี้ได้รับการขยายโดยการกำหนดสเปกตรัมขององค์ประกอบaให้เป็นเซตของจำนวนเชิงซ้อนλโดยที่a − λ 1ไม่สามารถผกผันได้ ในกรณีการสลับที่ ทฤษฎีวงแหวนบรรทัดฐานและพีชคณิต Banach ของ Israel Gelfandทำให้พื้นที่ของอุดมคติสูงสุด หรือเทียบเท่ากับฟังก์ชันเชิงเส้นแบบคูณ กลายเป็นวัตถุหลักในการศึกษา^{[ 3 ]}

สเปกตรัมไพรม์ของวงแหวนสลับเปลี่ยนยังมีต้นกำเนิดแยกต่างหากในพีชคณิตสลับเปลี่ยนและเรขาคณิตพีชคณิตสำหรับวาไรตี้พีชคณิตเชิงเส้นเหนือฟิลด์ปิดเชิงพีชคณิตNullstellensatzระบุจุดธรรมดาด้วยอุดมคติสูงสุดในวงแหวนพิกัด โดยทั่วไปแล้ว วาไรตี้ย่อยที่ไม่สามารถลดทอนได้จะสอดคล้องกับอุดมคติไพรม์ ดังนั้นการเปลี่ยนจากอุดมคติสูงสุดไปเป็นอุดมคติไพรม์ทั้งหมดจึงเท่ากับการเพิ่มจุดทั่วไปสำหรับแต่ละวาไรตี้ย่อยที่ไม่สามารถลดทอนได้^{[ 4 ]}

งานของWolfgang Krullคาดการณ์ถึงการใช้จุดทางเรขาคณิตเพื่ออธิบายอุดมคติเฉพาะ บทความของเขาในปี 1928 เกี่ยวกับสายโซ่ของอุดมคติเฉพาะเป็นส่วนหนึ่งของการพัฒนาทฤษฎีมิติในวงแหวนทั่วไป^{[ 5 ]}การใช้อุดมคติเฉพาะในเชิงโทโพโลยีที่เกี่ยวข้องปรากฏใน งานของ Marshall Stoneเกี่ยวกับพีชคณิตบูลีนและแลตทิซแบบกระจาย: Stone ได้แนะนำโทโพโลยีบนอุดมคติเฉพาะของแลตทิซแบบกระจาย ทำให้เกิดสิ่งที่ปัจจุบันเรียกว่าสเปกตรัมของแลตทิซและนำไปสู่แนวคิดของปริภูมิสเปกตรัม^{[ 6 ]}

การสร้างSpec R สมัยใหม่ ในฐานะพื้นที่วงแหวนเฉพาะที่ได้รับการแนะนำอย่างเป็นระบบโดย Alexander Grothendieck ในทฤษฎีสคีม ในรูปแบบนี้ สเปกตรัมไม่เพียงแต่เป็นพื้นที่โทโพโลยีของอุดมคติเฉพาะเท่านั้น แต่ยังมาพร้อมกับชีฟโครงสร้าง ทำให้สามารถเชื่อมต่อสคีมแอฟฟินเพื่อสร้างสคีมทั่วไปได้^{[ 7 ]}

สเปกตรัมของวงแหวนสลับที่ในฐานะเซต คือเซตของอุดมคติเฉพาะของ⁠ ⁠มันถูกทำให้เป็นปริภูมิเชิงทอพอโลยีโดยที่อุดมคติเฉพาะแต่ละตัวเป็นจุดในปริภูมินี้ โดยการกำหนดทอพอโลยีซาริสกีให้กับมัน ซึ่งเป็นทอพอโลยีที่เซตปิดคือเซตของอุดมคติเฉพาะ ทั้งหมด ที่ประกอบด้วยเซตย่อยที่กำหนดของ⁠ ⁠กล่าวอีกนัยหนึ่ง สำหรับทุกเซตย่อย⁠ ⁠ของ⁠ ⁠ให้​​เซตของ⁠ ⁠ ทั้งหมด ประกอบเป็นเซตปิดของทอพอโลยีซาริสกีบนเราจะได้เซตปิดที่เหมือนกันทุกประการหากเราจำกัดนิยามเฉพาะเซตย่อย⁠ ⁠ที่เป็นอุดมคติเนื่องจาก⁠ ⁠ถ้า⁠ ⁠อุดมคติที่สร้างขึ้นโดย⁠ ⁠ในความเป็นจริง จำเป็นต้องพิจารณาเฉพาะอุดมคติรากเท่านั้น เนื่องจากสำหรับอุดมคติใดๆและราก ของมัน${\displaystyle \operatorname {Spec} (R)}$${\displaystyle R}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}\in \operatorname {Spec} (R)}$${\displaystyle R}$${\displaystyle S}$${\displaystyle R}$$${\displaystyle V_{S}=\{{\mathfrak {p}}\in \operatorname {Spec} (R):{\mathfrak {p}}\supseteq S\}.}$$${\displaystyle V_{S}}$${\displaystyle \operatorname {Spec} (R).}$${\displaystyle I}$${\displaystyle V_{I}=V_{S}}$${\displaystyle I=(S)}$${\displaystyle S}$${\displaystyle V_{I}=V_{\sqrt {I}}}$${\displaystyle I}$${\displaystyle {\sqrt {I}}.}$

กำหนดให้เซตปิด⁠ ⁠${\displaystyle V\subseteq \mathrm {Spec} (R)}$ไอเดียลคือไอเดียลเชิงรากซึ่ง⁠ ⁠สิ่งนี้สร้างความสัมพันธ์แบบหนึ่งต่อหนึ่งระหว่างเซตปิดและไอเดียลเชิงราก ซึ่งในเรขาคณิตเชิงพีชคณิต นั้น สอดคล้อง กับความสัมพันธ์ระหว่างเซตเชิงพีชคณิตและเซตของสมการพหุนาม ทั้งหมด ที่สอดคล้องกับเซตนั้น (ดู รายละเอียดเพิ่มเติมได้ใน Nullstellensatz ของ Hilbert ) $${\displaystyle J=\bigcap _{{\mathfrak {p}}\in V}{\mathfrak {p}}}$$${\displaystyle V_{J}=V}$

