ในสาขาคณิตศาสตร์โทโพโลยีมิติเชิงอุปนัยของ ปริภูมิ โทโพโลยีXมีค่าได้สองค่า คือมิติเชิงอุปนัยขนาดเล็ก ind( X ) หรือมิติเชิงอุปนัยขนาดใหญ่ Ind( X ) ซึ่งอิงจากการสังเกตว่า ในปริภูมิยุคลิดnมิติRnขอบเขตของทรงกลมมีมิติn  − 1 ดังนั้นจึงควรเป็นไปได้ที่จะกำหนดมิติของปริภูมิทั่วไปในเชิงอุปนัยโดยพิจารณาจากมิติของขอบเขตของเซตเปิดที่เหมาะสม^ในปริภูมินั้น

มิติอุปนัยขนาดเล็กและขนาดใหญ่เป็นสองในสามวิธีที่พบได้บ่อยที่สุดในการแสดงแนวคิดของ "มิติ" สำหรับปริภูมิเชิงทอพอโลยี ในลักษณะที่ขึ้นอยู่กับทอพอโลยีเท่านั้น (และไม่ขึ้นอยู่กับคุณสมบัติของปริภูมิเมตริก ) อีกวิธีหนึ่งคือมิติการครอบคลุมของเลเบสคำว่า "มิติเชิงทอพอโลยี" โดยทั่วไปแล้วหมายถึง มิติการครอบคลุมของเลเบส สำหรับปริภูมิที่ "ดีพอ" มาตรวัดมิติทั้งสามจะเท่ากัน

เราต้องการให้มิติของจุดเป็น 0 และจุดนั้นมีขอบเขตว่างเปล่า ดังนั้นเราจึงเริ่มต้นด้วย

${\displaystyle \operatorname {ind} (\varnothing )=\operatorname {Ind} (\varnothing )=-1.}$

จากนั้นโดยอุปนัย ind( X ) คือจำนวนธรรมชาติที่เล็กที่สุดnที่มีคุณสมบัติดังต่อไปนี้: สำหรับทุกเซตเปิดUที่บรรจุxจะมีเซตเปิดVที่บรรจุxและส่วนปิด ของ V บรรจุอยู่ในUโดยที่ขอบเขตของVมีมิติอุปนัยที่เล็กกว่าnในที่นี้ ขอบเขตของVถือเป็นปริภูมิเชิงทอพอโลยีโดยใช้ทอพอโลยีของปริภูมิย่อยที่สืบทอดมาจากX (ในกรณีของปริภูมิย่อยของปริภูมิยุคลิด เราอาจคิดว่าเซตVเป็นลูกบอลเล็กๆ ที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่x ) หากไม่มีn ดัง กล่าว เราจะเขียน ind( X ) = ∞ ${\displaystyle x\in X}$

มิติการเหนี่ยวนำขนาดใหญ่ Ind( X ) ถูกกำหนดให้เป็นn ที่เล็กที่สุด โดยที่สำหรับทุกเซตย่อยปิดFและทุกเซตย่อยเปิดUที่บรรจุFจะมีเซตเปิดVที่บรรจุFและการปิดของ V นั้นบรรจุอยู่ในUโดยที่ขอบเขตของVมีมิติการเหนี่ยวนำขนาดใหญ่น้อยกว่าnหากไม่มีn ดังกล่าว เราจะเขียน Ind( X ) = ∞ ^{[ 1 ]}

สำหรับพื้นที่ที่เรียบร้อยและสงบ การคำนวิดมิติแบบอุปนัยจะให้คำตอบที่คาดหวังไว้ ตัวอย่างเช่น พิจารณาเซตนี้

${\displaystyle X=\{(x,y,0)\mid x^{2}+y^{2}\leq 1\}\cup \{(0,0,z)\mid 0\leq z<1\}\cup \{(0,0,-1)\}}$

โดยมีโทโพโลยีที่สืบทอดมาจากปริภูมิยุคลิดR³โดยสัญชาตญาณแล้วXประกอบด้วยชิ้นส่วน 2 มิติที่เชื่อมต่อกับชิ้นส่วน 1 มิติ พร้อมด้วยจุด 0 มิติที่ไม่ทับซ้อนกัน ทั้งมิติอุปนัยขนาดใหญ่และขนาดเล็กของ^X ล้วนมีค่าเท่ากับ 2

