ในวิชาโทโพโลยีและสาขาที่เกี่ยวข้องของคณิตศาสตร์ปริภูมิที่ไม่เชื่อมต่อกันโดยสิ้นเชิงคือปริภูมิโทโพโลยีที่มีเฉพาะ เซตที่ มี สมาชิกเพียง ตัวเดียวเป็นเซตย่อยที่เชื่อมต่อกัน ในปริภูมิโทโพโลยีทุกปริภูมิ เซตที่มีสมาชิกเพียงตัวเดียว (และเมื่อพิจารณาว่าเป็นเซตที่เชื่อมต่อกัน เซตว่าง) จะเชื่อมต่อกัน ในปริภูมิที่ไม่เชื่อมต่อกันโดยสิ้นเชิง เซตเหล่านี้เป็นเซตย่อยที่เชื่อมต่อกัน เพียงอย่างเดียว

ตัวอย่างสำคัญของปริภูมิที่ไม่เชื่อมต่อกันโดยสิ้นเชิงคือเซตแคนเตอร์ซึ่ง มีสมบัติทาง โทโพโลยีเหมือนกับเซตของจำนวนเต็มp -adic อีกตัวอย่างหนึ่ง _ซึ่งมีบทบาทสำคัญในทฤษฎีจำนวนเชิงพีชคณิตคือฟิลด์Qpของจำนวนp - adic

พื้นที่โทโพโลยีจะถูกตัดขาดโดยสมบูรณ์หากส่วนประกอบที่เชื่อมต่อกันในนั้นเป็นเซตจุดเดียว^{[ 1 ] [ 2 ]}ในทำนองเดียวกัน พื้นที่โทโพโลยีจะถูกตัดขาดเส้นทางโดยสมบูรณ์ หาก ส่วนประกอบเส้นทางทั้งหมด ในนั้นเป็นเซตจุดเดียว ${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$

แนวคิดที่เกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิดอีกประการหนึ่งคือแนวคิดของปริภูมิที่แยกออกจากกันโดยสมบูรณ์ กล่าว คือ ปริภูมิ ที่ส่วนประกอบเสมือน เป็น เซต ที่มี สมาชิกเดียว นั่นคือ ปริภูมิเชิงทอพอโลยี จะแยกออกจากกัน โดยสมบูรณ์ก็ต่อ เมื่อสำหรับทุก ๆจุดตัดของย่านใกล้เคียง แบบปิดและเปิดทั้งหมด ของ จุดนั้น เป็นเซตที่มีสมาชิกเดียว หรือกล่าวอีกนัยหนึ่ง สำหรับแต่ละคู่ของจุดที่แตกต่างกันจะมีคู่ของย่านใกล้เคียงแบบเปิดที่ไม่ทับซ้อนกัน ของจุดนั้น ๆ ซึ่งทำให้ ${\displaystyle X}$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle x}$${\displaystyle \{x\}}$${\displaystyle x,y\in X}$${\displaystyle U,V}$${\displaystyle x,y}$${\displaystyle X=U\sqcup V}$

ปริภูมิที่แยกออกจากกันโดยสมบูรณ์ทุกปริภูมิย่อมตัดขาดจากกันโดยสมบูรณ์เช่นกัน แต่ในทางกลับกันนั้นไม่จริง แม้แต่สำหรับปริภูมิเมตริกก็ตาม ตัวอย่างเช่น ให้เป็นกระโจมของแคนเตอร์ซึ่งก็คือพัดของคนาสเตอร์-คูราทอฟสกีที่เอาส่วนยอดออกไปแล้ว ดังนั้นจึงตัดขาดจากกันโดยสมบูรณ์ แต่ควาซิคอมโพเนนต์ของมันไม่ใช่เซตที่มีสมาชิกเดียว สำหรับปริภูมิเฮาส์ดอร์ฟที่กระชับเฉพาะที่แนวคิดทั้งสอง (ตัดขาดจากกันโดยสมบูรณ์และแยกออกจากกันโดยสมบูรณ์) นั้นเทียบเท่ากัน ${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$

ที่น่าสับสนคือ ในเอกสาร^{[ 3 ]}บางครั้งพื้นที่ที่แยกขาดโดยสิ้นเชิงจะถูกเรียกว่าพื้นที่ที่แยกขาดโดยทางกรรมพันธุ์ [ ^{4 ] ใน}ขณะที่คำศัพท์ ที่แยกขาดโดยสิ้นเชิงจะใช้สำหรับพื้นที่ที่แยกขาดโดยสิ้นเชิง^{[ 4 ]}

ต่อไปนี้เป็นตัวอย่างของพื้นที่ที่ตัดขาดจากกันโดยสิ้นเชิง:

• พื้นที่แยกส่วน
• จำนวนตรรกยะ​
• จำนวนอตรรกยะ​
• จำนวนp -adic หรือโดยทั่วไปแล้วกลุ่มโปรไฟไนต์ ทั้งหมด เป็นกลุ่มที่ไม่เชื่อมต่อกันโดยสมบูรณ์
• ฉากแคนเตอร์และพื้นที่แคนเตอร์
• พื้นที่แบร์
• สายซอร์เกนเฟรย์
• พื้นที่เฮาส์ดอร์ฟทุกแห่งที่มีมิติเชิงเหนี่ยวนำเล็ก ๆ เท่ากับ 0 นั้นถูกตัดขาดโดยสิ้นเชิง
• ปริภูมิErdős ℓ ²เป็นปริภูมิ Hausdorff ที่ไม่เชื่อมต่อกันโดยสมบูรณ์ ซึ่งไม่มีมิติการเหนี่ยวนำขนาดเล็ก 0${\displaystyle \,\cap \,\mathbb {Q} ^{\omega }}$
• พื้นที่เฮาส์ดอร์ฟที่แยกขาดจากกันอย่างสิ้นเชิง
• พื้นที่หิน
• รูปพัด ของคนาสเตอร์-คูราทอฟสกีเป็นตัวอย่างของพื้นที่ที่เชื่อมต่อกัน กล่าวคือ การลบจุดเพียงจุดเดียวจะทำให้เกิดพื้นที่ที่ไม่เชื่อมต่อกันโดยสิ้นเชิง

• พื้นที่ย่อยผลิตภัณฑ์และผลพลอยได้จากพื้นที่ที่ไม่เชื่อมต่อกันโดยสิ้นเชิงนั้น จะไม่เชื่อมต่อกันโดยสิ้นเชิงเช่นกัน
• พื้นที่ที่แยกขาดจากกันโดยสิ้นเชิงเรียกว่าพื้นที่T1 เนื่องจากส่วนประกอบที่เชื่อมต่อกัน _นั้นเป็นพื้นที่ปิด
• ภาพต่อเนื่องของพื้นที่ที่แยกขาดจากกันโดยสิ้นเชิงนั้น ไม่จำเป็นต้องแยกขาดจากกันโดยสิ้นเชิงเสมอไป อันที่จริงแล้วพื้นที่เมตริกกระชับ ทุกพื้นที่ล้วน เป็นภาพต่อเนื่องของเซตแคนเตอร์
• พื้นที่เฮาส์ดอร์ฟที่กระชับในระดับท้องถิ่นจะมีมิติการเหนี่ยวนำขนาดเล็กเป็น 0 ก็ต่อเมื่อมันขาดการเชื่อมต่อโดยสมบูรณ์เท่านั้น
• ปริภูมิเมตริกกระชับที่ไม่เชื่อมต่อกันโดยสมบูรณ์ทุก ปริภูมิจะเป็นโฮโมมอร์ฟิกกับเซตย่อยของ ผลคูณ ที่นับได้ของปริภูมิแบบไม่ต่อเนื่อง
• โดยทั่วไปแล้ว ไม่เป็นความจริงที่ว่าเซตเปิดทุกเซตในพื้นที่ที่ตัดขาดจากกันโดยสิ้นเชิงจะเป็นเซตปิดด้วย
• โดยทั่วไปแล้ว ไม่เป็นความจริงที่ว่าเซตปิดของเซตเปิดทุกเซตในพื้นที่ที่ไม่เชื่อมต่อกันโดยสมบูรณ์จะเป็นเซตเปิด กล่าวคือ ไม่ใช่ทุกพื้นที่ Hausdorff ที่ไม่เชื่อมต่อกันโดยสมบูรณ์จะเป็นพื้นที่ที่ไม่เชื่อมต่อกันอย่างสุดขั้ว

ให้เป็นปริภูมิเชิงทอพอโลยีใดๆ ให้ก็ต่อเมื่อ(โดยที่แทนเซตย่อยที่เชื่อมต่อกันที่ใหญ่ที่สุดซึ่งประกอบด้วย) เห็นได้ชัดว่านี่คือความสัมพันธ์สมมูลซึ่งชั้นสมมูลคือส่วนประกอบที่เชื่อมต่อกันของ กำหนดให้ มี ทอพอโล ยี ผลหาร นั่นคือ ทอ พอโลยีที่ละเอียดที่สุดที่ทำให้แผนที่ต่อเนื่อง ด้วยความพยายามเพียงเล็กน้อย เราจะเห็นว่าเป็นปริภูมิที่ไม่เชื่อมต่อกันโดยสิ้นเชิง ${\displaystyle X}$${\displaystyle x\sim y}$${\displaystyle y\in \mathrm {conn} (x)}$${\displaystyle \mathrm {conn} (x)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X/{\sim }}$${\displaystyle m:x\mapsto \mathrm {conn} (x)}$${\displaystyle X/{\sim }}$

อันที่จริงแล้ว พื้นที่นี้ไม่เพียงแต่เป็นผลหารที่ไม่เชื่อมต่อกันโดยสิ้นเชิงเท่านั้น แต่ในแง่หนึ่งมันยังใหญ่ที่สุด ด้วย คุณสมบัติสากลต่อไปนี้เป็นจริง: สำหรับพื้นที่ที่ไม่เชื่อมต่อกันโดยสิ้นเชิงใดๆและแผนที่ต่อเนื่องใดๆจะมีแผนที่ต่อเนื่องที่ไม่ซ้ำ กันเพียงหนึ่งเดียวที่มี ${\displaystyle Y}$${\displaystyle f:X\rightarrow Y}$${\displaystyle {\breve {f}}:(X/\sim )\rightarrow Y}$${\displaystyle f={\breve {f}}\circ m}$

• พื้นที่ที่ตัดขาดจากโลกภายนอกอย่างสิ้นเชิง
• กลุ่มที่ขาดการเชื่อมต่อโดยสิ้นเชิง