ในบรรดาเซตเปิด ซึ่งก็คือเซตในรูปแบบบางเซตมีความสำคัญเป็นพิเศษ ได้แก่ เซตในรูปแบบที่ถือว่าเป็นอุดมคติหลักที่สร้างขึ้นโดยบางเซตบางครั้งเรียกว่าเซตเปิดที่โดดเด่น^{[ 8 ]}หรือเซตเปิดหลัก [ ^{9 ] เนื่องจาก}เซตเปิดทุกเซตอยู่ในรูปแบบเซตเปิดที่โดดเด่นจึงเป็นฐานสำหรับโทโพโลยีของ Zariski ดังนั้นจึงโดยทั่วไปแล้วไม่มีอันตรายใด ๆ ที่จะพิจารณาเฉพาะเซตเปิดในรูปแบบ⁠ ⁠ความสำคัญของ⁠ ⁠ส่วนใหญ่อยู่ที่ข้อเท็จจริงที่ว่า เมื่ออุดมคติ⁠ ⁠ไม่ใช่อุดมคติหลักเซตเปิด⁠ ⁠นั้นยากที่จะกำหนดในแง่ของตัวสร้างของอุดมคติ ${\displaystyle \operatorname {Spec} (R)\setminus V_{I},}$$${\displaystyle D_{f}=\mathrm {Spec} (R)\setminus V_{(f)}=\{{\mathfrak {p}}\in \mathrm {Spec} (R):f\not \in {\mathfrak {p}}\},}$$${\displaystyle I}$${\displaystyle f\in R;}$$${\displaystyle D_{f}\cap D_{g}=D_{fg}.}$$${\textstyle U=\mathrm {Spec} (R)\setminus V_{I}=\bigcup _{f\in I}D_{f},}$${\displaystyle D_{f}}$${\displaystyle D_{f}}$${\displaystyle I}$${\displaystyle \operatorname {Spec} (R)\setminus V_{I}}$

${\displaystyle \operatorname {Spec} (R)}$เป็นปริภูมิกระชับแต่แทบจะไม่เคยเป็น Hausdorffเลย: ^{[ a ]} ​​ในความเป็นจริงอุดมคติสูงสุดในคือจุดปิดในโทโพโลยีนี้ ด้วยเหตุผลเดียวกันโดยทั่วไปแล้ว ไม่ใช่ปริภูมิT ₁ ^{[ 10 ]}อย่างไรก็ตามเป็นปริภูมิ Kolmogorov เสมอ (สอดคล้องกับสัจพจน์ T ₀ ) และยังเป็นปริภูมิ สเปกตรัม อีกด้วย${\displaystyle R}$${\displaystyle \operatorname {Spec} (R)}$${\displaystyle \operatorname {Spec} (R)}$

สำหรับวงแหวนสลับที่ทุกวง⁠ ⁠${\displaystyle R}$ปริภูมิเชิงทอพอโลยี⁠ ⁠${\displaystyle X=\operatorname {Spec} (R)}$จะมีชีฟของวงแหวนสลับที่ตามธรรมชาติ เรียกว่าชีฟโครงสร้างและมักใช้สัญลักษณ์⁠ ⁠${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$ แทน สิ่งนี้ทำให้เกิด ปริภูมิ วงแหวน⁠ ⁠${\displaystyle \operatorname {Spec} (R)}$เรียกว่า โครงร่าง เชิงเส้นตรงและใช้สัญลักษณ์⁠ ⁠${\displaystyle \operatorname {Spec} (R)}$ แทนเช่น กัน

กลุ่มของวงแหวนบน${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$ปริภูมิเชิงทอพอโลยีประกอบด้วย${\displaystyle X}$ตระกูลของวงแหวนที่จัดทำ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(U)}$ดัชนีโดยเซตเปิดของ${\displaystyle U}$สำหรับ${\displaystyle X}$แต่ละการรวมเซต เปิด จะมี โฮโม มอร์ ฟิ ${\displaystyle U\subset V}$ซึมของวงแหวนแบบแคน อนิก โฮโมมอร์ฟิซึมแบบแคนอนิกเหล่านี้ต้องเป็นไปตามเงื่อนไขความเข้ากันได้บางประการ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(V)\to {\mathcal {O}}_{X}(U)}$

เงื่อนไขความเข้ากันได้ข้อแรกคือ โฮโมมอร์ฟิซึมแบบแคนอนิกต้องมีพฤติกรรมตามที่คาดหวังไว้เมื่อพิจารณาถึงการประกอบกันของอินคลูชัน ซึ่งหมายความว่า ถ้า⁠ ⁠${\displaystyle {\mathcal {U}}}$คือหมวดหมู่ของเซตเปิดที่มีอินคลูชันเป็นมอร์ฟิซึม⁠ ⁠${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$จะเป็นฟังก์ชันคอนทราแวเรียนต์จาก⁠ ⁠${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ไปยังหมวดหมู่ของริง

เงื่อนไขความเข้ากันได้ข้อที่สองคือ⁠ ⁠${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(U)}$สามารถกู้คืนได้อย่างไม่ซ้ำกันจาก⁠ ⁠${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(U_{i})}$ถ้า⁠ ⁠${\displaystyle \textstyle U=\bigcup _{i\in C}U_{i}}$เป็นการคลุมแบบเปิดของ⁠ ⁠${\displaystyle U}$ในทางเทคนิค สามารถแสดงได้เป็น โดย ที่⁠ ⁠หมายถึงลิ มิตผกผัน$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(U)=\varprojlim _{i\in C}U_{i},}$$${\displaystyle \varprojlim }$

ในกรณีของโครงร่างเชิงเส้นตรง⁠ ⁠${\displaystyle X=\operatorname {Spec} (R)}$วงแหวน⁠ ⁠${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(U)}$จะถูกกำหนดขึ้นก่อนสำหรับเซตเปิดหลักในรูปแบบ⁠ ⁠${\displaystyle D_{f}}$โดยเป็นการหาตำแหน่ง โดยที่คือเซตของกำลังจำนวนเต็มของ⁠ ⁠สังเกตได้ว่าดังนั้นสำหรับจำนวนเต็มบวกบางตัวและ⁠ ⁠และ⁠ ⁠สามารถผกผันได้ใน⁠ ⁠สิ่งนี้ทำให้สามารถกำหนดโฮโมมอร์ฟิซึมแบบแคนอนิก⁠ ⁠ได้เป็นการแมปการหาตำแหน่ง⁠ ⁠$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(D_{f})=R_{f}=S^{-1}R,}$$${\displaystyle S=\{1,f,f^{2},f^{3},\dots \}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle D_{g}\subseteq D_{f}\iff g\in {\sqrt {(f)}},}$${\displaystyle g^{n}=rf}$${\displaystyle n}$${\displaystyle r\in R}$${\displaystyle f}$${\displaystyle R_{g}}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(D_{f})\to {\mathcal {O}}_{X}(D_{g})}$${\displaystyle R_{f}\to R_{g}}$${\displaystyle a/f^{k}\mapsto ar^{k}/g^{nk}.}$