สิ่งที่อาจคาดไม่ถึงก็คือข้อนี้เป็นจริงเพราะสำหรับจำนวนอตรรกยะaและbเซต ดัง กล่าวเป็นทั้งเซตเปิดและเซตปิดในและด้วยเหตุนี้จึงมีขอบเขตว่างเปล่า ${\displaystyle \operatorname {ind} \mathbb {Q} =\operatorname {Ind} \mathbb {Q} =0.}$${\displaystyle \{r\in \mathbb {Q} \mid a<r<b\}}$${\displaystyle \mathbb {Q} }$

ให้เป็นมิติการครอบคลุมของเลเบส สำหรับปริภูมิเชิงทอพอโลยีX ใดๆ เรามี ${\displaystyle \dim }$

${\displaystyle \dim X=0}$ก็ต่อเมื่อ${\displaystyle \operatorname {Ind} X=0.}$

ทฤษฎีบทของอูรีโซห์นกล่าวว่า เมื่อXเป็นปริภูมิปกติที่มีฐานนับได้แล้ว

${\displaystyle \dim X=\operatorname {Ind} X=\operatorname {ind} X.}$

ปริภูมิเหล่านั้นคือ ปริภูมิ ที่แยกได้และกำหนดเมตริกได้ (ดูทฤษฎีบทการกำหนดเมตริกของอูรีโซห์น )

ทฤษฎีบทNöbeling–Pontriaginกล่าวว่าปริภูมิที่มีมิติจำกัดนั้นมีลักษณะเฉพาะในระดับโฮมีโอเมอร์ฟิซึมในฐานะปริภูมิย่อยของปริภูมิยุคลิดที่มีโทโพโลยีตามปกติทฤษฎีบท Menger–Nöbeling (1932) กล่าวว่า ถ้าเป็นปริภูมิเมตริกแบบแยกส่วนได้และมีขนาดกะทัดรัด และมีมิติ n แล้ว จะฝังตัวเป็นปริภูมิย่อยของปริภูมิยุคลิดที่มีมิติn ( Georg Nöbelingเป็นศิษย์ของKarl Mengerเขาได้แนะนำปริภูมิ Nöbelingซึ่งเป็นปริภูมิย่อยของ ที่ประกอบด้วยจุดที่มี พิกัดอย่างน้อย n เป็น จำนวนอตรรกยะซึ่งมีคุณสมบัติสากลสำหรับการฝังตัวในปริภูมิที่มีมิติn) ${\displaystyle X}$${\displaystyle n}$${\displaystyle 2n+1}$${\displaystyle \mathbf {R} ^{2n+1}}$${\displaystyle n+1}$${\displaystyle n}$

โดยสมมติว่ามีเพียงX เท่านั้น ที่สามารถกำหนดเมตริกได้ เราจะได้ ( มิโรสลาฟ คาเตตอฟ )

ind X ≤ Ind X = dim X ;

หรือสมมติว่าX เป็นเซตกระชับและHausdorff ( PS Aleksandrov )

dim X ≤ ind X ≤ Ind X .

อสมการทั้งสองในที่นี้อาจเป็นแบบเข้มงวดก็ได้ ตัวอย่างเช่น งานของ Vladimir V. Filippov แสดงให้เห็นว่ามิติอุปนัยทั้งสองอาจแตกต่างกันได้

ปริภูมิเมตริกที่แยกได้Xจะสอดคล้องกับอสมการก็ต่อเมื่อสำหรับทุกปริภูมิย่อยปิดของปริภูมิและทุกการแมปต่อเนื่องจะมีส่วนขยายต่อเนื่องอยู่ ${\displaystyle \operatorname {Ind} X\leq n}$${\displaystyle A}$${\displaystyle X}$${\displaystyle f:A\to S^{n}}$${\displaystyle {\bar {f}}:X\to S^{n}}$

• Crilly, Tony, 2005, "Paul Urysohn and Karl Menger: papers on dimension theory" ในGrattan-Guinness, I. , ed., Landmark Writings in Western Mathematics . Elsevier: 844-55.
• อาร์ เองเกลคิงทฤษฎีมิติ ขอบเขตจำกัดและไม่มีที่สิ้นสุด , Heldermann Verlag (1995), ISBN 3-88538-010-2.
• VV Fedorchuk, The Fundamentals of Dimension Theory , ปรากฏในEncyclopaedia of Mathematical Sciences, Volume 17, General Topology I , (1993) AV Arkhangel'skii and LS Pontryagin (Eds.), Springer-Verlag, Berlin ISBN 3-540-18178-4.
• VV Filippov, เกี่ยวกับมิติเชิงอุปนัยของผลคูณของไบคอมแพ็กตา , Soviet. Math. Dokl., 13 (1972), N° 1, 250-254.
• AR Pears, ทฤษฎีมิติของปริภูมิทั่วไป , สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยเคมบริดจ์ (1975)