สำหรับเซตเปิดอื่นๆ นั้น⁠ ⁠${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(U)}$ถูกกำหนดดังนี้ และโฮโมมอร์ฟิซึมของริงแบบแคนอนิกจะถูกกำหนดตามนั้น คำจำกัดความเหล่านี้ สำหรับเซตเปิดที่อาจไม่ใช่เซตเปิดหลัก มักไม่ค่อยได้ใช้ในทางปฏิบัติ ยกเว้นเพื่อพิสูจน์ว่าคำจำกัดความเหล่านี้กำหนดชีฟของริงได้อย่างมีประสิทธิภาพ $${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(U)=\textstyle \varprojlim _{D_{f}\subseteq U}R_{f},}$$

สำหรับปริภูมิที่มีวงแหวน⁠ ⁠ ก้านที่จุด${\displaystyle (X,{\mathcal {O}}_{X})}$ ⁠ ⁠ คือลิมิตโดยตรง ที่⁠ ⁠วิ่งผ่านเซตเปิดของ⁠ ⁠ที่ประกอบด้วย⁠ ⁠ในกรณีของแผนผังเชิงเส้นตรง⁠ ⁠ก้านที่จุด⁠ ⁠ (จุดของสเปกตรัมเป็นอุดมคติเฉพาะของ⁠ ⁠ ) คือวงแหวนเฉพาะที่⁠ ⁠ดังนั้น แผนผังเชิงเส้นตรงจึงเป็น ปริภูมิ ที่ มีวงแหวนเฉพาะที่${\displaystyle x}$$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X,x}=\textstyle \varinjlim _{x\in U}{\mathcal {O}}_{X}(U),}$$${\displaystyle U}$${\displaystyle X}$${\displaystyle x}$${\displaystyle X=\operatorname {Spec} (R)}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$${\displaystyle R}$${\displaystyle R_{\mathfrak {p}}}$

โครงร่างเชิงแอฟฟินก่อให้เกิดหมวดหมู่ที่มีมอร์ฟิซึมเป็นมอร์ฟิซึมของ ปริภูมิ วงแหวนในบริบทนี้⁠ ⁠${\displaystyle \operatorname {Spec} }$คือฟังก์ชันผกผันจากหมวดหมู่ของวงแหวนสลับที่ไปยังหมวดหมู่ของโครงร่างเชิงแอฟฟิน ในทางกลับกัน เมื่อกำหนดโครงร่างเชิงแอฟฟิน วงแหวนที่กำหนดอาจกู้คืนได้เป็น⁠ ⁠${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(X)}$ซึ่งกำหนดฟังก์ชันในทิศทางตรงกันข้าม และฟังก์ชันทั้งสองนี้ทำให้หมวดหมู่ทั้งสองสมมูลกันแบบคู่

มอร์ฟิซึมของปริภูมิวงแหวนจาก⁠ ⁠${\displaystyle f:(X,{\mathcal {O}}_{X})\to (Y,{\mathcal {O}}_{Y})}$ถูกสร้างขึ้นโดยแผนที่ต่อเนื่อง⁠ ⁠${\displaystyle f}$จาก⁠ ⁠${\displaystyle X}$ไปยัง⁠ ⁠${\displaystyle Y}$และสำหรับทุกเซตย่อยเปิด⁠ ⁠${\displaystyle V}$ของ⁠ ⁠${\displaystyle Y}$ จะ มีโฮโมมอร์ฟิซึมวงแหวน⁠ ⁠${\displaystyle {\mathcal {O}}_{Y}(V)\to {\mathcal {O}}_{X}(f^{-1}(U))}$ยิ่งไปกว่านั้น โฮโมมอร์ฟิซึมเหล่านี้จะต้องสลับที่ได้กับโฮโมมอร์ฟิซึมที่กำหนดโดยการรวมของเซตเปิด

ในการสร้างฟังก์ชันนั้น${\displaystyle \operatorname {Spec} }$จำเป็นต้องกำหนดฟังก์ชันนั้นบนโฮโมมอร์ฟิซึมของริง

ดังนั้น ให้⁠ ⁠${\displaystyle f:R\to S}$เป็นโฮโมมอร์ฟิซึมของริงสลับที่ และให้⁠ ⁠${\displaystyle X=\operatorname {Spec} (R)}$และ⁠ ⁠${\displaystyle Y=\operatorname {Spec} (S)}$ แทน ปริภูมิเชิงทอพอโลยีที่เกี่ยวข้องตามลำดับ เนื่องจากจุดของปริภูมิเหล่านี้เป็นอุดมคติเฉพาะ เราจึงสามารถกำหนดแผนที่⁠ ⁠${\displaystyle f^{*}:Y\to X}$ โดย⁠ ⁠${\displaystyle f^{*}({\mathfrak {q}})=f^{-1}({\mathfrak {q}})}$สำหรับทุกอุดมคติเฉพาะ⁠ ⁠${\displaystyle {\mathfrak {q}}}$ของ⁠ ⁠ ได้${\displaystyle S}$เนื่องจากภาพผกผันของอุดมคติเฉพาะโดยโฮโมมอร์ฟิซึมของริงจะเป็นอุดมคติเฉพาะเสมอ แผนที่นี้ต่อเนื่อง: ในการพิสูจน์สิ่งนี้ เราต้องพิสูจน์ว่าภาพผกผันของเซตย่อยปิด⁠ ⁠${\displaystyle V(I)}$ของ⁠ ⁠${\displaystyle X}$ (โดยที่⁠ ⁠${\displaystyle I}$เป็นอุดมคติใดๆ ของ⁠ ⁠${\displaystyle R}$ ) คือเซตปิด⁠ ⁠${\displaystyle V(f(I))}$ (สิ่งนี้ได้มาโดยตรงจากความเป็นเอกภาคของฟังก์ชันที่สัมพันธ์กับการรวมเซต) ผลที่สำคัญประการหนึ่งจากข้อเท็จจริงนี้คือ เป็นโฮมีโอเมอร์ฟิกกับเซตเปิดหลัก⁠ ⁠ซึ่งเป็นหนึ่งในแรงจูงใจในการกำหนดให้ เป็น⁠ ⁠${\displaystyle \operatorname {Spec} (R_{t})}$${\displaystyle D_{t}}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(D_{t})}$${\displaystyle R_{t}}$

เพื่อให้มีมอร์ฟิซึมของปริภูมิวงแหวน เราต้องกำหนดโฮโมมอร์ฟิซึมวงแหวนสำหรับแต่ละเซตเปิด⁠ ⁠ ของ⁠${\displaystyle U}$ ⁠ อันที่${\displaystyle X}$จริง การกำหนดโฮโมมอร์ฟิซึมนี้บนเซตเปิดหลักก็เพียงพอแล้ว เมื่อ⁠ ⁠ ในกรณีนี้ โฮโมมอร์ฟิซึมนี้คือโฮโมมอร์ฟิซึมวงแหวนแบบแคนอนิก⁠ ⁠การตรวจสอบเงื่อนไขความเข้ากันได้ทั้งหมดที่จำเป็นสำหรับมอร์ฟิซึมของปริภูมิวงแหวนนั้นตรงไปตรงมา แม้ว่าจะค่อนข้างยาวก็ตาม ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(U)\to {\mathcal {O}}_{Y}(f^{*-1}(U))}$${\displaystyle U=D_{t}}$${\displaystyle R_{t}\to S_{f(t)}}$

วาไรตี้พีชคณิตเชิงแอฟฟินเป็นตัวอย่างพื้นฐานของสกีมเชิงแอฟฟินในแง่ที่ว่าอเล็กซานเดอร์ โกรเทนดิคได้นำทฤษฎีสกีม มาใช้ เพื่อให้เป็นกรอบในการกำหนดรูปแบบใหม่และแก้ไขปัญหาที่ทฤษฎีวาไรตี้แบบคลาสสิกจัดการได้ไม่ดีหรือไม่สวยงามอย่างชัดเจนและแม่นยำ ปัญหาบางประการที่ได้รับการแก้ไข ได้แก่ การจัดการกับความซ้ำซ้อนการพัฒนาแนวทางที่ไม่ขึ้นกับพิกัด การศึกษาจุดตรรกยะเหนือฟิลด์ที่ไม่ปิดทางพีชคณิต และการสร้างกรอบเดียวสำหรับวาไรตี้พีชคณิตเชิงแอฟฟิน เชิงโปรเจคทีฟ และเชิง นามธรรม

เซตพีชคณิตเชิงเส้นบนฟิลด์ของจำนวนเชิงซ้อนคือเซตของศูนย์ ร่วม ในของเซตพหุนามในตัวแปรn ตัวนั่นคือ พหุนามใน[ ^{b ] เซต}ของศูนย์ร่วมยังคงเหมือนเดิมหากพหุนามถูกแทนที่ด้วยไอเดียลที่พวกมันสร้างขึ้นวงแหวนผลหารเรียกว่าวงแหวนของฟังก์ชันปกติบนเป็น ไอโซมอ ร์ฟิกกับวงแหวนของฟังก์ชันพหุนามที่มีค่าในซึ่งกำหนดโดยความเท่าเทียมกันบนอันที่จริงทฤษฎีบท Nullstellensatz ของ Hilbertสร้างโฮมีโอเมอร์ฟิซึมสำหรับโทโพโลยี Zariskiระหว่างจุดของ⁠ ⁠และอุดมคติสูงสุดของ⁠ ⁠ซึ่งก็คือจุดปิดของ⁠ ⁠ดังนั้น จุดของ⁠ ⁠อาจถูกระบุว่าเป็นอุดมคติสูงสุดของ⁠ ⁠และฟังก์ชันปกติประกอบด้วยการประเมินค่าขององค์ประกอบของ⁠ ⁠บนจุดปิดของสเปกตรัม ${\displaystyle V}$${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$${\displaystyle \mathbb {C} [X_{1},\ldots ,X_{n}]}$${\displaystyle I}$${\displaystyle R=\mathbb {C} [X_{1},\ldots ,X]/I}$${\displaystyle V}$${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle V}$${\displaystyle R}$${\displaystyle \operatorname {Spec} (R)}$${\displaystyle V}$${\displaystyle R}$${\displaystyle R}$

กล่าวโดยสรุป ข้อความทุกข้อความเกี่ยวกับเซตพีชคณิตเชิงเส้นและวาไรตี้พีชคณิตเชิงเส้นสามารถแปลเป็นภาษาของโครงร่างเชิงเส้นได้ ซึ่งมีข้อดีหลายประการ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง:

• ไม่จำเป็นต้องสมมติว่าฟิลด์ฐานเป็นฟิลด์ปิดเชิงพีชคณิต และไม่จำเป็นต้องสมมติว่ามีฟิลด์พื้นฐานอยู่ด้วย (เมื่อพิจารณา⁠ ⁠${\displaystyle \operatorname {Spec} (R)}$ไม่จำเป็นต้องสมมติว่า⁠ ⁠${\displaystyle R}$มีฟิลด์อยู่)
• ไม่จำเป็นต้องสมมติว่า⁠ ⁠${\displaystyle R}$เป็นโดเมนเชิงจำนวนเต็ม ดังเช่นที่มักเกิดขึ้นในเรขาคณิตพีชคณิตแบบคลาสสิก โดยเฉพาะอย่างยิ่ง จุดตัดของวาไรตี้เชิงเส้นสองตัวโดยทั่วไปไม่ใช่วาไรตี้ แต่เป็นเซตพีชคณิตที่มีความซ้ำซ้อนตัวอย่างเช่น จุดตัดของวงกลม⁠ ⁠${\displaystyle x^{2}+y^{2}-1=0}$และเส้นตรง⁠ ⁠${\displaystyle x=1}$คือ⁠ ⁠${\displaystyle \operatorname {Spec} ([x,y]/\langle y^{2}\rangle )}$และจุดตัดนี้ถูกเข้ารหัสไว้ในโครงร่างเชิงเส้น ในขณะที่มันไม่ได้ถูกเข้ารหัสไว้ในนิยามเชิงเซตของเซตพีชคณิต

จากตัวอย่างข้างต้น ในเรขาคณิตเชิงพีชคณิตเราศึกษาเซตเชิงพีชคณิตนั่นคือเซตย่อยของ(โดยที่เป็นฟิลด์ปิดเชิงพีชคณิต ) ซึ่งนิยามว่าเป็นศูนย์ร่วมของเซตพหุนามในตัวแปร ถ้าเป็นเซตเชิงพีชคณิตดังกล่าว เราจะพิจารณาวงแหวนสลับที่ ของ ฟังก์ชันพหุนามทั้งหมดอุดมคติสูงสุดของสอดคล้องกับจุดของ(เพราะเป็นฟิลด์ปิดเชิงพีชคณิต) และอุดมคติเฉพาะของสอดคล้องกับส่วนย่อยที่ไม่สามารถแยกย่อยได้ของ(เซตเชิงพีชคณิตเรียกว่าไม่สามารถแยกย่อยได้ถ้าไม่สามารถเขียนเป็นผลรวมของเซตย่อยเชิงพีชคณิตแท้สองเซตได้) ${\displaystyle K^{n}}$${\displaystyle K}$${\displaystyle n}$${\displaystyle A}$${\displaystyle R}$${\displaystyle A\to K}$${\displaystyle R}$${\displaystyle A}$${\displaystyle K}$${\displaystyle R}$${\displaystyle A}$

ดังนั้น สเปกตรัมของจึงประกอบด้วยจุดของพร้อมกับองค์ประกอบสำหรับซับวาริเอตีที่ไม่สามารถลดทอนได้ทั้งหมดของ จุดของปิดในสเปกตรัม ในขณะที่องค์ประกอบที่สอดคล้องกับซับวาริเอตี มีการปิดที่ประกอบด้วยจุดและซับวาริเอตีทั้งหมดของพวกมัน หากพิจารณาเฉพาะจุดของ เท่านั้น กล่าวคือ อุดมคติสูงสุดในแล้ว โทโพโลยีซาริสกิที่กำหนดไว้ข้างต้นจะตรงกับโทโพโลยีซาริสกิที่กำหนดไว้บนเซตพีชคณิต (ซึ่งมีเซตย่อยพีชคณิตเป็นเซตปิดอย่างแม่นยำ) โดยเฉพาะอย่างยิ่ง อุดมคติสูงสุดใน กล่าวคือพร้อมกับโทโพโลยีซาริสกิ จะสมมูลกับและโทโพโลยีซาริสกิก็ สมมูลกับ${\displaystyle R}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$${\displaystyle R}$${\displaystyle R}$${\displaystyle \operatorname {MaxSpec} (R)}$${\displaystyle A}$

ดังนั้นจึงสามารถมองปริภูมิเชิงทอพอโลยีว่าเป็น "ส่วนเสริม" ของปริภูมิเชิงทอพอโลยี(ด้วยทอพอโลยีแบบซาริสกี): สำหรับทุกๆ สับวาไรตีที่ไม่สามารถลด ทอนได้ของ จะมีการเพิ่ม จุดที่ไม่ปิดอีกหนึ่งจุด และจุดนี้ "ติดตาม" สับวาไรตีที่ไม่สามารถลดทอนได้ที่สอดคล้องกัน เราอาจคิดว่าจุดนี้เป็นจุดทั่วไปสำหรับสับวาไรตีที่ไม่สามารถลดทอนได้ ยิ่งไปกว่านั้น ชีฟโครงสร้างบนและชีฟของฟังก์ชันพหุนามบน นั้นโดยพื้นฐานแล้วเหมือนกัน โดยการศึกษาสเปกตรัมของวงแหวนพหุนามแทนที่จะเป็นเซตพีชคณิตด้วยทอพอโลยีแบบซาริสกี เราสามารถขยายแนวคิดของเรขาคณิตพีชคณิตไปยังฟิลด์ที่ไม่ปิดเชิงพีชคณิตและอื่นๆ จนในที่สุดจะไปถึงภาษาของสกีมได้ ${\displaystyle \operatorname {Spec} (R)}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \operatorname {Spec} (R)}$${\displaystyle A}$

• สเปกตรัมของจำนวนเต็ม: โครงร่างเชิงเส้นตรงเป็นวัตถุสุดท้ายในหมวดหมู่ของโครงร่างเชิงเส้นตรง เนื่องจากเป็นวัตถุเริ่มต้นในหมวดหมู่ของวงแหวนสลับที่${\displaystyle \operatorname {Spec} (\mathbb {Z} )}$${\displaystyle \mathbb {Z} }$
• อนาล็อกเชิงทฤษฎีของโครงร่าง: โครงร่างเชิงเส้นตรง (affine scheme ) จากมุมมองของฟังก์ชันของจุดจุดหนึ่งสามารถระบุได้ด้วยมอร์ฟิซึมการประเมินค่าข้อสังเกตพื้นฐานนี้ทำให้เราสามารถให้ความหมายแก่โครงร่างเชิงเส้นตรงอื่นๆ ได้${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$${\displaystyle \mathbb {A} _{\mathbb {C} }^{n}=\operatorname {Spec} (\mathbb {C} [x_{1},\ldots ,x_{n}])}$${\displaystyle (\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n})\in \mathbb {C} ^{n}}$${\displaystyle \mathbb {C} [x_{1},\ldots ,x_{n}]{\xrightarrow[{ev_{(\alpha _{1},\dots ,\alpha _{n})}}]{}}\mathbb {C} }$
• รูปกากบาท: ในทางโทโพโลยี ดูเหมือนจุดตัดขวางของระนาบเชิงซ้อนสองระนาบ ณ จุดหนึ่ง (โดยเฉพาะอย่างยิ่ง แผนผังนี้ไม่สามารถลดทอนไม่ได้) แม้ว่าโดยทั่วไปจะแสดงเป็นรูปกากบาทเนื่องจากมอร์ฟิซึมที่กำหนดไว้อย่างดีเพียงอย่างเดียวไปยังคือมอร์ฟิซึมการประเมินค่าที่เกี่ยวข้องกับจุดต่างๆ${\displaystyle \operatorname {Spec} (\mathbb {C} [x,y]/(xy))}$${\displaystyle +}$${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle \{(\alpha _{1},0),(0,\alpha _{2}):\alpha _{1},\alpha _{2}\in \mathbb {C} \}}$
• สเปกตรัมหลักของวงแหวนบูลีน (เช่นวงแหวนเซตกำลัง ) คือปริภูมิเฮาส์ดอร์ฟที่กะทัดรัดและไม่เชื่อมต่อกันโดย สมบูรณ์ (นั่นคือปริภูมิสโตน ) ^{[ 11 ]}
• ( M. Hochster ) พื้นที่โทโพโลยีจะมีลักษณะโฮมีโอเม อร์ฟิกกับสเปกตรัมไพรม์ของวงแหวนสลับเปลี่ยน (กล่าวคือพื้นที่สเปกตรัม ) ก็ต่อเมื่อเป็นพื้นที่กระชับแยกแบบกึ่งๆและบริสุทธิ์^{[ 12 ]}

ต่อไปนี้เป็นตัวอย่างของแผนผังที่ไม่ใช่แผนผังเชิงเส้นตรง แผนผังเหล่านี้สร้างขึ้นจากการนำแผนผังเชิงเส้นตรงมาต่อกัน

• ปริภูมิเชิงโปรเจกทีฟ${\displaystyle n}$ เหนือฟิลด์สามารถขยายความทั่วไปไปยังริงฐานใดๆ ได้อย่างง่ายดาย ดูการสร้างโปรเจกทีฟ (อันที่จริง เราสามารถกำหนดปริภูมิเชิงโปรเจกทีฟสำหรับสกีมฐานใดๆ ก็ได้) ปริภูมิเชิงโปรเจกทีฟสำหรับไม่ใช่ปริภูมิเชิงเส้นตรง เนื่องจากริงของส่วนตัดทั่วโลกของเป็น ปริภูมิเชิงเส้น ตรง${\displaystyle \mathbb {P} _{k}^{n}=\operatorname {Proj} k[x_{0},\ldots ,x_{n}]}$${\displaystyle k}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n\geq 1}$${\displaystyle \mathbb {P} _{k}^{n}}$${\displaystyle k}$
• ระนาบแอฟฟินลบจุดกำเนิด^{[ 13 ]}ภายในมีการแยกแยะซับสกีมแอฟฟินแบบเปิด การรวมกันของพวกมันคือระนาบแอฟฟินที่เอาจุดกำเนิดออกไป ส่วนตัดทั่วโลกของคือคู่ของพหุนามบนที่จำกัดให้เป็นพหุนามเดียวกันบนซึ่งสามารถแสดงได้ว่าเป็นส่วนตัดทั่วโลกของไม่ใช่แอฟฟินเหมือนใน${\displaystyle \mathbb {A} _{k}^{2}=\operatorname {Spec} k[x,y]}$${\displaystyle D_{x},D_{y}}$${\displaystyle D_{x}\cup D_{y}=U}$${\displaystyle U}$${\displaystyle D_{x},D_{y}}$${\displaystyle D_{xy}}$${\displaystyle k[x,y]}$${\displaystyle \mathbb {A} _{k}^{2}}$${\displaystyle U}$${\displaystyle V_{(x)}\cap V_{(y)}=\varnothing }$${\displaystyle U}$

นักเขียนบางท่าน (โดยเฉพาะ M. Hochster) พิจารณาโทโพโลยีบนสเปกตรัมจำนวนเฉพาะอื่น ๆ นอกเหนือจากโทโพโลยีของ Zariski

ประการแรก มีแนวคิดเรื่องโทโพโลยีที่สร้างได้ : เมื่อกำหนดวงแหวนAแล้ว เซตย่อยของรูปแบบจะสอดคล้องกับสัจพจน์สำหรับเซตปิดในปริภูมิโทโพโลยี โทโพโลยีบนนี้เรียกว่าโทโพโลยีที่สร้างได้^{[ 14 ] [ 15 ]}${\displaystyle \operatorname {Spec} (A)}$${\displaystyle \varphi ^{*}(\operatorname {Spec} B),\varphi :A\to B}$${\displaystyle \operatorname {Spec} (A)}$

ในHochster (1969) Hochster พิจารณาสิ่งที่เขาเรียกว่าโทโพโลยีแพทช์บนสเปกตรัมจำนวนเฉพาะ^{[ 16 ] [ 17 ] [ 18 ]}ตามคำนิยาม โทโพโลยีแพทช์คือโทโพโลยีที่เล็กที่สุดซึ่งเซตของฟอร์มและปิด ${\displaystyle V(I)}$${\displaystyle \operatorname {Spec} (A)-V(f)}$

มีฟังก์ชันเชิงสัมพัทธ์ที่เรียกว่า global หรือ relative ถ้าเป็นสกีม (scheme) แล้ว relative จะถูกแทนด้วยหรือถ้าชัดเจนจากบริบทแล้ว Spec เชิงสัมพัทธ์อาจถูกแทนด้วยหรือสำหรับสกีมและ ชีฟ กึ่งสอดคล้องกันของพีชคณิตจะมีสกีมและมอร์ฟิซึมเช่นนั้นสำหรับแอฟฟินเปิดทุกตัวจะมีไอโซมอร์ฟิซึมและเช่นนั้นสำหรับแอฟฟินเปิด การรวมจะถูกเหนี่ยวนำโดยแผนที่การจำกัดกล่าวคือ เช่นเดียวกับที่โฮโมมอร์ฟิซึมของวงแหวนเหนี่ยวนำแผนที่สเปกตรัมที่ตรงกันข้าม แผนที่การจำกัดของชีฟของพีชคณิตจะเหนี่ยวนำแผนที่การรวมของสเปกตรัมที่ประกอบขึ้นเป็นSpecของชีฟ ${\displaystyle \operatorname {Spec} }$${\displaystyle \operatorname {Spec} }$${\displaystyle \operatorname {Spec} }$${\displaystyle S}$${\displaystyle \operatorname {Spec} }$${\displaystyle {\underline {\operatorname {Spec} }}_{S}}$${\displaystyle \mathbf {Spec} _{S}}$${\displaystyle S}$${\displaystyle {\underline {\operatorname {Spec} }}}$${\displaystyle \mathbf {Spec} }$${\displaystyle S}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{S}}$${\displaystyle {\mathcal {A}}}$${\displaystyle {\underline {\operatorname {Spec} }}_{S}({\mathcal {A}})}$${\displaystyle f:{\underline {\operatorname {Spec} }}_{S}({\mathcal {A}})\to S}$${\displaystyle U\subseteq S}$${\displaystyle f^{-1}(U)\cong \operatorname {Spec} ({\mathcal {A}}(U))}$${\displaystyle V\subseteq U}$${\displaystyle f^{-1}(V)\to f^{-1}(U)}$${\displaystyle {\mathcal {A}}(U)\to {\mathcal {A}}(V)}$

Global Spec มีคุณสมบัติสากลคล้ายกับคุณสมบัติสากลของ Spec ทั่วไป กล่าวคือ เช่นเดียวกับที่ Spec และฟังก์ชันส่วนตัดทั่วโลกเป็นตัวผกผันขวาแบบคอนทราแวเรียนต์ระหว่างหมวดหมู่ของวงแหวนสลับที่และสกีม Global Spec และฟังก์ชันภาพโดยตรงสำหรับแผนที่โครงสร้างก็เป็นตัวผกผันขวาแบบคอนทราแวเรียนต์ระหว่างหมวดหมู่ของพีชคณิตสลับที่และสกีมเหนือในสูตร ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{S}}$${\displaystyle S}$

${\displaystyle \operatorname {Hom} _{{\mathcal {O}}_{S}{\text{-alg}}}({\mathcal {A}},\pi _{*}{\mathcal {O}}_{X})\cong \operatorname {Hom} _{{\text{Sch}}/S}(X,\mathbf {Spec} ({\mathcal {A}})),}$

เป็นมอร์ฟิซึมของสคีม ที่ไหน${\displaystyle \pi \colon X\to S}$

ข้อกำหนดเชิงสัมพัทธ์เป็นเครื่องมือที่ถูกต้องสำหรับการกำหนดพารามิเตอร์ของกลุ่มเส้นตรงที่ผ่านจุดกำเนิดของเหนือพิจารณาชีฟของพีชคณิตและให้เป็นชีฟของไอเดียลของจากนั้นข้อกำหนดเชิงสัมพัทธ์จะกำหนดพารามิเตอร์ของกลุ่มที่ต้องการ ในความเป็นจริง ไฟเบอร์เหนือคือเส้นตรงที่ผ่านจุดกำเนิดของซึ่งมีจุด อยู่ภายในสมมติว่าสามารถคำนวณไฟเบอร์ได้โดยการพิจารณาองค์ประกอบของไดอะแกรมพูลแบ็ก ${\displaystyle \mathbb {A} _{\mathbb {C} }^{2}}$${\displaystyle X=\mathbb {P} _{a,b}^{1}.}$${\displaystyle {\mathcal {A}}={\mathcal {O}}_{X}[x,y],}$${\displaystyle {\mathcal {I}}=(ay-bx)}$${\displaystyle {\mathcal {A}}.}$${\displaystyle {\underline {\operatorname {Spec} }}_{X}({\mathcal {A}}/{\mathcal {I}})\to \mathbb {P} _{a,b}^{1}}$${\displaystyle [\alpha :\beta ]}$${\displaystyle \mathbb {A} ^{2}}$${\displaystyle (\alpha ,\beta ).}$${\displaystyle \alpha \neq 0,}$

${\displaystyle {\begin{matrix}\operatorname {Spec} \left({\frac {\mathbb {C} [x,y]}{\left(y-{\frac {\beta }{\alpha }}x\right)}}\right)&\to &\operatorname {Spec} \left({\frac {\mathbb {C} \left[{\frac {b}{a}}\right][x,y]}{\left(y-{\frac {b}{a}}x\right)}}\right)&\to &{\underline {\operatorname {Spec} }}_{X}\left({\frac {{\mathcal {O}}_{X}[x,y]}{\left(ay-bx\right)}}\right)\\\downarrow &&\downarrow &&\downarrow \\\operatorname {Spec} (\mathbb {C} )&\to &\operatorname {Spec} \left(\mathbb {C} \left[{\frac {b}{a}}\right]\right)=U_{a}&\to &\mathbb {P} _{a,b}^{1}\end{matrix}}}$

โดยที่องค์ประกอบของลูกศรด้านล่าง

${\displaystyle \operatorname {Spec} (\mathbb {C} ){\xrightarrow {[\alpha :\beta ]}}\mathbb {P} _{a,b}^{1}}$

ให้เส้นตรงที่ประกอบด้วยจุดและจุดกำเนิด ตัวอย่างนี้สามารถขยายความเพื่อกำหนดพารามิเตอร์ให้กับกลุ่มเส้นตรงที่ผ่านจุดกำเนิดของโดยกำหนดให้และ${\displaystyle (\alpha ,\beta )}$${\displaystyle \mathbb {A} _{\mathbb {C} }^{n+1}}$${\displaystyle X=\mathbb {P} _{a_{0},...,a_{n}}^{n}}$${\displaystyle {\mathcal {A}}={\mathcal {O}}_{X}[x_{0},...,x_{n}]}$${\displaystyle {\mathcal {I}}=\left(2\times 2{\text{ minors of }}{\begin{pmatrix}a_{0}&\cdots &a_{n}\\x_{0}&\cdots &x_{n}\end{pmatrix}}\right).}$

จากมุมมองของทฤษฎีการแทนค่าไอเดียลเฉพาะIสอดคล้องกับโมดูลR / Iและสเปกตรัมของริงสอดคล้องกับ การแทนค่าแบบวัฏจักร ที่ไม่สามารถ ลด ทอนได้ของRในขณะที่ซับวาไรตีทั่วไปสอดคล้องกับการแทนค่าที่อาจลดทอนได้ซึ่งไม่จำเป็นต้องเป็นแบบวัฏจักร โปรดจำไว้ว่าในเชิงนามธรรม ทฤษฎีการแทนค่าของกลุ่มคือการศึกษาโมดูลเหนือพีชคณิตของกลุ่มนั้น

ความเชื่อมโยงกับทฤษฎีการแทนจะชัดเจนยิ่งขึ้นหากพิจารณาวงแหวนพหุนาม หรือหากไม่มีฐานดังที่การกำหนดแบบหลังแสดงให้เห็นอย่างชัดเจน วงแหวนพหุนามคือพีชคณิตโมโนอิดเหนือปริภูมิเวกเตอร์และการเขียนในรูปของจะสอดคล้องกับการเลือกฐานสำหรับปริภูมิเวกเตอร์ จากนั้นไอเดียลIหรือเทียบเท่ากับโมดูลคือการแทนแบบวัฏจักรของR ( วัฏจักรหมายถึงสร้างขึ้นโดยองค์ประกอบ 1 ตัวเป็น โมดูล Rซึ่งเป็นการขยายการแทนแบบ 1 มิติ) ${\displaystyle R=K[x_{1},\dots ,x_{n}]}$${\displaystyle R=K[V].}$${\displaystyle x_{i}}$${\displaystyle R/I,}$

ในกรณีที่ฟิลด์ปิดเชิงพีชคณิต (เช่น จำนวนเชิงซ้อน) อุดมคติสูงสุดทุกตัวจะสอดคล้องกับจุดในปริภูมิn มิติ โดยอาศัย ทฤษฎีบท Nullstellensatz (อุดมคติสูงสุดที่สร้างขึ้นโดยสอดคล้องกับจุด) การแสดงแทนของเหล่านี้จะถูกกำหนดพารามิเตอร์โดยปริภูมิคู่ โดย โคเวกเตอร์จะได้รับจากการส่งแต่ละตัวไปยังที่สอดคล้องกันดังนั้น การแสดงแทนของ( แผนที่เชิงเส้นK ) จึงกำหนดโดยเซตของ จำนวน nตัว หรือเทียบเท่ากับโคเวกเตอร์${\displaystyle (x_{1}-a_{1}),(x_{2}-a_{2}),\ldots ,(x_{n}-a_{n})}$${\displaystyle (a_{1},\ldots ,a_{n})}$${\displaystyle K[V]}$${\displaystyle V^{*},}$${\displaystyle x_{i}}$${\displaystyle a_{i}}$${\displaystyle K^{n}}$${\displaystyle K^{n}\to K}$${\displaystyle K^{n}\to K.}$

ดังนั้น จุดใน ปริภูมิ nมิติ ซึ่งคิดว่าเป็นค่าสูงสุดของจะสอดคล้องกับตัวแทนแบบ 1 มิติของR อย่างแม่นยำ ในขณะที่เซตของจุดจำนวนจำกัดจะสอดคล้องกับตัวแทนแบบมิติจำกัด (ซึ่งสามารถลดรูปได้ โดยในทางเรขาคณิตจะสอดคล้องกับการรวมกัน และในทางพีชคณิตจะสอดคล้องกับการไม่ใช่อุดมคติเฉพาะ) ส่วนอุดมคติที่ไม่ใช่ค่าสูงสุดจะสอดคล้องกับตัวแทนแบบมิติ อนันต์${\displaystyle R=K[x_{1},\dots ,x_{n}],}$

คำว่า "สเปกตรัม" มาจากการใช้งานในทฤษฎีตัวดำเนินการเมื่อกำหนด ตัวดำเนินการ เชิงเส้นTบนปริภูมิเวกเตอร์มิติจำกัดVเราสามารถพิจารณาปริภูมิเวกเตอร์ที่มีตัวดำเนินการนั้นเป็นโมดูลเหนือวงแหวนพหุนามตัวแปรเดียวR = K [ T ] ดังเช่นในทฤษฎีบทโครงสร้างสำหรับโมดูลที่สร้างขึ้นอย่างจำกัดเหนือโดเมนอุดมคติหลักดังนั้น สเปกตรัมของK [ T ] (ในฐานะวงแหวน) จะเท่ากับสเปกตรัมของT (ในฐานะตัวดำเนินการ)

นอกจากนี้ โครงสร้างทางเรขาคณิตของสเปกตรัมของริง (หรือเทียบเท่ากับโครงสร้างทางพีชคณิตของโมดูล) แสดงให้เห็นถึงพฤติกรรมของสเปกตรัมของตัวดำเนินการ เช่น ความหลากหลายทางพีชคณิตและความหลากหลายทางเรขาคณิต ตัวอย่างเช่น สำหรับเมทริกซ์เอกลักษณ์ 2×2 จะมีโมดูลที่สอดคล้องกันดังนี้:

${\displaystyle K[T]/(T-1)\oplus K[T]/(T-1)}$

เมทริกซ์ศูนย์ 2×2 มีโมดูลัส

${\displaystyle K[T]/(T-0)\oplus K[T]/(T-0),}$

แสดงให้เห็นถึงความซ้ำซ้อนทางเรขาคณิต 2 สำหรับค่าลักษณะ เฉพาะศูนย์ ในขณะที่เมทริกซ์นิลโพเทนต์ 2×2 ที่ไม่ใช่เมทริกซ์ศูนย์จะมีโมดูล

${\displaystyle K[T]/T^{2},}$

แสดงค่าความซ้ำเชิงพีชคณิต 2 แต่ค่าความซ้ำเชิงเรขาคณิต 1

รายละเอียดเพิ่มเติม:

• ค่าลักษณะเฉพาะ (ที่มีความซ้ำซ้อนทางเรขาคณิต) ของตัวดำเนินการจะสอดคล้องกับจุด (ที่ลดรูปแล้ว) ของวาไรตี้ โดยมีความซ้ำซ้อน
• การแยกส่วนหลักของโมดูลสอดคล้องกับจุดที่ยังไม่ลดทอนของความหลากหลาย
• ตัวดำเนินการที่สามารถทำให้เป็นแนวทแยงได้ (กึ่งง่าย) สอดคล้องกับวาไรตี้ที่ลดรูปแล้ว
• โมดูลแบบวัฏจักร (ตัวสร้างหนึ่งตัว) สอดคล้องกับตัวดำเนินการที่มีเวกเตอร์แบบวัฏจักร (เวกเตอร์ที่มีวงโคจรภายใต้Tครอบคลุมพื้นที่)
• ตัวประกอบไม่เปลี่ยนแปลงตัวสุดท้ายของโมดูลเท่ากับพหุนามขั้นต่ำของตัวดำเนินการ และผลคูณของตัวประกอบไม่เปลี่ยนแปลงเท่ากับพหุนามลักษณะเฉพาะ

สเปกตรัมยังสามารถนำมาพิจารณาสำหรับC*-algebraในทฤษฎีตัวดำเนินการได้เช่นกัน ซึ่งก่อให้เกิดแนวคิดของสเปกตรัมของ C*-algebraที่น่าสังเกตคือ สำหรับปริภูมิเฮาส์ดอร์ฟแบบกระชับวงแหวนของฟังก์ชันต่อเนื่อง (ค่าเชิงซ้อน) คือC*-algebra แบบสลับที่ มีเอกลักษณ์ โดยปริภูมิจะถูกกู้คืนเป็นปริภูมิเชิงโทโพโล ยีจาก และในเชิงฟังก์ชันด้วยเช่นกัน นี่คือเนื้อหาของทฤษฎีบทบานาค-สโตนอันที่จริง C*-algebra แบบสลับที่มีเอกลักษณ์ใดๆ ก็สามารถทำให้เป็นจริงได้ในรูปของวงแหวนของฟังก์ชันต่อเนื่องของปริภูมิเฮาส์ดอร์ฟแบบกระชับด้วยวิธีนี้ ซึ่งให้ความสัมพันธ์แบบเดียวกันกับระหว่างวงแหวนและสเปกตรัมของมัน การขยายไปสู่​​C*-algebra แบบไม่ สลับที่ทำให้เกิด โทโพโลยีแบบไม่สลับที่ ${\displaystyle X}$${\displaystyle C(X)}$${\displaystyle \operatorname {MaxSpec} C(X)}$

• แผนการ (คณิตศาสตร์)
• แผนผังการฉายภาพ
• สเปกตรัมของเมทริกซ์
• ทฤษฎีบทของแซร์เกี่ยวกับความเป็นเชิงเส้น
• สเปกตรัมเอตาล
• สเปกตรัมของซีเกลอร์
• สเปกตรัมดั้งเดิม
• ความเป็นสองด้านของหิน

• https://mathoverflow.net/questions/441029/intrinsic-topology-on-the-zariski-spectrum